1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Quy hoạch tuyến tính chương 1 ppsx

72 1,5K 1

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 72
Dung lượng 2,89 MB

Nội dung

●Cách đưa bài toán về dạng chính tắc -Nếu một ràng buộc có dạng thì có thể thay bằng với và hệ số của trong fx bằng 0.. Bài toán dạng chuẩn là bài toán dạng chính tắc có vế phải không

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN

BÀI GIẢNG

QUY HO CH TUY N T NH ẠCH TUYẾN TÍNH ẾN TÍNH ÍNH

Trang 2

Chương I: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Chương II: BÀI TOÁN VẬN TẢI

Trang 3

CHƯƠNG I:

1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát

Trang 4

1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát

i j

ij

1 i

n

1 j

j ij

n

1 j

j j

Ii

bx

a

Ii

b

xa

(max)min

xcx

f

Trang 5

■ Một số khái niệm :

Phương án: Vectơ x = (x1, x2, , xn) thoả mãn mọi điều

kiện ràng buộc của bài toán gọi là một phương án.

-Nếu thì ràng buộc i gọi là “chặt” đối với phương án x, hoặc phương án x thoả mãn chặt ràng buộc i

i j

i j

a

Phương án tối ưu: Một phương án mà tại đó trị số hàm

mục tiêu đạt cực tiểu (hoặc cực đại) gọi là phương án tối ưu

Phương án cực biên: Một phương án thỏa mãn chặt n ràng

buộc độc lập tuyến tính gọi là phương án cực biên

Trang 6

0 x

) m 1, (i

b x

a

(max) min

x c x

j ij

n

1 j

j j

Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều có thể quy về bài

hàm mục tiêu trong hai bài toán là trùng nhau và từ phương

án tối ưu của bài toán này suy ra phương án tối ưu của bài toán kia

Trang 7

●Cách đưa bài toán về dạng chính tắc

-Nếu một ràng buộc có dạng thì có thể thay bằng với và hệ số của

trong f(x) bằng 0 Các biến gọi là biến phụ.

-Nếu một ràng buộc có dạng thì thay bằng ,

i j

i

p i j

i j

ijx b a

i

p i j

i 

Trang 8

Ví dụ: Đưa bài toán sau về dạng chính tắc:f(x) = –2x1 + x2 + 3x3 + 5x4  min

x1 – 3x2 + 5x3 – x4  16 2x1 – x2 – 2x3 + 2x4 ≥ – 4

Trang 9

Các biến phụ sẽ được đánh số tiếp là x5, x6.

Trang 10

1.3 Bài toán dạng chuẩn

 

) n 1, (j

0 x

b x

a

x a x a x

b x a

x a x a x b x a

x

a x

a x

(max) min

x c x

f

j

m n

mn 2

m 2

mm 1

m 1 mm m

2 n

2n 2

m 2

2m 1

m 1

2m 2

1 n

1n 2

m 2

1m 1

m 1 1m 1

n

1 j

j j

Trong đó: bi  0, (i  1, m )

Trang 11

Bài toán dạng chuẩn là bài toán dạng chính tắc có vế phải không âm và mỗi phương trình đều có một biến số với hệ số bằng 1 đồng thời không có trong các phương trình khác (gọi

là biến cô lập với hệ số bằng 1)

Từ hệ phương trình ràng buộc của bài toán dễ dàng suy ra một phương án đầu tiên: x0 = (b1, b2, …,bm, 0, 0,…, 0), với

Trang 12

1.4 Các tính chất chung

1 Tính chất 1: Sự tồn tại phương án cực biên:

Nếu bài toán có phương án và hạng của ma trận hệ ràng buộc bằng n thì bài toán có phương án cực biên

Hạng của ma trận hệ ràng buộc của bài toán dạng chính tắc luôn luôn bằng n nên nếu bài toán chính tắc có phương

án thì phải có phương án cực biên

2 Tính chất 2: Sự tồn tại phương án tối ưu:

Nếu bài toán có phương án và trị số hàm mục tiêu bị chặn

trên tập phương án thì bài toán có phương án tối ưu

3 Tính chất 3: Tính hữu hạn của số phương án cực biên:

Số phương án cực biên của mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều hữu hạn

