Chương 2 - Hệ toán mệnh đề potx

Chương 2. Hệ toán mệnh đề Trần Thọ Châu Logic Toán. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Tr 39-69. Từ khoá: Logic toán, Đại số mệnh đề, Hệ toán mệnh đề, Định lý suy diễn, Logic mệnh đề, Tính đầy đủ, Tính phi mâu thuẫn, Tính độc lập. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Chu . o . ng 2 Hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` 2.1 Hˆe . tiˆen dˆe ` trong hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` 40 2.1.1 Mˆo . tsˆo ´ di . nh ngh˜ıa co . ba ’ n 40 2.1.2 C´ac t´ınh chˆa ´ t 42 2.1.3 L´y thuyˆe ´ t tiˆen dˆe ` trong hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` 43 2.1.4 Di . nh l´y suy diˆe ˜ n trong hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` 44 2.2 Nguyˆen l´y suy diˆe ˜ n v`a b`ai to´an lˆa . p luˆa . n trong logic mˆe . nh dˆe ` 52 2.2.1 Nguyˆen l´y suy diˆe ˜ n 52 2.2.2 B`ai to´an lˆa . p luˆa . n trong logic mˆe . nh dˆe ` 52 2.3 Mˆo . tsˆo ´ di . nh l´y trong hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` 55 2.3.1 T´ınh dˆa ` y du ’ 55 2.3.2 T´ınh phi mˆau thuˆa ˜ n 58 2.3.3 T´ınh dˆo . clˆa . p 59 2.4 Gi´o . i thiˆe . u v`ai n´et vˆe ` logic da tri . 61 2.5 T´ınh quyˆe ´ t di . nh cu ’ ahˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` 62 2.6 Mˆo . tsˆo ´ hˆe . tiˆen dˆe ` kh´ac 62 40 Chu . o . ng 2. Hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` 2.7 ´ Ap du . ng di . nh l´y dˆa ` y du ’ cho b`ai to´an suy diˆe ˜ n trong logic mˆe . nh dˆe ` 64 2.8 B`ai tˆa . p chu . o . ng2 66 Trong chu . o . ng 1, ta d˜a bu . ´o . c dˆa ` u nghiˆen c´u . unˆo . i dung da . isˆo ´ mˆe . nh dˆe ` . Dˆe ’ nghiˆen c´u . umˆo . t c´ach to`an diˆe . nv`ahˆe . thˆo ´ ng theo ma . ch tu . duy suy diˆe ˜ n cu ’ a con ngu . `o . i, ta chuyˆe ’ n qua viˆe . c kha ’ o s´at n´o mˆo . t c´ach “h`ınh th´u . c”, “tr`u . u tu . o . . ng”, nhu . ng la . i l`am cho qu´a tr`ınh tu . duy, suy luˆa . nmˆo . t c´ach ch´ınh x´ac, dˆa ` y du ’ v`a mang t´ınh chˆa ´ t logic To´an ho . cho . n. M˘a . cd`u c´ac hˆe . h`ınh th´u . c n`ay du . o . . c tr`ınh b`ay mˆo . t c´ach tr`u . utu . o . . ng, nhu . ng thu . . cchˆa ´ t n´o nh˘a ` m phu . cvu . cho viˆe . c nghiˆen c´u . u da . isˆo ´ mˆe . nh dˆe ` sˆau s˘a ´ c, c´o t´ınh hˆe . thˆo ´ ng v`a c´o nh˜u . ng ´u . ng du . ng trong nhiˆe ` u l˜ınh vu . . c kh´ac liˆen quan dˆe ´ nba ’ nchˆa ´ tcu ’ a da . isˆo ´ mˆe . nh dˆe ` . 