chuong 2 QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Mục tiêu chương Sau hoàn thành chương này, sinh viên có thể: Nắm thành phần dạng khác toán qui hoạch tuyến tính; Có thể thực chuyển đổi dạng toán qui hoạch tuyến tính; Xây dựng toán qui hoạch tuyến tính đơn giản kinh tế; Nắm phương pháp giải toán qui hoạch tuyến tính; Hiểu toán đối ngẫu thực biến đổi toán đối ngẫu toán gốc; Hiểu sử dụng phân tích độ nhạy phân tích; Hiểu ứng dụng toán qui hoạch nguyên kinh tế; Sử dụng phần mềm phổ biến để giải toán qui hoạch tuyến tính khác nhau; Đọc phân tích nội dung kết xuất phần mềm phổ biến toán qui hoạch tuyến tính Nội dung chương 2.1 Đặt vấn đề 2.2 Những dạng toán qui hoạch 2.3 Biến đổi dạng toán qui hoạch 2.4 Những phương pháp giải toán qui hoạch tuyến tính 2.5 Bài toán đối ngẫu 2.6 Phân tích độ nhạy 2.7 Qui hoạch nguyên 20 2.1 Đặt vấn đề Qui hoạch tuyến tính phương pháp sử dụng phổ biến nhằm hỗ trợ cho nhà quản trị định Trong thực tế, qui hoạch tuyến tính sử dụng để giải toán sau: Nhà sản xuất muốn xây dựng tiến độ sản xuất sách dự trữ nhằm đảm bảo nhu cầu bán tương lai Tiến độ sách dự trữ đảm bảo cho công ty cung cấp hàng hoá với chi phí sản xuất dự trữ thấp Các nhà phân tích tài phải chọn danh mục đầu tư cho lợi nhuận thu từ đầu tư cực đại Nhà quản trị marketing muốn phân phối quỹ quảng cáo cho phương tiện quảng cáo radio, television, báo, tạp chí Nhà quản trị muốn lựa chọn phương tiện quảng cáo cho hiệu quảng cáo lớn Một công ty có số kho vài nơi Với nhu cầu khách hàng xác định, công ty muốn xác định từ kho, vận chuyển hàng đến khách hàng cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất… Những ví dụ vài tình mà qui hoạch tuyến tính sử dụng thành công, chúng minh họa tính đa dạng ứng dụng qui hoạch tuyến tính Quan sát kỹ, toán có đặc trưng chung Trong ví dụ, quan tâm đến cực đại hay cực tiểu vài đại lượng Trong ví dụ 1, nhà sản xuất muốn cực tiểu chi phí; ví dụ 2, nhà phân tích tài muốn cực đại lợi nhuận từ đầu tư; ví dụ 3, nhà quản trị muốn cực đại hiệu quảng cáo; ví dụ 4, công ty muốn cực tiểu chi phí vận chuyển Trong tất toán qui hoạch tuyến tính, mục tiêu cực đại cực tiểu vài đại lượng Tất toán qui hoạch tuyến tính có đặc trưng ràng buộc Trong ví dụ 1, nhà sản xuất bị ràng buộc số lượng sản phẩm sản xuất lực sản xuất Bài toán cấu đầu tư bị ràng buộc quĩ đầu tư Quyết định lựa chọn phương tiện quảng cáo bị ràng buộc ngân sách tính khả thi phương tiện quảng cáo Trong toán vận tải, cực tiểu chi phí bị ràng buộc khả cung cấp hàng hoá kho Chính vậy, ràng buộc đặc trưng chung thứ hai toán qui hoạch tuyến tính 2.1.1 Bài toán cực đại đơn giản ABC công ty nhỏ chuyên sản xuất sản phẩm hoá chất Trong trình sản xuất, công ty sử dụng nguyên liệu để sản xuất chất phụ gia bazơ hoà tan Chất phụ gia bán cho công ty dầu hoả dùng để sản xuất dầu PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 21 hoả nhiêu liệu liên quan khác Bazơ hoà tan bán cho công ty hoá chất khác dùng để sản xuất sản phẩm lau chùi công nghiệp gia dụng Ba nguyên liệu thô pha trộn thành chất phụ gia bazơ hoà tan Bảng 2-1 Nó thể chất phụ gia hỗn hợp 0,4 nguyên liệu loại 0,6 nguyên liệu loại Một bazơ hoà tan hỗn hợp 0,5 nguyên liệu loại 1; 0,2 nguyên liệu loại 0,3 nguyên liệu loại Bảng 2-1: Nhu cầu nguyên liệu cho sản phẩm Sản phẩm Nguyên liệu Chất phụ gia Bazơ hoà tan Nguyên liệu 0,4 0,5 Nguyên liệu Nguyên liệu 0,2 0,6 0,3 Việc sản xuất ABC bị ràng buộc khả bị giới hạn ba nguyên liệu Với giai đoạn sản xuất tại, ABC có khả cung ứng lượng nguyên liệu sau: Nguyên liệu 1, cung ứng tương ứng 20 tấn, 21 Bộ phận kế toán phân tích số liệu, xác định tất khoản chi phí có liên quan, giá bán cho sản phẩm tính lợi nhuận đạt chất phụ gia, bazơ hoà tan tương ứng 40 ngàn đồng 30 ngàn đồng Bây giờ, dùng qui hoạch tuyến tính xác định số chất phụ gia số bazơ hoà tan cần sản xuất để cực đại lợi nhuận Xây dựng toán (Problem formulation) trình chuyển mệnh đề lời toán sang mệnh đề toán Mệnh đề toán toán mô tả mô hình toán (mathematical model) Phát triển mô hình toán thích hợp nghệ thuật mà tinh thông thực tế kinh nghiệm thực Mặc dù toán có vài đặc trưng riêng có đặc trưng chung tương tự Chúng ta xây dựng mô hình toán cho toán ABC dựa vào phát triển thành toán tổng quát Vấn đề xây dựng toán hiểu toán cách thấu đáo toán ABC muốn xác định loại sản phẩm phải sản xuất để cực đại lợi nhuận Số có nguyên liệu để sản xuất loại sản phẩm giới hạn số sản phẩm sản xuất Những toán phức tạp đòi hỏi phải suy nghĩ nhiều để hiểu Tuy nhiên, hiểu toán cách thấu đáo bước quan trọng việc xây dựng mô hình toán Khi hiểu toán, xác định thành phần khác toán CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 22 Mô tả hàm mục tiêu (objective function): Mục tiêu ABC cực đại tổng lợi nhuận Mô tả ràng buộc (constraints): Ba ràng buộc giới hạn số chất phụ gia bazơ hoà tan sản