Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học ngành khoa học giữ vị trí quan trọng lĩnh vực ứng dụng đời sống người Các kiến thức phương pháp Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học hỗ trợ hữu hiệu nhà nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác Vật lý, hóa học, sinh học, nông học, kinh tế học,… Ngày nay, lý thuyết Xác suất Thống kê toán học đưa vào giảng dạy hầu hết ngành đào tạo trường Đại học Cao đẳng nước Do đối tượng sinh viên đa dạng, với trình độ tốn khác nhau, chúng tơi cố gắng tìm cách tiếp cận đơn giản hợp lý để biên soạn Tập giảng “Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học” dành cho sinh viên khối ngành kinh tế Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định Tập giảng gồm chương, chương đầu dành cho phần xác suất chương sau dành cho thống kê toán học Chương 1: Khái niệm xác suất Chương 2: Biến ngẫu nhiên Chương 3: Lý thuyết ước lượng Chương 4: Lý thuyết kiểm định Chương 5: Phân tích hồi quy Tập giảng trình bày cách thích hợp sinh viên khối ngành kinh tế, sau phần lý thuyết có ví dụ để minh họa trực tiếp khái niệm, định lý thuật toán giúp người học tiếp thu kiến thức dễ dàng Cuối chương biên soạn phần hướng dẫn tự học nhằm giúp sinh viên chuẩn bị tốt phần tự học nhà phù hợp với hình thức đào tạo theo hệ thống tín Đặc biệt, sinh viên cần ý đến nhận xét, bình luận để hiểu sâu hơn, mở rộng tổng quát kết hướng ứng dụng vào thực tế Tiếp theo, biên soạn câu hỏi ôn tập bao trùm toàn nội dung vừa học giúp sinh viên kiểm tra kiến thức vừa học, có câu hỏi yêu cầu sinh viên phải vận dụng kiến thức tổng hợp sáng tạo để giải Phần tập tổng hợp chủ yếu để giúp sinh viên kiểm tra kiến thức, khả tổng hợp vận dụng kiến thức Mặc dù, có nhiều cố gắng, nhiên Tập giảng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp đồng nghiệp bạn đọc để Tập giảng hoàn thiện Các tác giả MỤC LỤC Lời nói đầu Chƣơng 1: Khái niệm xác suất 1.1 Giải tích tổ hợp 1.1.1 Quy tắc đếm 1.1.2 Hoán vị 1.1.3 Chỉnh hợp 1.1.4 Chỉnh hợp lặp 1.1.5 Tổ hợp 1.2 Phép thử biến cố 1.2.1 Khái niệm 1.2.2 Các phép toán mối quan hệ biến cố 1.2.3 Nhóm đầy đủ biến cố 12 1.2 Xác suất 12 1.3.1 Khái niệm xác suất 12 1.3.2 Các định nghĩa xác suất 12 1.3.3 Tính chất xác suất 14 1.3.4 Các cơng thức tính xác suất 14 Hướng dẫn tự học chương 22 Câu hỏi ôn tập chương 27 Bài tập chương 28 Hướng dẫn đáp số tập chương 33 Chƣơng 2: Biến ngẫu nhiên 34 2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 34 2.1.1 Định nghĩa 34 2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên 34 2.2 Các phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 34 2.2.1 Bảng phân phối xác suất 34 2.2.2 Hàm phân phối xác suất 37 2.2.3 Hàm mật độ xác suất 39 2.3 Các đặc trưng số biến ngẫu nhiên 42 2.3.1 Kỳ vọng 42 2.3.2 Phương sai 43 2.3.3 Mode ………………………………………………………………45 2.3.4 Median ………………………………………………………… 46 2.4 Các phân phối xác suất thường dùng 46 2.4.1 Phân phối nhị thức 46 2.4.2 Phân phối Poisson 48 2.4.3 Phân phối chuẩn 49 2.4.4 Phân phối bình phương 56 2.4.5 Phân phối Student 56 2.4.6 Phân phối Fisher – Sendecor 57 Hướng dẫn tự học chương 59 Câu hỏi ôn tập chương 62 Bài tập chương 63 Hướng dẫn đáp số tập chương 67 Chƣơng 3: Lý thuyết ƣớc lƣợng 711 3.1 Lý thuyết mẫu 71 3.1.1 Khái niệm mẫu ngẫu nhiên 71 3.1.2 Các phương pháp lấy mẫu 72 3.1.3 Bảng phân phối thực nghiệm 73 3.1.4 Các đặc trưng mẫu 74 3.1.5 Cách tính đặc trưng mẫu 76 3.2 Ước lượng điểm 80 3.2.1 Khái niệm ước lượng điểm 80 3.2.2 Các tính chất ước lượng điểm 811 3.3 Ước lượng khoảng 82 3.3.1 Khái niệm ước lượng khoảng 82 3.3.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 83 3.3.3 Khoảng tin cậy cho phương sai 90 3.3.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ 94 Hướng dẫn tự học chương 99 Câu hỏi ôn tập chương 100 Bài tập chương 101 Hướng dẫn đáp số tập chương 104 Chƣơng 4: Kiểm định giả thuyết thống kê 105 4.1 Giả thuyết thống kê 105 4.2 Quy tắc kiểm định 105 4.2.1 Tiêu chuẩn kiểm định 105 4.2.2 Quy tắc kiểm định 106 4.3 Các dạng miền tới hạn 106 4.3.1 Kiểm định đối xứng 106 4.3.2 Kiểm định trái 107 4.3.3 Kiểm định phải 107 4.4 Kiểm định kỳ vọng 107 4.4.1 Bài toán 1: Phương sai VX = σ2 biết 108 4.4.2 Bài toán 2: Phương sai VX = σ2 chưa biết 110 4.5 Kiểm định phương sai 113 4.5.1 Bài toán 1: Kỳ vọng EX biết 113 4.5.2 Bài toán 1: Kỳ vọng EX chưa biết 114 4.6 Kiểm định tỷ lệ 115 4.6.1 Kiểm định hai phía 115 4.6.2 Kiểm định phía trái 116 4.6.3 Kiểm định phía phải 116 4.7 Kiểm định hai kỳ vọng 118 4.7.1 Bài toán 1: Trường hợp biết VX  12 VY  22 118 4.7.2 Bài toán 2: Trường hợp chưa biết VX  12 VY  22 119 4.8 Kiểm định tỷ lệ 121 4.8.1 Kiểm định hai phía 121 4.8.2 Kiểm định phía trái 122 4.8.3 Kiểm định phía phải 122 Hướng dẫn tự học chương 1244 Câu hỏi ôn tập chương 1255 Bài tập chương 1266 Hướng dẫn đáp số tập chương 1300 Chƣơng 5: Phân tích hồi quy 1311 5.1 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 1311 5.1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên chiều 1311 5.1.2 Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên chiều rời rạc 1311 5.1.3 Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên chiều liên tục 1333 5.2 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên chiều 1355 5.2.1 Các số đặc trưng biến thành phần 1355 5.2.2 Hệ số tương quan 1355 5.2.3 Hệ số tương quan mẫu 1377 5.2.4 Tiêu chuẩn độc lập hai biến ngẫu nhiên 1388 5.2.5 Kiểm định giả thuyết hệ số tương quan 13939 5.3 Hồi quy 1400 5.3.1 Mô hình tuyến tính 1400 5.3.2 Công thức ước lượng hệ số đường hồi quy tuyến tính 1411 Hướng dẫn tự học chương 1455 Câu hỏi ôn tập chương 1466 Bài tập chương 1477 Hướng dẫn đáp số tập chương 1511 Phụ lục: Các bảng số 1555 Tài liệu tham khảo 1622 CHƢƠNG 1: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Chúng