2.1 Hˆe . tiˆen dˆe ` trong hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` 2.1.1 Mˆo . tsˆo ´ di . nh ngh˜ıa co . ba ’ n Di . nh ngh˜ıa 2.1.1 S du . o . . cgo . il`al´y thuyˆe ´ t h`ınh th´u . c (hay l´y thuyˆe ´ t tiˆen dˆe ` ), nˆe ´ u n´o thoa ’ m˜an c´ac diˆe ` ukiˆe . n sau dˆay: (1) Mˆo . ttˆa . p dˆe ´ m du . o . . c c´ac k´yhiˆe . u go . il`ak´yhiˆe . ucu ’ a S.Mˆo . t d˜ay h˜u . uha . n c´ac k´y hiˆe . ucu ’ a S du . o . . cgo . il`amˆo . tbiˆe ’ uth´u . c cu ’ al´ythuyˆe ´ t S. (2) Mˆo . t thu ’ tu . c cho ph´ep x´ac di . nh mˆo . tbiˆe ’ uth´u . c d˜a cho c´o pha ’ i l`a mˆo . t cˆong th´u . c hay khˆong. (3) Mˆo . ttˆa . ph˜u . uha . n c´ac cˆong th´u . c du . o . . cgo . i l`a c´ac tiˆen dˆe ` cu ’ a l´y thuyˆe ´ t S. (4) Mˆo . ttˆa . ph˜u . uha . n R 1 ,R 2 , , R k c´ac quy t˘a ´ cdˆa ˜ n xuˆa ´ t cho ph´ep ta dˆa ˜ n du . o . . ct`u . mˆo . ttˆa . ph˜u . uha . n c´ac cˆong th´u . c dˆe ´ nmˆo . ttˆa . p c´ac cˆong th´u . cm´o . i. Di . nh ngh˜ıa 2.1.2 Mˆo . t d˜ay c´ac cˆong th´u . c A 1 , A 2 , A n du . o . . cgo . il`adˆa ˜ n xuˆa ´ t trong S nˆe ´ ubˆa ´ tk`ymˆo . t cˆong th´u . c A i ho˘a . c l`a tiˆen dˆe ` ho˘a . cl`adˆa ˜ n du . o . . c tru . . ctiˆe ´ pt`u . c´ac cˆong th´u . c d´u . ng tru . ´o . c n´o nh`o . qui t˘a ´ cdˆa ˜ n xuˆa ´ t. 2.1. Hˆe . tiˆen dˆe ` trong hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` 41 Di . nh ngh˜ıa 2.1.3 Mˆo . t cˆong th´u . c A cu ’ a l´y thuyˆe ´ t S du . o . . cgo . il`adi . nh l´y cu ’ a l´y thuyˆe ´ t S nˆe ´ utˆo ` nta . imˆo . tdˆa ˜ n xuˆa ´ t trong S : A 1 , A 2 , , A k sao cho A k = A,v`adˆa ˜ n xuˆa ´ t n`ay du . o . . cgo . il`adˆa ˜ n xuˆa ´ tcu ’ a cˆong th´u . c A. Di . nh ngh˜ıa 2.1.4 L´y thuyˆe ´ t m`a trong d´o c´o tˆo ` nta . imˆo . t thuˆa . t to´an cho ph´ep x´ac di . nh mˆo . t cˆong th´u . c d˜a cho c´o dˆa ˜ n du . o . . c hay khˆong du . o . . cgo . il`al´y thuyˆe ´ t gia ’ i du . o . . c; Tr´ai la . i, n´o du . o . . cgo . il`al´y thuyˆe ´ t khˆong gia ’ i du . o . . c. Di . nh ngh˜ıa 2.1.5 Mˆo . t cˆong th´u . c A du . o . . cgo . il`adˆa ˜ n du . o . . c trong S t`u . tˆa . p ho . . p Γ c´ac cˆong th´u . c, khi v`a chı ’ khi tˆo ` nta . i d˜ay c´ac cˆong th´u . c A 1 , A 2 , A n sao cho A n = A v`a ∀i (i =1 n) A i ho˘a . c l`a tiˆen dˆe ` , ho˘a . c l`a phˆa ` ntu . ’ cu ’ a Γ, ho˘a . cl`adˆa ˜ n du . o . . c tru . . ctiˆe ´ pt`u . c´ac cˆong th´u . c d´u . ng tru . ´o . c n´o nh`o . quy t˘a ´ c dˆa ˜ n xuˆa ´ t. D˜ay cˆong th´u . c n`ay du . o . . cgo . il`adˆa ˜ n xuˆa ´ tcu ’ a A t`u . Γ. C´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ a Γ du . o . . cgo . il`agia ’ thiˆe ´ t, v`a ta k´yhiˆe . unhu . sau: Γ Aho˘a . cΓ S A v`a du . o . . c do . cl`a“A dˆa ˜ n du . o . . ct`u . Γ” ho˘a . c“A dˆa ˜ n du . o . . ct`u . Γ trong S”. Ch´u ´y 1 1a) Tru . `o . ng ho . . p Γ l`a h˜u . uha . n: Γ:={B 1 , B 2 , , B m } th`ı ta k´yhiˆe . u: B 1 , B 2 , , B m A. 1b) Tru . `o . ng ho . . pnˆe ´ u Γ=∅ th`ı Γ  A, khi v`a chı ’ khi A l`a di . nh l´y, v`a ta k´y hiˆe . u:  A. Ch´u ´y 2 2a) Mˆo ˜ imˆo . ttiˆen dˆe ` l`a dˆa ˜ n du . o . . ct`u . tˆa . pbˆa ´ tk`yΓ c´ac cˆong th´u . c 2b) Mˆo ˜ imˆo . t di . nh l´y l`a dˆa ˜ n du . o . . ct`u . tˆa . pbˆa ´ tk`y Γ c´ac cˆong th´u . c 2c) Mˆo ˜ imˆo . t phˆa ` ntu . ’ cu ’ a Γ dˆe ` udˆa ˜ n du . o . . ct`u . Γ. 42 Chu . o . ng 2. Hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` 2.1.2 C´ac t´ınh chˆa ´ t (1) Nˆe ´ uΓ⊆ ∆v`aΓAth`ı ∆ A (2) Γ A, khi v`a chı ’ khi tˆo ` nta . imˆo . ttˆa . p∆⊆ Γ sao cho ∆ A (3) Nˆe ´ u∆Av`a ∀B ∈ ∆:ΓBth`ı Γ A. O . ’ dˆay ta thˆa ´ y t´ınh chˆa ´ t (1) chı ’ ra r˘a ` ng mˆo . t cˆong th´u . c d˜a dˆa ˜ n du . o . . ct`u . mˆo . ttˆa . p c´ac cˆong th´u . cth`ın´oc˜ung dˆa ˜ n du . o . . ct`u . tˆa . pl´o . nho . n, ngh˜ıa l`a nˆe ´ u ta c´o thˆem mˆo . tsˆo ´ gia ’ thiˆe ´ t v`ao tˆa . p d˜a dˆa ˜ n du . o . . c th`ı t´ınh chˆa ´ tdˆa ˜ n du . o . . ccu ’ a cˆong th´u . cvˆa ˜ n khˆong thay dˆo ’ i. T`u . t´ınh chˆa ´ t (1) buˆo . c ta pha ’ i suy ngh˜ı l`am thˆe ´ n`ao dˆe ’ cho . n du . o . . cmˆo . t tˆa . p gia ’ thiˆe ´ t sao cho n´o v`u . a du ’ , khˆong th`u . av`ac˜ung khˆong thiˆe ´ u. Nˆe ´ u gia ’ thiˆe ´ tth`u . a th`ı t´ınh chˆa ´ tdˆa ˜ n du . o . . cs˜e´ıtdu . o . . c thuyˆe ´ t phu . cho . n, c`on nˆe ´ u gia ’ thiˆe ´ t thiˆe ´ u th`ı ta khˆong thˆe ’ dˆa ˜ n