Trang 13

1.5 Phương pháp đơn hình

1 Nội dung của phương pháp:

Xuất phát từ một phương án cực biên đầu tiên, tìm cách đánh giá phương án cực biên ấy, nếu nó chưa tối ưu thì tìm cách chuyển sang một phương án cực biên mới tốt hơn, quá trình được lặp lại vì số phương án cực biên là hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước hoặc sẽ kết luận bài toán không giải được vì hàm mục tiêu không bị chặn hoặc sẽ tìm được phương án tối ưu

Phương pháp này chỉ áp dụng được cho những bài toán

có phương án cực biên, tuy nhiên mọi bài toán QHTTT đều

có thể đưa về bài toán dạng chính tắc, và khi nó đã có

phương án thì sẽ có phương án cực biên

Do đó không làm mất tính chất tổng quát từ đây ta sẽ chỉ xét bài toán dạng chính tắc

Trang 14

2 Cơ sở của phương án cực biên:

Định nghĩa: Một hệ vectơ {Aj } độc lập tuyến tính bao

hàm hệ thống các vectơ tương ứng với các thành phần dương của phương án cực biên x gọi là cơ sở của phương án cực

biên ấy

Một phương án cực biên không suy biến có đúng m thành phần dương, có một cơ sở duy nhất, đó chính là các vectơ

tương ứng với các thành phần dương, còn phương án cực biên suy biến thì có nhiều cơ sở khác nhau, phần chung của chúng

là các vectơ tương ứng với các thành phần dương

Trang 15

3 Thuật toán của phương pháp đơn hình

Giả sử đã biết phương án cực biên x0, cơ sở J0 Lập

bảng đơn hình tương ứng:

Hệ số

cJ

Cơ sở J

Phương án: xJ cx1 c2 … cr … cm cm+1 … ck … cs … cn

Trang 16

Bước 1: Kiểm tra dấu hiệu tối ưu:

-Nếu ∆k ≤ 0, (k  J0) thì x0 là phương án tối ưu

-Nếu ∆k > 0 thì x0 không phải là phương án tối ưu, chuyển sang bước 2

Bước 2: Kiểm tra tính không giải được của bài toán:

-Nếu tồn tại một ∆k > 0 mà xjk ≤ 0 (j  J0) thì bài toán không có phương án tối ưu

-Nếu với mỗi ∆k > 0 đều có ít nhất một xjk > 0 thì chuyển sang bước 3

k jk

j

Δ

Trang 17

Bước 3: Chọn vectơ đưa vào cơ sở và xác định vectơ loại khỏi cơ sở:

-Giả sử , vectơ As được đưa vào cơ sở,

0

x

xmin

Vectơ Ar bị loại khỏi cơ sở

Lập bảng đơn hình mới, thay xs vào vị trí xr, và cs vào

vị trí cr Chuyển sang bước 4

Trang 18

Bước 4: Biến đổi bảng: Thực hiện phép biến đổi cơ sở tổng

-Để tính hàng xj trong bảng mới, ta lấy hàng xj trong

với xjs

Kết quả của quá trình biến đổi sẽ cho ta bảng đơn hình

ứng với phương án cực biên mới x1, tốt hơn x0

số hữu hạn bước sẽ tìm được phương án cực biên tối ưu hoặc kết luận bài toán không giải được vì hàm mục tiêu không bị chặn

Trang 19

Ví dụ 1: Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:

Trang 20

Trước hết đưa bài toán về dạng chính tắc bằng cách cộng

f(x) = 2x1 + 3x2 – x3 – 1/2x4  min

x1 – x2 + x3 + 1/2x4 = 18

x2 – 4x3 + 8x4 + x5 = 8 –2x2 + 2x3 – 3x4 + x6 = 20

Trang 21

Bài toán có dạng chuẩn, các biến cô lập là x1, x5, x6 nên

sở là {A1, A5, A6}, do đó ta có thể lập ngay được bảng đơn

Ở bước 1 ta thấy phương án tương ứng chưa tối ưu Vectơ đưa vào cơ

sở là A3 ứng với 3 = 3, θ0 = 20/2 nên vectơ A6 bị loại khỏi cơ sở, phần

tử xoay là [2].

