CÁC bài TOÁN vận DỤNG CAO dãy số

` CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Các tốn VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ HAPPY NEW YEAR 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC LỜI GIỚI THIỆU Nhân dịp năm 2019 thay mặt nhóm quản trị viên Tạp chí tƣ liệu toán học , lời xin gửi tới bạn đọc , thầy cô theo dõi fanpage lời chúc sức khỏe, mong sang năm thầy cô đạt đƣợc nhiều thành công công việc, bạn học sinh thực ƣớc mơ nguyện vọng vào trƣờng Đại học Chun đề “CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ” đƣợc thành viên nhóm Chinh Phục Olympic Toán sƣu tầm biên soạn với mục đích chào xn năm nhƣ quà với bạn theo dõi page suốt năm vừa qua đồng thời ủng hộ bọn phát triển tới nay, xin gửi lời cảm ơn tới tất ngƣời Nhƣ bạn biết, trƣớc dãy số khơng phải phần quan trọng kì thi THPT Quốc Gia, kì thi đại học nhƣng năm gần vấn đề đƣợc trƣờng kết nối với mảng khác nhƣ hàm số, mũ – logarit, tích phân gây khơng bỡ ngỡ, lúng túng cho bạn lần đầu gặp nhƣ Vì chủ đề này, bạn tìm hiểu toán liên quan tới chúng, hy vọng phần giúp ngƣời có kinh nghiệm hƣớng giải gặp tốn nhƣ Để hồn thành đƣợc chuyên đề bọn sƣu tầm tham khảo, đồng thời nhận đƣợc giúp đỡ thầy cô, xin gửi lời cảm ơn tới  NHĨM STRONG TEAM TỐN VD – VDC  ANH PHẠM MINH TUẤN – ADMIN NHÓM PI  CÁC THÀNH VIÊN TRONG NHĨM CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Mặc dù chuyên đề đƣợc biên soạn cẩn thận nhiên khơng thể tránh khỏi thiếu sót, ý kiến thắc mắc vui lòng gửi địa sau NGUYỄN MINH TUẤN Sinh viên K14 – Đại học FPT Email: tuangenk@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt NGUYỄN NHẬT LINH Chuyên Thái Bình Email: linhnhatnhatlinhnguyen@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100009880805520 MỘT LẦN NỮA, XIN GỬI LỜI CẢM ƠN MỌI NGƢỜI ĐÃ THEO DÕI FANPAGE TRONG SUỐT THỜI GIAN QUA, HY VỌNG CÁC BẠN SẼ TIẾP TỤC ỦNG HỘ BỌN MÌNH PHÁT TRIỂN HƠN NỮA THANK YOU! HAPPY NEW YEAR! TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Nguyễn Minh Tuấn – Nguyễn Nhật Linh CÂU CHUYỆN MỞ ĐẦU Trước vào tìm hiểu tốn dãy số chuyên đề này, bọn muốn gửi tới bạn viết hay nhà bác học Newton để phần làm giảm bớt độ nhạt nhẽo chuyên đề, viết mang tên “ 10 phát minh tiếng Newton” Mời bạn thưởng thức! Nhắc tới nhà phát minh vĩ đại Isaac Newton, chắn nghĩ tới câu chuyện "quả táo rơi vào đầu" làm nên thuyết vạn vật hấp dẫn Khơng vậy, ơng sở hữu nhiều phát minh vĩ đại giúp thay đổi giới: ba định luật chuyển động, vi phân, tích phân, giả thuật kim Tại nhà thờ Westminster Abbey, dòng chữ tiếng Latin khắc lên bia mộ Newton "Hic depositum est, quod mortale fult Isaac Newtoni" với ý nghĩa "Một người tồn trang hoàng cho phát triển nhân loại" Lời ca tụng không mức di sản mà thiên tài Newton để lại cho loài người Cùng điểm lại 10 phát minh quan trọng tiếng thú vị Của Isaac Newton suốt nghiệp sáng tạo ơng mà ý đến I Ý TƯỞNG CỦA NEWTON KHẨU PHÁO BẮN VÀO QUỸ ĐẠO Đối với số ý kiến xuyên tạc cho người đàn ông ngáy ngủ táo vơ tình rơi xuống lại làm nên phát minh vĩ đại đến vậy? Kết trình "chờ sung rụng" chăng? Khơng hề, điều đến với óc thiên tài suy nghĩ quy luật vật lý mà cụ thể lực hấp dẫn Không dừng lại trọng lực mà Newton đưa nhiều ý tưởng khác trước thời đại Trong định luật hấp dẫn phổ quát, Newton diễn tả đến núi khổng lồ mà đỉnh khoảng bầu khí Trái Đất, đỉnh có đặt pháo vơ lớn bắn viên đạn theo chiều ngang ngồi khơng gian Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Ý tưởng Newton pháo bắn vào quỹ đạo Newton khơng có ý định tạo loại siêu vũ khí nhằm bắn kẻ xâm lược ngồi hành tinh! Khẩu pháo ơng ý tưởng thí nghiệm nhằm giải thích làm để đưa vật thể vào quỹ đạo quay quanh Trái Đất Nếu lực hấp dẫn tác động lên pháo, bay theo