du . o . . c dˆe ´ n diˆe ` u pha ’ ich´u . ng minh. Dˆay ch´ınh l`a ba ’ nchˆa ´ t dˆa ` y du ’ cu ’ a t´ınh chˆa ´ t (2). T´ınh chˆa ´ t (3) thˆe ’ hiˆe . n“t´ınh b˘a ´ ccˆa ` u”cu ’ a ph´ep dˆa ˜ n du . o . . ccu ’ amˆo . t cˆong th ´u . c. Ta c´o thˆe ’ h`ınh dung b˘a ` ng h`ınh a ’ nh ph´ac hoa . sau dˆay: 2.1. Hˆe . tiˆen dˆe ` trong hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` 43 2.1.3 L´y thuyˆe ´ t tiˆen dˆe ` trong hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` Hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` l`a mˆo . tl´y thuyˆe ´ th`ınh th´u . c ho´a cu ’ a logic mˆe . nh dˆe ` .Viˆe . c h`ınh th´u . c ho´a logic l`a bu . ´o . cco . ba ’ n dˆa ` u tiˆen cho viˆe . ch`ınh th´u . c ho´a c´ac l´y thuyˆe ´ t to´an ho . c. Nˆo . i dung chu ’ yˆe ´ ucu ’ aviˆe . ch`ınh th´u . c ho´a mˆo . tl´y thuyˆe ´ tl`a xˆay du . . ng mˆo . t ngˆon ng˜u . h`ınh th´u . c dˆe ’ diˆe ˜ nta ’ c´ac ph´an do´an, du . a ra mˆo . t hˆe . tiˆen dˆe ` du . o . . c xem nhu . l`a nh˜u . ng chˆan l ´y ban dˆa ` u, v`a pha ’ i x´ac di . nh c´ac quy t˘a ´ cv`aphu . o . ng ph´ap suy diˆe ˜ n (hay c`on go . il`ach´u . ng minh) dˆe ’ t`ım ra c´ac di . nh l´y m´o . icu ’ a l´y thuyˆe ´ t. Dˆe ’ nghiˆen c´u . umˆo . t c´ach cu . thˆe ’ ,tadi sˆau nghiˆen c´u . u l´y thuyˆe ´ t tiˆen dˆe ` L du . ´o . i dˆay. Di . nh ngh˜ıa 2.1.6 L´y thuyˆe ´ t tiˆen dˆe ` L bao gˆo ` m: (1) C´ac k´y hiˆe . ucu ’ a L: - ¬, → du . o . . cgo . i l`a hai ph´ep to´an nguyˆen thuy ’ - C´ac dˆa ´ u ngo˘a . c (,) - C´ac ch˜u . c´ai La-tinh A, B, C, v`a c´ac ch˜u . c´ai La-tinh c´o chı ’ sˆo ´ A 1 ,B 1 ,C 1 , . C´ac ch˜u . c´ai La-tinh n`ay du . o . . cgo . i l`a c´ac biˆe ´ nmˆe . nh dˆe ` . (2) Cˆong th´u . c du . o . . c xˆay du . . ng b˘a ` ng dˆe . quy nhu . sau: (a) Tˆa ´ tca ’ c´ac biˆe ´ nmˆe . nh dˆe ` dˆe ` u l`a cˆong th´u . c (b) Nˆe ´ u A v`a B l`a cˆong th´u . cth`ı(¬A), (A→B)c˜ung l`a cˆong th´u . c (c) Mˆo . tbiˆe ’ uth´u . c l`a cˆong th´u . c, nˆe ´ un´odu . o . . clˆa . pnˆen t`u . co . so . ’ (a) v`a (b). (3) C´ac tiˆen dˆe ` : Dˆo ´ iv´o . i c´ac cˆong th´u . c A, B, C tu`y ´y A1. (A→(B→A)) A2. (A→(B→C)) → ((A→B) → (A→C)) A3. (¬B → ¬A) → ((¬B → A) →B) (4) Quy t˘a ´ cdˆa ˜ n xuˆa ´ t Modus Ponens (Kˆe ´ t luˆa . n): Nˆe ´ u A v`a A→Bth`ı B. 44 Chu . o . ng 2. Hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` Ch´u ´y 3 Dˆo ´ iv´o . i c´ac ph´ep to´an c`on la . i ∧, ∨, ↔ ta c´o thˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ nch´ung qua hai ph´ep to´an {¬, →} nh`o . c´ac cˆong th´u . ctu . o . ng du . o . ng sau dˆay: D1. (A∧B) l`a tu . o . ng du . o . ng v´o . i ¬( A→¬B) D2. (A∨B) l`a tu . o . ng du . o . ng v´o . i (¬A ) →B D3. (A↔B) l`a tu . o . ng du . o . ng v´o . i (A→B) ∧ (B→A) Bˆo ’ dˆe ` 2.1.1   A→Adˆo ´ iv´o . i cˆong th´u . c A tu`y ´y trong L Ch´u . ng minh:O . ’ dˆay ta k´yhiˆe . u MP l`a viˆe ´ tt˘a ´ tcu ’ a Modus Ponens. Ta xˆay du . . ng dˆa ˜ n xuˆa ´ tcu ’ a cˆong th´u . c A→Atrong L nhu . sau: 1. (A→((A→A) →A)) → (( A→(A→A)) → ( A→A)) (A2) 2. A→((A→A) →A) (A1) 3. (A→(A→A)) → (A→A) (1, 2, MP) 4. (A→(A→A)) (A1) 5. (A→A) (3, 4, MP) Vˆa . y theo di . nh ngh˜ıa 2.1.2 & 2.1.3 ta c´o:   A→A  2.1.4 Di . nh l´y suy diˆe ˜ n trong hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` Trong nhiˆe ` uch´u . ng minh cu ’ ahˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` , ta thu . `o . ng su . ’ du . ng di . nh l´y suy diˆe ˜ n sau dˆay: Di . nh l´y 2.1.1 (di . nh l´y suy diˆe ˜ n) Nˆe ´ u Γ l`a tˆa . p c´ac cˆong th´u . c, A v`a B l`a c´ac cˆong th´u . cv`aΓ, ABth`ı Γ A→B. Tru . `o . ng ho . . p d˘a . cbiˆe . t, nˆe ´ u ABth`ı A→B(Herbrand). 2.1. Hˆe . tiˆen dˆe ` trong hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` 45 Ch´u . ng minh: Gia ’ su . ’ B 1 , B 2 B n l`a dˆa ˜ n xuˆa ´ tt`u . Γ ∪ {A}, trong d´o B n = B.Tach´u . ng minh b˘a ` ng qui na . p theo i (i =1 n): Γ A→B i . 1) Bu . ´o . c kho . ’ i dˆa ` u i =1: Khi d´o B 1 ho˘a . c l`a phˆa ` ntu . ’ cu ’ a Γ, ho˘a . c l`a tiˆen dˆe ` ho˘a . c l`a tr`ung v´o . i A. Theo tiˆen dˆe ` (A1) cˆong th´u . c B 1 → (A→B 1 ) l`a tiˆen dˆe ` .Dod´o trong 2 tru . `o . ng ho . . p dˆa ` u ta c´o Γ A→B 1 nh`o . quy t˘a ´ c Modus Ponens v`a ch´u´y2. Tru . `o . ng ho . . p3: B 1 = A. Khi d´o theo bˆo ’ dˆe ` 2.1.1: A→B 1 .Dod´o theo ch´u ´y 2 ta c´o: Γ A→B 1 . 