xuất nguồn nguyên liệu có giới hạn công ty Ràng buộc 1: Số nguyên liệu dùng phải nhỏ 20 Ràng buộc 2: Số nguyên liệu dùng phải nhỏ Ràng buộc 3: Số nguyên liệu dùng phải nhỏ 21 Xác định biến định (Decision Variables): Đối với toán ABC có biến định: (1) số chất phụ gia sản xuất (2) số bazơ hoà tan sản xuất Trong việc xây dựng mô hình toán toán ABC, dùng ký hiệu sau biến định: F= số chất phụ gia sản xuất B= số bazơ hoà tan sản xuất Viết hàm mục tiêu theo biến định: Lợi nhuận ABC sản xuất F chất phụ gia B bazơ hoà tan Vì ABC tạo 40 ngàn đồng lợi nhuận cho chất phụ gia 30 ngàn đồng lợi nhuận cho bazơ hoà tan sản xuất, công ty tạo 40F lợi nhuận sản xuất chất phụ gia 30B lợi nhuận sản xuất bazơ hoà tan Chính vậy, tổng lợi nhuận 40F + 30B Vì hàm mục tiêu hàm biến định F B, nên hàm mục tiêu 40F + 30B Dùng “Max” ký hiệu cho cực đại, viết mục tiêu toán ABC sau: Max 40F + 30B Viết ràng buộc theo biến định: nguồn nguyên liệu công ty có hạn nên xây dựng toán cần quan tâm đến Ràng buộc 1: Số nguyên liệu dùng phải không vượt số nguyên liệu khả dụng Mỗi chất phụ gia mà ABC sản xuất dùng 0,4 nguyên liệu Vì vậy, 0,4F nguyên liệu dùng để sản xuất F chất phụ gia Tương tự, bazơ hoà tan mà ABC sản xuất dùng 0,5 nguyên liệu Vì vậy, 0,5B nguyên liệu dùng để sản xuất B bazơ hoà tan Vì thế, số nguyên liệu dùng để sản xuất F chất phụ gia B bazơ hoà tan là: 0,4F + 0,5B Vì có 20 nguyên liệu dùng để sản xuất, nên mệnh đề ràng buộc 0,4F+0,5B≤20 Ràng buộc 2: Số nguyên liệu dùng phải không vượt số nguyên liệu khả dụng Chất phụ gia không cần dùng nguyên liệu Tuy nhiên, bazơ hoà tan PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 23 mà ABC sản xuất dùng 0,2 nguyên liệu Vì vậy, 0,2B nguyên liệu dùng để sản xuất B bazơ hoà tan Vì thế, số nguyên liệu dùng để sản xuất F chất phụ gia B bazơ hoà tan 0,2B Vì có nguyên liệu dùng để sản xuất, nên mệnh đề ràng buộc 0,2B ≤ Ràng buộc 3: Số nguyên liệu dùng phải không vượt số nguyên liệu khả dụng Mỗi chất phụ gia mà ABC sản xuất dùng 0,6 nguyên liệu Vì vậy, 0,6F nguyên liệu dùng để sản xuất F chất phụ gia Tương tự, bazơ hoà tan mà công ty ABC sản xuất dùng 0,3 nguyên liệu Vì vậy, 0,3B nguyên liệu dùng để sản xuất B bazơ hoà tan Vì thế, số nguyên liệu dùng để sản xuất F chất phụ gia B bazơ hoà tan 0,6F + 0,3B Vì có 21 nguyên liệu dùng cho sản xuất nên mệnh đề toán ràng buộc 0,6F + 0,3B ≤ 21 Những ràng buộc không âm: Số sản xuất chất phụ gia bazơ hoà tan âm Vì thế, ràng buộc không âm phải thêm vào để ngăn chặn biến định F B nhận giá trị âm Những ràng buộc là: F≥0 B≥ Trong toán kinh tế, ràng buộc không âm biến định đặc điểm chung toán qui hoạch tuyến tính viết theo dạng ngắn gọn sau: F, B ≥ Mô hình toán toán ABC: Xây dựng toán hoàn thành thành công việc chuyển mệnh đề lời toán sang mô hình toán học sau: Max 40F + 30B Ràng buộc 0,4F + 0,5B ≤ 20 Nguyên liệu 0,2B ≤ Nguyên liệu 0,6F + 0,3B ≤ 21 Nguyên liệu F,B≥ Nhiệm vụ tìm tập hợp số lượng sản phẩm đảm bảo thoả mãn tất ràng buộc đồng thời hàm mục tiêu đạt giá trị cực đại Một giá trị biến F B tính toán, tìm phương án tối ưu cho toán Mô hình toán học toán ABC toán qui hoạch tuyến tính Bài toán có hàm mục tiêu ràng buộc hàm tuyến tính biến định F B CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 24 Hàm toán học mà biến xuất riêng biệt có bậc gọi hàm tuyến tính Hàm mục tiêu (40F +30B) tuyến tính biến định có bậc Lượng nguyên liệu dùng (0,4F + 0,5B) hàm tuyến tính biến định Tương tự, hàm bên trái ràng buộc bất phương nguyên liệu nguyên liệu (gọi hàm ràng buộc) hàm tuyến tính theo biến định 2.1.2 Bài toán cực tiểu đơn giản Công ty hoá chất MDC sản xuất hai sản phẩm A B để bán làm nguyên liệu cho công ty sản xuất xà phòng Dựa mức tồn kho nhu cầu tiềm cho tháng tới, nhà quản trị xác định tổng mức sản xuất tháng tới hai sản phẩm 350 galông1 Riêng sản phẩm A phải sản xuất 125 galông Để sản xuất galông sản phẩm A, B tương ứng hết 1giờ Trong tháng đến, tổng quỹ thời gian 600 Mục tiêu công ty MDC cực tiểu tổng chi phí sản xuất Chi phí sản xuất galông sản phẩm A B tương ứng ngàn đồng Để cực tiểu chi phí, xây dựng toán qui hoạch tuyến tính Thủ tục xây dựng toán tương tự xây dựng toán công ty ABC, trước tiên phải xác định biến định hàm mục tiêu toán Gọi: A= số galông sản phẩm A sản xuất, B= số galông sản phẩm B sản xuất Vì chi phí cho galông sản phẩm A B tương ứng ngàn đồng, hàm mục tiêu cực tiểu tổng chi phí sản xuất viết sau: Min 2A+3B Tiếp theo, xác định ràng buộc toán Để đảm bảo nhu cầu khách hàng 125 galông sản phẩm A, viết ràng buộc: 1A≥125 Vì tổng sản phẩm sản xuất hai sản phẩm phải 350 galông nên có ràng buộc sau: 1A+1B≥350 Đối với giới hạn lực sản xuất 600giờ, có: 2A+1B≤600 Sau cùng, cần thêm ràng buộc không âm (A, B≥0) Như vậy, toán qui hoạch tuyến tính cho toán MDC mô tả sau: Đơn vị đo lường chất lỏng 4,54 lít Anh 3,78 lít Mỹ PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 25 Min (2A Ràng buộc 1A 1A 2A + 3B) + 1B + 1B A, B ≥ ≥ ≤ ≥ 125 350 600 Nhu cầu sản phẩm A Tổng sản phẩm Thời gian sản xuất 2.1.3 Những ký hiệu chung toán qui hoạch tuyến tính Trong chương này, biểu diễn mô hình toán toán qui hoạch tuyến tính công ty ABC MDC Để xây dựng mô hình toán toán ABC, xác định hai biến định: F số chất phụ gia B số bazơ hoà tan Trong toán MDC, hai biến định ký hiệu: A số galông sản phẩm A B số galông sản phẩm B Chọn tên biến định theo cách để dễ hình dung biến định Nhưng cách tốt cho toán có biến định khó khăn toán có nhiều biến Chúng ta cần phải mô tả biến khái quát Ký hiệu chung thường sử dụng toán qui hoạch tuyến tính x với số Trong toán ABC, ký hiệu biến định sau: x1= số chất phụ gia sản xuất x2= số chất bazơ hoà tan sản xuất Khi đó, mô hình là: Max (40x1 + 30x2) Ràng buộc 0,4x1 + 0,5x2 ≤ 20 Nguyên liệu 0,2x2 ≤ Nguyên liệu 0,6x1 + 0,3x2 ≤ 21 Nguyên liệu x1, x2 ≥ Tương tự, toán MDC, tên biến ký hiệu sau: x1=số galông sản phẩm A sản xuất x2=số galông sản phẩm B sản xuất Như vậy, mô hình toán là: Min 2x1+3x2 Ràng buộc 1x1 ≥ 125 Nhu cầu sản phẩm A 1x1 + 1x2 ≥ 350 Nhu cầu tổng sản phẩm 2x1 + 1x2 ≤ 600 Thời gian sản xuất x1, x2 ≥ CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 26 2.2 Những dạng toán qui hoạch 2.2.1 Những thành phần toán Như vậy, toán qui hoạch tuyến tính bao gồm thành phần sau: Hàm mục tiêu: hàm toán học biến định đạt cực trị Thông thường, kinh tế hàm mục tiêu thể cực đại kết cực tiểu chi phí Các ràng buộc: phương trình hay bất phương trình tuyến tính thể kết hợp biến định Trong kinh tế, ràng buộc thể hạn chế nguồn lực Các ràng buộc dấu biến định: biến định toán kinh tế thường không âm Tuy nhiên, trường hợp tổng quát, biến nhận giá trị âm 2.2.2 Các dạng toán qui hoạch tuyến tính Qua nghiên cứu toán qui hoạch tuyến tính, khái quát toán qui hoạch tuyến tính gồm dạng bản: dạng tổng quát, dạng tắc dạng chuẩn Mỗi dạng có đặc trưng riêng có cách giải riêng Trong dạng chuẩn sở cho phương pháp đơn hình Nắm vững loại để chuyển đổi loại Dạng tổng quát: Đây dạng gặp nhiều thực tế, cụ thể toán dạng có thành phần sau: Hàm mục tiêu n n j=1 j=1 f ( x ) = ∑ c j x j → min(max ) hay Min (Max )∑ c j x j Ràng buộc ⎧ n ⎪ ∑ a ij x j =b i i ∈ I1 ⎪ j=1 ⎪n ⎨∑ a ij x j ≤ b i i ∈ I ⎪ j=1 ⎪n ⎪∑ a ij x j ≥ b i i ∈ I ⎩ j=1 Trong đó: I1∪ I2 ∪I3 ={1, 2,…, m} Ràng buộc dấu xj≥0 (j∈J1); xj≤0 (j∈J2); xj tuỳ ý (j∈J3) PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 27 Trong đó: J1∪J2∪ J3 ={1, 2,…, n}  Ví dụ: Bài toán sau có dạng tổng quát: Max (3x − x + 2x + x S.t 2x − x + x + 2x 4x − 2x + x x1 x1 − + x2 x2 + 2x + 2x x4 + 5x ) + x5 ≤ = + x5 ≥ − 18 ≤ 100 17 20 x , x ≥ 0; x , x ≤ 0; x tùy ý Dạng tắc Bài toán dạng tắc toán có đặc trưng sau: - Các ràng buộc phương trình, - Các biến số không âm, - Vế phải nhận giá trị Bài toán dạng tắc mô tả theo ký hiệu ma trận sau: Min (Max) cxT Ràng buộc AxT =b x≥0 Với ⎛ a 11 a 12 a j a 1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 21 a 22 a j a n ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ A=⎜ ⎜ a i1 a i a ij a in ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜a ⎟ ⎝ m1 a m a mj a mn ⎠ bT=(b1 b2 … bm) véc tơ số hạng tự (vế phải) hệ ràng buộc x = (x1 x2 …xn) véc tơ biến định c = (c1 c2 …cn) véc tơ hệ số hàm mục tiêu  Ví dụ: Bài toán sau có dạng có dạng tắc Hàm mục tiêu Min (3x − x + x − 3x + x ) CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 28 Ràng buộc 2x + x 2x − 2x x1 − x − x3 + x3 + 2x + 3x = = 20 = − 18 + x5 Ràng buộc dấu x1, x2, x3, x4, x5 ≥0 Dạng chuẩn Hàm mục tiêu n f ( x ) = ∑ c j x j → (max) j=1 Ràng buộc ⎧x ⎪ x2 ⎪ ⎨ O ⎪ ⎪⎩ xm Ràng buộc dấu + + a 1( m +1) x ( m +1) a ( m +1) x ( m +1) K K K K K K a m ( m +1) x ( m +1) K a mn x n + + + + K K + + + a 1n x n a 2n x n = = b1 b2 K K = bm xj ≥0 ∀j = 1, n bi≥0 ∀i = 1, m Bài toán dạng chuẩn mô tả theo ký hiệu ma trận sau: Min (Max) cxT Ràng buộc AxT =b x≥0 Với ⎛ L a 1( m +1) L a 1n ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ L a ( m +1) L a n ⎟ A=⎜ L L L L L L L⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 L a L a mn ⎟⎠ m ( m +1) ⎝ Ì Nhận xét: Bài toán dạng chuẩn dạng toán dạng tắc có thêm điều kiện, là: - Các số hạng tự không âm (các số hạng vế phải không âm) ; - Ma trận hệ số ràng buộc A có chứa ma trận đơn vị cấp m Nói cách khác, hệ ràng buộc hệ phương trình chuẩn PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 72 Chúng ta bắt đầu xác định biến định sau: B = số biệt thự C= số chung cư Hàm mục tiêu (1000$) Max(10B +15C) Ba ràng buộc phải thoả mãn là: 282B + 400C≤ 2000 Quĩ khả dụng 4B + 40C ≤ 140 Thời gian nhà quản trị B ≤5 Số nhà mua Biến B C phải không âm nguyên Mô hình toán ASIA qui hoạch tuyến tính nguyên hoàn toàn sau: Max 10B + 15C Ràng buộc 282B + 400C≤ 2000 Quĩ khả dụng 4B + 40C ≤ 140 Thời