Bài toán vận dụng cao chủ đề 2 lũy THỪA – mũ – LOGARIT có lời giải

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Đạo hàm hàm số y = log x − là: 6 A y ′ = B y ′ = C y ′ = D y ′ = x − ln x − ln ( 3x − 1) ln ( 3x − 1) ln Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện: x − ≠ y = log x − ⇒ y′ = ( 3x − 1) ′ ( 3x − 1) ln = = ( 3x − 1) ln ( 3x − 1) ln Câu 2: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Bất phương trình 2.5 x + + 5.2 x + ≤ 133 10 x có tập nghiệm S = [ a; b ] b − 2a A B 10 C.12 D 16 Hướng dẫn giải Ta có: 2.5 x + + 5.2 x+ ≤ 133 10 x ⇔ 50.5 x + 20.2 x ≤ 133 10 x chia hai vế bất phương x x  2 20.2 x 133 10 x 2 ⇔ 50 + 20  ÷ ≤ 133  trình cho ta : 50 + x ≤ ÷ x ÷ (1) 5 5  5 x x  2 25 , (t ≥ 0) phương trình (1) trở thành: 20t − 133t + 50 ≤ ⇔ ≤ t ≤ Đặt t =  ÷ ÷  5 x x −4   25 2 2 2 ⇔  ÷ ≤  ÷ ≤  ÷ ⇔ −4 ≤ x ≤ nên a = −4, b = Khi ta có: ≤  ÷ ≤  5÷ 5 5 5  Vậy b − 2a = 10 BÌNH LUẬN 2α 2α Phương pháp giải bất phương trình dạng ma + n ( ab ) + pb > : chia vế α 2α 2α bất phương trình cho a b Câu 3: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho a số nguyên dương lớn thỏa mãn 3log + a + a > log a Tìm phần nguyên log ( 2017a ) ( A 14 ) B 22 C 16 D 19 Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 3 Đặt t = a , t > , từ giả thiết ta có 3log ( + t + t ) > log t ⇔ f ( t ) = log ( + t + t ) − log t > f ′( t ) = 3t + 2t ( 3ln − ln ) t + ( ln − ln 3) t − ln − = ln t + t + ln t ln 2.ln ( t + t + t ) Vì đề xét a nguyên dương nên ta xét t ≥ Xét g ( t ) = ( 3ln − ln ) t + ( ln − ln ) t − ln 8 4  Ta có g ′ ( t ) = 3ln t + ln t = t  3ln t + ln ÷ 9 9  g′ ( t ) = ⇔ t = ln 3ln < Lập bảng biến thiên suy hàm số g ( t ) giảm khoảng [ 1; +∞ ) Suy g ( t ) ≤ g ( 1) = 5ln − ln < ⇒ f ′ ( t ) < Suy hàm số f ( t ) giảm khoảng [ 1; +∞ ) Nên t = nghiệm phương trình f ( t ) = Suy f ( t ) > ⇔ f ( t ) > f ( ) ⇔ t < ⇔ a < ⇔ a < 4096 Nên số nguyên a lớn thỏa mãn giả thiết tốn a = 4095 Lúc log ( 2017 a ) ≈ 22,97764311 Nên phần nguyên log ( 2017a ) 22 Đáp án: B 15 nghiệm bất phương trình 2 log a ( 23 x − 23 ) > log a ( x + x + 15 ) (*) Tập nghiệm T bất phương trình (*) là: Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Biết x = 19   A T =  −∞; ÷ 2   17  B T = 1; ÷  2 C T = ( 2;8 ) D T = ( 2;19 ) Hướng dẫn giải log a ( 23 x − 23 ) > log Nếu a > ta có a (x + x + 15 ) ⇔ log a ( 23 x − 23 ) > log a ( x + x + 15 ) 23 x − 23 > x + x + 15  log a ( 23 x − 23 ) > log a ( x + x + 15 ) ⇔  ⇔ < x < 19   x + x + 15 > Nếu < a < ta có  23x − 23 < x + x + 15 1 < x < log a ( 23x − 23 ) > log a ( x + x + 15 ) ⇔  ⇔  x > 19  23x − 23 > Mà x = 15 nghiệm bất phương trình.Chọn D BÌNH LUẬN - - Sử dụng tính chất hàm số logarit biến < a <  a >   g ( x ) >   f ( x ) > g ( x ) log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔   0 < a <  f ( x ) >    f ( x ) < g ( x ) y = log a b đồng biến a > nghịch Câu 5: (T.T DIỆU HIỀN) Tìm m để phương trình : ( m − 1) log 21 ( x − ) + ( m − ) log A −3 ≤ m ≤ + 4m − = có nghiệm  ,  x−2 2  B m ∈ ¡ C m ∈∅ D −3 < m ≤ Hướng dẫn giải Chọn A 5  Đặt t = log ( x − ) Do x ∈  ; 4 ⇒ t ∈ [ −1;1] 2  ( m − 1) t + 4( m − 5)t + 4m − = ⇔ ( m − 1) t + ( m − ) t + m − = ⇔ m ( t + t + 1) = t + 