đường tùy thuộc vào vận tốc ban đầu Tốc độ thấp, đơn giản rơi trở lại Trái đất Nếu tốc độ tốc độ quỹ đạo, lòng vòng xung quanh Trái đất theo quỹ đạo tròn cố định giống mặt trăng Tốc độ cao so với vận tốc quỹ đạo, không đủ lớn để rời khỏi trái đất hoàn toàn (thấp vận tốc thốt) tiếp tục xoay quanh Trái đất dọc theo quỹ đạo hình elip Tốc độ cao, thực rời khỏi quỹ đạo bay ngồi vũ trụ Thí nghiệm trình bày Principia Mathematica vào năm 1687, theo đó, tất hạt gây lực hấp dẫn bị hấp dẫn vật thể khác Lực tương tác phụ thuộc vào trọng lượng khoảng cách hạt hay vật thể Quy tắc chi phối tất tượng từ mưa rơi quỹ đạo hành tinh Đây tác phẩm tiếng với nhiều đóng góp quan trọng cho vật lý học cổ điển cung cấp sở lý thuyết cho du hành không gian phát triển tên lửa sau Sau đó, Einstein nhà vật lý kỷ 16, 17 tiếp tục củng cố học thuyết Newton hiểu biết lực hấp dẫn ngày II CÁNH CỬA DÀNH CHO CHĨ MÈO Khơng có tầm nhìn mang tính vĩ mô pháo không gian phát mối liên hệ vạn vật vũ trụ, Newton dùng trí tuệ tuyệt vời để giải vấn đề thường thức đời sống hàng ngày Điển hình phương pháp | Chinh phục olympic toán Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN giúp mèo không cần cào cấu vào cánh cửa nhờ vào tạo lối dành riêng cho chúng Như biết, Newton không kết hôn có mối quan hệ bạn bè, đổi lại ơng chọn mèo chó làm bầu bạn phòng của Hiện nay, có nhiều giả thuyết lập luận cho ông dành nhiều mối quan tâm đến "người bạn" bé nhỏ Một số sử gia đương đại cho Newton người yêu động vật Một số ơng đặt tên cho chó Diamond (kim cương) Dù vậy, số nhà sử học nghi ngờ giả thuyết Một câu chuyện kể trình nghiên cứu Newton Đại học Cambridge, thí nghiệm ông liên tục bị gián đoạn mèo ơng ln cào vào cánh cửa phòng thí nghiệm gây âm phiều toái Để giải vấn đề, ông mời thợ mộc Cambridge để khoét lỗ cửa vào phòng thí nghiệm: lỗ lớn dành cho mèo mẹ lỗ nhỏ dành cho mèo con! Dù câu chuyện hay sai theo ghi chép đương thời sau Newton qua đời có thật hiển nhiên người ta tìm thấy cánh cửa với lỗ tương ứng với kích thước mèo mẹ mèo Cho tới ngày nhiều tranh cãi xung quanh câu chuyện Tuy nhiên, nhiều ý kiến cho Newton tác giả cánh cửa dành cho chó mèo sử dụng ngày III BA ĐỊNH LUẬT CHUYỂN ĐỘNG CỦA NEWTON Trong sử gia tranh cãi cánh cửa dành cho thú cưng có phải Newton hay khơng khơng phủ nhận đóng góp Newton cho hiểu biết người vật lý học ngày Tầm quan trọng tương đương với việc phát định luật vạn vật hấp dẫn, định luật chuyển động Newton giới thiệu vào năm 1687 tác phẩm Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các nguyên lý toán học triết học tự nhiên) định luật ông đặt móng vững cho phát triển học cổ điển (còn gọi học Newton) thời gian sau Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ định luật ông miêu tả ngắn gọn sau: Nếu vật không chịu tác dụng lực chịu tác dụng lực có hợp lực khơng giữ ngun trạng thái đứng yên chuyển động thẳng Gia tốc vật hướng với lực tác dụng lên vật Độ lớn gia tốc tỷ lệ thuận với độ lớn lực tỉ lệ nghịch với khối lượng vật Ba định luật chuyển động Newton Trong trường hợp, vật A tác dụng lên vật B lực, vật B tác dụng lại vật A lực Hai lực có giá, độ lớn ngược chiều Ngày nay, dễ dàng phát biểu hiểu định luật tiếng Tuy nhiên, học giả lịch sử phải vật lộn với khái niệm chuyển động suốt nhiều kỷ Nhà triết học Hy Lạp Aristotle nghĩ khói bay lên khơng khói chứa nhiều khơng khí Trước đó, học giả khác lại nghĩ khói bay lên trời để tụ hợp với đám khói "bạn bè" chúng Nhà triết học Pháp René Descartes nghĩ tới lý thuyết chuyển động tương tự Newton cuối cùng, ông cho Thiên Chúa động lực chuyển động Bìa sách Philosophiae Naturalis Principia định luật Newton vẻ đẹp đến từ tối giản khoa học Dù đơn giản Mathematica (Các nguyên lý toán học triết học