gian nhà quản trị B ≤5 Số nhà mua B, C ≥ nguyên Việc giải toán ASIA nói riêng toán qui hoạch nguyên phức tạp Thông thường, cần có trợ giúp phần mềm chuyên nghiệp Để giải toán qui hoạch nguyên sử dụng phương pháp sau: Giải đồ thị toán qui hoạch nguyên nới lỏng LPR Giả sử chúng bỏ ràng buộc nguyên B C giải toán LPR ASIA Dùng thủ tục giải đồ thị trình bày trên, phương án tối ưu toán qui hoạch tuyến tính Hình 2-19 Đó B=2,479 biệt thự C=3,252 chung cư Giá trị tối ưu hàm mục tiêu 73,574 Không may mắn, ASIA mua phần biệt thự chung cư nên phân tích thêm cần thiết Làm tròn để có phương án nguyên Trong nhiều trường hợp, phương án không nguyên làm tròn để có phương án nguyên chấp nhận Làm tròn cách tiếp cận chấp nhận Bất làm tròn mà có ảnh hưởng nhỏ đến hàm mục tiêu ràng buộc hầu hết các quản trị chấp nhận Một phương án gần tối ưu tốt Tuy nhiên, làm tròn có lẽ chiến lược tốt Khi biến định nhận giá trị nhỏ mà có ảnh hưởng lớn đến hàm mục tiêu miền chấp nhận, phương án nguyên cần thiết Chúng ta quay lại toán PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 73 ASIA kiểm tra ảnh hưởng làm tròn Phương án tối ưu toán LPR ASIA B=2,79 biệt thự C=3,252 chung cư Vì chi phí nhà 282000$ chung cư 400000$, làm tròn thành phương án nguyên làm ảnh hưởng đến giá trị hàm mục tiêu ràng buộc nguồn lực Hình 2-19: Giải đồ thị toán LPR toán ASIA Giả sử làm tròn phương án LPR để phương án nguyên B= C=3, với giá trị hàm mục tiêu 10(2) + 15(3) = 65 Dòng tiền năm 65000$ thực chất nhỏ 73574$ xác định phương án LPR Liệu làm tròn cách khác không? Nghiên cứu phương án làm tròn khác B=3 C=3 không chấp nhận đòi hỏi quĩ tiền tệ lớn 2000000$ mà ASIA có Phương án làm tròn B=2 C=4 không chấp nhận với lý tương tự Trường hợp này, làm tròn đến biệt thự chung cư với dòng tiền năm 65000$ phương án chấp nhận tốt Không may mắn, phương án có phải phương án nguyên tối ưu toán hay không Làm tròn để có phương án nguyên phương pháp thử sai Mỗi phương án làm tròn phải đánh giá tính chấp nhận ảnh hưởng đến giá trị hàm mục tiêu Dù số trường hợp phương án làm tròn CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 74 chấp nhận, không đảm bảo có phương án nguyên tối ưu Chúng ta thấy phương án làm tròn (B=2 C=3) phương án tối ưu ASIA Giải đồ thị toán qui hoạch nguyên hoàn toàn Hình 2-20 thể thay đổi thủ tục giải qui hoạch tuyến tính đồ thị để giải toán qui hoạch tuyến tính nguyên hoàn toàn ASIA Đầu tiên, đồ thị miền chấp nhận vẽ xác toán LPR Vì phương án tối ưu phải giá trị nguyên, nên xác định phương án nguyên chấp nhận với điểm Hình 2-20 Cuối cùng, thay di chuyển đường hàm mục tiêu đến điểm cực biên miền chấp nhận, di chuyển theo hướng cải thiện đến điểm biên (điểm nguyên chấp nhận được) cho giá trị tốt hàm mục tiêu Xem lại Hình 2-20, thấy phương án nguyên tối ưu điểm B=4 biệt thự C=2 chung cư Giá trị hàm mục tiêu 10(4)+15(2)=70 cung cấp dòng tiền hàng năm 70000$ Phương án có ý nghĩa phương án tốt cách làm tròn: B=2, C=3 với dòng tiền năm 65000$ Vì thế, thấy làm tròn chiến lược tốt cho toán ASIA Dùng LPR để thiết lập cận Một quan sát quan trọng từ phân tích toán ASIA thiết lập mối liên hệ giá trị phương án nguyên tối ưu giá trị phương án tối ưu toán LPR Đối với qui hoạch tuyến tính nguyên dạng Max, giá trị hàm tối ưu ứng với phương án tối ưu LPR cung cấp cận giá trị hàm mục tiêu ứng với phương án nguyên tối ưu Đối với qui hoạch tuyến tính nguyên dạng Min, giá trị hàm mục tiêu ứng với phương án tối ưu LPR cung cấp cận giá trị hàm mục tiêu ứng với phương án nguyên tối ưu Sự quan sát hợp lý toán ASIA Giá trị hàm mục tiêu ứng với phương án nguyên tối ưu 70000$ giá trị hàm mục tiêu ứng với phương án tối ưu LPR 73574$ Vì thế, biết từ giá trị hàm mục tiêu ứng với phương án tối ưu LPR mà cận giá trị hàm mục tiêu toán nguyên 73574$ Tính chất cận LPR cho phép kết luận rằng, thay đổi, phương án LPR tạo phương án nguyên, tối ưu toán qui hoạch tuyến tính nguyên Tính chất cận giúp xác định phương án làm tròn có “đủ tốt” hay không Nếu làm tròn phương án LPR chấp nhận cung cấp giá hàm mục tiêu “tốt gần như” giá trị hàm mục tiêu LPR, biết phương án làm tròn phương án nguyên gần tối ưu Trong tình thế, tránh giải toán qui hoạch tuyến tính nguyên PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 75 Hình 2-20: Phương án giải đồ thị toán qui hoạch nguyên Giải máy tính Như nói trước, phần mềm máy tính giải toán qui hoạch tuyến tính nguyên Tổng quát, phần mềm đáng tin cậy cho toán có xấp xỉ 100 biến nguyên có lẽ dùng để giải những toán có cấu trúc đặc biệt với vài ngàn biến nguyên Dữ liệu đầu vào hoàn toàn giống toán qui hoạch tuyến tính ý thêm điều kiện biến nguyên Tuỳ thuộc vào phần mềm mà việc nhập liệu cho toán nguyên hoàn toàn hay qui hoạch nguyên phận có khác Trong EXCEL, cần thêm ràng buộc nguyên biến nguyên giải Trong WinQSB vậy, nhập thuộc tính biến cần rõ biến