Bài giảng Quy hoạch tuyến tính ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

Bài giảng Quy hoạch tuyến tính TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN =============================== ThS NGUYỄN ĐÌNH THI (Chủ biên) – ThS NGUYỄN MẠNH TƢỜNG BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NAM ĐỊNH, 2011 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính MỤC LỤC LỜI GIỚI THIỆU Chƣơng 1: BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 1.1 BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1.1 Các ví dụ 1.1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt 13 1.1.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc 19 1.1.4 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc 23 1.2 BIẾN ĐỔI DẠNG CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 26 1.2.1 Đƣa dạng tổng quát dạng tắc 26 1.2.2 Đƣa dạng tắc dạng chuẩn tắc (bài toán M) 30 1.3 PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 35 1.3.1 Giải toán QHTT dạng chuẩn 36 1.3.2 Giải toán QHTT dạng tắc (Phƣơng pháp đánh thuế) 47 1.3.3 Phƣơng pháp đơn hình hai pha 53 1.3.4 Hiện tƣợng xoay vòng cách khắc phục 59 BÀI TẬP CHƢƠNG 62 Chƣơng 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU 76 2.1 BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU 76 2.1.1 Quy tắc lập toán đối ngẫu 76 2.1.2 Quan hệ toán gốc (P) toán đỗi ngẫu (D) 79 2.2 THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU 87 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính 2.2.1 Cơ sở gốc sở đối ngẫu .87 2.2.2 Ý tƣởng thuật toán đơn hình đối ngẫu 88 2.2.3 Thuật tốn đơn hình đối ngẫu biết sở đối ngẫu .88 2.2.4 Thuật tốn đơn hình đối ngẫu khơng biết sở đối ngẫu 94 2.3 Ý NGHĨA CỦA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 104 2.3.1 Về toán 104 2.3.2 Về thuật toán 104 2.3.3 Về ý nghĩa thực tiễn 104 BÀI TẬP CHƢƠNG 108 Chƣơng 3: BÀI TOÁN VẬN TẢI 112 3.1 BÀI TOÁN VẬN TẢI 112 3.1.1 Mơ hình tốn vận tải 112 3.1.2 Lập phƣơng án ban đầu .116 3.1.3 Thuật toán “Quy O cƣớc phí chọn” .119 3.1.4 Phƣơng pháp vị 128 3.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN TẢI ĐẶC BIỆT 133 3.2.1 Bài toán vận tải không cân thu phát .133 3.2.2 Bài tốn vận tải có ô cấm 139 BÀI TẬP CHƢƠNG 142 TÀI LIỆU THAM KHẢO 151 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính LỜI GIỚI THIỆU Trong q trình cơng nghiệp hóa, đại hóa kinh tế, việc giải toán kinh tế cách tăng cƣờng hợp lí hóa q trình sản xuất, địi hỏi phải áp dụng rộng rãi phƣơng pháp khoa học tiên tiến, giúp có đƣợc cách định hợp lý, hiệu Một kĩ thuật giúp lập kế hoạch hợp lí việc áp dụng phƣơng pháp mơ hình tốn kinh tế, đặc biệt phƣơng pháp Quy hoạch tuyến tính Học phần Tốn chun đề (Quy hoạch tuyến tính) học phần tự chọn ngành học kỹ thuật nhƣ CNTT, Cơ khí trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Để việc dạy học theo học chế tín có hiệu việc biên soạn tập giảng Quy hoạch tuyến tính cần thiết Các tác giả cố gắng trình bày nội dung cách đơn giản, trực quan nhƣng đảm bảo tính khoa học giảng Tập giảng gồm chƣơng: Chương 1: Bài toán Quy hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình Chương 2: Bài tốn Quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Chương 3: Bài toán vận tải Do tập giảng đƣợc biên soạn lần đầu nên khơng tránh khỏi sai sót, tác giả mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến bạn đọc để tập giảng đƣợc hoàn thiện Các tác giả xin chân thành cảm ơn! CÁC TÁC GIẢ TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Chƣơng 1: BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 1.1 BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1.1 Các ví dụ Ví dụ 1: (Bài toán lập kế hoạch sản xuất điều kiện tài nguyên hạn chế) Nhân dịp tết Trung Thu, công ty sản xuất bánh Tràng An muốn sản xuất ba loại bánh: Đậu xanh, Nƣớng, Dẻo Để sản xuất ba loại bánh này, công ty cần: đƣờng, đậu, bột, trứng, mứt, lạp sƣờn Giả sử số đƣờng chuẩn bị đƣợc 500 kg, đậu 300 kg, nguyên liệu khác muốn có Lƣợng đƣờng, đậu cần thiết số tiền lãi bán bánh loại cho bảng sau: Bánh Bánh đậu xanh Bánh nƣớng Bánh dẻo Nguyên liệu Đƣờng: 500kg 0,06 kg 0,04kg 0,07 kg Đậu: 300 kg 0,08 kg 0,04 kg Lãi nghìn 1,7 nghìn 1,8 nghìn Cần lập kế hoạch sản xuất loại bánh để không bị động đƣờng, đậu tổng số lãi thu đƣợc lớn (Giả thiết: sản xuất bán hết) Phân tích Gọi x1 , x2 , x3 lần lƣợt số bánh đậu xanh, nƣớng, dẻo cần sản xuất  Tất nhiên số lƣợng bánh loại số âm, tức xj  (j = 3) (bằng không sản xuất loại bánh đó)  Tổng số đƣờng cần dùng là: …………………………………………………… Tổng vƣợt 500 kg đƣờng có kho  TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính  Tổng số đậu xanh cần dùng là: ………………………………………………… Tổng khơng thể vƣợt q 300 kg đậu xanh có kho   Tổng số lãi thu đƣợc là: Tổng tất nhiên lớn tốt Từ phân tích trên, mơ hình tốn là: f(x) = 2x1 + 1,7x2 + 1,8x3  max (1)  0, 06x1  0, 04x  0, 07x  500   300  0, 08x1  0, 04x (2) xj  (j = 1,2,3) (3)  Hàm f(x) (1) đƣợc gọi hàm mục tiêu tốn  Các bất phƣơng trình (2) đƣợc gọi ràng buộc bắt buộc toán  Các ràng buộc dấu (3) đƣợc gọi ràng buộc tự nhiên Ví dụ 2: (Bài tốn vốn đầu tư nhỏ nhất) Có ba xí nghiệp may: I , II , III sản xuất áo véc quần Do trình độ cơng nhân, tài tổ chức, mức trang bị kỹ thuật … khác nhau, nên hiệu đồng vốn xí nghiệp khác Giả sử từ 1000 USD vào xí nghiệp I cuối kỳ cho 35 áo véc 45 quần; vào xí nghiệp II cuối kỳ cho 40 áo véc 42 quần; vào xí nghiệp III cuối kỳ cho 43 áo véc 30 quần Lƣợng vải số công cần thiết để sản xuất áo quần (còn gọi xuất tiêu hoa nhiên liệu lao động) ba xí nghiệp cho bảng sau: TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Xí nghiệp I II III Sản phẩm Áo véc 3,5 m 20 4,0 m 16 3,8 m 18 Quần 2,8 m 10 2,6 m 12 2,5 m 15 Tổng số vải cơng lao động huy động đƣợc cho xí nghiệp 10.000 m 52.000 cơng Theo hợp đồng kinh doanh cuối kỳ phải có tối thiểu 1.500 quần áo Do đặc điểm hàng hố lẻ bộ, có quần dễ bán Hãy lập kế hoạch đầu tƣ vào xí nghiệp vốn để:  Hồn thành kế hoạch sản phẩm  Khơng khó khăn tiêu thụ  Không bị động vải lao động  Tổng số vốn đầu tƣ nhỏ Phân tích Gọi xj số vốn (đơn vị 1000 USD) đầu tƣ vào xí nghiệp j (j = 1,2,3)  Tất nhiên xj  (j = 1,2,3)  Tổng số áo véc thu đƣợc xí nghiệp cuối kỳ là: Tổng nhỏ 1500  Tổng số quần thu đƣợc xí nghiệp cuối kỳ là: Tổng khơng thể tổng số áo véc, tức là: TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Điều đảm bảo lẻ dƣ quần (dễ bán)  Tổng số vải cần dùng cho xí nghiệp: Tổng số vải để may áo véc là: Tổng số vải để may quần là: Tổng số vải cần dùng cho xí nghiệp là: Tổng vƣợt 10.000 m  Tổng số công lao động là: Tổng số công để may áo véc là: Tổng số công để may quần là: Tổng số công cần dùng cho xí nghiệp là: Tổng vƣợt 52.000 công  Tổng số tiền cần phải đầu tƣ vào xí nghiệp là: TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 10 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính 0 20 30 0 30 10 20 30 Kết luận:  30   0 20   x*    30 10     0 30  f(x*) = 30 × + 30 × + 10 × + 20 × + 30 × = 180 Chú ý: Khi kết luận trạm thu giả khơng cần viết vào Ví dụ 2: Giải toán vận tải cho bảng sau: Thu 70 40 100 90 Phát 60 10 80 11 100 12 15 Ta thấy ∑Bi > ∑Aj, ta lập thêm