BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ CHƯƠNG 05 (tiếp theo) BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN ĐỀ ÔN TẬP CHƯƠNG ĐỀ SỐ Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC a3 A 12 a Khi thể tích khối lăng trụ là: a3 a3 B C D a3 24 Lời giải C' Gọi M trung điểm BC, dựng MH vng góc với AA ' Suy MH = d ( BC, A ' A) = a2 Đặt AH = x, ta có: A ' A = x2 + a Từ A ' A.MH = A ' G AM  x = 3 a a a Vậy V = = 12 a B' A' H C M B A Chọn A Bài 2: Cho tứ diện ABCD với BC = a, cạnh lại a  góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( BCD ) Gọi I , J trung điểm cạnh BC, AD Giả sử hình cầu đường kính IJ tiếp xúc với CD Giá trị cos  là: A 3− B − C 3 D 2− 3 Lời giải Gọi O trung điểm IJ F điểm tiếp xúc hình cầu đường kính IJ đường thẳng CD Hình cầu đường kính IJ tiếp xúc với CD khoảng cách từ O đến CD nửa độ dài IJ Ta có AI = DI = a a Vì FC CI hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm nên FC=CI= Tương tự, ta có DJ = DF = a a − 2 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Tam giác ADI cân có IJ đường trung tuyến nên tam giác IDJ vuông J ( ) a −1 JD 6− = = Suy ra: sin = sin JID = DI a 2 Do vậy, cos =2 −  Chọn B Bài 3: Cho hình chóp SABC với SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) BC = a 3, BAC = 600 Gọi H , K hình chiếu A lên SB SC Mặt cầu qua điểm A, B, C , H , K có bán kính bằng: A a B 2a C 3a D.Khơng đủ kiện để tính Lời giải Gọi AD đường kính đường trịn ( ABC ) Suy ra, AC ⊥ DC  CD ⊥ ( SAC ) hay AK ⊥ DK S S K K H A H C A 600 600 C D B B Tương tự, AH ⊥ HD Suy mặt cầu qua điểm A, B, C , H , K có đường kính AD = BC = 2a sin 600 Chọn A Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, góc SC mặt phẳng ( ABC ) 450 Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) điểm H thuộc AB cho HA = 2HB Biết a Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC: a 210 a 210 a 210 A B C 30 20 45 CH = D Lời giải + D đỉnh hình bình hành ABCD thì: d ( SA, BC ) = d ( B, ( SAD ) ) = 1,5d ( H , ( SAD ) ) a 210 15 + Kẻ HE vuông góc AD, E thuộc AD Kẻ HI vng SE, I thuộc AE d ( H , ( SAD ) ) = HI Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ + Tính HI = a 210 30 Chọn A Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , tam giác ABC tam giác cạnh a, SB = 2a Tính theo a khoảng cách từ trọng tâm G tam giác ABC đến mặt phẳng ( SBC ) A a 15 15 B a 17 15 C a 19 15 D a 23 15 Lời giải Gọi M trung điểm BC, ta có Kẻ đường cao AN tam giác SAM, AN ⊥ BC , AN ⊥ SM nên AN ⊥ ( SBC ) S Khoảng cách từ A đến ( SBC ) d ( A; ( SBC ) ) = AN 1 1 = + = 2+ = Ta có: 2 AN AS AM 3a 3a 3a a 15  AN = Kẻ GH / / AN ; H  SM ; AN ⊥ ( SBC ) nên GH ⊥ ( SBC ) N A Khoảng cách từ G đến ( SBC ) d ( G; ( SBC ) ) = GH Ta có: G GH MG 1 a 15 = =  GH = AN = AN AM 3 15 C H M B a 15 Vậy khoảng cách từ G đến ( SBC ) d ( G; ( SBC ) ) = 15 Chọn A Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = AC = 5a, AB = a, BAC = 1200 Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) A 381 a 127 B 382 a 127 C 