tự nhiên) xuất năm 1687 thế, để nhà khoa học hiểu tất thứ chuyển động từ hạt electron chuyển động xoắn ốc thiên hà IV HÒN ĐÁ PHÙ THỦY CỦA “ NHÀ GIẢ KIM THUẬT “ NEWTON | Chinh phục olympic toán Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Trong vẽ nhà giả kim thuật, thấy biểu tượng hành tinh diễn tả kim loại sách mở sàn nhà Đây cho biểu tượng mà Newton sử dụng ghi chép ông Newton cống hiến nhiều cho nhân loại với khám phá khoa học ơng Bên cạnh đó, người ta nhắc đến ông nhà giả kim học lỗi lạc nhất: huyền thoại giả kim thuật với đá phù thủy Các văn ghi chép lại lưu trữ đến ngày có nhiều mơ tả khác đá này: từ khả tạo nên người từ đá khả chuyển hóa từ chì thành vàng Thậm chí, người cho Hòn đá phù thủ “nhà giả kim thuật” Newton đá ơng chữa bệnh biến bò khơng đầu thành bầy ong Có lẽ bạn thắc mắc biểu tượng khoa học lại trở thành nhà giả kim thuật? Để trả lời câu hỏi đó, nghĩ đến bối cảnh giờ, cách mạng khoa học đạt động nước vào năm 1600 Các nhà giả kim thuật tồn với thủ thuật lỗi thời họ với học thuyết triết học huyền bí nhằm mê số người Dù vậy, ghi chép giả kim thuật cho thí nghiệm hóa học Bút tích lưu lại Newton nghiên cứu giả kim Tuy nhiên, ghi chép suốt 30 năm làm thí nghiệm Newton tiết lộ ông hy vọng phản ứng hóa học bình thường, chí Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ hứa hẹn việc biến nguyên tố khác thành vàng Theo sử gia William Newman, ông cho Newton muốn tìm kiếm "quyền lực siêu hạn tự nhiên." Đây cho lập luận Newton có nghiên cứu để lại ghi chép giả kim mà người đương thời gọi "hòn đá phù thủy." Các ghi chép cho thấy ơng tìm cách tạo nên loại nguyên tố bí ẩn lúc Trên thực tế, Newton có nỗ lực nhằm tạo loại hợp kim đồng màu tím Dù vậy, nghiên cứu ơng thất bại Đây khơng phải sáng chế Newton, cho nhìn suy nghĩ thời gian mà ông dành cho nghiên cứu khoa học Vào năm 2005, nhà sử học Newman tạo nên "hòn đá phù thủy" dựa ghi chép 300 năm trước Newton dĩ nhiên, khơng có chuyển hóa tạo thành vàng xảy V CHA ĐẺ CỦA CÁC PHÉP TÍNH VI PHÂN Nếu bạn đau đầu với môn tốn học mà đặc biệt tích phân vi phân cày nát não bạn, bạn đổ phần lỗi cho Newton! Trên thực tế, hệ thống tốn học cơng cụ để chúng tìm hiểu thứ vũ trụ Giống nhiều nhà khoa học thời, Newton nhận thấy lý thuyết đại số hình học trước khơng đủ cho yêu cầu nghiên cứu khoa học ông Hệ thống tốn học đương thời khơng đủ để phục vụ ơng Bút tích Newton lưu giữ đến ngày Các nhà tốn học lúc tính toán vận tốc tàu họ khơng thể tính tốn mối liên hệ với gia tốc tỷ lệ lực tác động | Chinh phục olympic toán Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Họ chưa thể tính tốn góc bắn để viên đạn pháo bay xa Các nhà toán học đương thời cần phương pháp để tính tốn hàm có nhiều biến Một kiện xảy đến trình nghiên cứu Newton, đợt bùng phát bệnh dịch hạch khiến hàng loạt người chết khắp đường phố Cambridge Tất cửa hàng đóng cửa dĩ nhiên, Newton phải hạn chế ngồi Đó khoảng thời gian 18 tháng nghiên cứu Newton để ông xây dựng nên mơ hình tốn học đặt tên "khoa học liên tục" Ngày nay, biết phép tính vi-tích phân Một công cụ quan trọng vật lý, kinh tế học môn khoa học xác suất Vào năm 1960, hàm số vi-tích phân cung cấp công cụ cho phép kỹ sư phi thuyền Apollp tính tốn số liệu sứ mạng đặt chân lên Mặt Trăng Dĩ nhiên, Newton khơng tạo nên phép tốn mà sử dụng ngày Ngồi Newton, nhà tốn học người Đức Gottfried Leibniz (1646-1716) độc lập phát triển mơ hình phép tính vi - tích phân thời gian với Newton Dù vậy, phải công nhận tầm quan trọng Newton phát triển tốn học đại với đóng góp khơng nhỏ ơng VI SINH SỰ VỚI CẦU VỒNG Cầu vồng? Cầu vồng gì? Bạn Newton nghĩ để yên cho bí mật bên cầu vồng? Không hề! Thiên tài tâm giải mã điều ẩn chứa bên tượng thiên nhiên Vào năm 1704, ông