trạm phát giả A4 có lƣợng hàng là: TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 137 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính ∑Bi - ∑Aj = (70 + 40 + 100 + 90) - (60 + 80 + 100) = 60 Lập bảng chọn phƣơng án đƣợc: Thu 70 40 100 90 Phát 10 60 60 11 80 * 12 80 15 100 70 20 10 0 60 20 40 Sau điều chỉnh ta đƣợc kết quả: 10 60 11 20 12 60 15 70 30 0 20 40 Kiểm tra thấy phƣơng án tối ƣu TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 138 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính 3.2.2 Bài tốn vận tải có cấm Trong thực tế có số tuyến đƣờng (đặc trƣng ô) chuyển hàng qua đƣợc, chẳng hạn nhƣ: cầu phà bị hỏng, cự ly xa chuyển kịp thời gian, chuyển đến nơi hàng bị hỏng khơng có điều kiện bảo quản tốt đƣờng vận chuyển, khơng có phƣơng tiện vận tải thích hợp, kế hoạch vẩn chuyển phải đảm bảo cho trạm phát phát hết hàng trạm thu phải thu đủ hàng khơng cân thu phát v.v Các ô ứng với tuyến đƣờng gọi “ô cấm” Để áp dụng thuật toán trên, ta thay cij ô cấm M (một số lớn số cần so sánh), lúc cƣớc phí có dạng: cij = a + b M (trong a, b số đó) Sau giải bình thƣờng Lƣu ý: 1) Đặt j = aj + bj M để xét dấu j so sánh chúng với nau, ta dùng quy tắc sau: b j  , a j  j <  b j  , a j _ tuú ý b j  , a j  j >  b j  , a j _ tuú ý b m  b n m < n  b m  b n , am  an , a m ,a n _ tuú ý 2) Nếu PATƢ nhận đƣợc mà có cấm chọn, tốn vận tải khơng có PATƢ TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 139 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Ví dụ 3: Giải tốn vận tải có cấm sau: B 50 70 60 40 30 50 3 60 Ô cấm 50 70 60 40 A Lặp lần 1: B A 3 30 30 50 10 40 M 0 60 60 0 80 10 10 60 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 140 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính 30 3 -1 10 40 M 60 0 0 10 10 60 ui -1 -1 -1 vj 3 1 30 10 40 M-1 60 0 10 10 60 Kết luận: x* =  30 0   10 0 40     60 0  f(x*) = 30*1 + 10*2 + 60*1 + 40*1 = 150 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 141 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính BÀI TẬP CHƢƠNG GIẢI BÀI TỐN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT SAU 3.1 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp quy O ô chọn B 40 60 90 70 40 60 4 70 90 3 A Đáp số: f(x*) = 570 3.2 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp quy O ô chọn B 50 60 30 40 50 60 40 5 30 A Đáp số: f(x*) = 420 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 142 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính 3.3 Giải tốn vận tải sau phƣơng pháp quy O ô chọn B 40 50 80 40 40 2 60 4 40 70 A Đáp số: f(x*) = 510 3.4 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp quy O ô chọn B 40 50 90 70 40 2 50 90 70 A Đáp số: f(x*) = 410 3.5 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp quy O ô chọn B 20 60 90 30 60 40 70 1 30 A Đáp số: f(x*) = 300 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 143 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính 3.6 Giải tốn vận tải sau phƣơng pháp vị B A 40 70 60 30 20 40 80 60 4 5 Đáp số: f(x*) = 280 3.7 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp vị B A 60 40 70 30 20 60 90 30 5 Đáp số: f(x*) = 440 3.8 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp vị B 20 40 80 60 40 5 70 60 30 A Đáp số: f(x*) = 440 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 144 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính GIẢI BÀI TỐN VẬN TẢI KHÔNG CÂN BẰNG THU PHÁT SAU 3.9 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp vị B 50 40 60 60 40 70 50 A Đáp số: f(x*) = 320 3.10 