Quy hoạch tuyến tính Chương 2 ppsx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG QUY HO CH TUY N Ạ Ế T NHÍ CHƯƠNG II: BÀI TOÁN VẬN TẢI 2.1. Dạng của bài toán vận tải 2.2. Xây dựng phương án cực biên 2.3. Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải 2.4. Bài toán không cân bằng thu phát 2.1. Dạng của bài toán vận tải A i (i =1,…m): các trạm phát B j (j = 1,…n): các trạm thu a i : lượng hàng hoá có ở trạm phát A i b j : lượng hàng hoá yêu cầu ở trạm thu B j c ij: chi phí vận chuyển một đơn vị hàng hoá từ trạm phát A i (i = 1,.,m) đến trạm thu B j (j = 1, 2, , n) (c ij > 0) x ij : lượng hàng hoá vận chuyển từ trạm phát A i đến trạm thu B j , x ij ≥ 0 (∀i, j) Hãy thành lập một phương án vận chuyển hàng hoá sao cho đáp ứng đầy đủ yêu cầu của các trạm thu bằng tất cả hàng hoá có ở các trạm phát với tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất. ( ) ( ) ( ) )4(,1;,10 )3(,1 )2(,1 )1(min)( 1 1 1 1 njmix njbx miax xcxf ij m i jij n j iij m i n j ijij ==≥ == == ⇒= ∑ ∑ ∑∑ = = = = Tìm bộ giá trị sao cho: { } ( ) njmix ij ,1;,1 == Nếu thì bài toán vận tải cân bằng thu phát ∑∑ == = n j j m i i ba 11 Mô tả bài toán dưới dạng bảng: Thu Phát b 1 b 2 …… b n a 1 c 11 c 12 …… c 1n a 2 c 21 c 22 …… c 2n … … …… …… …… a m c m1 c m2 …… c mn Giao của hàng i và cột j gọi là ô (i, j) đặc trưng cho đoạn đường nối trạm phát A i và trạm thu B j , ở ô này ghi c ij Một số khái niệm: Vòng: Là một tập hợp các ô đứng vị trí là đỉnh của một đường gấp khúc khép kín có các cạnh song song với các dòng và các cột của bảng, trong đó mỗi ô đều nằm cùng hàng (cùng cột) chỉ với một ô đứng trước nó, đồng thời nằm cùng cột (cùng hàng) chỉ với một ô đứng sau nó. Một hệ vectơ điều kiện {A ij ; (i, j) ∈ K} của bài toán vận tải là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi tập hợp các ô thuộc K không tạo thành vòng. Vì số vectơ {A ij } độc lập tuyến tính cực đại trong bài toán là m + n – 1 nên số tối đa các ô không tạo thành vòng trong bảng m hàng và n cột cũng là m + n – 1. Phương án cực biên: x = {x ij } là phương án cực biên khi và chỉ khi tập hợp các ô (i, j) tương ứng với các thành phần dương của phương án không tạo thành vòng. Một phương án cực biên có tối đa m + n – 1 thành phần dương. Tập hợp m + n – 1 ô không tạo thành vòng bao hàm tập ô tương ứng với các thành phần dương của phương án cực biên x (x ij > 0) gọi là tập ô cơ sở nó, ký hiệu là S. Ô (i, j)∈S gọi là ô cơ sở, (i, j)∉S gọi là ô phi cơ sở. Một ô phi cơ sở bất kỳ bao giờ cũng tạo thành một vòng duy nhất với các ô cơ sở. Một phương án cực biên không suy biến chỉ có một tập ô cơ sở duy nhất, đó chính là tập ô tương ứng với các thành phần dương của phương án. Một phương án cực biên suy biến có nhiều tập ô cơ sở khác nhau, phần chung của chúng là tập ô ứng với các thành phần dương. 