viết sách Thí nghiệm Newton vấn đề khúc xạ ánh sáng với tiêu đề "Opticks" Quyển sách góp phần khơng nhỏ việc thay đổi cách nghĩ ánh sáng màu sắc Các nhà khoa học biết cầu vồng hình thành ánh sáng bị khúc xạ phản xạ hạt nước mưa khơng khí Dù vậy, họ chưa thể lý giải rõ Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ ràng cầu vồng lại chứa nhiều màu sắc Khi Newton bắt đầu nghiên cứu Cambridge, lý thuyết phổ biến trước cho hạt nước cách nhuộm nhiều màu sắc khác lên tia sáng Mặt Trời Bằng cách sử dụng lăng kính đèn, Newton thực thí nghiệm cách cho ánh sáng chiếu qua lăng kính Và kết tất chúng biết, ánh sáng bị tách thành màu cầu vồng VII KÍNH VIỄN VỌNG PHẢN XẠ Newton sinh thời kỳ mà diện kính viễn vọng mờ nhạt Mặc dù vậy, nhà khoa học chế tạo nên mơ hình sử dụng tập hợp thấu kính thủy tinh để phóng to hình ảnh Trong thí nghiệm với màu sắc Newton, ông biết màu sắc khác khúc xạ với góc độ khác nhau, từ tạo nên hình ảnh lờ mờ cho người xem Để cải tiến chất lượng hình ảnh, Newton đề xuất sử dụng gương khúc xạthay cho thấu kính khúc xạ trước Một gương lớn bắt lấy hình ảnh, sau gương nhỏ phản xạ hình ảnh bắt tới mắt người ngắm Phương pháp không tạo nên hình ảnh rõ ràng mà cho phép tạo nên kính viễn vọng với kích thước nhỏ Một kính viễn vọng phản xạ Newton chế tạo trình bày trước Hội đồng hoàng gia vào năm 1672 Một số ý kiến cho rằng, nhà toán học người Scotland James Gregory người đề xuất ý tưởng chế tạo kính viễn vọng phản xạ vào năm 1663 dù mơ hình chưa thể hoạt động hồn chỉnh Tuy nhiên, dựa ghi chép lưu trữ lại, nhà sử học cho Newton người chế tạo kính viễn vọng phản xạ dựa lý thuyết ông đề xuất Trên thực tế, Newton tự mài gương, lắp ráp mẫu thử nghiệm trình bày với Hội đồng hồng gia vào năm 1672 Đó đơn thiết bị dài 15 cm, có khả | Chinh phục olympic tốn Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Thay u2   1  u1 vào giả thiết ta 40 39  39  1 1 1 log  u1    log  u1     u1   un   n   n n n 4 4 Để un  5100  n2   n  100 log  n  233 5100  n3  n  Chọn ý C Câu 80 Gọi q công bội cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu 16 , đồng thời theo thứ tự , chúng số hạng thứ , thứ tư thứ tám cấp số cộng Hỏi q thuộc khoảng sau đây? A q   3;  B q   1;  C q   2;  D q   0;  Lời giải Gọi : u1 , u2 , u3 số hạng cấp số nhân , với công bội q Gọi   cấp số cộng tương ứng với công sai d Theo giả thiết ta có :   u1  u2  u3  16 u1  u1q  u1q  16    u1  v1  u1q  u1  3d u2  v4  v1  3d   u1q  u1  d u3  v8  v1  d  Khử d từ (2) (3) ta : u1  3q  q     1 2  3  4 q  Do (1) nên : u1       Theo định nghĩa q  , q  q  3   Câu 81 Cho I n   sin n xdx với n nguyên dương Tính lim A 1 B I n In D  C Lời giải   Xét I n   sin n xdx   sin n1 x.sin xdx 0 n  u  sin x du   n  1 sin x.cosxdx Đặt    v   cos x dv  sin xdx  n1  I n   cos x.sin n1   x   cos x  n  1 sin n x.cos xdx    I n     n  1 sin n x.cos xdx   n    sin n x   sin x  dx 0    I n   n  1  sin n xdx   n  1  sin n xdx   n   I n   n   I n Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 69 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ   n   I n   n   I n   lim I n n   In n2 I n n1  lim  In n2 Chọn ý B I n1 n  I n Câu 82 Với số nguyên dương n ta kí hiệu I n   x   x  dx Tính lim n A C B D Lời giải Cách Tự luận Xét I n   x   x  n  In  du  dx u  x  n1  dx Đặt   1  x2  n dv  x   x  dx v   n  1  x   x  n1 n1 1 n1 n1 1   x  dx   x  dx      n  1  n  1 1  1 2 n1 n1 2 n1   x   x  dx  I n1       x  dx   x   x  dx   n  2  n      I n1  I n1  I I 2n   lim n1    n  1 I n  I n1   n1  n  In 2n  In n  2 Cách Trắc nghiệm Ta thấy    x   với x   0;  , nên I n1   x   x  n1 Suy dx   x   x    x  dx   x   x  n 2 n dx  I n , I n1 I  , nên lim n  Dựa vào đáp án, ta chọn A In In Chọn ý A   x  12 n