biến nguyên Giải phần mềm định lượng WinQSB, có kết cho toán ASIA Hình 2-21 CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 76 Hình 2-21: Kết giải WinQSB 2.6.3 Những ứng dụng qui hoạch có biến 0–1 Nhiều toán qui hoạch tuyến tính nguyên có biến 0-1 Trong ứng dụng này, biến 0-1 cung cấp lựa chọn giá trị biến tương ứng với hành động đồng ý hành động không đồng ý Các toán sau dùng biến 0-1 Dự toán vốn Công ty thiết bị đông lạnh quan tâm đầu tư vào số dự án: Mở rộng nhà máy, Mở rộng kho, Mua máy móc thiết bị, Nghiên cứu sản phẩm mà nhu cầu vốn khác qua năm tới Vì giới hạn nguồn vốn năm, nhà quản trị muốn chọn dự án có lợi nhuận lớn Những giá trị lợi nhuận ước lượng cho dự án, nhu cầu vốn nguồn vốn dùng qua giai đoạn năm Bảng 2-14 Bảng 2-14: Lợi nhuận thuần, nhu cầu vốn, vốn khả dụng Công ty Dự án (1000$) Mở rộng Mở rộng Mua Nghiên cứu Tổng vốn nhà máy kho MMTB sản phẩm khả dụng Lợi nhuận Vốn năm 90 15 40 10 Vốn năm 20 Vốn năm Vốn năm 10 10 37 15 40 15 10 50 20 20 10 40 15 10 35 Bốn biến định 0–1 sau: P=1 dự án mở rộng nhà máy chấp nhận; bị bác bỏ; PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 77 W=1 dự án mở rộng kho chấp nhận; bị bác bỏ; M=1 dự án mua MMTB chấp nhận; bị bác bỏ; R=1 dự án nghiên cứu SP chấp nhận; bị bác bỏ Hàm mục tiêu cực đại lợi nhuận theo giá trị dự án Bài toán có ràng buộc: quĩ khả dụng năm năm đến Mô hình qui hoạch tuyến tính nguyên 0-1 (1000$) sau: Max (90P + 40W + 10M +37R) Ràng buộc 15P + 10W + 10M + 15R ≤40 Khả vốn năm 20P + 15W + + 10R ≤ 50 Khả vốn năm 20P + 20W + + 10R ≤ 40 Khả vốn năm 15P + 5W + 4M + 10R ≤35 Khả vốn năm P, W, M, R= 0,1 Phương án qui hoạch nguyên tối ưu giải WinQSB Hình 2-19 Phương án tối ưu P=1, W=1, M=1, R=0, tổng lợi nhuận ước lượng 140000$ Vì công ty cấp tiền mở rộng máy móc thiết bị, mở rộng kho dự án máy móc thiết bị Dự án nghiên cứu sản phẩm chưa chấp nhận ngoại trừ huy động thêm vốn Giá trị biến phụ (xem Hình 2-22) thể công ty lại 5000$ năm 1; 15000$ năm 11000$ năm Kiểm tra nhu cầu vốn cho dự án nghiên cứu sản phẩm mới, thấy đủ vốn cho năm năm Tuy nhiên, công ty huy động thêm vốn 10000$ năm 10000$ năm cho dự án nghiên cứu sản phẩm Hình 2-22: Giải máy tính toán Dự toán vốn CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 78 Chi phí cố định Trong số ứng dụng, chi phí sản xuất có hai thành phần: chi phí cố định (phát sinh có tiến hành sản xuất) chi phí biến đổi (là chi phí có liên quan trực tiếp đến lượng sản xuất) Dùng biến 0-1 để đưa chi phí cố định vào mô hình sản xuất Xem lại toán ABC Ba nguyên liệu thô dùng để sản xuất sản phẩm: chất phụ gia, bazơ hoà tan chất chùi thảm Bài toán gồm biến định sau: F=số chất phụ gia sản xuất; B=số chất bazơ hoà tan sản xuất; C=số chất chùi thảm sản xuất Lợi nhuận chất phụ gia 40 ngàn đồng, bazơ hoà tan 30 ngàn đồng chất chùi thảm 50 ngàn đồng Mỗi chất phụ gia hỗn hợp 0,4 nguyên liệu 0,6 nguyên liệu Mỗi bazơ hoà tan sử dụng 0,5 nguyên liệu 1; 0,2 nguyên liệu 0,3 nguyên liệu Mỗi chất chùi thảm hỗn hợp 0,6 nguyên liệu 1; 0,1 nguyên liệu 0,3 nguyên liệu Hiện nay, công ty ABC có 20 nguyên liệu 1; nguyên liệu 21 nguyên liệu quan tâm xác định lượng sản phẩm sản xuất tối ưu Mô hình qui hoạch tuyến tính toán ABC là: Max 40F +30B + 50C Ràng buộc 0,4F + 0,5B +0,6C ≤ 20 Nguyên liệu 0,2B +0,1 C ≤ Nguyên liệu 0,6F + 0,3B +0,3C ≤21 Nguyên liệu F, B, C ≥0 Giải ra, phương án tối ưu có 27,5 chất phụ gia, bazơ hoà tan 15 chất chùi thảm với giá trị hàm mục tiêu 1850 ngàn đồng Hình 2-23 Hình 2-23: Phương án giải máy tính toán ABC Xây dựng toán qui hoạch tuyến tính toán ABC không bao gồm chi phí cố định để sản xuất sản phẩm Giả sử có nguồn liệu chi phí cố định lượng sản xuất tối đa cho sản phẩm Bảng 2-15 PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 79 Bảng 2-15: Chi phí cố định nhu cầu loại sản phẩm Chi phí cố định (ngàn đồng) Lượng tối đa (tấn) Chất phụ gia 200 50 Bazơ hoà tan 50 25 400 40 Sản phẩm Chất chùi thảm Biến 0-1 dùng để đưa chi phí cố định vào mô hình sản xuất Biến 0-1 xác định sau: SF = chất phụ gia sản xuất; không sản xuất SB = bazơ hoà tan sản xuất; không sản xuất SC = chất chùi thảm sản xuất; không sản xuất Khi dùng biến này, tổng chi phí cố định là: 200SF + 50SB+400SC Bây giờ, viết lại hàm mục tiêu gồm chi phí cố định Vì thế, lợi nhuận ròng trở thành: Max 40F + 30B + 50C - 200SF - 50SB - 400SC Tiếp đến, phải viết ràng buộc lực sản xuất cho biến thiết lập 0, sản phẩm tương ứng không sản xuất và, biến thiết lập 1, cho phép sản xuất với mức tối đa Đối với chất phụ gia, thêm ràng buộc sau: F ≤ 50SF Chú ý rằng, với ràng buộc này, sản xuất chất phụ gia không phép SF = Khi SF = 1, cho sản xuất tới 50 chất phụ gia Chúng ta nghĩ biến thiết lập công tắc Khi tắt (SF = 0), không cho phép sản xuất; bật (SF = 1), cho phép sản xuất Những ràng buộc lực sản xuất tương tự, dùng biến 0-1 cho chất bazơ hoà