2) Gia ’ thiˆe ´ t qui na . p: Gia ’ su . ’ cˆong th´u . cΓA→B k d´ung v´o . imo . i k<i. 3) Ch´u . ng minh qui na . p:Tach´u . ng minh r˘a ` ng cˆong th´u . cc˜ung d´ung v´o . i k = i: Γ A→B i . Thˆa . tvˆa . y, ta x´et 4 tru . `o . ng ho . . p c´o thˆe ’ xa ’ yradˆo ´ iv´o . i B i nhu . sau: B i ho˘a . c l`a phˆa ` ntu . ’ cu ’ a Γ, ho˘a . c l`a tiˆen dˆe ` , ho˘a . cl`aB i = A, ho˘a . c B i dˆa ˜ n du . o . . c tru . . ctiˆe ´ pt`u . c´ac cˆong th´u . c B j v`a B m sao cho j<i, m<i v`a B m = B j →B i . Trong 3 tru . `o . ng ho . . p dˆa ` utach´u . ng minh tu . o . ng tu . . nhu . i = 1. Tru . `o . ng ho . . pth´u . 4, ta su . ’ du . ng gia ’ thiˆe ´ t qui na . p: Γ A→B j v`a Γ A→(B j →B i ). Theo tiˆen dˆe ` (A2):  (A→( B j →B i )) → ((A→B j ) → (A→B i )). Do d´o theo qui t˘a ´ c Modus Ponens v`a ch´u´y2: Γ  (A→B j ) → (A→B i ). 46 Chu . o . ng 2. Hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` Ta´apdu . ng mˆo . tlˆa ` nn˜u . a qui t˘a ´ c Modus Ponens: Γ  (A→B i ). Vˆa . ytach´u . ng minh du . o . . cr˘a ` ng: ∀i (i =1, , n): ΓA→B i . Khi d´o v´o . i i = n ta c´o: Γ A→B n , v`a v`ı B n = B, ta c´o: Γ A→B  Hˆe . qua ’ 2.1.1 Dˆo ´ iv´o . i c´ac cˆong th´u . c A, B, C t u `y ´y (i) A→B, B→CA→C (b˘a ´ ccˆa ` u) (ii) A→(B→C), BA→C (ho´an vi . gia ’ thiˆe ´ t). Ch´u . ng minh: (i) Ta xˆay du . . ng dˆa ˜ n xuˆa ´ t sau dˆay: 1. A→B (gia ’ thiˆe ´ t) 2. B→C (gia ’ thiˆe ´ t) 3. A (gia ’ thiˆe ´ t) 4. B (1, 3, MP) 5. C (2, 4, MP) Vˆa . yt`u . 1 - 5 ta c´o: A→B, B→C, AC. Theo di . nh l´y suy diˆe ˜ n ta c´o: A→B, B→CA→C  2.1. Hˆe . tiˆen dˆe ` trong hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` 47 (ii) Ta xˆay du . . ng dˆa ˜ n xuˆa ´ tnhu . sau: 1. A→(B→C) (gia ’ thiˆe ´ t) 2. B (gia ’ thiˆe ´ t) 3. A (gia ’ thiˆe ´ t) 4. B→C (1, 3, MP) 5. C (2, 4, MP) Vˆa . yt`u . 1 – 5 ta c´o: A→(B→C), B, AC. Theo di . nh l´y suy diˆe ˜ n: A→(B→C) , BA→C  Dˆe ’ nh`ın r˜o ho . nt´ınh chˆa ´ t ho´an vi . gia ’ thiˆe ´ t ta ´ap du . ng thˆem di . nh l´y suy diˆe ˜ n: A→(B→C) B→(A→C) ´ Ap du . ng mˆo . tlˆa ` nn˜u . a di . nh l´y suy diˆe ˜ n, ta c´o:  (A→( B→C)) → (B→(A→C)). Hˆe . qua ’ 2.1.2 Dˆo ´ iv´o . ibˆa ´ tk`y c´ac cˆong th´u . c A, B c´ac cˆong th´u . c sau dˆay dˆe ` ul`adi . nh l´y trong L: a) ¬¬B → B b) B → ¬¬B c) ¬A → (A→B) d) (¬B → ¬A) → (A→B) e) (A→B) → (¬B → ¬A) [...]