x     2x   dx Tính lim In Câu 83 Đặt I n    n n n1 n1  I n1  x  1 x        B D A C 1 2 Lời giải   2x   x  1 2x2  1   n n  dx Ta có bước biến đổi sau I n    x   x  2 x2  x2     70 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN  2x   x  1   x  1 x  xdx n dx   x2  x   x  2  x  1 n Đến lúc ta đổi biến Đặt u  n  In   2x2  xdx  du  2 x 1  x  1 udu   n1 n n u u du  n1 n n1  n  n   1  n1     n   1 n1      lim I n   n I n1  n   n  1 n2     n1 n  In I n1 Chọn ý A x  xn Câu 84 Ta đặt Fn  x    dx Biết Fn    n Tính lim Fn   n  x n1 A B  C 1 D  n Lời giải   n x n  n1   1 n1 x xx   x dx  dx  Ta có Fn  x      x n dx x n1 x n1 1n dx du Đặt u  n1   du  n dx  n  x x x 1n n n n  Fn  x   Gn  u    n    Fn  x    1  n1 1n  x  n1 n n n1 n u u du  C 1n 1n n1 n  C Mà Fn    n  C  n n     nlim   n n1  n   n    Fn      Có  lim  n 1    1  lim Fn      n1 n  n  1n       n1 1  nlim   n Chọn ý D Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 71 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ e  nx dx với n   e x Câu 85 Cho tích phân I n   Đặt un   I  I    I  I    I  I    n  I n  I n   n Biết lim un  L Mệnh đề sau đúng? A L   1;  B L   2; 1  C L   0;  D L   1;  Lời giải Với n  , biến đổi giả thiết ta có e  e  nx e  x e  nx  nx  dx   dx   e dx   dx   e  nx dx  I n x x x 1e 1e 1e 0 0 I n1  n1 x 1  I n   e  nx dx  I n  I n1  I n  1   en  n Do un    e 1     e 2     e 3      e  n   n  un  e 1  e 2  e 3   e  n Ta thấy un tổng n số hạng đầu cấp số nhân lùi vô hạn với u1  e 1 q  nên lim un  , e e 1 1  L   1;  L e  1 e Chọn ý A Câu 86 Có giá trị nguyên dương n thỏa mãn tích phân  1  n  x  3x  4x   nx n1  dx  2 A C B D Lời giải Biến đổi giả thiết ta có:  1  n  x  3x  4x   nx n1  dx  2   x  n2 x  x  x  x   x n   2 0   n2  2     n  2    2   n 1  n2   n   n2   n  n2   Thử với giá trị n  1; 2; 3; 4 không thỏa mãn Với n  , n  ta chứng minh n  n    Dễ thấy n    Giả sử   với n  k với k  , k  Khi k  k  Khi đó: k    k    k  k    k  k     k    Do   với n  k  Theo nguyên lý quy nạp   Vậy không tồn số nguyên n Chọn ý C 72 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 87 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0; 1 thỏa mãn điều kiện f  2018x  2017   2018 f  x  , x  A  f  1   B  f  1   C  f  x   dx ?   Tính tích phân 2  f  1   D  f  1   Lời giải Xét biểu thức f  2018x  2017   2018 f  x  Lấy đạo hàm vế ta 2018 f '  2018x  2017   2018 f '  x   x  2017   2018  2018    x  20182   Thay x 2018 x  2017 , ta f '  x   f '    f '  2018 20182       Thay đến n lần quy nạp ta chứng minh  x  2018n     x f ' x   f ' 1   f '  n n 2018 2018n   2018   Khi n    f '  x   f '  1   f  x   f '  1  x  C  *  Thay x  1  f  1   2018 f  1   f  1   Thay x  1   *  : f  1    f '  1   C   f '  1   C 2 Vậy f  x   f '  1  x      f  x   dx   f  1  Chọn ý C Câu 88 Cho I n   tan n xdx với n  A  tan x  r 1 r  r C B  r 1  tan x  r 1 Khi I  I   I  I   I   I  I 10 bằng? r 1 C C 10  tan x  r 1 r  r C 10 D  r 1  tan x  r 1 r 1 C Lời giải Biến đổi tích phân ban đầu ta có tan n1 x   I n   tan n x.tan xdx   tan n2 x    I n2  C  d x  n1  cos x  tan n1 x   tan n x  tan x  dx  I n  I n  I n  C n1 Khi I  I   I  I   I   I  I 10 =  I 10  I    I  I     I  I    I  I  tan x tan x tan x tan r x      tan x  C   C r r 1 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 73 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ  6 U U1  Câu 89 Cho dãy số xác định  , n  1, n  N * S= lim n có giá trị ? n U  2.U  n  n1 A B C D Lời giải Đây toán lượng giác hố quen thuộc, với ý tưởng gợi mở từ cơng thức biến đổi hạ bậc cos x  cos x   6   cos U  12       cos U  2.U 12   2.cos Nhận thấy  12 12    n1  U  U   cos n n   12 Lại có  Un  n  12  lim   lim U n  n n n n cos n1  U  ,n  Câu 90 Cho dãy số Un