tan chất chùi thảm B ≤ 25SB C ≤ 40SC Chuyển vế tất biến sang vế bên trái ràng buộc, mô hình chi phí cố định toán ABC sau: Max 40F + 30B + 50C - 200SF - 50SB - 400SC Ràng buộc 0,4F + 0,5B + 0,6C ≤20 Nguyên liệu 0,2B + 0,1C ≤5 Nguyên liệu 0,6F+ 0,3B+ 0,3C ≤21 Nguyên liệu F- 50SF ≤0 Max F B- 25SB ≤0 Max B C- 40SC ≤0 Max C F, B, C≥0; SF, SB, SC=0, Chúng ta giải toán ABC WinQSB Với kết Hình 2-24, CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 80 phương án tối ưu gồm 25 chất phụ gia 20 bazơ hoà tan Giá trị hàm mục tiêu sau khấu trừ chi phí cố định 1350 ngàn đồng Chi phí cố định chất phụ gia bazơ hoà tan 200+50=250 ngàn đồng Phương án tối ưu thể SC=0, chi phí cố định chất chùi thảm cao 400 ngàn đồng nên tránh Vì chất chùi thảm không sản xuất Hình 2-24: Giải máy tính toán ABC có chi phí cố định Mấu chốt để phát triển toán chi phí cố định dùng biến 0-1 cho chi phí cố định cận cho biến sản xuất tương ứng Đối với lượng sản phẩm sản xuất x, ràng buộc theo dạng x≤My dùng phép sản xuất biến thiết lập y=1 không cho phép sản xuất biến thiết lập y=0 Lượng sản phẩm sản xuất tối đa M đủ lớn phép tất mức sản xuất hợp lý người nghiên cứu không chọn giá trị M lớn Dùng biến 0–1 nhằm tăng tính linh hoạt việc xây dựng mô hình Như vậy, nghiên cứu ứng dụng có biến 0-1 Trong phần này, tiếp tục sử dụng biến 0-1 mô hình Trước tiên, trình bày biến 0-1 sử dụng để mô hình hoá ràng buộc đa lựa chọn Sau đó, trình bày biến 0–1 sử dụng để mô hình hoá tình mà cần lựa chọn k số n dự án, tình mà chấp nhận dự án điều kiện chấp nhận dự án khác Những ràng buộc đa lựa chọn ràng buộc loại trừ Xem lại toán phân bổ vốn công ty Đông lạnh giới thiệu trước Các biến định xác định sau: P=1 dự án mở rộng nhà máy chấp nhận; bị bác bỏ; W=1 dự án mở rộng kho chấp nhận; bị bác bỏ; M=1 dự án mua máy móc thiết bị chấp nhận; bị bác bỏ; R=1 dự án nghiên cứu sản phẩm chấp nhận; bị bác bỏ Giả sử rằng, thay dự án mở rộng kho, Công ty Đông lạnh có dự án PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 81 mở rộng kho để xem xét Một kho phải mở rộng tăng nhu cầu sản phẩm, nhu cầu không đủ tiền để xây dựng nhiều kho Những định nghĩa biến ràng buộc đa lựa chọn sau hợp vào mô hình qui hoạch nguyên 0-1 để phản ảnh tình W1=1 dự án mở rộng kho gốc chấp nhận; bị bác bỏ; W2=1 dự án mở rộng kho thứ hai chấp nhận; bị bác bỏ; W3=1 dự án mở rộng kho thứ ba chấp nhận; bị bác bỏ Các ràng buộc đa lựa chọn đòi hỏi dự án phải chọn: W1+W2+W3=1 Vì W1, W2 W3 cho phép giả sử giá trị hay 1, ba dự án lựa chọn Nếu yêu cầu kho phải mở rộng không tồn tại, ràng buộc đa lựa chọn điều chỉnh sau: W1+W2+W3 ≤ Sự điều chỉnh cho phép tình kho mở rộng (W1=W2=W3=0) không cho phép mở rộng nhiều kho Những loại ràng buộc thường gọi ràng buộc loại trừ lẫn Ràng buộc k số n phương án Mở rộng khái niệm ràng buộc đa lựa chọn dùng để mô hình hoá tình lựa chọn k số n dự án — ràng buộc k số n phương án Giả sử W1, W2, W3, W4 W5 thể dự án mở rộng kho chọn dự án Các ràng buộc thoả mãn điều kiện là: W1+W2+W3+W4+W5=2 Nếu không nhiều hai dự án lựa chọn, dùng ràng buộc sau: W1+W2+W3+W4+W5 ≤ Mỗi biến phải bị ràng buộc giá trị 0-1 Ràng buộc có điều kiện ràng buộc tiên Thỉnh thoảng chấp nhận dự án điều kiện chấp nhận dự án khác Ví dụ, giả sử Công ty Thiết bị Đông lạnh, dự án mở rộng kho điều kiện dự án mở rộng nhà máy Điều có nghĩa là, nhà quản trị không xem xét mở rộng kho trừ nhà máy mở rộng Với P thể mở rộng nhà máy W thể mở rộng nhà kho, ràng buộc có điều kiện sử dụng để thể ràng buộc này: W≤P Cả P W hay Vậy, P=0 W=0 Khi P=1, W CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 82 1; thế, nhà máy kho mở rộng Tuy nhiên, ý ràng buộc có trước không buộc dự án mở rộng kho phải chấp nhận dự án mở rộng máy móc thiết bị chấp nhận Nếu dự án mở rộng kho chấp nhận dự án nhà máy chấp nhận, nói P W thể ràng buộc tiên Để mô hình hoá tình này, viết ràng buộc sau: W= P Ràng buộc bắt buộc P W nhận giá trị ÌChú ý phân tích độ nhạy qui hoạch nguyên Phân tích độ nhạy toán qui hoạch tuyến tính nguyên thường quan trọng so với qui hoạch tuyến tính khác Một thay đổi nhỏ hệ số ràng buộc nguyên nhân dẫn đến thay đổi lớn giá trị phương án tối ưu Để hiểu sao, xem xét toán qui hoạch nguyên Dự toán vốn cho dự án ràng buộc ngân sách: Max 40x1 + 60x2 + 70x3 +160x4 Ràng buộc 16x1 +35x2 + 45x3 + 85x4 ≤ 100 x1, x2, x3, x4 = 0, Chúng ta có phương án tối ưu: x1=1, x2 =1, x3 =1 x4=0, với giá trị hàm mục tiêu 170 ngàn đồng Tuy nhiên, ngân sách khả dụng tăng ngàn đồng (từ 100 ngàn đồng đến 101 ngàn đồng), phương án tối ưu x1=1, x2=0, x3=0 x4=1, với giá trị hàm mục tiêu 200 ngàn đồng Điều có nghĩa là, tăng ngàn đồng ngân sách dẫn đến tăng 30 ngàn đồng lợi nhuận Chắc chắn nhà quản trị, đối mặt tình thế, tăng ngàn đồng cho ngân sách Vì giá trị phương án tối ưu nhạy hệ số ràng buộc, nhà thực hành khuyên cần giải toán qui hoạch tuyến tính