385 a 127 Lời giải Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ D 387 a 127 HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ S H A C M B Kẻ AM ⊥ BC , AH ⊥ SN , ( M  BC , H  SM ) Ta có AM ⊥ BC , BC ⊥ SA nên BC ⊥ ( SAM ) , suy AH ⊥ BC Vậy ta có AH ⊥ ( SBC ) , khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) d ( A, ( SBC ) ) = AH Áp dụng định lý cô sin tam giác ABC ta có: BC = AB + AC − AB AC.cos1200 = 31a  BC = a 31 Diện tích tam giác ABC S ABC = AB AC.sin1200 = 3a 2S ABC 93 = a BC 62 1 127 381 Ta có = + =  AH = a 2 2 AH AM AS 75a 127 Mặt khác S ABC = AM BC  AM = Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) d ( A, ( SBC ) ) = 381 a 127 Chọn A Bài 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường thẳng SA vng góc mặt phẳng ( ABC ) , AB = 2a, AC = 3a, BC = 4a Góc mặt phẳng ( SBC ) mặt phẳng ( ABC ) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC 45 5a3 A 32 45 3a3 B 32 45 7a3 C 32 Lời giải Xét tam giác ABC, áp dụng định lý cô sin: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ D 45 11a3 32 HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ BC + AB − AC 16a + 4a − 9a 11 cos B = = = 2.BC AB 2.4a.2a 16 S Với 00  B  1800 , suy ra: 15  11  sin B = − cos B = −   = 16  16  Ta kẻ đường cao AH tam giác ABC, AH  AH = AB.sin B AB 15 15a = 2a = 16 3a ta có: sin B = C A 2a H Do diện tích tam giác ABC là: 4a B 1 15a 15a S ABC = AH BC = 4a = 2 Vì BC ⊥ AH , BC ⊥ SA  BC ⊥ ( SAH ) , BC ⊥ SH nên góc SHA góc mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) 600 SA 15a 5a  SA = AH tan 600 = 3= AH 8 1 15a 5a 45 3a3 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: V = S ABC SA = = 3 32 Xét tam giác SAH ta có: tan 600 = Chọn B Bài 8: Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC tam giác cạnh a Các mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) , ( SBC ) tạo với đáy góc 300 , 450 , 600 Tính thể tích V khối chóp SABC Biết hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) nằm bên tam giác ABC A.V = a3 (4 + 3) B V = a3 ( 4+ ) C V = a3 ( 4+ ) Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) Kẻ HD ⊥ AB, ( D  AB ) , HE ⊥ AC ( E  AC ) , HF ⊥ BC ( E  BC ) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ D V = ( a3 4+ ) HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ S B C F H D E A Khi ta có: HD = Ta có SABC = SH SH SH SH = SH ; HE = = SH ; HF = = 0 tan 30 tan 45 tan 60 1  a2 3a a2  a =  SH = suy ra: SH 1 + +  4 3 4+  ( ) 3a a2 a3 = 4+ 4+ Vậy V = ( ) ( ) Chọn D Bài 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, góc mặt bên phẳng đáy  thỏa mãn cos = Mặt phẳng ( P ) qua AC vng góc với mặt phẳng ( SAD ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện gần với giá trị giá trị sau: A 0,11 B 0,13 C 0, D 0, Lời giải Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ S.ABCD hình chóp tứ giác SO ⊥ ( ABCD ) Gọi N trung điểm CD S CD ⊥ SN , CD ⊥ ON   ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SNO ( SCD )  ( ABCD ) = CD  AC ⊥ BD Kẻ CM ⊥ SD Ta có:   AC ⊥ ( SBD ) AC ⊥ SO  M  AC ⊥ SD  SD ⊥ ( ACM )  ( ACM ) ⊥ ( SAD ) nên mặt phẳng ( P ) ( ACM ) + Xét tam giác SON vng N có: ON SN = = cos SNO A D 3a 2 B  3a   a  SO = SN − ON =   −   = a   2 + Xét tam giác SOD vng O có: 2 SD = SO + OD = 2 N O ( C a 2 a 10 a `+   = 2   ) 2 Ta có: SSCD = CM SD = SN CD  CM = SN CD 3a 10 = SD 10  3a 10  a 10 Xét tam giác MCD vng M có: DM = CD − CM = a −   = 10  10  2 a 10 V V DM DA DC 10 1 = =  VMACD = VSABCD Ta có: M ACD = MACD = VSABCD 2VSACD DS DA DC a 10 10 10 Mặt phẳng ( P ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối M ACD S ABCM  VSABCD = VMACD + VSABCM  VSABCM = VSABCD 10 VMACD Do đó: =  0,11 VSABCM Chọn A Bài 10: Thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD , có cạnh AB = a cạnh lại a A 13 13 a 162 B 13 13 a 216 C 13 13 a 648 Lời giải Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ D 13  a3 162 HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Gọi I trung điểm cạnh CD A  AI ⊥ CD a Theo đề ta có  , AI = BI = = AB (1)  BI ⊥ CD  ( ABI ) mặt phẳng trung trực cạnh CD Gọi M giao điểm BI với mặt cầu ( S ) ngoại tiếp tứ diện ABCD Suy đường tròn lớn ( S ) đường tròn ( ABM ) D Mặt phẳng ( BCD ) cắt ( S ) theo đường tròn ( BCD ) qua M , BM đường kính  BM = B I a 2a = sin 60 M C Từ (1)  ABI Suy ABM = 600 AM = AB + BM − AB.BM cos600 = a 13 AM a 13 R= = 12 2sin 60 13 13  V =  R3 = a 162 Chọn A Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên ( SAB ) tam giác vng góc với đáy Gọi M điểm thuộc cạnh SC cho SM = 2MC Tính thể tích hình chóp M ABC A a3 B a3 36 C a3 18 D a3 24 Lời giải Ta có: ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ; ( SAB )  ( ABCD ) = AB ; SH  ( SAB ) S SH ⊥ AB (là đường cao SAB ) Suy ra: SH ⊥ ( ABCD ) Tính : SH = a ( ABC cạnh a ) M B  S ABCD = a2 H 1 a3 Tính: VS ABCD = Bh = S ABCD SH = 3 1 a VMABC = VSABC = VSABCD = 36 N A C D Chọn B Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ( ABCD ) điểm H thuộc đoạn AC , SA = AH = AC Gọi CM đường cao tam giác SAC Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a A a 14 48 B a 14 24 C a 14 16 D a 14 Lời giải Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có: S a a AM AH AH AC a =  AM = = = AC SA SA a  MC = AC − AM = (a ) M a a −  = 2 A 1 a a a2 SM MC = = 2 1 a a a3 14 = BO.SSMC = = 3 48  SSMC = VSMBC D O C B Chọn A Bài 13: (Hình học khơng gian) Cho tứ diện ABCD M , N , P thuộc BC , BD, AC cho BC = BM , BD = BN , AC = AP Mặt phẳng ( MNP ) cắt AD Q Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia mặt phẳng ( MNP ) A B 13 C 13 D Lời giải A Gọi I = MN  CD, Q = PI  AD, kẻ DH / / BC ( H  IM ) , DK / / AC ( K  IP ) ID DH BM = = = IC CM CM IK DK ID DK = = =  =  DK = IP CP IC AP 3 APQ DKQ AQ AP AQ = =  = Suy  DQ DK AD V AP AQ Đặt V = VABCD Ta có: ANPQ = = ; VANCD AC AD VANCD VDACN DN 1 = = =  VANPQ = V VABCD VDABC DB 10 NMB = NDH  P Q K I H B N M C Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ D HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ VCDMP CM