xác định  2 U  n U   n   n n U   n  n  1 1  Khi S  lim      thuộc khoảng sau đây? Un   U1 U U A  3; 1  B  1;  C  1; 2  D  1;  Lời giải Đây tốn khó Với dạng toán này, hướng biến đổi nằm câu hỏi, tức ta phải tìm cách đưa dãy dạng Uk Để có điều này, hướng giải ưu tiên thêm vào vế f  x  cho chia U k xuống mẫu, ta dãy có khả triệt tiêu U k2  k U k  1  k U k2  kU k  k  k U k2  kU k  k1 k k k Thêm vào vế   k   ( nói chuyển  k   sang trái , dùng từ theo Cụ thể, ta thấy U k 1   phương pháp phương pháp áp dụng vào nhiều dạng toán) , ta được: 74 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN U k2  kU k k 1 U k 1   k  1      k U k 1   k  1 U k  kU k U k  k U k  1   U k U k  k U k 1   k  1 1  U  U   U  2  1 1  U  U   U  Áp dụng vào dãy số  2      U  n Un  n Un1   n  1 Cộng vế với vế ta 1 1 1       2  U1 U2 U3 U n U  U n 1   n   U n 1   n   Lại có U k  k - Chứng minh qua quy nạp  Un1   n  1  Un   n  1  n    Mà lim 1  Un   n   2n  1  2  S  2   lim 0 2 Un1   n  1 2n  Un1   n   Câu 91 Trong dịp hội trại hè 2017, bạn Anh thả bóng cao su từ độ cao  m  so với mặt đất, lần chạm đất bóng lại nảy lên độ cao ba phần tư độ cao lần rơi trước Biết bóng ln chuyển động vng góc với mặt đất Tổng qng đường bóng bay (từ lúc thả bóng lúc bóng không nảy nữa) khoảng ? A 44  m  B 45  m  C 42  m  D 43  m  Lời giải Ta có quãng đường bóng bay tổng quảng đường bóng nảy lên qng đường bóng rơi xuống Vì lần bóng nảy lên 3 lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên n 3 3 3 S1             4 4 4 Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1   công bội q  4 Suy S1   18 1 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 75 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Tổng quãng đường bóng rơi xuống khoảng cách độ cao ban đầu tổng quãng n 3 3 3 đường bóng nảy lên nên S2             4 4 4 Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1  công bội q  Suy S2   24 1 Vậy tổng quãng đường bóng bay S  S1  S2  18  24  42 Câu 92 Có hai sở khoan giếng A B Cơ sở A giá mét khoan 8000 (đồng) kể từ mét khoan thứ hai, giá mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá mét khoan trước Cơ sở B: Giá mét khoan 6000 (đồng) kể từ mét khoan thứ hai, giá mét khoan sau tăng thêm 7% giá mét khoan trước Một cơng ty giống trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu 20  m  25  m  để phục vụ sản xuất Giả thiết chất lượng thời gian khoan giếng hai sở Công ty nên chọn sở để tiết kiệm chi phí nhất? A ln chọn A B chọn B C giếng 20  m  chọn A giếng 25  m  chọn B D giếng 20  m  chọn B giếng 25  m  chọn B Lời giải Cơ sở A giá mét khoan 8000 (đồng) kể từ mét khoan thứ hai, giá mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá mét khoan trước Do theo tổng cấp số cộng ta có: 20  2.8000   20   500   255000 (đồng)  25 + Nếu đào giếng 25  m  hết số tiền là: S25   2.8000   25   500   350000 (đồng)  Cơ sở B giá mét khoan 6000 (đồng) kể từ mét khoan thứ hai, giá + Nếu đào giếng 20  m  hết số tiền là: S20  mét khoan sau tăng thêm 7% giá mét khoan trước Do theo tổng cấp số nhân ta có:   1, 07   1, 07 20   1, 07    6000 + Nếu đào giếng 25  m  hết số tiền là: S25  1, 07 25   6000 + Nếu đào giếng 20  m  hết số tiền là: S20  245973 (đồng)  379494 (đồng)   S20 , S25   S25 nên giếng 20  m  chọn B giếng 25  m  chọn A Ta thấy S20 76 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 93 Cho cấp số cộng  un  có số hạng dương, số hạng đầu u1  tổng 100 số hạng 14950 Tính giá trị tổng sau? 1 S    u2 u1  u1 u2 u3 u2  u2 u3 u2018 u2017  u2017 u2018 A 1  1   3 6052  B  6052 C 2018 D Lời giải Gọi d công sai cấp số cộng Khi 100.99 S100  100u1  d  100  4950d  14950  d  Do u2018  u1  2017 d  6052 Ta có uk  1 1 u  uk  1   k 1     d d  uk uk  uk uk  