5t + ⇔m= t + 5t + t2 + t +1 ⇔ g ( m) = f ( t ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Xét f ( t ) = f ′( t ) = (t t + 5t + với t ∈ [ −1;1] t2 + t +1 − 4t 2 + t + 1) ≥ ∀t ∈ [ −1;1] ⇒ Hàm số đồng biến đoạn [ −1;1] Để phương trình có nghiệm hai đồ thị g ( m ) ; f ( t ) cắt ∀t ∈ [ −1;1] ⇒ f (−1) ≤ g ( m ) ≤ f ( 1) ⇔ −3 ≤ m ≤ BÌNH LUẬN Đây dạng tốn ứng dụng hàm số để giải toán chứa tham số Đối với toán biện luận nghiệm mà chứa tham số phải tìm điều kiện cho ẩn phụ sau lập m tìm max, hàm số Câu 6: (LẠNG GIANG SỐ 1) Số giá trị nguyên dương để bất phương trình 2 3cos x + 2sin x ≥ m.3sin x có nghiệm A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Đặt sin x = t ( ≤ t ≤ 1) t cos x +2 sin x sin x ≥ m.3 ( 1−t ) ⇔3 3 2 t t + ≥ ⇔ 3t + ≥ m.3 ⇔ t +  ÷ ≥ m (3 )   t t t 2 Đặt: y = t +  ÷ ( ≤ t ≤ 1) 3 t t 2 1 y ′ =  ÷ ln +  ÷ ln < ⇒ Hàm số ln nghịch biến 3 9 t _ f'(t) f(t) Dựa vào bảng biến thiên suy m ≤ phương trình có nghiệm Suy giá trị nguyên dương cần tìm m = Câu 7: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Có giá trị thực tham số m để 2 phương trình m.3x −3 x + + 34 − x = 36−3 x + m có nghiệm thực phân biệt A B C D Hướng dẫn giải Chọn A 3x −3 x + = u ⇒ u.v = 36−3 x  4− x 3 = v Đặt Khi phương trình trở thành mu + v = uv + m ⇔ m ( u − 1) − v ( u − 1) = ⇔ ( u − 1) ( m − v ) = 3 =1 u = ⇔ ⇔ 32− x = m ( m > ) v = m x −3 x + 2 x =1  x − 3x + =  ⇔ ⇔ x = 2  − x = log m  x = − log m Để phương trình có ba nghiệm x = − log m có nghiệm khác 1;2 Tức − log m = ⇔ m = 81 Chọn A Câu 8: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho p, q, r A y = q − pr B y = log a log b log c b2 = = = log x ≠ 0; = x y Tính y theo p q r ac p+r 2q C y = 2q − p − r D y = 2q − pr Hướng dẫn giải Chọn C b2 b2 = x y ⇔ log = log x y ac ac ⇒ y log x = log b − log a − log c = 2q log x − p log x − r log x = log x ( 2q − p − r ) ⇒ y = 2q − p − r (do log x ≠ ) BÌNH LUẬN Sử dụng log a bc = log a b + log a c, log a b = log a b − log a c, log a b m = m log a b c 4x Câu 9: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hàm số f ( x ) = x Tính giá trị biểu thức +2      100  A= f  ÷+ f  ÷+ + f  ÷?  100   100   100  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A 50 B 49 149 Hướng dẫn giải C D 301 Chọn D X  100   ÷ = 301 Bấm máy tính Casio fx 570 theo cơng thức ∑  X ÷ X =1  100 ÷ 4 +2 4x f x + f − x = ( ) hàm số f ( x ) = x Ta có 2.Sử dụng tính chất ( ) +2   49     99       98    51    50   100   ÷+ f  ÷ +  f  ÷+ f  ÷ + +  f  ÷+ f  ÷ + f  ÷+ f  ÷  100   100     100   100    100    100   100    100  100 Cách Cách  A=f  = 49 + 42 + +2 301 = 4+2 4x 4x + 4x 41− x 4x 4x Ta có f ( x ) + f ( − x ) = x + 1− x = x + = x + = x + + + + 2.4 + 2 + 4x PS: Chứng minh tính chất hàm số f ( x ) = 2 Câu 10: (THTT – 477) Nếu log a + log b = log a + log8 b = giá trị ab A 29 B 218 C D Hướng dẫn giải Chọn A x y Đặt x = log a ⇒ a = ; y = log b ⇒ b = 1 x+ y =5 log8 a + log b =  x + y = 15 x =  ⇔ ⇔ ⇔ Ta có  Suy ab = x + y = 29    x + y = 21 y = log a + log b =   x + y =   BÌNH LUẬN Nguyên tắc đưa logarit số (THTT – 477) Cho n > số nguyên Giá trị biểu thức 1 + + + log n ! log n ! log n n ! A B n C n ! D Câu 11: Hướng dẫn giải Chọn D n > 1, n ∈ ¢ ⇒ 1 1 + + + + = log n! + log n! + log n! + + log n! n log n ! log n ! log n ! log n n ! = log n! ( 2.3.4 n ) = log n! n ! = BÌNH LUẬN Sử dụng cơng thức Câu 12: loga b = , loga bc = loga b + loga c , loga a = logb a (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2 x + y = Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức P = ( x + y ) ( y + x ) + xy A Pmax = 27 B Pmax = 18 C Pmax = 27 D Pmax = 12 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có = x + y ≥ 2 x + y ⇔ ≥ x + y ⇔ x + y ≤  x+ y Suy xy ≤  ÷ =   2 3 2 Khi P = ( x + y ) ( y + x ) + xy = ( x + y ) + x y + 10 xy 2 P = ( x + y ) ( x + y ) − 3xy  + ( xy ) + 10 xy   ≤ ( − xy ) + x y + 10 xy = 16 + x y + xy ( xy − 1) ≤ 18 Vậy Pmax = 18 x = y = Câu 13: ( (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Tìm tất giá trị m để phương trình −3 A m < ) x2 ( +m 7+3 16 ) x2 = 2x −1 B ≤ m < có hai nghiệm phân biệt 16 C − 1 4, ∀x > - Nếu x < ⇒ − x − x+ 1 1 ≥1⇒ x + ≤ −1 ⇒ x ≤ , dấu xẩy x = − 4x 4x x + x x 1 − − ≥ ⇒ + ≤ −1 ⇒ x ≤ , dấu xẩy x = x x x Suy x + x + + x < 1, ∀x < Vậy phương trình cho vơ nghiệm BÌNH LUẬN Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương a + b ≥ ab , dấu “=” xảy a = b Câu 15: (CHUYÊN ĐH VINH) 2 log x − x = log x − x + ( ) A B Số nghiệm C.1 phương trình D Đáp án: B ĐK: x ≠ 0; x ≠ Đặt t = x − x ⇒ x − x + = t + ⇒ log3 t = log ( t + ) Đặt log t = log ( t + ) = u log t = u ⇒  log ( t + ) = u  t = 3u  u t + = ⇒ 5u − = 3u 5u + 3u = (1) 5 − = 5 + =  u ⇒ u ⇒  u ⇒ u 1 u u +  ÷ = (2) 5 − = −3 3 + =  ÷ 5   u u u u u u • Xét ( 1) : + = Ta thấy u = nghiệm, dùng phương pháp hàm số dùng BĐT để chứng minh nghiệm u = Với u = ⇒ t = −1 ⇒ x − x + = , phương trình vơ nghiệm u u Xột ( ) : ữ +  ÷ = 5 5 Ta thấy u = nghiệm, dùng phương pháp hàm số dùng BĐT để chứng minh nghiệm u = Với u = ⇒ t = ⇒ x − x − = , phương trình có nghiệm phân biệt thỏa x ≠ 0; x ≠ BÌNH LUẬN Cho f ( x ) = g ( x ) ( 1) f ( x ) , g ( x ) đối nghịch nghiêm ngặt g ( x ) = const f ( x ) tăng, giảm nghiêm ngặt (1) có nghiệm Câu 16: (CHUN THÁI BÌNH) Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: log (1 − x ) + log ( x + m − 4) = A −1 < m < B ≤ m ≤ 21 C < m < 21 D −1 ≤m≤2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Chọn C  x ∈ ( −1;1)  1 − x > log (1 − x ) + log ( x + m − 4) = ⇔  ⇔  2   log (1 − x ) = log ( x + m − 4) 1 − x = x + m − Yêu cầu toán ⇔ f ( x ) = x + x + m − = có nghiệm phân biệt ∈ ( −1;1) Cách 1: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai Để thỏa u cầu tốn ta phải có phương trình f ( x ) = có hai nghiệm thỏa: −1 < x1 < x2 < a f ( −1) >  m − > a f ( 1) > 21  ⇔ ∆ > ⇔ m − > ⇔ < m <  21 − 4m >  S −1 < <  Cách 2: Với điều kiện có nghiệm, tìm nghiệm phương trình f ( x ) = so sánh trực tiếp nghiệm với −1 Cách 3: Dùng đồ thị Đường thẳng y = − m cắt đồ thị hàm số y = x + x − hai điểm phân biệt khoảng ( −1;1) đường thẳng y = − m cắt đồ thị hàm số y = x + x − hai điểm phân biệt có hồnh độ ∈ ( −1;1) Cách 4: Dùng đạo hàm Xét hàm số f ( x ) = x + x − ⇒ f ′ ( x ) = x + = ⇒ x = − 21  1 Có f  − ÷ = − ; f ( 1) = −3; f ( −1) = −5  2 Ta có bảng biến thiên – Dựa vào bảng biến thiên, để có hai nghiệm phân biệt khoảng ( −1;1) − 