... khˆng c´ t´nh chˆ t P e ` a) T´ dˆc lˆp cua tiˆn dˆ (A1) ınh o a ’ e ` e X´t c´c bang sau dˆy e a ’ a A ¬A 0 1 1 1 2 0 A 0 1 2 0 1 2 0 1 2 B A→B 0 0 0 2 0 0 1 2 1 2 1 0 2 2 2 0 2 0 ` Chu.o.ng 2 Hˆ to´n mˆnh dˆ e e a e 60 ´ ´ ’ ’ ’ a Gia su cho mˆt bˆ phˆn bˆ c´c gi´ tri 0, 1, 2 cua c´c biˆn c´ m˘t trong o o a o a a e o a c A Khi d´ nh` hai bang n`y ta x´c dinh du.o.c mˆt gi´ tri ’ o o a a... tiˆn dˆ (A2) v` (A3) dˆu c´ t´nh chˆ t ` ´ e a e o ı a a a e ` d`ng kiˆ a e ` ng tiˆn dˆ (A1): (A → (B → A)) khˆng c´ t´ chˆ t chon, ´ e o o ınh a e ` chon Nhu ` ng cˆng th´.c n`y nhˆn gi´ tri l` 2 khi A = 1 v` B = 2 a a a a v` r˘ ı a o u a b) T´ dˆc lˆp cua tiˆn dˆ (A2) ınh o a ’ e ` e a X´t c´c bang sau dˆy e a ’ A ¬A 0 1 1 0 2 1 A 0 1 2 0 1 2 0 1 2 B A→B 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 0 2 1 2 0 2 0 ’... ` ´ u e u l` h˘ ng d´ng Dˆ d`ng ch´.ng minh du.o.c c´c t´ chˆ t sau a a a ınh a ˜ Dinh l´ 2. 2.1 (nguyˆn l´ suy diˆn) y e y e o u V´.i moi cˆng th´.c A, B, H1, H2, , Hn ta c´: o o 1 A |= B ⇔|= (A → B) 2 {H1 , H2 , , Hn } |= A ⇔|= H1 ∧ H2 ∧ ∧ Hn → A 3 {H1 , H2 , , Hn } |= A ⇔ {H1 , H2 , , Hn, ¬A} |= F 2. 2 .2 ` B`i to´n lˆp luˆn trong logic mˆnh dˆ a a a a e e ` a a e ı e a ’ Trong nh˜.ng u.ng... ∨ C) f) L2 ¬(¬A ∧ A) g) L2 ¬¬A → A h) L2 (A → B) → (¬B → ¬A) 2. 8 B`i tˆp chu.o.ng 2 a a i) L2 67 A ∧ B → B ∧ A ` ˜ ´ 3 Ch´.ng minh b˘ ng c´ch xˆy du.ng dˆn xuˆ t: u a a a a a a) A → B L1 C∨A→C∨B b) C → A, A → B c) A → B, B → C d) ¬B → ¬A L2 e) A → B, B → C f) B, ¬B L4 L1 L2 C→B ¬(¬C ∧ A) A→B L4 A→C C ˜ y e a 4 Ch´.ng minh dinh l´ suy diˆn trong L2 v` L4 : u ´ a) Nˆu Γ, A e L2 B th` Γ ı L2 A → B ´... thiˆt) e 2 ¬A → B ´ ’ (gia thiˆt) e 3 (A → B) → (¬B → ¬A) (theo e)) 4 ¬B → ¬A (1, 3, MP) 5 (¬A → B) → (¬B → ¬¬A) (the e)) 6 ¬B → ¬¬A (2, 5 MP) 7 (¬B → ¬¬A) → ((¬B → ¬A) → B) (A3) 8 (¬B → ¬A) → B (6, 7, MP) 9 B (4, 8, MP) Vˆy t` 1 - 9 ta c´: a u o A → B, ¬A → B B ´ ˜ ` Ap dung hai lˆn dinh l´ suy diˆn ta c´: a y e o (A → B) → ((¬A → B) → B) ` Chu.o.ng 2 Hˆ to´n mˆnh dˆ e e a e 52 2 .2 2 .2. 1 ˜ Nguyˆn... e o B1, B2 , , Bk ¬B Vˆy B1, B2 , , Bk A a ´ o a o o e a ı o • Tru.`.ng ho.p 2: A = (B → C), trong d´ B v` C c´ sˆ ph´p to´n ´t ´ ’ o e o ho.n n so v´.i A Khi d´, theo gia thiˆt qui nap: B1, B2 , , Bk B v` B1 , B2, , Bk a C ´ o o u (2a) Nˆu B nhˆn gi´ tri F th` A nhˆn gi´ tri T Khi d´ cˆng th´.c e a a ı a a a o B = ¬B v` A = A Do d´ B1 , B2, , Bk ¬B ´ ’ M˘t kh´c, theo hˆ qua 2. 