CP 1 1 = =  VCDMP = V  VV ABMP = VDABMP = V − VCDMP = V VCDBA CB CA 2 2 V 7  VABMNQP = VANPQ + VN ABMP = V  ABMNQP = 20 VCDMNQP 13 Vậy mặt phẳng ( MNP ) chia khối chóp thành hai phần với tỉ lệ thể tích 13 Chọn B Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy, SA = a Đáy ABCD hình thang vng A B, AB = BC = AD = a Gọi E trung điểm AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD A R= a 2 B R = a C R = 114 a D R = a 26 Lời giải S x R K I R E A D a H a B C Gọi H trung điểm CD d đường thẳng qua H vng góc với đáy Gọi I R tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.CDE Suy I thuộc D Đặt IH = x Trong mp ( ASIH ) kẻ đường thẳng qua I song song với AH cắt AS K Ta có: ID = IH + HD = x + a2 IS = IK + KS = AH + KS = AC + CH + KS = 2a + ( ( a2 + a 6−x ) ) a2 a2 6a = 2a + + a − x  x = 2 114a Vậy bán kính mặt cầu R = Suy ra: x + Chọn C Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ IM IN = = IB IC ' V IM IN IC Gọi V1 , V2 thể tích khối chóp IMNC ; IBCC ' Ta có: = = V2 IB IC ' IC Mà V1 + V = V2  V = V2 Hạ AH vng góc với BC H thuộc BC Ta AH vng góc với mặt phẳng ( BB ' C ' C ) AA ' Từ M trọng tâm tam giác ABA ' N trọng tâm tam giác AA' C ' Suy ra: song song với mặt phẳng ( BB ' C ' C ) nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( BB ' C ' C ) khoảng cách từ A đến ( BB ' C ' C ) AH a 1 a a 2 a3 ; V2 = d  I , ( BB ' C ' C ) SBCC ' = = 3 2 12 2a Suy : V = V2 = 27 Ta có: AH = Chọn B Bài 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABC ) 600 Gọi G trọng tâm tam giác SAC Bán kính mặt cầu tâm G tiếp xúc với mặt phẳng ( SAB ) là: A 13a 13 B 13a 39 C 13a 26 D Lời giải + Gọi H trung điểm BC S + ( SA, ( ABC ) ) = SAH = 600 ; AH = 13a 26 a 3a ; SH = AH tan 600 = 2 + Bán kính mặt cầu là: R = d ( G; ( SAB ) ) = d ( C ; ( SAB ) ) = d ( H ; ( SAB ) ) 3 + Gọi E hình chiếu H AB K hình chiếu H SE Chứng minh: HK ⊥ ( SAB ) + Tính : HE = + R = HK = a 13 13 M G C K B H E a 3a ; HK = 13 A Chọn A Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC ; mặt phẳng ( SAB ) ; ( SAC ) ; ( SBC ) tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc Biết Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ AB = 25, BC = 17, AC = 26, đường thẳng SB tạo với đáy góc 450 Tính thể tích V khối chóp SABC A V = 680 Lời giải B V = 408 C V = 578 D V = 600 Gọi J chân đường cao hình chóp S ABC ; H , K L hình chiếu J cạnh AB, BC CA Suy SHJ , SLJ SKJ góc tạo mặt phẳng ( ABC ) với mặt S phẳng ( SAB ) , ( SAC ) , ( SBC ) Theo giả thiết ta có: SHJ = SLJ = SKJ , suy tam giác vuông SJH , SJL, SJK Từ đó, JH = JL = JK Mà J nằm tam giác ABC nên J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Áp dụng công thức Hê- rơng, ta tính diện tích tam giác ABC S = 204 Kí hiệu P nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đường trịn S 204 = = P 34 Đặt x = BH = BL, y = CL = CK , z = AH = AK nội tiếp ABC Ta có r = y=9 C z=17 A y=9 K z=17 J L H x=8 x=8 B x + y =  Ta có hệ phương trình:  x + z = 25  y + z = 26  K z A y z y J Giải hệ phương trình ta ( x; y; z ) = (8;9;17 ) H JB = JH + BH = 62 + 82 = 10 Ta có SBJ = ( SB, ( ABC ) ) = 450 , suy SJB tam giác vuông cân J SJ = JB = 10 Thể tích V khối chóp S.ABC V = SJ S ABC = 680 Chọn A Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ L x x B C HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ ĐỀ SỐ Bài 1: Một hình hộp có mặt hình thoi có góc 60 cạnh a Tính thể tích hình hộp a3 A a3 B a3 C D a3 2 Lời giải Ta có: AB = AD = BD = a; AA'=A'B=A'D=a  A ' ABCD tứ diện  Chân đường cao A ' H trùng với tâm tam giác ABD 2 a a AO = = 3 3a 2 a  A ' H = A ' A2 − AH = a − = a  A' H = 3 2a Từ tìm V =  HA = HB = HD = Chọn B Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC, mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích khối chóp SABCD Tìm giá trị nhỏ V1 ? V S M P A N D C B A B C Lời giải Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ D HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Đặt x = SM SN ;y= , (  x, y  1) SD SB V V + SANP 2VSABC Khi ta có: VSABC = VSADC = VSABD = VSBCD = V1 VSAMPN VSAMP + VSANP VSAMP = = = V V V 2VSADC  SM SP SN SP  =  +  = ( x + y ) (1)  SD SC SB SC  V V V V 1  Lại có: = SAMPN = SAMN + SMNP =  xy + xy  ( ) V V 2VSABD 2VSBCD   x x ,  y   1 x  Từ (1) , ( )  ( x + y ) = xy  y = 4 3x − 3x − 2 V 3 x 3x 1  Từ ( ) suy ra: = xy = x = = f ( x ) ,   x  1 V 4 3x − ( 3x − 1) 2  1  2 V f ( x) = f   =  = Khảo sát hàm số: y = f ( x ) ,   x  1  V 2   x 1 3 Ta có: Chọn B Bài 3: Nếu tứ diện có cạnh có độ dài lớn thể tích tứ diện lớn bao nhiêu? A B C D Lời giải Giả sử tứ diện ABCD có cạnh lớn AB , suy tam giác ACD BCD có tất cạnh không lớn Các chiều cao AF BE chúng không lớn − a2 , CD = a  a2 Chiều cao hình tứ diện AH  AF  − A (do tam giác AHF vuông H có AF cạnh huyền) Thể tích khối tứ diện là: 1 1  a2  V = S BCD AH = BE.CD AH  a 1 −  = a (4 − a2 ) 3   24 Để tìm giá trị lớn V ta xét biểu thức a ( − a ) Vì  a  nên a ( − a )  V  1 a ( − a2 )  24 B D H F C Chọn C Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với ( ABCD ) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ A a B a 21 C a D a 21 Lời giải R( S ) = ( RntSAB ) + ( RntABCD ) 2 a 21  AB  −  =   Trong đó: + RntSAB bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB + RntABCD bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vuông ABCD + ( SAB )  ( ABCD ) = AB Chọn D Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm G tam giác ABC Biết khoảng cách AA ' a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' a3 a3 a3 A.V= B V = C V = 12 BC a3 D V = 36 Lời giải Gọi M trung điểm B  BC ⊥ ( A ' AM ) Gọi H , K hình chiếu vng góc G , M AA ' Vậy KM đoạn vng góc chung AA’ A' C' B' K a KM a AGH AMK  =  GH = KM = GH a AA'G vuông G, HG đường cao, A ' G = 3 a VABC A' B 'C ' = S ABC A ' G = 12 BC, đó: d ( AA ', BC ) = KM = H A C G M B Chọn C Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, đường thẳng SA vng góc với mặt đáy SA = 2a Gọi ( P ) mặt phẳng qua B vng góc với SC Khi diện tích thiết diện hình chóp