2.2. Xây dựng phương án cực biên Khi xác định được x ịj = α , ta nói là đã phân phối cho ô (i, j) một lượng hàng là α. Nguyên tắc phân phối tối đa: Lấy ô (i, j) bất kỳ của bảng và phân phối cho nó một lượng hàng tối đa có thể, nghĩa là đặt x ij = min{a i ,b j }. Ba trường hợp có thể xảy ra: - x ij = a i , yêu cầu của trạm phát thỏa mãn, loại hàng i ra khỏi bảng, đồng thời sửa lại yêu cầu của trạm thu: b’ j = b j - a i - x ij = b j , yêu cầu của trạm thu thỏa mãn, loại cột j ra khỏi bảng, đồng thời sửa lại yêu cầu của trạm phát: a’ i = a i - b j - x ij = a i = b j ,yêu cầu của cả trạm thu và phát đều thỏa mãn, loại đồng thời hàng i và cột j ra khỏi bảng. Quá trình tiếp tục cho tới khi yêu cầu của mọi trạm thu và phát đều thoả mãn. Các ô được phân phối có x ij > 0, đặt x ij = 0 với những ô không được phân phối Khi đó sẽ thu được một phương án cực biên của bài toán. Nếu số ô được phân phối là m + n – 1 thì phương án cực biên thu được là không suy biến, tập ô được phân phối chính là tập ô cơ sở. Nếu số ô được phân phối nhỏ hơn m + n – 1 thì phương án cực biên tương ứng là suy biến. Để có được một tập ô cơ sở cần phải bổ sung, ô bổ sung có x ij = 0 và không tạo thành vòng với những ô cơ sở đã có, bổ sung cho tới khi đủ m + n – 1 ô. Với những ô bổ sung khác nhau ta sẽ được các tập ô cơ sở khác nhau của cùng một phương án cực biên suy biến. Sử dụng nguyên tắc phân phối tối đa, tuỳ thuộc vào cách ưu tiên phân phối ta có những phương pháp khác nhau để xây dựng phương án cực biên: - Phương pháp tây-bắc: Luôn ưu tiên phân phối cho ô nằm ở góc tây bắc của bảng. - Phương pháp chi phí nhỏ nhất (đường gần): Luôn ưu tiên phân phối cho ô có c ij nhỏ nhất trong bảng. - Phương pháp Fogels: Luôn ưu tiên phân phối cho ô có c ij nhỏ nhất nằm trên hàng hoặc cột có hiệu số giữa chi phí nhỏ nhì và chi phí nhỏ nhất là lớn nhất. [...]... 110 7 6 14 9 13 [35] 100 10 [75] 2 9 [80] 60 5 8 10 [20 ] +5 5 9 6 12 3 12 4 18 [60] 100 14 +2 [45] [35] [20 ] lấy ô (2, 5) làm ô điều chỉnh max ∆ ij = ∆ 25 = 5 ∆ ij > 0 12 12 4 18 95 Thu 5 80 65 35 95 Phát 5 3 7 0 110 7 6 14 9 13 [35] 100 10 [75] 2 9 [80] 60 5 (*) 8 10 [20 ] 5 9 3 12 * +5 6 12 4 18 [60] 100 14 +2 * [45] [35] (*) [20 ] q = min {20 ; 20 } = 20 ứng với ô (2, 3) và (4, 5) Loại ô (4, 5) ra... [64] 1 02 13 [15] 11 8 [14] 70 12 8 17 7 4 5 3 [88] 10 [30] 60 12 18 [ 12] 18 [48] 7 [40] 9 Tính đại lượng ∆ịj = vj – ui – cij đối với các ô phi cơ sở 12 15 8 6 76 Thu 18 62 88 45 40 Phát 2 7 3 0 79 10 19 9 [64] 1 02 13 11 8 12 17 7 4 5 3 [88] 10 [30] +2 60 12 18 [ 12] 18 [48] 8 [15] +4 [14] 70 6 7 [40] 9 +1 max ∆ ij = ∆13 = +4 , ô (1, 3) được lấy làm ô điều chỉnh ∆ ij > 0 12 15 8 6 76 Thu 18 62 88 45... 88 45 40 Phát 2 7 3 0 79 10 (*) 19 9 [64] 1 02 13 11 * 8 60 12 12 17 * 18 [ 12] (*) 7 4 [88] 10 (*) 18 [48] 8 [15] +4 [14] 70 * 6 5 3 [30] +2 7 [40] 9 +1 Xác định q = min {88, 48, 64} = 48 Thực hiện phép biến đổi đối với các ô trên vòng, ta được phương án mới: 12 11 8 14 6 Thu 76 62 88 45 40 Phát 2 3 3 0 79 10 * 19 9 [16] 1 02 13 6 [48] 11 8 [ 62] 70 12 17 (*) 8 [15] 7 4 5 3 [40] 10 [30] 60 12 (*) 18 [60]... 76 62 88 45 40 79 10 19 9 6 8 1 02 13 11 8 7 4 70 12 17 10 5 3 60 12 18 18 7 9 Phát Dùng phương pháp chi phí nhỏ nhất xây dựng phương án cực biên xuất phát: Thu 76 62 88 45 40 Phát 79 10 19 [64] 1 02 13 x 11 12 60 8 17 x 12 x x 3 [30] x 7 x x 4 5 18 [48] [15] [88] x 8 7 10 18 [ 12] 6 x [14] x 70 9 [40] 9 x x Cho u4 = 0, lần lượt tính các thế vị hàng và cột khác: 12 15 8 6 76 Thu 18 62 88 45 40 Phát 2 7... 