nguyên vài lần với thay đổi nhỏ hệ số trước chọn phương án tốt để triển khai Câu hỏi ôn tập Thế toán qui hoạch tuyến tính? Hãy nêu số ứng dụng toán qui hoạch tuyến tính kinh tế Nêu dạng khác toán qui hoạch tuyến tính Nêu cách chuyển đổi dạng toán qui hoạch tuyến tính PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 83 Nêu bước giải toán qui hoạch tuyến tính phương pháp đồ thị Nêu bước giải toán qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình Thế toán đối ngẫu, nêu cách chuyển toán dạng tổng quát sang toán đối ngẫu Thế phân tích độ nhạy? Nêu ứng dụng phân tích độ nhạy kinh tế Nêu qui tắc 100% phân tích độ nhạy hệ số hàm mục tiêu Nêu qui tắc 100% phân tích độ nhạy vế phải 10 Thế toán qui hoạch nguyên? Nêu loại toán qui hoạch nguyên 11 Thế toán qui hoạch nguyên 0-1? Nêu ứng dụng loại toán qui hoạch nguyên 0-1 12 Nêu bước giải toán qui hoạch tuyến tính EXCEL 13 Nêu bước giải toán qui hoạch tuyến tính WinQSB Bài tập 2.1 Những mối liên hệ toán học sau có hay toán qui hoạch tuyến tính, sao? -2x1 + 2x2 - 11x3 ≤ 70 ≤ 50 2x1 + 2x2 3x2 – 2x2 + 4x3 ≥ 10 ≥ 15 3x1 - 11x2 31x1 +21x2 - 16x3 = 2x1 + 5x2 - x1x2 ≥25 2.2 Tìm phương án thoả mãn ràng buộc sau: 4x1 + 2x2 ≤ 16 4x1 + 2x2 ≥ 16 4x1 + 2x2 = 16 2.3 Vẽ đồ thị đường ràng buộc tìm phương án thoả mãn ràng buộc sau: 3x1 + 2x2 ≤18 12x1 + 8x2 ≥ 480 5x1 +10x2 = 200 CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 84 2.4 Vẽ đồ thị đường ràng buộc tìm phương án thoả mãn ràng buộc sau: x1 ≥ 0,25 (x1 + x2) x2 ≤0,10 (x1 + x2) x1 ≤ 0,50 (x1 + x2) 2.5 Có hàm mục tiêu toán qui hoạch tuyến tính 7x1 + 10x2, 6x1 + 4x2 -4x1 +7x2 Vẽ đồ thị cho giá trị hàm mục tiêu 420 2.6 Xác định vùng chấp nhận với ràng buộc sau: 0,5x1 + 0,25x2 ≥ 30 1x1 + 5x2 ≥ 250 0,25x1 + 0,5x2 ≤ 50 x1, x2 ≥ 2.7 Xác định vùng chấp nhận với ràng buộc sau: 2x1 - 1x2 ≤ -1x1 +1,5x2 ≤ 200 x1, x2 ≥ 2.8 Xác định vùng chấp nhận cho ràng buộc sau: 3x1 - 2x2 ≥ 2x1 - 1x2 ≤ 200 ≤150 1x1 x1, x2 ≥ 2.9 Cho toán qui hoạch tuyến tính Max 2x1 + 3x2 S.t x1+2x2 ≥ 5x1 +3x2 ≤ 15 x1, x2 ≥ a Chuyển toán dạng tắc; b Dùng thủ tục đồ thị để tìm phương án tối ưu; c Giá trị hàm tối ưu tương ứng với phương án tối ưu? 2.10 Cho toán qui hoạch tuyến tính sau: Max 5x1 + 5x2 ≤ 100 S.t x1 x2 ≤ 80 PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 85 2x1 +4x2 ≤ 400 x1, x2 ≥ a Dùng phương pháp đồ thị để giải toán; b Giả sử biến x2 nguyên, giải lại toán 2.11 Xem toán qui hoạch tuyến tính sau: Max 3x1 + 3x2 S.t 2x1 + 4x2 ≤12 6x1 + 4x2 ≤ 24 x1, x2 ≥0 a Chuyển toán dạng chuẩn tắc; b Dùng phương pháp đồ thị để giải; c Nếu hàm mục tiêu thay đổi thành 2x1 + 6x2, phương án tối ưu bao nhiêu? d Có điểm cực biên? Giá trị x1 x2 điểm cực biên? 2.12 Xem toán qui hoạch tuyến tính sau: Max x1 + 2x2 ≤5 S.t x1 x2 ≤ 2x1 + 2x2 ≤12 x1, x2 ≥0 a Vẽ vùng chấp nhận; b Những điểm cực biên vùng chấp nhận gì? c Tìm phương án tối ưu phương pháp đồ thị 2.13 Công ty Embassy Motorcycles (EM) sản xuất hai loại xe mô tô với thiết kế điều khiển đơn giản an toàn Mô hình EZ-Rider sử dụng kiểu động mới, dáng xe thấp nên dễ điều khiển Mô hình Lady-Sport lớn chút, dùng kiểu động truyền thống thiết kế đặc biệt cho nữ Công ty sản xuất hai động nhà máy Des Moines Mỗi động EZ-Rider yêu cầu sản xuất động Lady-Sport yêu cầu sản xuất Nhà máy Des Moines có 2100 sản xuất dành cho thời kỳ sản xuất đến Khung xe nhà cung cấp đảm bảo số lượng theo yêu cầu Tuy nhiên, khung xe LadySport phức tạp nên nhà cung cấp đáp ứng nhiều 280 khung cho thời kỳ sản xuất đến Công việc lắp ráp kiểm tra yêu cầu xe EZ-Rider 2,5 xe Lady-Sport Thời gian tối đa cho công việc lắp ráp kiểm tra cho thời kỳ sản xuất đến 1.000 Bộ phận CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 86 kế toán dự kiến xe EZ-Rider có mức lợi nhuận 2.400$ xe Lady – Sport 1800$ a Xây dựng mô hình qui hoạch tuyến tính để xác định số máy cần sản xuất cho loại cho tối đa lợi nhuận; b Giải toán phương pháp đồ thị; c Giải toán phương pháp đơn hình 2.14 Par, Inc công ty sản xuất dụng cụ đồ dụng chơi golf Nhà phân phối thuyết phục với công ty Par có thị trường cho túi golf giá trung bình (kiểu chuẩn) túi golf giá cao (kiểu cao cấp) Các nhà phân phối tin tưởng vào thị trường nên túi golf có giá cạnh tranh họ mua toàn túi mà Par sản xuất tháng đến Bảng sau giới thiệu định mức thời gian lợi nhuận đơn vị loại túi golf: Thời gian sản xuất (giờ) Cắt Hoàn Kiểm tra Lợi nhuận biên Sản phẩm May thành nhuộm đóng gói ($) Chuẩn 7/10 1/2 1/10 10 Cao cấp 5/6 2/3 1/4 Trong tháng đến, giám đốc sản xuất dự tính có 630 cắt nhuộm, 600 may, 708 hoàn thành 135 kiểm tra đóng gói khả thi để sản xuất túi golf a Công ty cần sản xuất túi để tối đa lợi nhuận? b Lợi nhuận công ty sản xuất số lượng túi này? c Bao nhiêu sử dụng cho hoạt động sản xuất? d Thời gian thừa loại hoạt động? 2.15 Giả sử nhà quản trị Par (Bài 2.14) gặp phải tình sau: a Bộ phận kế toán điều chỉnh mức lợi nhuận dự tính cho loại túi cao cấp 18$ b Nhờ vào nguyên liệu giá thấp để sản xuất loại túi chuẩn nên lợi nhuận đơn vị cho túi chuẩn tăng lên 20$ (Giả sử lợi nhuận đơn vị túi cao cấp 9$) c Nhờ vào thiết bị may nên cho phép tăng lực may đến 750 (giả thiết hàm mục tiêu 10x1 + 9x2 thích hợp) Nếu xem xét tình cách độc lập, xác định phương án tối ưu tổng lợi nhuận? PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ [...]