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp vị B 30 40 50 30 20 60 30 A Đáp số: f(x*) = 270 3.11 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp vị B 20 40 80 30 60 4 70 30 4 A Đáp số: f(x*) = 360 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 145 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính 3.12 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp quy O ô chọn B 50 60 80 30 30 70 30 A Đáp số: f(x*)=200 3.13 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp quy O ô chọn B 30 40 50 30 20 60 2 30 A Đáp số: f(x*) = 180 3.14 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp quy O ô chọn B 20 40 80 30 60 70 1 30 4 A Đáp số: f(x*) = 290 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 146 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính 3.15 Giải tốn vận tải sau phƣơng pháp quy O ô chọn B 50 60 80 30 30 70 2 30 5 A Đáp số: f(x*) = 350 3.16 Giải toán vận tải sau (dùng phƣơng pháp bất kỳ): B 60 80 70 50 30 4 40 3 50 A Đáp số: f(x*) = 120 3.17 Giải toán vận tải sau (dùng phƣơng pháp bất kỳ): B 50 70 30 40 60 40 3 50 A Đáp số: f(x*) = 290 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 147 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính GIẢI BÀI TỐN VẬN TẢI CĨ Ô CẤM 3.18 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp vị B 40 80 60 70 50 40 Ô cấm 60 A Đáp số: f(x*) = 230 3.19 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp vị B 50 80 60 70 50 Ô cấm 30 60 3 A Đáp số: f(x*) = 140 3.20 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp quy “O ô chọn” B 20 40 30 80 60 4 70 Ô cấm 30 A Đáp số: f(x*) = 410 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 148 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính 3.21 Giải tốn vận tải sau phƣơng pháp quy “O chọn” B 50 90 80 30 30 Ô cấm 70 30 Ô cấm A Đáp số: f(x*) = 190 3.22 Giải toán vận tải sau phƣơng pháp quy “O ô chọn” B 50 90 80 30 30 Ô cấm 70 30 6 A Đáp số: f(x*) = 160 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 149 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính 3.23 Giải tốn vận tải sau: B 50 90 80 30 30 70 Ô cấm 30 120 4 A Đáp số: f(x*) = 470 3.24 Giải toán vận tải sau: B 50 90 80 30 30 5 70 Ô cấm 100 Ô cấm 50 A Đáp số: f(x*) = 660 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 150 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Hấn, Quy hoạch tuyến tính, Trƣờng ĐH Kinh tế TP.HCM, 1995 [2] Phạm Quốc Khánh, Trần Huệ Nƣơng, Quy hoạch tuyến tính, NXB Giáo dục, 2003 [3] Nguyễn Đức Nghĩa, Tối ƣu hóa, NXB Giáo dục, 1999 [4] Lê Văn Phi, Quy hoạch tuyến tính ứng dụng kinh tế, NXB Giáo dục, 2004 [5] Trần Vũ Thiệu, Giáo trình Quy hoạch tuyến tính, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội, 2004 [6] Bùi Minh Trí, Tối ƣu hóa, Tập + 2, NXB Khoa học Kỹ thuật, 2005 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 151 ... SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 40 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Lập bảng đơn hình Hệ số Ẩn -6 -4 -3 i PA x1 x2 x3 x4 x5 -4 x3 22/3 1/3 -1 /6 - -6 x2 34/3 -1 /6 1/3 - -3 x5 1/2 0 -1 - g(x) -3 10/3 -2 3/6... Ẩn -1 -3 0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 PA CB i X6 0 -1 - -1 X2 1 -1 0 - X7 0 -2 1 2 X3 -3 0 Lần g(x) 0 -8 0 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 42 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính X6 0 1 -1 X2 -1 .. .Bài giảng Quy hoạch tuyến tính TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính MỤC LỤC LỜI GIỚI THIỆU Chƣơng 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