ta sống làm việc mơi trường có nhiều biến động Người sản xuất kinh doanh cần dự báo xác ngày mai thị trường sao, thị hiếu, nhu cầu khách hàng Lý thuyết xác suất công cụ quan trọng để mô tả, nghiên cứu thị trường Chương giới thiệu khái niệm số cơng thức tính xác suất 1.1 Giải tích tổ hợp Từ lâu, đời sống người gặp giải toán tổ hợp Những kiến thức tổ hợp có nhiều ứng dụng khoa học thực tiễn, đặc biệt ứng dụng máy tính, vi mạch, quy hoạch tốn học, tốn kinh tế,… Trong phần này, giới thiệu số kiến thức giải tích tổ hợp có ứng dụng lý thuyết xác suất 1.1.1 Quy tắc đếm a Quy tắc cộng Cơng việc A thực m phương án khác A1 , A ,… , A m Mỗi phương án Ai có ni cách thực Số cách để thực công việc A m å ni i= Ví dụ 1.1: Một nhóm có 15 sinh viên gồm nam 10 sinh viên nữ Chọn ngẫu nhiên từ nhóm sinh viên làm nhóm trưởng Hỏi có cách chọn ? Giải: Công việc ta chọn sinh viên làm nhóm trưởng, cơng việc có phương án thực hiện: - Phương án 1: Nhóm trưởng sinh viên nam – có cách chọn - Phương án 2: Nhóm trưởng sinh viên nữ – có 10 cách chọn Vậy số cách để chọn sinh viên nhóm trưởng là: n = + 10 = 15 (cách) b Quy tắc nhân Công việc A chia thành m công đoạn A1 , A2 , , Am Ứng với cách thực cơng đoạn Ai có ni+ cách thực cơng đoạn Ai+ Số cách để thực công việc A m Õn i i= Ví dụ 1.2: Một doanh nhân dự định từ Kiên Giang tới Hà Nội, qua Thành phố Hồ Chí Minh Hỏi ơng ta có cách đi, biết từ Kiên Giang tới Thành phố Hồ Chí Minh dùng ba phương tiện: tơ, tàu thủy, máy bay; từ Thành phố Hồ Chí Minh tới Hà Nội dùng bốn phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy, máy bay Giải Công việc A: từ Kiên Giang tới Hà Nội chia thành công đoạn - Công đoạn 1: từ Kiên Giang Thành phố Hồ Chí Minh, có cách thực - Công đoạn 2: từ Thành phố Hồ Chí Minh tới Hà Nội , có cách thực Vậy số cách từ Kiên Giang tới Hà Nội là: 3.4 = 12 (cách) 1.1.2 Hốn vị Định nghĩa: Cho tập có n phần tử Mỗi cách đặt phần tử tập hợp theo thứ tự định gọi hốn vị n phần tử Số hốn vị n phần tử, kí hiệu Pn : Pn = n! = 1.2.3 (n - 1)n Ví dụ 1.3 Sắp chỗ ngổi cho học sinh A, B, C bàn, ta có số cách xếp 3! = cách sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 1.1.3 Chỉnh hợp Định nghĩa: Lấy ngẫu nhiên k phần tử từ tập có n phần tử, hai cách lấy gọi khác chúng có phần tử khác thứ tự lấy phần tử khác Số cách lấy k phần tử gọi chỉnh hợp chập k n phần tử, ký hiệu là: Ank , xác định công thức : Ank = n! (n  k )! Quy ước: 0! = Ví dụ 1.4: Chọn ngẫu nhiên người người làm nhiệm vụ, người chọn trước làm nhóm trưởng Hỏi có cách chọn Giải: Số cách chọn A52 = 20 cách 1.1.4 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử phần tử lặp lại lấy từ n phần tử cho Số chỉnh hợp lặp chập k ~ k n phần tử, kí hiệu A n : ~ k A n = nk Ví dụ 1.5: Với chữ số 1, 2, 3, viết số có chữ số? Giải: Số số có chữ số chỉnh hợp lặp chập 3 ° A4 = = 64 Ta có: 1.1.5 Tổ hợp Định nghĩa: Lấy ngẫu nhiên k phần tử từ tập có n phần tử, hai cách lấy gọi khác chúng có phần tử khác Số cách lấy k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử, ký hiệu là: Cnk , xác định công thức : C kn = a kn n!  k! k!