1 .2 (c) v`... tri e a a a a a ı a a o a F Do d´ B = B, C = ¬C v` A = ¬A a o e ’ Ta c´: B1, B2 , , Bk B v` B1 , B2, , Bk ¬C Do d´ theo hˆ qua o ´ 2. 1 .2 (f) v` qui t˘c Modus Ponens: B1, B2 , , Bk ¬(B → C), a a ı a nhu.ng ¬(B → C) ch´nh l` A Vˆy B1, B2 , , Bk a A ` Chu.o.ng 2 Hˆ to´n mˆnh dˆ e e a e 58 ` ´ ´ Dinh l´ 2. 3 .2 Nˆu A l` mˆt cˆng th´.c dˆ ng nhˆ t d´ng trong L th` A l` y e a o o u o a u ı a y... ´ ˜ c) D`ng qui t˘c suy diˆn u a e ` ` u a a o u a o a 13 Ch´.ng minh r˘ ng c´c cˆng th´.c sau l` khˆng h˘ ng d´ng u 2. 8 B`i tˆp chu.o.ng 2 a a 69 a) (X ↔ Y ) ∧ (Y → Z1 ) ∧ (Z1 ∨ Z 2 ) ∧ (Z 2 → Y ) → Z2 b) X1 ∧ (X1 → X2 ) ∧ (X1 → (X3 ∨ X 2 )) ∧ (X 3 ∨ X 4 ) → X4 c) (X 1 → X2 ) ∧ ((X2 ∧ X3 ) → X4 ) ∧ (X5 → X3 ) ∧ X1 → (X 4 → X 5 ) ... – h`m e a ` a y e a Th´ du 2. 6.1 C´c hˆ tiˆn dˆ L1, L2 v` L4 sau dˆy: ı a e e ` e a a ’ a L1: - C´c ph´p to´n nguyˆn thuy l` ∨ v` ¬ a e a e a ` ’ - Ch´ng ta su dung cˆng th´.c A → B thay b˘ ng ¬A ∨ B u a o u - C´c tiˆn dˆ gˆ m c´: a e ` o e ` o 2. 6 Mˆt sˆ hˆ tiˆn dˆ kh´c o o e e ` e a ´ (1) A ∨ A → A (2) A → A ∨ B (3) A ∨ B → B ∨ A (4) (B → C) → (A ∨ B → A ∨ C) ´ ˜ ´ - Qui t˘c dˆn xuˆ t: Modus... F th` B1 , B2 , , Bk−1, ¬Bk A a a ı ˜ y e a M˘t kh´c, theo dinh l´ suy diˆn: B1 , B2, , Bk−1 Bk → A v` B1 , B2, , a a Bk−1 ¬Bk → A ´ o e ’ a a Do d´ theo Hˆ qua 2. 1 .2 (g) v` qui t˘c Modus Ponens: B1, B2 , , Bk−1 A ’ ˜ o e a a a a y e Tu.o.ng tu., Bk−1 c´ thˆ nhˆn gi´ tri T ho˘c F , ´p dung dinh l´ suy diˆn ’ loai tr` Bk−1 d´ng nhu Bk Khi d´ chı cˆn ’ u o ’ ` a v` hˆ qua 2. 1 .2 (g), ta c´ . Chương 2. Hệ toán mệnh đề Trần Thọ Châu Logic Toán. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 20 07. Tr 3 9-6 9. Từ khoá: Logic toán, Đại số mệnh đề, Hệ toán mệnh đề, Định lý suy diễn, Logic mệnh. suy diˆe ˜ n 52 2 .2. 2 B`ai to´an lˆa . p luˆa . n trong logic mˆe . nh dˆe ` 52 2.3 Mˆo . tsˆo ´ di . nh l´y trong hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` 55 2. 3.1 T´ınh dˆa ` y du ’ 55 2. 3 .2 T´ınh phi mˆau. →B).  52 Chu . o . ng 2. Hˆe . to´an mˆe . nh dˆe ` 2. 2 Nguyˆen l´y suy diˆe ˜ nv`ab`ai to´an lˆa . pluˆa . n trong logic mˆe . nh dˆe ` 2. 2.1 Nguyˆen l´y suy diˆe ˜ n Di . nh ngh˜ıa 2. 2.1 Mˆo . ttˆa . p