S.ABC cắt mặt phẳng ( P ) là: A a2 10 B a 15 C a 15 15 D a 15 20 Lời giải Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Gọi M trung điểm AG S Kẻ BN vng góc SC N Khi đó: Thiết diện cần tìm tam giác BMN vng M N M C A MN CM a Ta có: CMN CSA  =  MN = SA CS a 15 Vậy: Diện tích tam giác BMN 20 B Chọn D Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BC = 2a Tam giác SAB có góc ASB = 600 , SB = a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SAC ) A a B 2a 19 C a 19 D 2a 16 Lời giải ( SAB ) ⊥ ( ABC ) , ( SAB )  ( ABC ) = AB; BC ⊥ AB  BC ⊥ ( SAB ) Trong mp ( SAB ) kẻ BH ⊥ SA Trong tam giác BCH kẻ BK ⊥ CH Ta có: BK ⊥ ( SAC ) C Vậy khoảng cách từ B đến ( SAC ) BK K a BH = SB.sin 60 = ; Xét tam giác vuông CBH, ta có: A B 1 = +  BK = 2a 2 BK BH BC 19 Vậy d ( B, ( SAC ) ) = 2a 19 H S Chọn B Bài 8: Cho khối trụ tam giác ABCA1 B1C1 có đáy tam giác cạnh a, A1 A = 2a A1 A tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 600 Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ a3 A a3 B a3 C a3 D Lời giải A1 C1 B1 A C H K B Gọi H hình chiếu A1 mặt phẳng ( ABC ) Khi A1 H = A1 A.sin A1 AH = 2a.sin 600 = a a 3a3 nhận thấy khối lăng trụ chia làm ba khối chóp = 4 1 Khối chóp CA1B1C1 có VB1 ABC = VLT ' ; khối chóp B1 ABC có VB1 ABC = VLT 3 a Khối chóp A1 B1CA VA1B1 AC = VLT = Mà VLT = A1H S ABC = a Chọn A Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy góc SC với mặt phẳng ( SAB ) 300 Gọi M điểm di động cạnh CD H hình chiếu vng góc S đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD thể tích khối chóp SABH đạt giá trị lớn bằng: A a3 B a3 2 C a3 Lời giải Ta có góc SC mặt phẳng ( SAB ) CSB = 300 Trong tam giác SBC có SB = BC.cot 300 = a Trong tam giác SAB có SA = SB − AB = a 1 a HA.HB Ta có HA2 + HB = AB = a theo bất đẳng thức AM − GM ta có: Thể tích khối chóp S ABH là: VS ABH = S ABH SA = HA.HB.a = Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ D a3 12 HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ a2 a = HA + HB  HA.HB  HA.HB  2 2 Đẳng thức xảy HA = HB  ABM = 450  M  D Khi VS ABH a a a a3 = HA.HB  = 6 12 Chọn D Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho 15 15 3 5 A.V= B V = C V = D V = 18 54 27 Lời giải Đặt R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Dựng hình bên với IG trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IG’ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB S K I G' C A G H B 3 ; GH =  IH = 6 15 15 Do vậy, R = IH + HA2 =  V =  R3 = 54 Ta có: G ' H = Chọn B Bài 11: Bài thể tích liên quan đến cực trị: Cho hình chóp S ABCD, SA đường cao, đáy hình chữ nhật với SA = a, AB = b, AD = c Trong mặt phẳng ( SDB ) lấy G trọng tâm tam giác SDB , qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS M, cắt Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ cạnh SD N, mp ( AMN ) cắt SC K Xác định M thuộc SB cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhỏ Hãy tìm giá trị lớn nhỏ abc abc , VSAMKN → = abc abc = , VSAMKN → = 10 abc abc , VSAMKN → = 10 