(n  k )! Tính chất: C 0n = C nn = C kn = C nn  k C kn 11 + C nk 1 = C kn Ví dụ 1.6 Có cách lập hội đồng gồm người tổng số người? Giải Hội đồng nhóm người lấy ngẫu nhiên từ người, số cách lập hội đồng C83 = 8! = 56 (cách) 3!(8 - 3)! 1.2 Phép thử biến cố 1.2.1 Khái niệm Trong tự nhiên xã hội, tượng gắn liền với điều kiện bản, tượng xảy nhóm điều kiện gắn liền với thực Do đó, muốn nghiên cứu tượng, ta cần thực nhóm điều kiện Chẳng hạn muốn nghiên cứu chất lượng lô sản phẩm, ta phải lấy ngẫu nhiên sản phẩm lơ sản phẩm để kiểm tra Việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng xảy hay không gọi thực phép thử, cịn tượng xảy kết phép thử gọi biến cố (sự kiện) Trong thực tế ta gặp loại biến cố sau đây: - Biến cố chắn: biến cố định xảy thực phép thử Biến cố chắn ký hiệu là:  - Biến cố không: biến cố xảy thực phép thử Biến cố không ký hiệu là:  - Biến cố ngẫu nhiên: biến cố xảy không xảy thực phép thử Các biến cố ngẫu nhiên thường ký hiệu chữ cái: A, B, C Ví dụ 1.7 Tung đồng tiền xu xuống đất phép thử, cịn việc xuất mặt biến cố Ta có hai biến cố: N = “xuất mặt ngửa” S = “xuất mặt sấp” Ví dụ 1.8 Gieo son súc sắc phép thử - Gọi A biến cố “xúc xắc xuất mặt có số chấm nhỏ sáu” A biến cố chắn - Gọi B biến cố “ xuất mặt chấm” B biến cố không - Gọi Ak = “Xuất mặt k chấm” Khi đó: A1, A2, A6 biến cố ngẫu nhiên 1.2.2 Các phép toán mối quan hệ biến cố a Quan hệ kéo theo Biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy B xảy Ký hiệu: A Ð B Mơ tả hình học quan hệ kéo theo hình dung A tập tập B B A Hình 1.1: Minh họa hình học quan hệ kéo theo b Quan hệ tương đương Hai biến cố A B gọi tương đương A xảy B xảy ngược lại Ký hiệu: A = B c Biến cố tổng Biến cố C gọi biến cố tổng hai biến cố A, B C xảy có A B xảy Ký hiệu C = A + B Chú ý: - Biến cố sơ cấp biến cố khơng thể phân tích thành tổng biến cố khác - Mọi biến cố ngẫu nhiên A biểu diễn thành tổng biến cố sơ cấp Các biến cố sơ cấp tổng gọi biến cố thuận lợi cho biến cố A - Biến cố chắn  tổng biến cố sơ cấp có, nghĩa biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố  Do  cịn gọi khơng gian biến cố sơ cấp Ví dụ 1.9 Gieo đồng thời súc sắc C = “tổng số chấm xuất 2”, A = “con súc sắc thứ xuất mặt chấm”, B = “con súc sắc thứ hai xuất mặt chấm” Khi C = A + B Mơ tả hình học biến cố tổng hình dung C hợp hai tập hợp A B A B A+B Hình 1.2: Minh họa hình học biến cố tổng d Biến cố hiệu Biến cố C gọi hiệu hai biến cố A B C xảy A xảy cịn B khơng xảy Ký hiệu C = A \ B Chú ý: Hai biến cố A \ B B \ A nói chung thường khác Mơ tả hình học biến cố hiệu hình dung C hiệu hai tập hợp A B A B A\B Hình 1.3: Minh họa hình học biến cố hiệu e Biến cố tích Biến cố C gọi tích hai