MỘT số bài TOÁN vận DỤNG CAO số PHỨC

MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC Tạp chí và tư liệu toán học Cực trị số phức là một dạng toán khî hay xuất hiện trong các đề thi thử và trong đề thi minh họa THPT Quốc Gia của Bộ GD

MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC

Tạp chí và tư liệu toán học

Cực trị số phức là một dạng toán khî hay xuất hiện trong các đề thi thử và trong đề thi minh họa THPT Quốc Gia của Bộ GD&ĐT Dạng toán này thường thë sẽ cho dưới dạng đại

số nhưng tuy nhiên cî một mối liên hệ đặc biệt với các bài toán hënh học phẳng mà cụ thể

là hënh học Oxy của lớp 10 Trong bài viết này tïi sẽ trënh bày một số bài toán do tïi sáng tác để chúng ta cî thể cî cái nhën sâu hơn về mối quan hệ giữa hai dạng toán này đồng

thời giúp các bạn chuẩn bị cho kë thi sắp tới!

I ĐỀ BÀI

Câu 1: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 2 3i  17 ; z2 1 5

Biết rằng z1  1 i k z 2 1 i k 0 Tìm k khi P z 1z2 đạt giá trị lớn nhất

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z  1 i 5 Tëm GTLN của P2 z8i   z 7 9i

A P 109 B P  1 109 C P 109 2 D P 109 1

Câu 3: Cho 2 số phức z1 thỏa mãn 1 7 5 1 9 3

z    z   , z2  a bi với

 3 2 a b  1 0Biết rằng z1 i 2 z2 i Tëm GTNN của P z 1  3 i 2 z2 3 i

Câu 4 [Sưu tầm]: Cho số phức z thỏa mãn 4 z    z i 1 2 z i 1 Tëm GTLN của biểu thức P  z 2 2i

3

4

5

6

P 

Câu 5: Cho số phức z z z1, ,2 3 lần lượt thỏa mãn z1  3 i, z2 là số thuần ảo với thuần ảo không âm, z3 là số thực khïng âm Biết rằng 2 2

z z  z z  z z Gọi M,n lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P z2z z1 3z1 Khi đî M.n bằng?

Câu 6 : Cho 3 số phức z z z0, ,1 2 thỏa mãn đồng thời

z z z z

    





  

3 1 2

z    i Biết

, , ,

z z a bi

a b c d R

z z c di

  





   

2

P ad bc

Câu 7: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1  2 ,z2  5 Biết rằng 1

2

z i a bi

z i c di

  



   

A P1 B P2 C P3 D P4

Câu 8: Cho 2 số phức 1

2

z a bi

z c di

 



  

a b

c d



  

 Tìm z1  z2 khi biểu thức

P z   i  z z  z   i đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 9: Gọi z1  a bi z, 2  c di là nghiệm của phương trënh z2 2  z 2 2 6 đồng thời thỏa mãn ac bd 0 Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

1 2

1

2

P z z Tình giá trị của biểu thức S M n 

5

5

5

5

S

Câu 10: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn

1 2

z i k z i k

z mi m R

z R















Tëm k khi biểu thức 2 2

P

  đạt giá trị nhỏ nhất

II LỜI GIẢI

Câu 1: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 2 3i  17 ; z2 1 5

Biết rằng z1  1 i k z 2 1 i k 0 Tìm k khi P z 1z2 đạt giá trị lớn nhất

Nguyễn Minh Tuấn

Lời giải

Gọi M z      1 ,N z2 , 2; 3 , 0; 1I J   Theo giả thiết ta cî:

 Điểm M thuộc đường trín  C1 tâm I bán kính R1  17

 Điểm N thuộc đường trín  C2 tâm J bán kính R2  5

K

N M

Ta thấy rằng số phức z 1 i đều thỏa mãn 2 3 17

z

   





 

 Điều này chứng tỏ A1; 1 

là giao điểm của    C1 , C2 và theo giả thiết ta suy ra đượcA M N, , thẳng hàng

Gọi H,K lần lượt là hënh chiếu của I,J lên MN P MN2HK2IJ

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi MN IJ Khi đî phương trënh MN đi qua điểm A và cî vector pháp tuyến IJ 3; 3 là MN x y:   2 0 Từ đây suy ra điểm M  6; 4 ,N 0; 2 

