Chương 3: Lý thuyết qui hoạch tuyến tính docx

 Một vectơ x thoả mãn đồng thời hệ 1.2 và 1.3 gọi là một phương án hoặc là một lời giải chấp nhận được của bài toán QHTT2  Tập hợp X gồm các phương án hoặc lời giải chấp nhận được gọi

Trang 1

Chương III : LÝ THUYẾT QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

§1 Bài toán Qui hoạch tuyến tính (QHTT) dạng cơ bản

Bài toán (1.1) – (1.3) gọi là bài toán QHTT dạng cơ bản Người ta có

thể phát biểu bài toán (1.1) – (1.3) dưới dạng ma trận như sau :

 Hàm Z trong (1.1) gọi là hàm mục tiêu, vì nó biểu diễn mục tiêu của việcgiải bài toán1

1 Trong thực tế có thể đòi hỏi mục tiêu là tìm cực đại Tuy nhiên dễ dàng chuyễn đổi từ mục tiêu tìm cực đại về mục tiêu tìm cực tiểu bằng cách đặt Z’ = -Z.

Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 55

Trang 2

 Hệ (1.2) gọi là hệ các ràng buộc, vì nó biểu diễn các ràng buộc của bàitoán Vì vậy, các vectơ hàng Ai., i =1,2,…,m, được gọi là các vectơ ràngbuộc.

 Hệ (1.3) cũng là hệ ràng buộc Nhưng do có cấu trúc đặc biệt và hạn chế

về dấu của các biến số nên gọi là hệ các hạn chế

 Một vectơ x thoả mãn đồng thời hệ (1.2) và (1.3) gọi là một phương án hoặc là một lời giải chấp nhận được của bài toán QHTT2

 Tập hợp X gồm các phương án (hoặc lời giải chấp nhận được) gọi là tập

chấp nhận được.

(thỏa mãn (1.1) hoặc (1.4)) gọi là một phương án tối ưu

Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính bao gồm việc nghiên cứu để trả lời haicâu hỏi chủ yếu xoay quanh việc giải quyết bài toán QHTT :

1) Tồn tại hay không một phương án tối ưu như vậy ? và

2) Nếu tồn tại một phương án tối ưu thì làm cách nào để tìm raphưpơng án tối ưu đó

Thông thường đối với một bài toán đặt ra từ thực tế sản xuất kinhdoanh có một số rất lớn các phương án giải quyết (thực hiện) Số phương ánnày có thể lớn đến nỗi mà trong khuôn khổ những phương tiện và khả năngcho phép người ta không thể tìm ra được phương án tối ưu (cho giá trị hàmmục tiêu nhỏ nhất hoặc lớn nhất) Vì vậy, cần phải tìm ra các điều kiện đểnhận biết một phương án là phương án tối ưu và phát triễn các phương pháp

để chỉ cần xét một số (đủ nhỏ) các phương án người ta có thể tìm ra phương

án tối ưu (nếu như có phương án như vậy)

Vì bài toán QHTT là trường hợp đặt biệt của bài toán Qui hoạch lồinên các điều kiện để nhận biết một phương án là tối ưu đã được nêu ở phầncuối chương II Sự tồn tại một phương án tối ưu của bài toán qui hoạch lồiđược đảm bảo bằng sự tồn điểm yên ngựa của hàm Lagrange tương ứng vàlời giải của hệ các điều kiện Kuhn-Tucker Tuy nhiên, cũng có trường hợpbài toán qui hoạch lồi có lời giải tối ưu nhưng hàm Lagrange tương ứngkhông có điểm yên ngựa

Do cấu trúc đặt biệt của bài toán QHTT người ta có thể đưa ra cácđiều kiện tồn tại phương án tối ưu mà không cần phải dựa vào sự tồn tạiđiễm yên ngựa, tức là không cần phải tiến hành giải quyết hệ thống bất đẵng

thức Kuhn-Tucker Đây chính là nội dung của lý thuyết qui hoạch tuyến tính.

1.2 Các tính chất của bài toán QHTT

giải quyết các bài toán xuất phát từ thực tế sản xuất, kinh doanh Ở đó người ta thường khảo sát một

số các phương án sản xuất có thể để tìm ra phương án sản xuất thỏa mãn một cách tốt nhất mục tiêu

đã đề ra.

Trang 3

Dựa vào cấu trúc đơn giản của bài toán QHTT người ta có thể chứngminh các tính chất cơ bản như sau :

Tính chất 1 : Nếu tập chấp nhận được của bài toán QHTT là không rỗng thì

đó là một tập lồi đa diện và có ít nhất một điểm cực biên ; đồng thời số điểm cực biên là hữu hạn

Chứng minh : Định lý này được suy ra trực tiếp từ định lý 5, chương I cho

trường hợp bài toán Qui hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính Trong đó hệràng buộc và hạn chế (1.2) và (1.3) chương này chỉ là trường hợp đặt biệtcủa hệ (5.1)(5.2) chương I.ª

Tính chất 2 : Nếu tập chấp nhận được X khác trống và hàm mục tiêu (1.1) bị

chặn dưới trên tập X thì tồn tại phương án cho giá trị hàm mục tiêu nhỏ nhất (phương án tối ưu); tức là bài toán QHTT giải được.

Chứng minh : Hệ ràng buộc xác định tập X rõ ràng có hạng bằng n vì có

chứa n vectơ đơn vị ej ứng với e , xj 0j = 1,2,…,n Vì vậy có thể áp dụngđịnh lý 5.6 chương I (định lý biểu diễn mở rộng cho tập lồi đa diện) theo đó,nếu xX thì sẽ tồi tại xiX , 00 i  0, i = 1,2,…,p, với p i

 j tương ứng bằng 0.

Trang 4

Tính chất 3 : Nếu bài toán QHTT (1.1)-(1.3) giải được thì sẽ tồn tại ít nhất

một điểm cực biên của X để cho giá trị tối ưu Z min đạt được tại

Lý thuyết QHTT, ngoài việc nghiên cứu và tìm ra các tính chất nhưtrên, còn phát triễn các phương pháp cho phép xác định một số rất ít cácđiểm cực biên của tập X để tìm ra điểm cực biên tối ưu Chương sau sẽ trìnhbày các phương pháp số để giải bài toán QHTT ở nhiều dạng khác nhau.Phần tiếp theo đây sẽ mô tả phương pháp đồ thị (hay còn gọi là phương pháphình học hoặc ý nghĩa hình học) để giải bài toán trên Do phương pháp nàychỉ áp dụng cho trường hợp 2 chiều (hai biến) hoặc tối đa là 3 chiều (ba biến)nên không có ý nghĩa thực tiễn Dù vậy, việc nghiên cưú phương pháp cũnggiúp cho người học hiểu rõ thêm các tính chất của bài toán QHTT và nguyên

lý thực hiên Phương pháp đơn hình ở chương sau

§2 Phương pháp hình học giải bài toán QHTT (1.1)-(1.3)

Mặt dù phương pháp hình học không cò ý nghĩa nhiều trong việc giải cácbài toán QHTT trong thực tế vì các bài toán này thường có rất nhiều ràngbuộc và rất nhiêu các biến số Tuy nhiên việc trình bày phương pháp hìnhhọc cũng sẽ minh họa được các tính chất của bài toán QHTT nêu trên Phương pháp này chủ yếu bao gồm hai bước cơ bản :

1) Thiết lập miền chấp nhận được X

Trang 5

2) Tìm giá trị cực tiểu (hoặc cực đại) của Z trên miền đó.

2.1 Thiết lập miền chấp nhận được X

Trên mặt phẳng tọa độ x20x1, mỗi ràng buộc ở (1.2) có thể được viếtthành :

a 2 x 2 * > 0 thì nửa mặt phẳng tương ứng là nửa mặt phẳng chứa gốc 0 = (0, 0) Trong trường hợp ngược lại thì nửa mặt phẳng phải tìm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ

) b  0 Khi ấy phương trình đường thẳng (2.2) trở thành

Dễ thấy rằng, đường thẳng (2.4) cắt trục Ox 2 tại điểm C = (0, b/a 2 ), nếu a 2

 0 hoặc sẽ song song với Ox 2 ở trường hợp ngược lại Đường thẳng này cũng cắt 0x 1 tại điểm D = (b/a 1 , 0), nếu a 1 0 hoặc song song với 0x 1 Sau khi xác định được hai điểm C và D Nối hai điểm đó ta sẽ có được đường thẳng (2.4) Việc xác định phần mặt phẳng ứng với (2.1) được tiến hành đơn giản hơn Cụ thể như sau :

a) Nếu b > 0 thì nửa mặt phẳng phải tìm không chứa gốc tọa độ.

b) Khi b < 0 thì nửa mặt phẳng tương ứng là nửa mặt phẳng chứa

gốc tọa độ.