abc abc = , VSAMKN → = 10 11 A VSAMKN →max = B VSAMKN →max = C VSAMKN →max D VSAMKN →max Lời giải S K N M G A D O B C Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD VSMAK SM SA SK SM SM SM =  VSMAK = VSBAC = VSBAC = a.b.c VSBAC SB SA SC SB SB 12 SB SN a.b.c Tương tự VSNAK = 12 SC Ta có: SG = SO K = AG  SC K trung điểm SC Do đó: VSAMKN =  SM SN  +   a.b.c 12  SB SC  Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ S H N G M D O B Trong mp ( SBD ) : S SMN SM SN S SMG + S SGN S S SG.SM SG.SN SM SN  SM SN  = = = SMG + SGN = +  =  +  S SBD SB SC 2S SBO 2S SBO 2S SBO 2.SO.SB 2.SO.SB SB.SC  SB SC  SB SM  SM  SB   1 Do M, N nằm cạnh SB, SD nên: 2 SB SM  SN  SN  SN t  Đặt t = = t + = ,   t  1 t  SC  SC  SC 3t − SN   SM SN t + =t+ Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN, GTNN nếu: f ( t ) = với  t  SB SC 3t − 2 9t − 6t Ta có f ' ( t ) = − = 2 ( 3t − 1) ( 3t − 1)     Nên f ' ( t ) =  t = , t = (loại) f   = , f (1) = , f   = 3 2 2 Do VSAMKN = VSAMKN = 3 abc GTLN M trung điểm SB M trùng với B abc GTNN MB chiếm phần SB Chọn A Bài 12: Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a, thể tích khối lăng trụ a3 Tính khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC ' a 21 a 22 a 23 A B C 7 Lời giải Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ D a 24 HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ 3 VABC A ' B 'C ' a VABC A ' B 'C ' =AA'.SABC  AA ' = = =a S ABC a Do AA'/ / BB ' nên AA '/ / ( BB ' C ' C ) Suy ra: d ( AA ', BC ') = d ( AA ', ( BB ' C ' C ) ) = d ( A, ( BB ' C ' C ) ) Hạ AH ⊥ A ' M  AH ⊥ ( BB ' C ' C ) , AM ⊥ BC AA ' ⊥ BC Suy ra: BC ⊥ ( BCC ' B ')  ( A ' AM ) ⊥ ( BCC ' B ') Hạ AH ⊥ A ' M  AH ⊥ ( BCC ' B ') Do d ( A, ( BB ' C ' C ) ) = AH Ta có: 1 1 a 21 = + = + =  AH = 2 AH AM A' A a 3a 3a Chọn A Bài 13: Cho hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R Xác định chiều cao bán kính đáy để hình trụ tích lớn A r= R B r = R C r = R D r = R Lời giải Gọi h chiều cao hình trụ, r bán h3 Thể tích hình trụ là: V =  r h =  R h −  h ; Xét hàm: V ( h ) =  r h =  R h −  4h 3h V ' ( h) =  R2 −  ; 2 3h2 4R 2 3R =0h= = 3 3R Từ bảng biến thiên ta có h = V ( h ) đạt giá trị lớn Suy r = R V ' ( h ) =   R2 −  O A h kính đáy hình trụ Ta có:   + r = R 2 I K O' A' H B Chọn B Bài 14: Một hình trụ có bán kính đáy R chiều cao R Hai điểm A B nằm hai đường trịn đáy cho góc AB trục hình trụ 300 Tính khoảng cách AB trục hình trụ Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ A R 3 B R C 3R D 2R 3 Lời giải Kẻ BB '/ /OO' cắt đường tròn ( O ) B ' Góc AB OO’ góc ABB ' = 300 Hạ OH vng góc AB Khoảng cách AB OO’ khoảng cách OO’ ( ABB ') OO '/ / ( ABB ') Khi d ( OO',AB) = d ( OO', ( ABB') ) = OH AB ' = R  OH = OA2 − AH = R Chọn B Bài 15: Với miếng tơn hình trịn có bán kính R = 6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn gấp phần cịn lại thành hình nón (Như hình vẽ) Hình nón tích lớn người ta cắt cung trịn hình quạt bằng: A 4 6cm B 6 6cm D 8 6cm C 2 6cm Lời giải r I N M h R S