uk uk  uk  uk uk  uk  uk     1   1   1  S                  d  u1 d  u2017 u2  d  u2 u3  u2018  1  1       1  d  u1 u2018   6052          Câu 94 Giá trị tổng  44  444   44 (tổng có 2018 số hạng) bằng? 40   10 2019  10 A 10 2018    2018  B   2018  9    10 2019  10 C   2018  9  D 10 2018    Lời giải Cách Đặt S   44  444   44 (tổng có 2018 số hạng) Ta có S   99  999   99   10     10     10     10 2018    S   10  10  10   10 2018   2018  A  2018 Với A  10  10  10   10 2018 tổng 2018 số hạng cấp số nhân có số hạng đầu u1  10 , cơng bội q  10 nên ta có A  u1 Do  q 2018  10 2018 10 2019  10  10  9 1q  10 2019  10  102019  10 S  2018  S    2018  9  u1  u1    Cách Xét dãy số có  4  u   10 u  n  n   un  10un   9   Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 77 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 40   v1  Đặt  un     v  n  cấp số nhân 9  vn  10 v 2018.4 Ta có Sn  u1  u2   u2018  v1   v2   v2018   v1  v2   v2018  9 9 Trong Sv 2018 Vậy tổng S  2018  qn  10 2018 40 40  10  1  v1   1q  10 81  40 4  102019  10 2018 10   2018   2018     81 9  Câu 95 Cho dãy số  un  thỏa mãn un  un 1  , n  log u5  log u9   11 Đặt Sn  u1  u2   un Tìm số tự nhiên n nhỏ thỏa mãn Sn  20172018 A 2587 B 2590 C 2593 D 2584 Lời giải Ta có dãy số  un  cấp số cộng có cơng sai d  log u5  log u9   11  log u5  u9    11  *  với u5  Mặt khác u5  u1  4d  u1  24 u9  u1  8d  u1  48 u   u5  32 Thay vào  *  ta  Suy u1  u1  88  u5  64 n Sn  20172018   2u1   n   d   20172018  3n2  5n  20172018  Vậy số tự nhiên n nhỏ thỏa mãn Sn  20172018 n  2593 Câu 96 Cho hai cấp số cộng  an  : a1  ; a2  ; ; a100  bn  : b1  ; b2  ; ; b100 Hỏi có số có mặt đồng thời hai dãy số trên? A 32 B 20 C 33 D 53 Lời giải Cấp số cộng  an  : a1  ; a2  ; ; a100 có số hạng tổng quát: an    n    3n  Cấp số cộng  bn  : b1  ; b2  ; ; b100 có số hạng tổng quát: bm    m    5m  Các số có mặt đồng thời hai dãy số thỏa mãn hệ  3n   m    3n   m     1  n  100 1  n  100 1  m  100 1  m  100   Vì 3n   m   nên n m  với m   Ta lại có n  100  3n  300   m    300  m  61 Có m   m  3t  , t  * Vì  m  61   3t   61   t  20 Vì t  *  t  1; 2; 3; ; 20 Vậy có 20 số hạng có mặt đồng thời hai dãy số 78 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 97 Cho tam giác ABC cân A Biết độ dài cạnh BC , trung tuyến AM độ dài cạnh AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội q Tìm cơng bội q cấp số nhân đó? A q  1 2 B q   AB  AC Ta có AM  22 2   BC  1 C q  1  2 D q  2  2 Lời giải Do ba cạnh BC , AM , AB lập thành cấp số nhân nên ta có: BC AB  AM   Thay   vào   ta  AB2  AC   BC  BC.AB  AB2  AB.BC  BC   AB    AB  AB  BC   4 1    4 BC  AB   BC     BC   loai  1 22 AB  q   2 BC Câu 98 Cho hàm số f  x    x  3x   cos 2017 x  dãy số  un  xác định công thức tổng quát un  log f    log f    log f  n  Tìm tổng tất giá trị n thỏa mãn điều kiện un2018  A 21 B 18 C D 2018 Lời giải n n k 1 k 1 Ta có un   log f  k    cos  2017 k  log  k    log  k      k chan    k le   Trường hợp 1: n  p ta có khai triển un   log  log  log  p    log  p      log  log  log  p   log  p    Như un  log  p  1  un2018   p   n  18  Trường hợp 2: n  p  ta có khai triển un   log  log  log  p    log  p      log  log  log  p    log  p    Như un   log  p    un2018   p   n  Tổng giá trị n thỏa mãn điều kiện un2018  21 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 79 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Câu 99 Biết L  lim un  u4 n  u42 n  u42018 n un  u2 n  u2 n  u22018 n a 2019  b  Trong  un  xác định c u1  0; un  un  4n  a b c , , số nguyên dương b  2019 Tính S  a  b  c A 1 B C 2017 D 2018 Lời giải Ta có un  un1  4n   un  2n  n  Ta xét S1  n , 4n , n , .4 2018 n , S2  n, 2n , 2 n , 2 2018 n Có k3 uk  k  k    k  