... và kết quả như trên Bảng 2- 10 Bảng 2- 10: Các bước của thuật toán x1 x2 x3 x4 Biến cơ Phương Hệ số bản án 2 4 -2 0 λ x5 M 1 -2 1 0 27 27 x6 M 2 1 2 0 50 25 x4 0 1 1 -1 1 18 -2 -4 2 0 0 3 -1 3 0 77 x5 M 0 -5 /2 0 0 2 x3 -2 1 1 /2 1 0 25 x4 0 2 -1 /2 0 1 43 -4 -5 0 0 -50 0 -5 /2 0 0 2 Đến đây phương án đã tối ưu là (x*0)T=(x1 x2 x3 x4 x5 x6)= (0 0 25 43 2 0) nhưng còn biến giả x5 =2> 0 nên bài toán xuất phát... toán xuất phát là: x0=(x1 x2 x3)=(0 7/5 4/5) Với phương án này, hàm mục tiêu đạt được là f(x0)=17  Ví dụ: Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau: Min(2x1+4x2-2x3) Ràng buộc x1-2x2+x3 =27 PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 49 2x1+x2+2x3=50 x1-x2-x3 ≤18 xj ≥0 (mọi j) Chúng ta đưa bài toán về dạng chuẩn: Min(2x1+4x2-2x3+Mx5+Mx6) Ràng buộc x1-2x2+x3 +x5 =27 2x1+x2+2x3+x6=50 x1-x2-x3 + x4=18 xj ≥0 (mọi j)... x1+x2+2x3+x4=7 5x1+x2+3x3+x4 20 x1; x2≥0; x3≤0 và x4 tuỳ ý Bài toán đối ngẫu sẽ là: Min(5y1+7y2 +20 y3) Ràng buộc 2y1+y2+5y3 2 -y1+y2+y3≥3 -y1+2y2+3y3≤-1 y1+y2+y3=1 y1≥0; y2 tuỳ ý; y3≤0  Ví dụ: Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán: Min(5x1-x2+2x3+3x4-6x5) Ràng buộc 3x1-x2+2x3+3x4+4x5=80 x1+x2+x3+x4+x5≥-10 3x1-2x2-2x3-x4+x5≤30 x1+x3 ≤6 x1≤0; x2; x3≥0; x4 và x5 tuỳ ý Bài toán đối ngẫu sẽ là: Max(80y1-10y2+30y3+6y4)... + 2x2 Ràng buộc 3x3 - 9x4 + x6 = 0 x4 - 2x5 + x7 = 5 x2 - 7x3 = 2/ 3 x1 – 1/3x2 + 2/ 3x3 + 4/3x4 + 1/3x5 xj≥0 (mọi j) Chúng ta đưa số liệu vào bảng để giải và kết quả như trên Bảng 2- 8 Bảng 2- 8: Kết quả các bước giải x1 x2 x3 x4 x5 Biến Phương Hệ số cơ bản án 1 2 0 1 -5 x6 M 0 0 -3 -9 0 0 x7 M 0 1 -7 -1 -2 5 x1 1 1 -1/3 2/ 3 4/3 1/3 2/ 3 0 -7/3 2/ 3 1/3 16/3 2/ 3 0 1 -10 -10 -2 5 x6 M 0 0 -3 -9 0 0 x2 2. .. x 2 + x 3 S.t − x1 + x 2 − x4 + x 6 = 15 − 2x 1 + x3 − 2x 6 = 9 4x 1 + 2x 4 + x 5 − 3x 6 = 2 xj ≥ 0 ∀j = 1,6 Bài toán này là bài toán dạng chuẩn, vậy có thể lập bảng đơn hình đầu tiên như trên Bảng 2- 3 CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 44 Bảng 2- 3: Bảng đơn hình đầu tiên Biến cơ bản Hệ số x1 x2 X3 x4 x5 x6 6 1 1 3 1 x2 1 -1 1 0 -1 x3 1 -2 0 1 x5 1 4 0 -5 0 -7 Phương án λi 0 1 15 15 0 0 -2 9 0 2 1 -3 2. .. (3x1- x2+2x3+ x4+5x5) Ràng buộc 2x1-2x2+ x3+2x4+x5 ≤ 17 4x1-2x2+ x3 = 20 x1- x2+2x3+ x5 ≥ -18 x1+ x2+2x3+ x4 ≤ 100 x1, x2, x3 ≥0 ; x4≤0 ; x5 tuỳ ý Ì Nhận xét: - Ràng buộc 1, 3, 4 là những bất phương trình - x4≤0, x5 tuỳ ý Chúng ta thêm biến phụ x6, x7, x8 vào ràng buộc 1,3 và 4; thay x4=-t4 và x5=x’5-x″5 Như vậy, chúng ta được bài toán dạng chính tắc như sau: Min (3x1-x2+2x3-t4+5x’5-5x″5) Ràng buộc = 2x1-2x2+x3-2t4+x’5-... máy tính Có thể thực hiện giải bài toán qui hoạch tuyến tính bằng các phần mềm máy tính Hiện nay, có nhiều phần mềm máy tính có thể thực hiện chức năng này Chúng ta có thể sử dụng công cụ Solver trong EXCEL để giải bài toán qui hoạch tuyến tính (Xem lại chương 1 để có công cụ Solver trong EXCEL) Cách thức thực hiện như sau: Bước 1: Nhập dữ liệu đầu vào của bài toán vào bảng tính CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYẾN... 0,5B =20 Và, đường ràng buộc nguyên liệu 3: (2- 1) 0,6F+ 0,3B =21 (2- 2) Vì thế, những giá trị của biến quyết định F và B phải thoả mãn đồng thời phương trình (2- 1) và (2- 2) Giải ra, chúng ta được F =20 , B =25 Vì thế, vị trí chính xác của điểm phương án tối ưu là F =25 và B =20 Điểm này cung cấp lượng sản xuất tối ưu đối với ABC ở mức 25 tấn chất phụ gia và 20 tấn bazơ hoà tan và được lợi nhuận là 40 25 +30 20 =1600... nhận được đối với bài toán qui hoạch tuyến tính PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 37 Hình 2- 5: Các phương án thoả mãn ràng buộc nguyên liệu 3 Hình 2- 6: Miền chấp nhận được của bài toán ABC CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 38 Bây giờ đã xác định miền chấp nhận được, chúng ta tiếp tục tìm phương án tối ưu cho bài toán ABC Nhớ rằng phương án tối ưu của bài toán qui hoạch tuyến tính là phương án chấp nhận... 2 >0 duy nhất nên chúng ta chọn biến đưa ra là x7 Lúc này, phần tử trục xoay là 1 CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 48 Sau khi biến đổi bảng, chúng ta nhận thấy có Δ5 =2/ 3>0 mà ai5 ≤0 (mọi i) nên bài toán mở rộng không có phương án tối ưu và suy ra bài toán xuất phát cũng không có phương án tối ưu  Ví dụ: Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau: Min(-16x1+7x2+9x3) Ràng buộc -2/ 3x1-1/3x2+x3=1/3 -5x1+5x2=7