2

5

k

Chọn ý D

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z  1 i 5 Tëm GTLN của P2z8i   z 7 9i

A P 109 B P  1 109 C P 109 2 D P 109 1

Nguyễn Minh Tuấn

Lời giải

Gọi I     1;1 ,A 7;9 , 1;8B

Yêu cầu bài toán chuyển về tëm giá trị lớn

nhất của biểu thức P2MB MA

Ý tưởng cho bài toán này là ta sẽ sử dụng

bất đẳng thức tam giác, nhưng do cî số 2

ở giữa nên ta sẽ nảy ý tưởng tëm một điểm

K cố định thỏa mãn MA2MK Giả sử

tồn tại một điểm K như thế thë ta cî:

MI IK IA MI IK IA

Để tồn tại điểm K thë

2

4

R

IK IA

đúng do đî luïn tồn tại điểm K cố định thỏa mãn MA2MK và điểm K này nằm trên IC Lấy điểm K thuộc IC sao cho

2

R

IK

Ta có: IK IA IM  2  IAM IMK c g c MA2MK

Vậy khi M thay đổi thë MA2MK Theo bất đẳng thức tam giác thë ta cî:

P MB MA  MB MK  BK

2

K    P BK 

C

B D

M

K

Câu 3: Cho 2 số phức z1 thỏa mãn 1 7 5 1 9 3

z    z   , z2  a bi với

 3 2 a b  1 0Biết rằng z1 i 2z2 i Tëm GTNN của P z 1  3 i 2 z2 3 i

Nguyễn Minh Tuấn

Lời giải

Theo giả thiết ta cî điểm M z 1 d x y1:   1 0, N z 2 d2: 3 2  x y  1 0

Giao điểm của d d1, 2 là I0; 1  Theo giả thiết ta cî MI2NI

Gọi điểm A 3;1  P MA2NA

P IN AM IN AN IN AM IN AN IM

Theo bất đẳng thức Ptolemy ta có:

AM IN AN IM AI MN

AI MN

IN

Ta có cos 1, 2 1

2

d d  Theo định lý hàm số Cosine

ta có:

MN MI NI MI NI MIN

NI

Dấu “=” chỉ xảy ra khi AMIN nội tiếp đường trín và MIN60o

Chọn ý B

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn 4 z    z i 1 2 z i 1 Tëm GTLN của biểu thức

2 2

P  z i

3

4

5

6

P 

Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

16z  z i  1 2 z i 1  1 4 z i 1   z i 1 5 2 z 2i1

Từ đây sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối ta cî 30 2 2

3

P

Chọn ý A.

I

M

A

N

Câu 5: Cho số phức z z z1, ,2 3 lần lượt thỏa mãn z1  3 i, z2 là số thuần ảo với thuần ảo không âm, z3 là số thực khïng âm Biết rằng 2 2

z z  z z  z z Gọi M,n lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P z2z z1 3z1 Khi đî M.n bằng?

Nguyễn Minh Tuấn

Lời giải

Gọi M     3;1 ,A z2 ,B z3 Theo giả thiết ta cî:

z z  z z  z z AB MA MB MA MB

Do z2 là số thuần ảo với thuần ảo khïng âm, z3 là số thực khïng âm nên ta cî điều kiện là

   ;0 , 0; , 0

A a B b a b 0 10 3 0 10

3

MA MB  b  a  a 

P z z z z MA MB a  a 

Vậy minP3,maxP30

Chọn ý A

Câu 6 : Cho 3 số phức z z z0, ,1 2 thỏa mãn đồng thời

z z z z

    



   

3 1 2

z    i

, , ,

z z a bi

a b c d R

z z c di

  





   

2

P ad bc

Nguyễn Minh Tuấn

Lời giải

Gọi A z   1 ,B z2 ,M z   3 ,C z0 Theo giả thiết ta cî z1z3 z3z2 AM MB , suy ra

 

;

;

CA a b

z z a bi

z z c di CB c d

 

  