Để đánh dấu nửa mặt phẳng tương ứng người ta thường dùng ký hiệumũi tên « » Theo đó phần mặt phẳng hướng theo chiều mũi tên là phầnmặt phẳng phải tìm

4 Để đơn giản ký hiệu, chúng ta bỏ chi số thứ nhất (chỉ số ứng với các hàng của A)

Trang 6

Sau khi đã xác định các phần mặt phẳng ứng với m ràng buộc dạng (2.1).Tập chấp nhận được X sẽ là phần giao của m phần mặt phẳng này với gócphần tư thứ nhất (I) của mặt phẳng tọa độ x20x1 Nếu phần giao này khôngrỗng, tức X , tức là bài toán QHTT có phương án chấp nhận được (Hình) Trong trường hợp ngược lại, X =  và bài toán QHTT không giải được(các ràng buộc mâu thuẩn nhau)

2.2 Tìm lời giải tối ưu

1) Biểu diễn hàm mục tiêu:

Sau khi đã biể diễn tập chấp nhận được X và giả sử X  Bước tiếptheo là tìm trên tập X một điểm x* cho giá trị hàm mục tiêu Z nhỏ nhất Ởtrường hợp hai chiều hàm mục tiêu (1.1) hoặc (1.4) có dạng:

Đây là hệ các đường thẳng vuông góc với trục 0x1 tại điểm (Z/c1, 0) Người

ta dễ dàng vẽ được đường thẳng này ứng với giá trị Z bất kỳ

5 Trường hợp c 1 = c 2 = 0 sẽ làm cho bài toán QHTT không có ý nghĩa kinh tếđồng thời cũng không có ý nghĩa toán học Vì khi đó phương án nào cũng là phương án tối ưu.

Trang 7

3) Tìm giá trị tối ưu :

Khi c2  0 Người ta phân biệt 2 trường hợp nhỏ :

) Với c 2 > 0, ta nhận thấy giá trị Z/c2 giảm khi và chỉ khi Z giảm vàngược lại Vì vậy, đường thẳng ứng với giá trị Z nhỏ nhất là đường thẳngthấp nhất mà có phần giao khác trống với tập chấp nhận được X Để tìmđường thẳng này chỉ cần tịnh tiến đường thẳng

) Khi c2 < 0, giá trị Z/c2 giảm khi và chỉ khi Z tăng và ngược lại Vìvậy, đường thẳng ứng với giá trị Z nhỏ nhất là đường thẳng cao nhất mà cóphần giao khác trống với tập chấp nhận được X Để tìm đường thẳng này chỉcần tịnh tiến đường thẳng

Tương tự, nếu c1 < 0, c2 = 0 thì đường thẳng cuối cùng ở bên phải cógiao khác trống với X sẽ là đường thẳng ứng với giá trị Z nhỏ nhất

X

x2*

0 Zmin/c1= x1* x1

Trang 8

2 2

Zcc

1 1

Zcc

Trang 9

Vì c2 = 3 > 0 và cần tìm Zmin nên phải tịnh tiến đường thẳng hàm mục tiêu

ứng với Z = 0 lên phía trên cho đến khi tiếp xúc với miền chấp nhận được X

thì dừng lại Đây là đường thẳng ứng với giá trị Z nhỏ nhất (là đường thẳng

thấp nhất) Điểm tiếp xúc là giao điểm của hai đường thẳng (II) và (III)

Bằng cách chiếu thẳng góc lên hai trục tọa độ 0x1, 0x2, ta sẽ tính được các

giá trị x1*, x2* ứng với với giá trị tối ưu Z*= Zmin Tuy nhiên, bằng cách giải

hệ 2 phương trình (II), (III) có thể tính được các giá trị này là : x1* = 11/14 ;

x2* = 9/14 Khi đó OA = Zmin/3 = 49/42, và do vậy Zmin = 49/14 Vì đường

thẳng tối ưu chỉ tiếp xúc với tập X ở duy nhất một điểm nên bài toán QHTT

đang xét chỉ có duy nhất một phương án tối ưu ; đó là một điểm cực biên của

Trang 10

Ở bài 3, X là tập hợp không bị chặn ; đó là tập lồi đa diện Đườngthẳng biểu diễn hàm mục tiêu tương ứng có dạng :x2 2x1 Z