2.k  Vậy L  lim  kS1  kS2 2k  k   2k  2k  2019    2n    2019 1 2k2  k    k  2 k3  n   2019   2k  k    k k3 Câu 100 Cho ba số dương a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị lớn biểu thức P  A a  8bc   2a  c  1 có dạng x y  x , y  B 11  Hỏi x  y bao nhiêu? D C 13 Lời giải Ta có a  c  2b  a  2b  c  a   2b  c   a  8bc  4b  4bc  c  a  8bc   2b  c  P 2b  c   2b  c  1  t3 t2   10  t  2b  c   x  y  11 Câu 101 Cho số hạng dương a, b, c số hạng thứ m, n, p cấp số cộng Dấu xảy 2b  c  cấp số nhân Tính giá trị biểu thức log ab c  bc  a  c a b A B C D Lời giải Ta có a, b, c số hạng thứu m, n, p cấp số cộng cấp số nhân nên  a  u1   m   d  a1q n1 a  b   m  n  d   n1  b  c   n  p  d b  u1   n   d  a1q c  u   p   d  a q p 1 c  a   p  m  d 1    P  log ab c  bc  a  c a b  log  a1q m1  80 | Chinh phục olympic toán  n p d a q  p 1  mnd  log a10 q  Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 102 Cho a  b  c   cot a , cot b , cot c Tạo thành cấp số cộng Giá trị cot a.cot c bằng? A B C D Lời giải Ta có  abc    cot a  cot b  1    a  b   cot  a  b   cot   c   tan c   2 cot a  cot b cot c 2   abc    cot a  cot b  1    a  b   cot  a  b   cot   c   tan c   2 cot a  cot b cot c 2   cot a  cot b  cot c  cot a  cot b  cot c Mặt khác cot a  cot c  cot b  cot a  cot b  cot c  cot b  cot a  cot c  Ta có a  c  2b  sin A  sin C  sin B AC A C B B A C A C  sin cos  sin  cos  sin  cos 2 2 2 A C AC A C A C A C A C  cos  cos  cos cos  sin sin  cos cos  sin sin 2 2 2 2 2 A C A C A C A C  sin sin  cos cos  tan tan   tan tan  2 2 2 2 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 81 LỜI KẾT Vậy ta đến trang cuối tuyển tập với 100 toán đa dạng hẳn mang tới cho bạn đọc nhìn khác lạ chủ đề dãy số Các bạn thấy với hình thức thi trắc nghiệm xuất nhiều dạng tốn lạ mà liên kết nhiều mảng kiến thức với yêu cầu cần phải tìm hiểu kỹ, sâu rộng giải chúng Hy vọng qua ebook bạn học thêm nhiều điều rút kinh nghiệm cho thân việc giải dạng tốn mà bọn đưa nhiều dạng tốn có liên quan khác Sau bọn giới thiệu cho bạn số tài liệu sách tham khảo, trang web giúp ích cho bạn trình học tập Chuyên khảo dãy số - Nguyễn Tài Chung Trắc nghiệm nâng cao chuyên đề dãy số - Đặng Việt Đơng Đi tìm cơng thức tổng quát dãy số – Trần Duy Sơn Các dạng toán phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng cấp số nhân – Trần Quốc Nghĩa Dãy số giới hạn dãy số – Nguyễn Tất Thu Bài tập trắc nghiệm xác định số hạng thứ n dãy số – Nguyễn Chiến Tài liệu dãy số – cấp số dành cho học sinh khối chuyên – Lê Quang Ánh Website toanmath.com Website lovetoan.wordpress.com Blog Chinh Phục Olympic Toán https://lovetoan.wordpress.com/ Email: tuangenk@gmail.com Blog chuyên chia sẻ tài liệu ôn học sinh giỏi môn toán với nhiều tài liệu chất thư viện tài liệu xây dựng đồ sộ Ngoài ấn phẩm bạn đọc bạn tìm hiểu thêm số ấn phẩm khác đăng miễn phí blog sau - Tham khảo thêm Bên cạnh blog chúng tơi bạn theo dõi trang fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học – Đây trang đăng free tài liệu liên quan tới tốn VDC, VD, Ơn Olympic, HSG… Cảm ơn người Tài liệu chia sẻ miễn phí ... Cantor D Chinh phục olympic toán | 13 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Câu 14 Cho dãy số (un ) xác định u1  un un1  , n   2n   un  *  Tính tổng 2019 số hạng dãy số ? 4036 4035 4038 4038... GIAN QUA, HY VỌNG CÁC BẠN SẼ TIẾP TỤC ỦNG HỘ BỌN MÌNH PHÁT TRIỂN HƠN NỮA THANK YOU! HAPPY NEW YEAR! TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Nguyễn Minh... Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor bao nhiêu? D Chinh phục olympic tốn | 25 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Câu 101 Cho số hạng dương a, b, c số hạng thứ m, n, p cấp số cộng cấp số nhân Tính