biến cố A B C xảy A, B đồng thời xảy Ký hiệu C = AB Ví dụ 1.10 Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu, người bắn viên đạn Gọi C = “mục tiêu bị trúng viên đạn”, A = “xạ thủ thứ bắn trúng mục tiêu”, B = “xạ thủ thứ hai bắn trúng mục tiêu” Vậy C = AB 10 Xác định đường hồi quy tuyến tính mẫu y  ax  b , sau tìm phương sai sai số thực nghiệm đường hồi quy 5.7 Đo chiều cao X khối lượng Y học sinh, ta kết cho bảng sau: X(m) 1,45 1,60 1,50 1,65 1,55 Y(kg) 50 55 45 65 60 a) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X, b) Dự đốn khối lượng trung bình học sinh có chiều cao 1,52m, c) Sai số dự đốn Y X = 1,45m ? 5.8 Để nghiên cứu phát triển loại trồng, người ta tiến hành đo chiều cao Y(m) đường kính X(cm) số Kết ghi bảng sau Y X 21 23 11 25 15 10 27 17 29 12 a) Tìm hệ số tương quan mẫu phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X X theo Y, b) Nếu Y tính theo đơn vị cm hàm số câu a) thay đổi nào? Từ kết câu a), suy phương trình hồi quy tương ứng đơn vị Y cm 5.9 Số liệu thống kê nhằm nghiên cứu số lượng prôtêin chứa loại hạt lúa suất loại lúa 10 vùng sau: X 9,9 10,2 11,0 11,6 11,8 12,5 12,8 13,5 14,3 14,4 Y 10,7 10,8 12,1 12,5 12,2 12,8 12,4 11,8 11,8 12,6 Xác định đường hồi quy tuyến tính Y theo X X theo Y? Bạn có nhận xét hai đường hồi quy đó? 5.10 Điều tra mức đầu tư X lãi suất Y mặt hàng bảng số liệu sau: X 2,1 2,3 2,4 2,6 2,6 2,7 2,8 Y 14,2 14,3 14,3 14,4 14,5 14,5 14,6 Xác định đường hồi quy tuyến tính Y theo X? 5.11 Cho X (%) Y (g) hai tiêu loại sản phẩm Điều tra số sản phẩm ta kết sau: 148 X 21,2 18 22,5 30 23,7 16 15 Y 30 10 Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu X theo Y 5.12 Khảo sát thu nhập tỉ lệ thu nhập chi cho giáo dục 400 hộ gia đình, ta thu bảng số liệu sau: X 10 20 30 10 40 20 650-750 40 60 20 750-850 20 80 40 30 30 Y 550-650 850-950 40 50 10 Giả thiết X, Y có phụ thuộc tương quan tuyến tính Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu X theo Y 5.13 Theo dõi chi phí bảo trì sửa chữa xe tải công ty thu kết sau: Tuổi xe X Chi phí chữa theo năm Y ( tính theo năm) (triệu đổng) 101 102 103 104 Số xe a) Hãy tìm đường hồi quy tuyến tính Y theo X? b) Nếu ty có xe tải “tuổi” ước lượng chi phí để sửa chữa xe năm? 5.14 Theo kết thử nghiệm độ bền loại dây điện có đường kính khác nhau, người ta có bảng số liệu sau đây: Đường kính (X) 0,6 2,2 2,45 2,6 Lực tối đa (Y) 500 560 690 760 850 a) Hãy xác định hệ số tương quan mẫu X Y, b) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X 5.15 Để tìm hiểu mối liên hệ chi phí cho nghiên cứu triển khai sản phẩm với lợi nhuận công ty điện tử kết sau: 149 Năm Chi phí cho nghiên cứu triển khai sản phẩm (triệu đô la) Lợi nhuận (triệu đôla) 2007 50 310 2008 110 400 2009 40 300 2010 50 340 2011 30 250 2012 20 200 Lập phương trình hồi quy tuyến tính lợi nhuận chi phí cho nghiên cứu, triển khai sản phẩm mới? 150 HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƢƠNG 5.1 X  87  47   75 xi   55  10 n s  X   768 = 27,7128 Y 86  56   78  59 ; yj   n 10 s Y   649,8 = 25,4912 Đối với tích XY, ta có XY  87.86  47.56   75.78  3928 xi y i   n 10 5.3 a) R  0,865 b) y  7,083  0,5716X 5.7 a) Trước hết, ta tính đặc trưng mẫu X 1,45  1,60   1,55  1,55 ; X2   SX2 1,45  1,60   1,55  2,4075 ;  2,4075  1,55  0,005 ; Y 50  55   60  55 ; XY  1,45.50  1,60.55   1,55.60  85,65 Suy hệ số phương trình cần tìm a= XY  X.Y  S 2X  85,65  1,55.55  80 ; 0,005 b = Y  a X  55  80.1,55  69 Vậy, phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X có dạng y = 80x – 69 b) Trong phương trình x có đơn vị m, y có đơn vị kg Để dự đốn khối lượng trung bình học sinh có chiều cao 1,52m, ta thay : x = 1,52 vào phương trình tìm y = 80.1,52 – 69 = 52,6 (kg) 151 c) Tương tự, thay x = 1,45m vào phương trình, ta dự đốn khối lượng trung bình y = 80.1,45 – 69 = 47 (kg) Trên mẫu, học sinh cao 1,45m lại có khối lượng 50 kg (xem cột mẫu) Vậy sai số dự đoán : 50 – 47 = (kg) 5.8 a) Trước hết ta tính đặc trưng mẫu Ta lập bảng dạng sau: yj xi 21 23 ni 11 14 25 15 10 33 27 17 24 29 mj 23 32 12 19 20 12 n = 97 Khi X 21.7  23.14  25.33  27.24  29.19  25,7010 ; 97 X2  212.7  232.14  25 2.33  27 2.24  29 2.19  665,9072 ; 97  S2X  5,3658 ; S x  2,3164 Y 3.2  4.8  5.23  6.32  7.20  8.12  5,9897 ; 97  Y2   32.2  2.8  2.23  2.32  2.20  2.12  37,3299 ; 97  S 2Y = 1,4534 ; S Y = 1,2056 XY  21.3.2  21.4.5  23.4.3  23.5.11   29.7.7  29.8.12  156,2165 97 Tính hệ số tương quan mẫu 152 rXY = XY  X.Y   = 0,8147 S X S Y Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X Cách thứ XY  X.Y a= Do  S 2X = 0,4240 ; b = Y  a X = - 4,9075 y = ax + b = 0,4240x – 4,9075 Cách thứ hai Áp dụng công thức “đối xứng” ta yY   rXY Sy xX  , SX hay x  25,7010 y  5,9897  0,8147 2,3164 1,2056 Rút gọn ta phương trình y = 0,4240x – 4,9075 Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu X theo Y Cách thứ Đổi vai trò X Y ta a= XY  X.Y  S 2Y = 1,5654 ; b = X  a Y = 16,3247 Do ta có phương trình x = ay + b = 1,5654y + 16,3247 Cách thứ hai Áp dụng công thức “đối xứng” ta có xX  SX  rXY yY  , SY hay y  5,9897 x  25,7010  0,8147 1,2056 2,3164 Rút gọn ta x = 1,5653y + 16,3251 b) Nếu y tính theo đơn vị cm vế trái phương trình y = 0,4240x – 4,9075 tăng lên 100 lần Suy vế phải phải tăng 100 lần Do đơn vị x không thay đổi nên hệ số a b phải tăng 100 lần Vậy phương trình có dạng 153 y = 42,40x – 490,75 Xét phương trình x = 1,5653y + 16,3251 Nếu y tăng 100 lần x giữ nguyên hệ số y phải giảm 100 lần Vậy, phương trình có dạng x = 0,015653y + 16,3251 5.10 y  0,56  13 5.13 a) y  0,75x  3,75 b) Chi phí để sửa chữa xe là: y  4  0,75.4  3,75  6,75 5.15 y  2x  200 154 PHỤ LỤC: CÁC BẢNG SỐ ak e-a Bảng : Giá trị hàm Pk  a  = k! a k 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.904837 0.818731 0.740818 