P ad bc S  Do AB z 1z2 3 5 nên để diện tìch lớn nhất thë d C AB ; max Gọi A x y B  ; ,    2 x; 3 y mà A,B thuộc elip nên ta cî:

 4;0 , 2; 3 : 2 4 0

A  B  AB x y 

Sử dụng tiếp giả thiết z   2 z 2 8ta suy ra điểm C thuộc vào elip cî phương trënh là

y x

E        C  

Câu 7: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1  2 , z2  5 Biết rằng 1

2

z i a bi

z i c di

  



   

Tëm GTLN của biểu thức 1

2

P ad bc

Nguyễn Minh Tuấn

Lời giải

Gọi A     0;1 ,B z1 ,C z2 thì B0; 2 , C 0; 5

Bổ đề: Cho hai đường trín đồng tâm C O R1 ; và

C O R R R ' Các điểm B và C lần lượt di động

trên    C1 , C2 tương ứng Khi đî S đạt max

khi O là trực tâm tam giác ABC và O nằm trong tam

giác Thật vậy, nếu cố định B thì đường thẳng AB cố

định Giả sử AB cắt  C2 tại M và N, diện tích lớn nhất

khi CO AB Tương tự nếu cố định C Tức O là trực tâm

của ABC Khi đó C là điểm chính giữa cung lớn MN hay

O nằm trong tam giác ABC.

Áp dụng với A 0;1 BC Ox

Do tình đối xứng nên cî thể gọi B 2b b C2; ,  5b b b2;   0

1; 1

B

C

 





P  ad bc S  

Chọn ý A

Câu 8: Cho 2 số phức 1

2

z a bi

z c di

 



  

a b

c d



  

 Tìm z1  z2 khi biểu thức

P z   i  z z  z   i đạt giá trị nhỏ nhất

Nguyễn Minh Tuấn

Lời giải

Gọi A  6; 4 ,D 2; 4 ,  M z   1 ,N z2 Mặt khác 1

2



Theo bất đẳng thức tam giác ta cî:

P z   i  z z  z   i AM MN ND AN ND AD     

O

A C

B

Phương trënh AD x y: 2   8 0 Khi đî  

 

1 2

5;2 4;0

M d AD M

N d AD N





Suy ra z1  z2  4 29

Chọn ý A

Câu 9: Gọi z1  a bi z, 2  c di là nghiệm của phương trënh z2 2  z 2 2 6 đồng thời thỏa mãn ac bd 0 Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

1 2

1

2

P z z Tình giá trị của biểu thức S M n 

5

5

5

5

S

Nguyễn Minh Tuấn

Lời giải

Gọi A z   1 ,B z2 ,ac bd  0 OA OB  0 OA OB

Trường hợp 1: Xét A,B lần lượt nằm trên hai trục tọa độ thë ta cî: 1 1 2 1 3

P z z  OA OB Trường hợp 2: Xét hai điểm A,B lần lượt nằm trên hai đường vuïng gîc y kx y, 1x

k

  

Tọa độ điểm A thỏa mãn

2 2

y

y kx



 

 Tương tự 3 2 12

9

k OB

k





  

2

1 2

k

P z z S



Theo AM – GM ta có 2 9 2 1 2 9 10 2 1 9 2 1

10

k  k   k   S k  Theo Cauchy – Shwarz ta có 9 2 1 2 9 3 2 1 3

2

k  k   k   S Dấu “=” xảy ra khi A,B

là các giao điểm của elip với trục tọa độ và các hoán vị

Vậy cả hai trường hợp ta cî

9 min

10 3 max

2

P P







Chọn ý C.

Câu 10: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn

1 2

z i k z i k

z mi m R

z R















Tëm k khi biểu thức 2 2

P

  đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Gọi M     3;1 ,A z1 ,B z2 Theo giả thiết thë ta cî M,A,B thẳng hàng đồng thời A thuộc Oy,

B thuộc Ox Phương trënh đoạn AB theo đoạn chắn là:

3 1

Theo Cauchy – Schwarz ta có: 92 42 4 3 1 2 4

P

      

Dấu “=” xảy ra khi 15 ; 5 4

4

a b   k

Chọn ý C