21 21 < − m < −5 ⇒ > m>5 4 Cách 5: Dùng MTCT Sau đưa phương trình x + x + m − = , ta nhập phương trình vào máy tính * Giải m = −0, : không thỏa ⇒ loại A, D * Giải m = : không thỏa ⇒ loại B Câu 17: Tập ( x −1) tất ( ) log x − x + = 3 1 A  ; −1;  2 2 x−m giá trị m để phương trình log ( x − m + ) có ba nghiệm phân biệt là:  3 B − ;1;   2 3 1 C  ;1; −  2 2 1 3 D  ;1;  2 2 Hướng dẫn giải Chọn D ( ) x −1 Ta có 2( ) log x − x + = x−m log ( x − m + ) ( 1) 2 x −m ⇔ 2( x −1) log ( x − 1) + 2 = log ( x − m + ) ( )   t Xét hàm số f ( t ) = log ( t + ) , t ≥ Vì f ′ ( t ) > 0, ∀t ≥ ⇒ hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) 2 Khi ( ) ⇔ f ( x − 1)  = f ( x − m ) ⇔ ( x − 1) = x − m  x − x + + 2m = ( ) ⇔  x = 2m − 1( ) Phương trình ( 1) có ba nghiệm phân biệt xảy trường hợp sau: +) PT ( 3) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt PT ( ) ⇒m= , thay vào PT ( ) thỏa mãn +) PT ( ) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt PT ( 3) ⇒m= , thay vào PT ( 3) thỏa mãn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word +) PT ( ) có hai nghiệm phân biệt PT ( 3) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm hai PT trùng ( 4) ⇔ x = ± 2m − ,với < m < Thay vào PT ( 3) tìm m = 2 1 3 KL: m ∈  ;1;  2 2 BÌNH LUẬN B1: Đưa phương trình dạng f ( u ) = f ( v ) với u , v hai hàm theo x B2: Xét hàm số f ( t ) , t ∈ D B3: Dùng đạo hàm chứng minh hàm số f ( t ) , t ∈ D tăng giảm nghiêm ngặt D B4: f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v (QUẢNG XƯƠNG I) Tất giá trị m để bất phương trình (3m + 1)12 x + (2 − m)6 x + 3x < có nghiệm ∀x > là: 1 1   A ( −2; +∞ ) B (−∞; −2] C  −∞; − ÷ D  −2; − ÷ 3 3   Câu 18: Đặt x = t Do x > ⇒ t > Chọn đáp án B Khi ta ⇔ (3 t − t) m < − t − 2t − ∀ t > ⇔ m < có : (3m + 1) t + (2 − m) t + < 0, ∀ t > −t − 2t − ∀t >1 3t − t 7t + 6t − −t − 2t − > ∀t ∈ (1; +∞ ) Xét hàm số f (t ) = ( 1; +∞ ) ⇒ f '(t) = (3 t − t) 3t − t BBT t +∞ f'(t) + − f(t) −2 f (t) = −2 thỏa mãn u cầu tốn Do m ≤ lim t →1+ BÌNH LUẬN + m ≥ f ( x ) ∀x ∈ D ⇔ m ≥ maxf ( x ) ∀x ∈ D Sử dụng + m ≤ f ( x ) ∀x ∈ D ⇔ m ≤ minf ( x ) ∀x ∈ D (QUẢNG XƯƠNG I) Trong nghiệm ( x; y ) thỏa mãn bất phương trình log x2 + y2 (2 x + y) ≥ Giá trị lớn biểu thức T = x + y bằng: 9 A B C D.9 Câu 19: Chọn đáp án B 2  x + y > ⇔ log (2 x + y ) ≥ ⇔ ( I ), Bất PT  x2 + y2 2 x + y ≥ x + y   2  0 < x + y < ( II )  2 < x + y ≤ x + y   Xét T= 2x + y TH1: (x; y) thỏa mãn (II) < T = x + y ≤ x + y < 2 TH2: (x; y) thỏa mãn (I) x + y ≤ x + y ⇔ ( x − 1) + ( y − x + y = 2( x − 1) + Suy : max T = 2 )2 ≤ Khi 1  2 9 9 ( 2y − ) + ≤ (2 + ) ( x − 1) + ( y − ) + ≤ + =  2 2 2  ⇔ ( x; y) = (2; ) 2 BÌNH LUẬN - Sử dụng tính chất hàm số logarit biến < a < y = log a b đồng biến a > nghịch  a >   g ( x ) >   f ( x ) > g ( x ) log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔   0 < a <  f ( x ) >    f ( x ) < g ( x ) - Sử dụng bất đẳng thức BCS cho hai số ( a; b ) , ( x; y ) ax + by ≤ Dấu “=” xảy (a + b2 ) ( x + y ) a b = >0 x y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 20: (MINH HỌA L2) Tìm tập hợp giá trị tham số thực m để phương x x trình + ( − m ) − m = có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) A [ 3; 4] B [ 2; 4] C ( 2; ) D ( 3; ) Chọn C x + 3.2 x x x Ta có: + ( − m ) − m = ( 1) ⇔ =m 2x + Xét hàm f ′( x) = x + 3.2 x f ( x) = 2x + số 12 x.ln + x.ln + 3.2 x.ln (2 x + 1) xác định ¡ , có > 0, ∀x ∈ ¡ nên hàm số f ( x ) đồng biến ¡ Suy < x < ⇔ f ( ) < f ( x ) < f ( 1) ⇔ < f ( x ) < f ( ) = 2, f ( 1) = Vậy phương trình ( 1) có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) m ∈ ( 2; ) Câu 21: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Tìm m để bất phương trình + log ( x + 1) ≥ log5 ( mx + x + m ) thoã mãn với x ∈ ¡ A −1 < m ≤ B −1 < m < C < m ≤ D < m < Hướng dẫn giải Chọn C BPT thoã mãn với mx + x + m > ( ∀x ∈ ¡ ) ⇔ x ∈ ¡ ⇔  2 ( ) 5 x + ≥ mx + x + m m >  m >   m < −2  2  m > mx + x + m > 16 − 4m < ( ) ∀x ∈ ¡ ⇔ ⇔ ⇔2 < m ≤  ( − m ) x − x + − m ≥ 5 − m > m < 16 − ( − m ) ≤   m ≤     m ≥ BÌNH LUẬN Sử dụng dấu tam thức a > + f ( x ) = ax + bx + c ≥ 0∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ a > + f ( x ) = ax + bx + c > 0∀x ∈ R ⇔  ∆ < bậc hai không đổi R: e 3x − ( m -1 ) e x +1  Câu 22: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho hàm số y =  ÷  2017  m để hàm số đồng biến khoảng ( 1; ) A 3e3 + ≤ m < 3e + B m ≥ 3e + C 3e + ≤ m ≤ 3e3 + Tìm D m < 3e + Hướng dẫn giải Chọn B e3 x −( m −1) e x +1 • y ′ =  ÷  2017    ( 3x ( ′ x ln  ÷ e − m − 1) e + 1) =  2017  e3 x −( m −1) e x +1   y′ =  ÷  2017    ( 3x ( x ln  ÷ 3e − m − 1) e )  2017  •Hàm số đồng biến khoảng ( 1; ) ⇔ e3 x −( m −1) e x +1   y′ =  ÷  2017   e −( m −1) e   2017 ÷      0, ∀x ∈ ¡ Nên (*) ⇔3e3 x − ( m − 1) e x ≤ 0, ∀x ∈ ( 1; ) ⇔ 3e x + ≤ m, ∀x ∈ ( 1; ) •Đặt g ( x ) = 3e x + 1, ∀x ∈ ( 1; ) , g ( x ) = 3e x > 0, ∀x ∈ ( 1; ) x g′ ( x ) g ( x) | + | Z | | Vậy (*) xảy m ≥ g ( ) ⇔ m ≥ 3e + BÌNH LUẬN u u Sử dụng ( a ) ' = u ' a ln a phương pháp hàm số Câu 23: (CHUYÊN BẮC GIANG) Trong hình vẽ có đồ thị hàm số y = a x , y = b x , y = log c x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word y y = ax y =b x y = log c x −1 O x Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau đây? B a < c < b A c < a < b C b < c < a D a < b = c Hướng dẫn giải Chọn B Từ đồ thị Ta thấy hàm số y = a x nghịch biến ⇒ < a < x Hàm số y = b , y = log c x đồng biến ⇒ b > 1, c > ⇒ a < b, a < c nên loại A, C Nếu b = c đồ thị hàm số y = b x y = log c x phải đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ y = x Nhưng ta thấy đồ thị hàm số y = log c x cắt đường y = x nên loại D Câu 24: (CHUYÊN BẮC GIANG) Biết phương trình hai nghiệm x1 , x2 ( x1 < x2 ) Tính 2x1 − x2 A B C −5 ( x − 2) log  4( x − )  = ( x − ) D −1 Hướng dẫn giải Chọn D • Điều kiện x > • Phương trình thành ( x − ) • ⇔ ( x − 2) ( x − 2) log ( x − ) log + log ( x − ) = ( x − ) = ( x − ) hay ( x − ) 3 log ( x − ) = ( x − ) • Lấy lơgarit số hai vế ta log ( x − ) log ( x − ) = log  ( x − )   log ( x − ) = −1  x = ⇔ log ( x − ) = + log ( x − ) ⇔  ⇔  log x − = ( )  x = 2 có 5 x2 = Vậy x1 − x2 = − = −1 2 (CHUYÊN KHTN L4) Cho x, y số • Suy x1 = Câu 25: thực ln x + ln y ≥ ln ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ P = x + y dương thỏa mãn A P = B P = 2 + C P = + D P = 17 + Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B 2 Từ ln x + ln y ≥ ln ( x + y ) ⇔ xy ≥ x + y Ta xét: Nếu < x ≤ y ≥ xy ≥ x + y ⇔ ≥ x mâu thuẫn Nếu x > xy ≥ x + y ⇔ y ( x − 1) ≥ x ⇔ y ≥ Ta có f ( x ) = x + x2 x2 Vậy P = x + y ≥ x + x −1 x −1 x2 xét ( 1; +∞ ) x −1  2− x= (loai )  2x − 4x +  =0⇔ Có f ' ( x ) = x − 2x +  2+ (nhan) x =  2 2+  f ( x ) = f  Vậy ÷ ÷= 2 + ( 1;+∞ )   Câu 26: (CHUYÊN KHTN L4) Tìm tập hợp tất tham số m cho phương 2 trình x −2 x +1 − m.2 x −2 x + + 3m − = có bốn nghiệm phân biệt B ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) C [ 2; +∞ ) A ( −∞;1) D ( 2; +∞ ) Hướng dẫn giải Đặt t = 2( x −1) ( t ≥ 1) Phương trình có dạng: t − 2mt + 3m − = ( *) Phương trình cho có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn m − 3m + > m − 3m + >  m2 − 3m + >  ⇔ ⇔ ⇔ m − ≥ ⇔ m>2 2 x = m ± m − m + > m − m + < m −  2   1,2 m − 3m + < m − 2m + Chọn đáp án: D BÌNH LUẬN http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trong đề u cầu phương trình có nghiệm phân biệt nên ta cần ý t ≥ ta nhận giá trị x Từ phương trình (*) lập m ứng dụng hàm số để biện luận số nghiệm phương trình thỏa đề Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5x − 1).log (2.5 x − 2) ≥ m có nghiệm với x ≥ ? A m ≥ B m > C m ≤ D m < Câu 27: Hướng dẫn giải x x x x BPT ⇔ log (5 − 1).log (2.5 − 2) ≤ m ⇔ log (5 − 1) 1 + log (5 − 1)  ≤ m ) ( Đặt t = log x + x − x ≥ ⇒ t ∈ [ 2; +∞ ) BPT ⇔ t (1 + t ) ≥ m ⇔ t + t ≥ m ⇔ f (t ) ≥ m Với f (t ) = t + t f , (t ) = 2t + > với t ∈ [ 2; +∞ ) nên hàm đồng biến t ∈ [ 2; +∞ ) Nên Minf (t ) = f (2) = x x Do để để bất phương trình log (5 − 1).log (2.5 − 2) ≥ m có nghiệm với x ≥ : m ≤ Minf (t ) ⇔ m ≤ Câu 28: Tìm tất giá trị thực tham số m log x + log x − = m ( log x − 3) có nghiệm thuộc [ 32; +∞ ) ? 2 ( A m ∈ 1;  để phương trình ) ) B m ∈ 1; C m ∈  −1; ( D m ∈ − 3;1 Hướng dẫn giải Điều kiện: x > Khi phương trình tương đương: log 22 x − log x − = m ( log x − ) Đặt t = log x với x ≥ 32 ⇒ log x ≥ log 32 = hay t ≥ Phương trình có dạng t − 2t − = m ( t − 3) ( *) Khi tốn phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm t ≥ 5” Với t ≥ (*) ⇔ ( t − 3) ( t + 1) ⇔ t +1 − m t − = ⇔ m = = m ( t − 3) ⇔ t − t +1 t −3 ( ) t +1 − m t − = Ta có t +1 = 1+ t −3 t −3 Với t ≥ ⇒ < 1+ 4 ≤1+ =3 t −3 5−3 hay t +1 t +1 ≤ 3⇒1< ≤ t −3 t −3 suy < m ≤ Vậy phương trình có nghiệm với < m ≤ 1< BÌNH LUẬN Chúng ta dùng hàm số để tìm max, hàm số y = Câu 29: t +1 ,t ≥ t −3 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log ( x + ) ≥ log ( mx + x + m ) , ∀x ∈ ¡ A m ∈ ( 2;5] B m ∈ ( −2;5] C m ∈ [ 2;5 ) D m ∈ [ −2;5 ) Hướng dẫn giải Bất phương trình tương đương x + ≥ mx + x + m > 0, ∀x ∈ ¡ ( − m ) x − x + − m ≥ (2) ⇔ , ∀x ∈ ¡ (3) mx + x + m >  m = : (2) không thỏa ∀x ∈ ¡  m = : (3) không thỏa ∀x ∈ ¡ 7 − m > m <   ∆′2 = − ( − m ) ≤ m ≤ ⇔  ⇔ < m ≤ (1) thỏa ∀x ∈ ¡ ⇔  m > m >  ∆′ = − m <  m >  Câu 30: Tìm tất giá trị thực tham số m cho khoảng ( 2;3 ) thuộc 2 tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) > log ( x + x + m ) − (1) A m ∈ [ −12;13] B m ∈ [ 12;13] C m ∈ [ −13;12] D m ∈ [ −13; −12 ] Hướng dẫn giải  x2 + 4x + m x + >  m > − x − x = f ( x ) (1) ⇔  ⇔  m < x − x + = g ( x )  x2 + x + m >  m ≥ Max f ( x ) = −12 x =   < x 2 27 ( N) ( '') y = 10 