Gọi x, ( x  ) chiều dài cung trịn phần xếp làm hình nón Như vậy, bán kính R hình nón đường sinh hình nón đường trịn đáy hình nón có độ dài x Bán kính r đáy xác định đẳng thức 2 r = x  r = x 2 Chiều cao hình nón tính theo Định lý Pitago là: h = R2 − r = R2 − Thể tích khối nón: V =  r h =    3  2  x2 4 x2 4 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 1 x R2 − HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có:  x2 x2 x2  + + R − 2 2    4 x x x  4 8 8 4 R  V2 =  R2 −   =   8 8  9 27         2 x x 2 2 = R2 −  x = R 6= 6 = 4 Do V lớn khi: 8 4 3 Chọn A (Lưu ý sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhiên lời giải dài hơn) Bài 16: Có miếng nhơm hình vng, cạnh 3dm, người dự định tính tạo thành hình trụ (khơng đáy) theo hai cách sau: Cách 1: Gị hai mép hình vng để thành mặt xunng quanh hình trụ, gọi thể tích khối trụ V1 Cách 2: Cắt hình vng làm ba gị thành mặt xung quanh ba hình trụ, gọi tổng thể tích chúng V2 Khi đó, tỉ số A V1 là: V2 B C Lời giải Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ D HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ 27  V1 =  R12 h = 2 4 Gọi R2 bán kính đáy khối trụ thứ hai, có: 2 R2 =  R2 =  V2 =  R2 h = 2 4 Gọi R1 bán kính đáy khối trụ thứ nhất, có: 2 R1 =  R1 = Chọn A Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang nội tiếp đường tròn ( C ) tâm I, cho biết AB / /CD, CD = AB, CDA = 600 Giả sử thể tích khối chóp S.ABCD v , tính thể tích khối nón đỉnh S đáy hình trịn ( C ) A B D I 5 v 3 8 v D 3 4 v 3 7 v C 3 A C B Lời giải Do hình chóp hình nón cho có đường cao nên tỷ số thể tích khối chóp khối nón ( AB + DC ) AH tỉ số diện tích hai đáy, tức k =  r2 Dễ thấy tâm I trung điểm CD, đơn giản cho AB = ta có k = = 3 2 4 (1 + ) Chọn A Bài 18: Cho cốc có dạng nón cụt, biết miệng cốc đáy cốc có bán kính 4cm 3cm, chiều cao cốc 10cm chiều cao nước cốc 7cm thể tích nước cốc bao nhiêu? 8113  ( ml ) 300 25900  ( ml ) C 300 A 39823  ( ml ) 300 23653  ( ml ) D 300 B Lời giải Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ V= h D (R C + r + rR ) IF FB =  IF=2,8cm DC BC EI DE CF DAB có EI / / AB  = = AB DA FB  EI = 0,9cm = EF=3,7cm 7 23653 V= 3, + 32 + 3, 7.3) =  ( 300 IDC có IF / / CD  E F I 10 A B Chọn D Bài 19: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn, khơng có nắp phía với thể tích 1, 296m3 Người thợ cắt kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c hình vẽ Hỏi người thợ phải thiết kế kích thước a, b, c để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dày kính khơng đáng kể A a = 3, 6m; b = 0, 6m; c = 0, 6m b B a = 2, 4m; b = 0,9m; c = 0, 6m C a = 1,8m; b = 1, 2m; c = 0, 6m D a = 1, 2m; b = 1, 2m; c = 0,9m Lời giải Với a chiều dài ngăn bể cá Ta có: V = abc = 1, 296 (1) c a a a abc abc abc a  a S =  c + bc  + b + c + bc + b = 2ac + 3bc + ab = +3 +  abc3 2 b a c abc 2   a= b   Dấu “=” xảy = =   b a a c  c=  1, 296.4  b = ; a = 1,8; c = 0, Thay vào (1) : b3 = 1, 296  b3 = Chọn C Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/