Trang 22

01

Trang 23

10

Trang 24

4 Các chú ý khi áp dụng thuật toán:

1) Đối với bài toán có hàm f(x)  max thì có thể chuyển về giải bài toán với hàm g(x) = −f(x)  min

chú ý là fmax = −gmin

hoặc cũng có thể giải trực tiếp với dấu hiệu tối ưu là k ≥ 0,

khác của thuật toán không đổi

2) Chọn vectơ đưa vào cơ sở ứng với là với hy vọng làm trị số hàm mục tiêu giảm nhiều nhất sau mỗi bước biến đổi, tuy nhiên vectơ đưa vào cơ sở thực sự làm trị số hàm

mục tiêu giảm nhiều nhất phải ứng với nhưng

cơ sở cũng cải tiến được phương án

0

Δ θ Δ max

k 

Trang 25

3) Trường hợp bài toán suy biến thì θ0 có thể bằng 0, khi

đạt tại nhiều chỉ số, khi đó vectơ loại khỏi cơ sở được

nhiên.

Trang 26

Khi áp dụng thuật toán cần lưu ý hai trường hợp:

-Phương án cực biên x0 có cơ sở J0 là cơ sở đơn vị, lúc

đó ma trận hệ số phân tích của [ A | b] theo cơ sở đơn vị là

chính nó nên ta có thể lập ngay được bảng đơn hình

Bài toán dạng chuẩn là bài toán cho ngay một phương

án cực biên với cơ sở là đơn vị, nên từ bài toán ta có thể lập được bảng đơn hình ứng với phương án cực biên ấy

-Nếu J0 không phải là cơ sở đơn vị thì để lập bảng đơn

Để làm điều này ta viết ma trận mở rộng [A | b] sau đó thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận, biến đổi sao cho các vectơ cơ sở trở thành các vectơ đơn vị khác nhau Khi đó ma trận mở rộng sẽ trở thành ma trận hệ

số phân tích

Trang 27

Ví dụ 2: Cho bài toán:

f(x) = −2x1 − 6x2 + 8x3 – 5x4  min

x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 8

Trang 28

Dễ thấy rằng x0 thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán,

biên không suy biến

Để giải bài toán bằng phương pháp đơn hình trước hết phải đưa bài toán về dạng chính tắc

Trang 29

Từ x0 suy ra phương án cực biên không suy biến của bài toán dạng chính tắc: = (8, 0, 0, 0, 18, 12) với cơ sở là J0

= {A1, A5, A6} không phải là cơ sở đơn vị

Vì vậy để lập được bảng đơn hình ứng với phương án cực biên ta phải tìm ma trận hệ số phân tích của ma trận

Chú ý rằng vế phải của ma trận hệ số phân tích phải

trùng với các thành phần cơ sở của phương án cực biên

0

x

0

x

Trang 30

Quá trình biến đổi thực hiện trên các ma trận sau:

Trên cơ sở ma trận hệ số phân tích, lập bảng đơn hình

8

1 0

2

0 1

3

0 0

1

4 1

0

5 5

0

3 2

1

20 8

8

1 0

2

0 1

5

0 0

1

8 7

4

1 1

2

3 2

1

Trang 32

4) Bài toán dạng chính tắc nhưng không phải dạng chuẩn đồng thời không biết phương án cực biên, muốn áp dụng thuật toán cần phải tìm một phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc

0x

)m1,(i

bx

a

minx

cx

j ij

n

1 j

j j

Trang 33

Không làm mất tính tổng quát có thể giả thiết

Từ bài toán đã cho xây dựng một bài toán phụ, ký hiệu là P bằng cách cộng vào vế trái phương trình ràng buộc i một

biến giả với hàm mục tiêu là tổng các biến giả đã thêm vào và hàm mục tiêu này phải đạt cực tiểu

0 x

), n 1, (j

0 x

) m 1, (i

b x

x a

min x

x x, P

g i j

i

g i

n

1 j

j ij

m

1 i

g i g

Trang 34

Bài toán P là bài toán dạng chuẩn và hàm mục tiêu bị chặn dưới nên luôn luôn giải được Dùng thuật toán giải bài toán

P, sau một số hữu hạn bước sẽ tìm được phương án tối ưu

, ký hiệu P = Pmin

Có hai trường hợp xảy ra:

b) Pmin = 0, khi đó , = 0,

phương án tối ưu có dạng:

suy ra là phương án cực biên của bài toán xuất phát

) x

xig   xg

0) x

, x ( g 

x

Trang 35

Để áp dụng được thuật toán cho phương án cực biên cần phải biết cơ sở của nó Hai trường hợp có thể xảy ra:

-Trong cơ sở của phương án cực biên tối ưu

không có các vectơ tương ứng với các biến giả, khi đó cơ

sở của phương án cực biên này cũng là cơ sở của phương

án cực biên , để có bảng đơn hình tương ứng chỉ cần tính

x

0)x

,x( g 

x

-Trong cơ sở của phương án cực biên tối ưu có

ít nhất một vectơ biến giả, thành phần tương ứng , phương án cực biên là suy biến Trường hợp này để tiếp

tục tính toán, trước hết ta loại các cột ứng với k(P) < 0 (và các cột xg

i phi cơ sở), sau đó tính lại các ước lượng k theo hàm f và tiếp tục thuật toán

0)x

,x

( g 

0

xgi 

Trang 36

Khi giải bài toán P cần chú ý một số đặc điểm sau:

- Khi xây dựng bài toán phụ chỉ cộng thêm biến giả vào

những phương trình cần thiết (nhằm tạo ma trận điều kiện của bài toán phụ có đủ m vectơ đơn vị)

- Một biến giả đã bị loại khỏi cơ sở thì cột tương ứng không cần tính ở các bước tiếp sau

- Chỉ được áp dụng công thức đổi cơ sở cho hàng ước

lượng khi hai bảng kế tiếp có cùng tên hàm mục tiêu

Trang 37

Ví dụ 3: Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:

Trang 38

Đưa bài toán về dạng chính tắc:

Trang 39

P(x, xg) = xg

1 + xg

3  min

Trang 41

01

10

Trang 42

10

Trang 43

1.6 Phương pháp đơn hình đối ngẫu

0x

)m1,(i

bx

a

minx

cx

j ij

n

1 j

j j

Trang 44

Bài toán đối ngẫu của bài toán (I) có dạng sau:

1 i

j i

ij

m

1 i

i i

n 1, j

c y

a

max y

b y

f

~

) I

~ (

Trang 45

Quy tắc thành lập bài toán đối ngẫu:

- Nếu f(x)  min thì và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu có dạng “  ”

- Nếu f(x)  max thì và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu có dạng “ ≥ ”

- Số ràng buộc (không kể ràng buộc dấu) trong bài toán này bằng số biến số trong bài toán kia, nghĩa là tương ứng với một ràng buộc của bài toán này là một biến số của bài toán kia

- Hệ số trong hàm mục tiêu của bài toán này là vế phải của hệ ràng buộc trong bài toán kia

- Ma trận điều kiện trong hai bài toán là chuyển vị của

nhau

- Các biến số trong bài toán đối ngẫu không có ràng buộc

về dấu

Trang 46

Định nghĩa: Cặp ràng buộc đối ngẫu: 2 ràng buộc bất đẳng

thức (kể cả ràng buộc dấu) trong hai bài toán cùng tương ứng với một chỉ số là một cặp ràng buộc đối ngẫu

Trong bài toán (I) và có n cặp ràng buộc đối ngẫu:(~I )

j i

ij

j 0 a y c j 1, n x

Cách viết bài toán đối ngẫu:

Trừ các ràng buộc về dấu, ta cho tương ứng với mỗi

phương trình ràng buộc i của bài toán gốc một biến của bài toán đối ngẫu , thực hiện phép nhân vô hướng vectơ y lần lượt với vectơ b và các vectơ ta

sẽ được hàm mục tiêu và toàn bộ hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu

Trang 47

Ví dụ 1: Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau:

f(x) = −3x1 + 5x2 + 4x3 – 2x4 + x5  max

2x1 − 3x2 − x3 + 6x4 – 2x5 + 2x6 = –14 −x1 + 2x2 + 5x3 + 3x5 − 4x6 = 8

Trang 48

Bài toán đối ngẫu có 3 biến số y1, y2, y3

Theo cách viết trên ta có:

= – 14y1 + 8y2 + 12y3  min

Trang 49

Đối với bài toán bất kỳ thì đưa bài toán về dạng chính tắc, xây dựng bài toán đối ngẫu của bài toán này và gọi nó

là bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho

Xét bài toán sau gọi là bài toán (II):