Đặt y = > Khi đó: ( '' ) ⇔ y + = ⇔ y − 10 y + = ⇔  y y=  x ( N) ( N) Với y = ⇒ 3x = ⇔ x = Với y = 1 ⇒ 3x = ⇔ x = −1 3 2x x x Câu 33: Phương trình + x ( + 1) − 4.3 − = có tất nghiệm không âm ? A B C D Hướng dẫn giải 32 x + x ( 3x + 1) − 4.3x − = ⇔ ( 32 x − 1) + x ( 3x + 1) − ( 4.3x + ) = ⇔ ( 3x − 1) ( 3x + 1) + ( x − ) ( 3x + 1) = ⇔ ( 3x + x − ) ( 3x + 1) = ⇔ 3x + x − = x Xét hàm số f ( x ) = + x − , ta có : f ( 1) = f ' ( x ) = 3x ln + > 0; ∀x ∈ ¡ Do hàm số f ( x ) đồng biến ¡ Vậy nghiệm phương trình x = BÌNH LUẬN x Có thể đặt t = > sau tính delta theo x 2 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2 + = 22( x +1) + 22( x + ) − x2 +3 + Khi đó, tổng hai nghiệm bằng? A B C −2 D Câu 34: Hướng dẫn giải 2x +4 =2 ( ) + 2( x + 2) − x x +1 Đặt t = x +1 ( t ≥ 2) +3 + ⇔ 8.2 x +1 =2 ( ) + 4.2 2( x +1) − 4.2 x x +1 2 +1 +1 , phương trình tương đương với 8t = t + 4t − 4t + ⇔ t − 6t − = ⇔ t = + 10 (vì t ≥ ) Từ suy  + 10  x1 = log 2 2 x +1 = + 10 ⇔    x = − log + 10  2 Vậy tổng hai nghiệm m Với giá trị tham số phương trình x x ( m + 1) 16 − ( 2m − 3) + 6m + = có hai nghiệm trái dấu? A −4 < m < −1 B Không tồn m C −1 < m < D −1 < m < − Câu 35: Hướng dẫn giải Đặt = t > Phương trình cho trở thành: x m + 1) t − ( 2m − 3) t + 6m + = (1444444444444 4244444444444443 ( *) f ( t) Yêu cầu toán ⇔ ( *) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn < t1 < < t2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word m + ≠ m + ≠   ⇔ ( m + 1) f ( 1) < ⇔ ( m + 1) ( 3m + 12 ) < ⇔ −4 < m < −1   ( m + 1) ( 6m + ) > ( m + 1) ( 6m + ) > BÌNH LUẬN t = x ⇔ x = log t Tìm mối quan hệ nghiệm biến cũ mới,  nên < t1 < < t2 0 < t < ⇒ log t < phương trình có hai nghiệm trái dấu Câu 36: Với giá trị tham số m phương trình x − m.2 x +1 + 2m = có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 = ? A m = B m = C m = D m = Hướng dẫn giải Ta có: x − m.2 x +1 + 2m = ⇔ ( x ) − 2m.2 x + 2m = ( *) Phương trình ( *) phương trình bậc hai ẩn x có: ∆ ' = ( −m ) − 2m = m − 2m m ≥ 2 Phương trình ( *) có nghiệm ⇔ m − 2m ≥ ⇔ m ( m − ) ≥ ⇔  m ≤ Áp dụng định lý Vi-ét ta có: x1.2 x2 = 2m ⇔ x1 + x2 = 2m Do x1 + x2 = ⇔ = 2m ⇔ m = Thử lại ta m = thỏa mãn.Chọn A BÌNH LUẬN Do phương trình ( *) phương trình bậc hai ẩn x > có nghiệm x < (vơ lí) nên giải tham số m = phải thử lại Câu 37: (CHUYÊN VINH – L2)Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y= xác định khoảng ( 0; +∞ ) m log3 x − log x + m + A m ∈ ( −∞ ; − ) ∪ ( 1; +∞ ) B m ∈ [ 1; +∞ ) C m ∈ ( −4;1) D m ∈ ( 1; +∞ ) Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t = log3 x , x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ t ∈ ¡ y= 1 trở thành y = m log x − log x + m + mt − 4t + m + 3 Hàm số y = xác định khoảng ( 0; +∞ ) m log x − log x + m + 3 xác định ¡ mt − 4t + m + ⇔ mt − 4t + m + = vô nghiệm hàm số y = ⇔ ∆′ = − m − 3m < ⇔ m < −4 ∨ m > (CHUYÊN VINH – L2)Tìm tất giá trị tham số m để phương = m có hai nghiệm phân biệt trình x − log ( x + 1) A −1 < m ≠ B m > −1 C Không tồn m D −1 < m < Hướng dẫn giải Chọn B x + >  x > −1 ⇔ Điều kiện:  x + ≠ x ≠ Xét hàm số Câu 38: f ( x) = x − 2 ; f ′( x) = 1+ > 0, ∀x ∈ ( −1;0 ) ∪ ( : +∞ ) log ( x + 1) ( x + 1) ln 3.log 32 ( x + 