> 0, nên để tìm giá trị Z lớn nhất phải tịnh tiến đường thẳng hàm mục tiêulên phía trên Tuy nhiên, do tập chấp nhận được X không bị chặn nên sẽkhông tồn tại đường thẳng cao nhất có phần chung không rỗng với tập X

Điều này cho thấy hàm mục tiêu không bị chặn trên Do dó bài toán QHTT

không có lời giải tối ưu (Z  )

4) Ở hai bài toán 4 và 5 tập chấp nhận được X tà tập rỗng (Hình ) :

Ở bài 4 hai ràng buộc mâu thuẩn nhau Các nửa không gian tương ứng không

có điểm chung Tức là X =  (Hình 3.6a) Trong bài 5, hai nửa mặt phẳngtương ứng có phần chung khác trống nhưng không nằm trong góc phần tưthứ I mà trong góc phần tư thứ III Vì vậy X =  (Hình 3.6b)

Năm ví dụ trên đây, một lần nửa, cho thấy rõ các tính chất cơ bản của bàitoán QHTT là :

Trang 11

i) Nếu miền chấp nhận được khác trống thì nó là tập lồi đa diện (và là

đa diện lồi, nếu bị chặn) và có hữu hạn điểm cực biên.

ii) Nếu miền chấp nhận được của bài toán QHTT khác trống và hàm mục tiêu bị chặn dưới (tương ứng : bị chặn trên) thì bài toán có lời giải tối ưu.

iii) Nếu bài toán QHTT có lời giải tối ưu thì sẽ tồn tại ít nhất một điểm cực biên là lời giải tối ưu.(Ở bài toán 2 có hai diểm cực biên tối ưu, nên có vô số lời giải tối ưu và tập hợp các lời giải tối ưu biểu diễn một diện của tập chấp nhận được X).

Vì vậy, để giải bài toán QHTT, nếu như không có điều kiện nào khác,chỉ cần xét các điểm cực biên của tập chấp nhận được ; so sánh giá trị hàmmục tiêu ở các điểm ấy, sẽ tìm ra giá trị tối ưu hoặc chứng tỏ rằng bài toánQHTT không giải được

§3 Bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu

Tính chất của cặp bài toán QHTT đối ngẫu

3.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu :

Xét bài toán QHTT dạng cơ bản (1.1) – (1.3), ký hiệu là bài toán

Đn 3.1 : Ưng với bài toán (P) người ta định nghĩa bài toán QHTT sau đây

và gọi là bài toán QHTT đối ngẫu với (P), ký hiệu là bài toán (D) (dual) :

Trang 12

a) Chuyễn bài toán QHTT gốc về dạng bài toán (1.1) – (1.3) theo các

kỹ thuật như sau :





1) và đặt a‘ij = -aij, b’i = -bi, ij, sẽ có dạng như (1.2)

iii) Điều kiện xj  0, tương đương với điều kiện –xj  0 Chỉ cần

đổi biến số x’j = -xj sẽ có dạng như (1.3) ;

hạn chế về dấu), có thể đặt xj = xj’ – xj’’ và thêm 2 điều kiện

xj’ 0, xj’’ 0 Hai điều kiện này có dạng (1.3) và dễ thấy

Trang 13

rằng chúng tương đương với điều kiện xj không bị hạn chế vềdấu.

v) Nếu bài toán ban đầu đòi hỏi tìm cực đại của hàm mục tiêu :

Z  max, thì chỉ cần đổi biến số và đặt Z’ = -Z và yêu cầuZ’min Khi đó giá trị tối ưu Zmax = -Z’min Với Z’ mục tieucần tìm có dạng như (1.1)

b) Dùng định nghĩa để tìm bài toán QHTT đối ngẫu tương ứng

Sau đây là cách thực hiện đơn giản :

cụ thể của bài toán gốc).