0x

)m1,(i

bx

a

minx

cx

j ij

n

1 j

j j

(II)

Trang 50

Đưa bài toán về dạng chính tắc, ký hiệu là (II’):

1,(j

0x

)m1,(i

bx

xa

minx

cx

f

j

i i

n

n

1 j

j ij

n

1 j

j j

(II’)

Trang 51

Bài toán đối ngẫu của (II’) và cũng là bài toán đối ngẫu của (II) có dạng:

0 y

) n 1, (j

c y

a

max y

b y

i ij

m

1 i

i i

j i

b x

n

1 j

j

và

Trang 52

Lược đồ tổng quát xây dựng bài toán đối ngẫu:

Bài toán gốc Bài toán đối ngẫu

n

1 j

j ij

1

n

1 j

i j

ij

n

1 j

j j

I i

b x

a

I i

b x

a

min x

c x

i i

2 j

i ij

m

1 i

1 j

i ij

2 i

Jj

cy

a

Jj

cy

a

Ii

0y

Trang 53

Ví dụ 2: Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau:

f(x) = −4x1 + x2 + 5x3 + 3x5  min

3x1 − 6x2 − x3 + 2x4 + 4x5 ≥ –15

−2x1 + 3x2 + 4x3 − 5x4 + x5  8 − 6x2 + 3x3 + 8x4 − 4x5 = 9

Trang 54

Quy về bài toán chính tắc:

f(x) = −4x1 + x2 + 5x3 + 3x5  min

3x1 − 6x2 − x3 + 2x4 + 4x5 − x6 = –15

−2x1 + 3x2 + 4x3 − 5x4 + x5 + x7 = 8

− 6x2 + 3x3 + 8x4 − 4x5 = 9 3x1 + 2x2 − 3x4 + x5 − x8 = 24

Trang 55

Bài toán đối ngẫu:

= –15y1 + 8y2 + 9y3 + 24y4  max

Trang 56

2 Thuật toán của phương pháp đơn hình đối ngẫu:

Giả sử đã biết phương án cực biên y, cơ sở J của bài toán đối ngẫu

Thành lập bảng đơn hình ứng với cơ sở J:

-Ở cột cơ sở ghi các thành phần cơ sở của giả phương

án x vì đó là các hệ số phân tích của vectơ b qua cơ sở J

-Thay cho f(x) ghi

-Trị số của f(x) ứng với giả phương án x ghi trong bảng đơn hình xác định bởi:

đó cũng chính là trị số của hàm mục tiêu ứng với phương án cực biên y

(y) f

~

 c , x   c , A b   c A , b  (y, b) f(x)  J J  J -1J  J -1J 

Trang 57

Bước 1: Kiểm tra dấu hiệu tối ưu:

tối ưu của bài toán gốc, đồng thời phương án cực biên y

tương ứng cũng tối ưu

-Nếu tồn tại một xj < 0 thì y không phải phương án tối ưu, chuyển sang bước 2

Bước 2: Kiểm tra tính không giải được của bài toán:

-Nếu tồn tại một xj < 0 mà xjk ≥ 0 (k  J) thì bài toán đối ngẫu không giải được vì hàm mục tiêu không bị chặn, bài toán gốc không có phương án

-Nếu với mỗi xj < 0 đều có ít nhất một xjk < 0 thì chuyển

sang bước 3

Trang 58

Bước 3: Đổi cơ sở:

-Giả sử vectơ Ar bị loại khỏi cơ sở

giả sử , vectơ As được đưa vào cơ sở

Phần tử xoay của phép biến đổi cơ sở là xrs < 0

Lập bảng đơn hình mới và chuyển sang bước 4

k 0, x

0

x

Δmin

θ

rk

rs

s 0

x Δ

θ 

Trang 59

Bước 4: Biến đổi bảng:

Thực hiện phép biến đổi cơ sở cho toàn bộ bảng, kết quả

sẽ cho ta bảng đơn hình ứng với phương án cực biên mới y’ của bài toán đối ngẫu tốt hơn y với cơ sở là

J’ = [J \ {r}]{s}

Đối với y’ quay trở lại bước 1, và vì số phương án cực biên

là hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước hoặc sẽ kết luận bài toán gốc không có phương án hoặc sẽ tìm được phương

án cực biên tối ưu

Ngày đăng: 08/08/2014, 10:21

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w