1) Bảng biến thiên 0++ Từ bảng biến thiên suy phương trình x − = m có hai nghiệm phân log ( x + 1) biệt m > −1 Câu 39: (TIÊN LÃNG – HP)Cho bốn hàm số y = ( ) x   x ( 1) , y =  ÷ ( ) , y = ( 3) ,  3 x x 1 y =  ÷ ( ) có đồ thị đường cong theo phía đồ thị, thứ tự từ trái 4 qua phải ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) , ( C4 ) hình vẽ bên y ( C3 ) Tương ứng hàm số - đồ thị ( C1 ) ( C4 ) A ( 1) − ( C2 ) , ( ) − ( C3 ) , ( 3) − ( C4 ) , ( ) − ( C1 ) B ( 1) − ( C1 ) , ( ) − ( C2 ) , ( 3) − ( C3 ) , ( ) − ( C4 ) C ( 1) − ( C4 ) , ( ) − ( C1 ) , ( 3) − ( C3 ) , ( ) − ( C2 ) D ( 1) − ( C1 ) , ( ) − ( C2 ) , ( 3) − ( C3 ) , ( ) − ( C4 ) Hướng dẫn giải Chọn C O http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x Ta có y = ( 3) x y = x có số lớn nên hàm đồng biến nên nhận đồ thị ( C3 ) ( C4 ) Lấy x = ta có thị y = ( 3) x ( 3) < 42 nên đồ thị y = x ( C3 ) đồ ( C4 ) x Ta có đồ thị hàm số 1 y = y =  ÷ đối xứng qua Oy nên đồ thị 4 x x x   1 y =  ÷ ( C2 ) Còn lại ( C1 ) đồ thị y =  ÷ 4  3 Vậy ( 1) − ( C4 ) , ( ) − ( C1 ) , ( 3) − ( C3 ) , ( ) − ( C2 ) 2 ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho phương trình log x + m log x + log x + m − = ( 3 m tham số ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 = Mệnh đề sau ? A < m < B < m < C < m < D < m < Câu 40: Hướng dẫn giải Chọn C 2 Ta có: log9 x + m log x + log x + m − = Đk: x > 2 ⇔ log 32 x + m log 3−1 x + log −1 x + m − = 32 ( ) 2 1  ⇔  log x ÷ − m log x − log x + m − = 2  1  ⇔ log32 x −  m + ÷log x + m − = 3  ( 1) 1  Đặt t = log x Khi phương trình ( 1) ⇔ t −  m + ÷t + m − = ( )  3 Phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 = ⇔ log x1.x2 = ⇔ log x1 + log x2 = ⇔ t1 + t2 = (Với t1 = log3 x1 t2 = log3 x2 ) Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình ( ) Ta có t1 + t2 = ⇔ −b 1  = ⇔  m + ÷= ⇔ m = a 3  Vậy < m < mệnh đề (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 3x = mx + có hai nghiệm phân biệt? Câu 41: A m > m > m ≠ ln B  C m ≥ D Không tồn m Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: Số nghiệm phương trình 3x = mx + phụ thuộc vào số giao điểm đồ thị hàm số y = 3x đường thẳng y = mx + y = x.ln + y = 3x Ta thấy y = mx + qua điểm cố định ( 0; 1) nên +Nếu m = : phương trình có nghiệm + Nếu m < : y = mx + hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số y = 3x điểm + Nếu m > :Để thỏa mãn ycbt đường thẳng y = mx + phải khác tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 3x điểm ( 0; 1) , tức m ≠ ln m > m ≠ ln Vậy  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... x2 + = 22 ( x +1) + 22 ( x + ) − x2 +3 + Khi đó, tổng hai nghiệm bằng? A B C 2 D Câu 34: Hướng dẫn giải 2x +4 =2 ( ) + 2( x + 2) − x x +1 Đặt t = x +1 ( t ≥ 2) +3 + ⇔ 8 .2 x +1 =2 ( ) + 4 .2 2(... hai ẩn x có: ∆ ' = ( −m ) − 2m = m − 2m m ≥ 2 Phương trình ( *) có nghiệm ⇔ m − 2m ≥ ⇔ m ( m − ) ≥ ⇔  m ≤ Áp dụng định lý Vi-ét ta có: x1 .2 x2 = 2m ⇔ x1 + x2 = 2m Do x1 + x2 = ⇔ = 2m ⇔ m =... số m phương trình x − m .2 x +1 + 2m = có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 = ? A m = B m = C m = D m = Hướng dẫn giải Ta có: x − m .2 x +1 + 2m = ⇔ ( x ) − 2m .2 x + 2m = ( *) Phương trình