BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH_ Chương 2: Bài toán vận tải potx

Phương án cực biên: x = {xij} là phương án cực biên khi và chỉ khi tập hợp các ô i, j tương ứng với các thành phần dương của phương án không tạo thành vòng.. tương ứng với các thành phần

Trường Đại học kinh tế kỹ thuật công

nghiệp

Bộ môn khoa học cơ bản

BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Chương 2: Bài toán vận tải

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN

BÀI GIẢNG

QUY HOẠCH TUYẾN

TÍNH

CHƯƠNG II:

BÀI TOÁN VẬN TẢI

2.1 Dạng của bài toán vận tải

2.2 Xây dựng phương án cực biên

2.3 Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải 2.4 Bài toán không cân bằng thu phát

2.1 Dạng của bài toán vận tải

Ai (i =1,…m): các trạm phát

Bj (j = 1,…n): các trạm thu

ai: lượng hàng hoá có ở trạm phát Ai

bj: lượng hàng hoá yêu cầu ở trạm thu Bj

cij: chi phí vận chuyển một đơn vị hàng hoá từ trạm phát

Ai (i = 1,.,m) đến trạm thu Bj (j = 1, 2, , n) (cij > 0)

xij: lượng hàng hoá vận chuyển từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj , xij ≥ 0 (i, j)

cho đáp ứng đầy đủ yêu cầu của các trạm thu bằng tất cả hàng hoá có ở các trạm phát với tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất

) 2 ( ,

1

) 1 ( min

) (

1 1

n j

m i

x

n j

b x

m i

a x

x c x

Tìm bộ giá trị sao cho: x ij i 1,m; j 1,n

Mô tả bài toán dưới dạng bảng:

ThuPhát

Một số khái niệm:

đường gấp khúc khép kín có các cạnh song song với các

dòng và các cột của bảng, trong đó mỗi ô đều nằm cùng hàng (cùng cột) chỉ với một ô đứng trước nó, đồng thời nằm cùng cột (cùng hàng) chỉ với một ô đứng sau nó

tải là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi tập hợp các ô thuộc

K không tạo thành vòng

là m + n – 1 nên số tối đa các ô không tạo thành vòng trong bảng m hàng và n cột cũng là m + n – 1

Phương án cực biên: x = {xij} là phương án cực biên khi và chỉ khi tập hợp các ô (i, j) tương ứng với các thành phần dương của phương án không tạo thành vòng Một phương án cực biên

có tối đa m + n – 1 thành phần dương

tương ứng với các thành phần dương của phương án cực biên x (xij > 0) gọi là tập ô cơ sở nó, ký hiệu là S.

Ô (i, j)S gọi là ô cơ sở, (i, j)S gọi là ô phi cơ sở.

Một ô phi cơ sở bất kỳ bao giờ cũng tạo thành một vòng duy nhất với các ô cơ sở.

Một phương án cực biên không suy biến chỉ có một tập ô cơ

sở duy nhất, đó chính là tập ô tương ứng với các thành phần

dương của phương án

Một phương án cực biên suy biến có nhiều tập ô cơ sở khác nhau, phần chung của chúng là tập ô ứng với các thành phần

dương

2.2 Xây dựng phương án cực biên

Khi xác định được xịj = α , ta nói là đã phân phối cho ô (i, j) một lượng hàng là α

Nguyên tắc phân phối tối đa: Lấy ô (i, j) bất kỳ của bảng

và phân phối cho nó một lượng hàng tối đa có thể, nghĩa là đặt xij = min{ai ,bj} Ba trường hợp có thể xảy ra:

- xij = ai , yêu cầu của trạm phát thỏa mãn, loại hàng i ra

khỏi bảng, đồng thời sửa lại yêu cầu của trạm thu: b’j = bj - ai

bảng, đồng thời sửa lại yêu cầu của trạm phát: a’i = ai - bj

- xij = ai = bj ,yêu cầu của cả trạm thu và phát đều thỏa mãn, loại đồng thời hàng i và cột j ra khỏi bảng

Quá trình tiếp tục cho tới khi yêu cầu của mọi trạm thu và phát đều thoả mãn

Các ô được phân phối có xij > 0, đặt xij = 0 với những ô

không được phân phối

Khi đó sẽ thu được một phương án cực biên của bài toán

Nếu số ô được phân phối là m + n – 1 thì phương án cực

biên thu được là không suy biến, tập ô được phân phối chính

là tập ô cơ sở

Nếu số ô được phân phối nhỏ hơn m + n – 1 thì phương án cực biên tương ứng là suy biến Để có được một tập ô cơ sở cần phải bổ sung, ô bổ sung có xij= 0 và không tạo thành vòng với những ô cơ sở đã có, bổ sung cho tới khi đủ m + n – 1 ô Với những ô bổ sung khác nhau ta sẽ được các tập ô cơ sở khác nhau của cùng một phương án cực biên suy biến

Sử dụng nguyên tắc phân phối tối đa, tuỳ thuộc vào cách

ưu tiên phân phối ta có những phương pháp khác nhau để

xây dựng phương án cực biên:

- Phương pháp tây-bắc: Luôn ưu tiên phân phối cho ô

2

11

2.3 Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải:

Tiêu chuẩn tối ưu:

Điều kiện cần và đủ để phương án x = {xij} của bài toán vận tải tối ưu là tồn tại một hệ thống số {ui, vj} thoả mãn:

a) vj – ui  cij (i,j)

b) vj – ui = cij nếu xij > 0

ui, vj gọi là các thế vị hàng và cột

Ai, còn vj là giá trị của nó tại nơi tiêu thụ Bj

Điều kiện b) có nghĩa là trong mọi phương án vận chuyển tối

ưu nếu hàng hoá được đưa từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj thì giá trị của nó tại nơi tiêu thụ Bj phải bằng giá trị tại nơi sản xuất Aicộng thêm chi phí vận chuyển cij

Điều kiện a) có nghĩa là chênh lệch của giá trị hàng hoá giữa nơi tiêu thụ và nơi sản xuất bất kỳ đều không vượt quá chi phí

vận chuyển trực tiếp giữa hai nơi ấy.

Thuật toán của phương pháp thế vị:

Giả sử đã biết một phương án cực biên x với tập ô cơ sở S

Bước 1: Xây dựng hệ thống thế vị {ui ,vj}:

Lấy một hàng i bất kỳ, cho nó một thế vị ui tùy ý Các thế

vị còn lại được xác định theo quy tắc:

- Nếu hàng i đã có ui và (i, j)S thì thế vị của cột j được tính bởi: vj = ui + cij

- Nếu cột j đã có vj và (i, j)S thì thế vị của hàng i được tính bởi: ui = vj − cij

Quá trình tiếp tục cho tới khi xác định được toàn bộ hệ thống thế vị

Bước 2: Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu:

Tính đại lượng ∆ịj = vj – ui – cij đối với các ô phi cơ sở

((i, j)  S) -Nếu ∆ịj  0, (i, j)S thì phương án tương ứng là tối ưu -Nếu tồn tại ∆ịj > 0, (ta gọi đó là các ô vi phạm) thì phải điều chỉnh phương án

Bước 3: Điều chỉnh phương án:

Giả sử , ô (r, k) được lấy làm ô điều chỉnh.ij rk



 0

max

vòng đánh dấu lẻ chẵn các ô với ô điều chỉnh (r, k) là ô lẻ

Ký hiệu Vl , Vc tương ứng là tập ô lẻ, chẵn trên vòng

c ij

ij

ij

V j

i q

x

V j

i q

x

V j

i

x x

) , ( ,

) , ( ,

) , ( ,

'

Kết quả của quá trình biến đổi ta được phương án cực biên mới x’ tốt hơn x

Sau điều chỉnh ô điều chỉnh trở thành ô cơ sở, ô ứng với q

sẽ trở thành ô phi cơ sở

hữu hạn bước sẽ tìm được phương án cực biên tối ưu

Ví dụ 1: Giải bài toán vận tải sau:

Dùng phương pháp chi phí nhỏ nhất xây dựng phương án cực biên xuất phát:

Thu Phát

Thu Phát

Thu Phát

Thu Phát

Thu Phát

Sau khi xây dựng hệ thống thế vị và kiểm tra tiêu chuẩn tối

ưu ta thấy: ∆ij ≤ 0 (i, j)S

Phương án tương ứng là tối ưu

Giá trị tối ưu của hàm mục tiêu là:

f(x*) = 10.31 + 9.48 + 11.62 + 8.40 + 5.30 + 3.40 + 12.45 + 7.15 = 2659

Trường hợp suy biến:

Trường hợp suy biến thì q có thể bằng 0

Khi q = 0 vẫn thực hiện thuật toán một cách bình thường, nghĩa là ô điều chỉnh sẽ trở thành ô cơ sở với tư cách là ô

bổ sung, còn ô tương ứng với q sẽ trở thành ô phi cơ sở Kết quả điều chỉnh không làm thay đổi phương án cực biên

mà chỉ chuyển từ tập ô cơ sở này sang tập ô cơ sở khác

Ví dụ 2: Giải bài toán vận tải sau:

Dùng phương pháp chi phí nhỏ nhất xây dựng phương án cực biên xuất phát:

Thu Phát

Thu Phát

* (*)

Thu Phát

(*)

Thu Phát

Thu Phát

2.4 Bài toán không cân bằng thu phát:

Lập một trạm thu giả Bn+1 với yêu cầu:

Lập một trạm phát giả Am+1 với yêu cầu:

Ví dụ 3: Giải bài toán vận tải sau:

Thu Phát

Bài toán không cân bằng thu phát :

Thêm vào một trạm thu giả với yêu cầu:

Dùng phương pháp chi phí nhỏ nhất xây dựng phương án cực biên xuất phát:

[24]

xx

Thu Phát

* (*)

q = min {60 ; 12} = 12

Thu Phát

Thu Phát

∆ij ≤ 0 (i, j)S Phương án là tối ưu: f* = 1696

x * = 24 ; x * = 26 là lượng hàng giữ lại ở trạm phát A và A