5 12 4 13 Thu 95 80 65 35 95 Phát 0 3 2 0 110 7 6 14 9 13 [35] 100 10 [75] 2 (*) 9 [80] 60 5 5 14 8 10 [0] 9 [60] 100 * [20 ] 6 12 4 18 +1 3 * +2 12 (*) [65] [35] q = min {80 ; 65} = 65 ứng với ô (4, 3) Loại ô (4, 3) ra khỏi tập ô cơ sở được phương án mới: 6 13 7 5 12 Thu 95 80 65 35 95 Phát 0 3 2 2 110 7 * 6 14 9 13 [35] 100 10 [75] 2 9 [15] 60 5 (*) 5 14 (*) 8 * 6 12 4 18 10 [65] 9 [60] 100 (*) [20 ]... phương án mới: 12 11 7 5 76 Thu 14 62 88 45 40 Phát 2 3 2 0 79 10 19 9 [31] 1 02 13 6 11 12 7 4 5 3 [48] 8 [ 62] 70 8 17 [40] 10 [30] 60 12 18 [45] 18 7 [40] 9 [15] Sau khi xây dựng hệ thống thế vị và kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu ta thấy: ∆ij ≤ 0 ∀(i, j)∉S Phương án tương ứng là tối ưu Giá trị tối ưu của hàm mục tiêu là: f(x*) = 10.31 + 9.48 + 11. 62 + 8.40 + 5.30 + 3.40 + 12. 45 + 7.15 = 26 59 Trường hợp... 2: Giải bài toán vận tải sau: Thu 95 80 65 35 95 110 7 6 14 9 13 100 10 2 9 8 10 60 5 5 9 6 12 100 14 3 12 4 18 Phát Dùng phương pháp chi phí nhỏ nhất xây dựng phương án cực biên xuất phát: Thu 95 80 65 35 95 Phát 110 7 6 [35] 100 10 x 2 5 100 9 5 14 x 8 9 3 x x x 12 x 4 [45] [75] 10 6 12 x 13 x [20 ] x [60] 9 x [80] x 60 14 x 18 [35] [20 ] Xác định hệ thống thế vị và kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu 12 12. ..Phương pháp chi phí nhỏ nhất: Thu 30 20 25 35 40 Phát 30 13 7 x 20 5 1 10 60 10 5 6 3 [30] 5 3 [0] x x x 14 [5] x 11 [25 ] x 11 7 2 x 12 [30] x [20 ] x 2 x x x 40 6 [35] 10 x [5] 2. 3 Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải: Tiêu chuẩn tối ưu: Điều kiện cần và đủ để phương án x = {xij} của bài toán vận tải tối... +1 3 12 [65] * [35] q = min {65 ; 75 ; 60} = 60 7 5 Thu 95 80 12 65 6 35 13 95 Phát 0 3 3 2 110 7 6 14 9 13 [95] 100 10 [15] 2 9 [15] 60 5 5 8 10 [5] 9 [80] 6 12 4 18 [60] 100 14 3 12 [65] [35] ∆ij ≤ 0 ∀(i, j)∉S Phương án là tối ưu: f(x*) = 26 10 2. 4 Bài toán không cân bằng thu phát: 1 Trường hợp m n ∑a > ∑b i =1 i j =1 j Lập một trạm thu giả Bn+1 với yêu cầu: bn +1 = chi phí vận chuyển bằng 0 2 Trường... một thế vị ui tùy ý Các thế vị còn lại được xác định theo quy tắc: - Nếu hàng i đã có ui và (i, j)∈S thì thế vị của cột j được tính bởi: vj = ui + cij - Nếu cột j đã có vj và (i, j)∈S thì thế vị của hàng i được tính bởi: ui = vj − cij Quá trình tiếp tục cho tới khi xác định được toàn bộ hệ thống thế vị Bước 2: Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu: Tính đại lượng ∆ịj = vj – ui – cij đối với các ô phi cơ sở . nhất: Thu Phát 30 20 25 35 40 30 13 7 6 2 12 20 5 1 10 5 11 40 10 5 3 7 14 60 6 3 2 11 10 [20 ] x x x x x x x [30] x xx [25 ] x [30] x [5] x [5] [35][0] 2. 3. Phương pháp. phát ∑∑ == = n j j m i i ba 11 Mô tả bài toán dưới dạng bảng: Thu Phát b 1 b 2 …… b n a 1 c 11 c 12 …… c 1n a 2 c 21 c 22 …… c 2n … … …… …… …… a m c m1 c m2 …… c mn Giao của hàng i và cột j gọi là ô (i, j) đặc trưng. 4 70 12 17 10 5 [30] 3 [40] 60 12 [ 12] 18 [48] 18 7 9 0 12 18 Cho u 4 = 0, lần lượt tính các thế vị hàng và cột khác: 2 7 15 8 3 6 Thu Phát 76 62 88 45 40 79 10 [64] 19 9 6 [15] 8 1 02 13