Ví dụ : Tìm bài toán QHTT đối ngẫu của bài toán sau đây :

Bài giải : Trước hết hãy đưa bài toán trên về dạng cơ bản Chúng ta tiến

hành lần lượt các bước sau đây :

Đặt Z’ = -Z = -4x1 + 2x2 - 5x3 ; nhân 2 vế của ràng buộc 1 với –1 ; thay ràngbuộc 3 bằng hai ràng buộc

Trang 14

đặt x1 = x1’ – x1’’ ; thay x3 bằng x3’= -x3 Bài toán (3.4) tương đương với bàitoán QHTT sau đây :

Trang 15

Đlí 3.1 : Bài toán QHTT đối ngẫu với (D) chính là bài toán (P) 6

Do đó hai bài toán (P) và (D) được gọi là cặp bài toán đối ngẫu 3.2.2 Qui tắc trực tiếp lập bài toán đối ngẫu từ một bài toán gốc bất kỳ :

Bằng cách dùng các kỹ thuật biến đổi tương tự để đưa một bài toánQHTT bất kỳ về dạng cơ bản (1.1) – (1.3), lập bài toán đối ngẫu theo qui tắcchung (như phần 3.2.1), sau đó biến đổi ngược lại, người ta có thể chứngminh Qui tắc trực tiếp lập bài toán đối ngẫu như sau đây Tuy nhiên, theo Đlí3.1, bất kỳ bài toán QHTT nào cũng có bài toán đối ngẫu tương ứng nên cầnphân biệt hai trường hợp :

Ví du : Xét bài toán QHTT đối ngẫu (3.6) Hai ràng buộc đầu tương đương

với ràng buộc duy nhất (dạng đẵng thức):

y1 - 3y’2 – y’3 + y’4 = 4 Đặt y3 = y’4 - y’3, y2 = -y’2, W = -W’ Khi đó bài toán (3.6) trở thành :

6 Trong một số tài liệu khác viết về Lý thuyết QHTT, người ta định nghĩa bài toán gốc có dạng như bài toán (D) còn bài toán đối ngẫu tương ứng có dạng như (P) Theo định lý trên thì hai cách định nghĩa này la tương đương nhau.

Trang 16

3.3 Tính chất của cặp bài toán QHTT đối ngẫu :

Để trình bày các tính chất của cặp bài toán QHTT đối ngẫu chúng ta trởlại dạng bài toán (1.1)-(1.3) và (3.1)-(3.3) hay dạng ma trân (P) và (D) Đểđơn giản chứng minh, ta sử dụng dạng ma trận Ký hiệu

X = {xRn/ Ax  b, x  0}, Y = {y R m / A T y  c, y  0}

là các miền chấp nhận được tương ứng ; Zmin, Wmax là các giá trị tối ưu (nếucó)

TC1 : Giả sử X, Y không rỗng : xX, yY : b,y  c,x (3.8)

Tức là, dù cho x và y chọn như thế nào đi nữa thì giá trị hàm mục tiêu

của bài toán đối ngẫu không bao giờ vượt quá giá tri hàm mục tiêu của bàitoán gốc

Chứng minh (Bài tập 52)

TC2 : Điều kiện cần và đủ để bài toán QHTT (P) giải được là bài toàn

QHTT đối ngẫu (D) cũng giải được Khi đó

Chứng minh : Thật vậy, (P), (D) là các dạng đặc biệt của bài toán QH lồi

cơ bản Do đó có thể áp dụng các kết quả trong chương II cho bài toán (P) và(D) Ta xét (P) Giã sử (P) giải được và x* là lời giải tối ưu Khi đó theoĐịnh lý 2.3 (chương II), sẽ tồn tại y*  0, để cho cặp (x*,y*) là điểm yênngựa của hàm Lagrange LP(x,y) trên miền  = {xRn/ x  0} và {yRn/ y

 0}, trong đó LP(x,y) = c,x + y, b - Ax Theo định lý 2.4 cặp (x*,y*)thỏa mãn các điều kiện Kuhn-Tucker (2.28) dành cho bài toán QHTT với Q

= 0 và p = c:

c - ATy* – v = 0

Ax* – b – u* = 0

x*, v* + y*, u* = 0 x*  0; v*  0; y*  0; u*  0

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	395 KB