0,670320 0,606531 0,548812 0.090481 0.163746 0.222245 0.268128 0,303265 0,329287 0.001521 0.016375 0.033337 0,053626 0,075817 0,098786 0.000151 0.001091 0.033334 0,007150 0,012636 0,019757 0.000004 0.000055 0.000250 0,000715 0,001580 0,002964 0.000002 0.000015 0,000057 0,000158 0,000356 0.000001 0,000004 0,000013 0,000035 0.000001 0,000003 a k 0,7 0,8 0,9 1,0 2,0 3,0 0,496585 0,449329 0,406570 0,367877 0,135335 0,049787 0,347610 0,359463 0,365913 0,367879 0,270671 0,149361 0,121663 0,113785 0,164661 0,483940 0,270671 0,224042 0,028388 0,038343 0,049398 0,0611313 0,180447 0,224042 0,004968 0,007669 0,011115 0,015328 0,090224 0,168031 0,000695 0,001227 0,002001 0,003066 0,036089 0,100819 0,000081 0,000164 0,000300 0,000511 0,012030 0,050409 0,000008 0,000019 0,000039 0,000073 0,003137 0,021604 0,000002 0,000004 0,000009 0,000859 0,008101 0,000001 0,000191 0,002701 10 0,000038 0,000810 11 0,000007 0,000221 12 0,000001 0,000055 13 0,000013 14 0,000003 15 0,000001 155 a 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 k 0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123 0,073263 0,033690 0,014873 0,006383 0,002684 0,001111 0,146525 0,084224 0,044618 0,022341 0,010735 0,004998 0,195367 0,140374 0,089235 0,052129 0,028626 0,014994 0,195367 0,175467 0,133853 0,091226 0,057252 0,033737 0,156293 0,175467 0,160623 0,127717 0,091604 0,060727 0,104194 0,146223 0,160623 0,149003 0,122138 0,091090 0,059540 0,104445 0,137677 0,149003 0,139587 0,117116 0,029770 0,065278 0,103258 0,130377 0,139587 0,131756 0,013231 0,036266 0,068838 0,101405 0,124077 0,131756 10 0,005292 0,018133 0,041303 0.070983 0,099262 0,118580 11 0,001925 0,008242 0,022529 0,045171 0,072190 0,097020 12 0,000642 0,003434 0,011262 0,026350 0,048127 0,072765 13 0,000197 0,001321 0,005199 0,014188 0,029616 0,050376 14 0,000056 0,000472 0,002228 0,007094 0,016924 0,032384 15 0,000015 0,000157 0,000891 0,003311 0,009026 0,019431 16 0,000004 0,000049 0,000334 0,001448 0,004513 0,010930 17 0,000001 0,000014 0,000118 0,000596 0,002124 0,005786 18 0,000004 0,000039 0,000232 0,000944 0,002893 19 0,000001 0,000012 0,000085 0,000397 0,001370 20 0,000004 0,000030 0,000159 0,000617 21 0,000001 0,000010 0,000061 0,000264 22 0,000003 0,000022 0,000108 23 0,000001 0,000008 0,000042 24 0,000003 0,000016 25 0,000001 0,000006 26 0,000002 27 0,000001 156 Bảng : Giá trị hàm Gauss f (x)  x 0,0 0,1 0,2 2π e  x2 2 0,3989 3989 3989 3986 3986 3984 3982 3980 3977 3973 3970 3910 3965 3902 3961 3894 3956 3885 3951 3876 3945 3867 3939 3857 3932 3847 3925 3836 3918 3825 0,3 0,4 3814 3683 3802 3668 3790 9653 3778 3637 3765 3621 3752 3605 3739 3589 3726 3572 3712 3555 3697 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3929 3410 3391 3372 3352 0,6 0,7 3332 3123 3312 3101 3292 3079 3271 3056 3251 3034 3230 3011 3209 2989 3187 2966 3166 2943 3144 2920 0,8 0,9 2897 2661 2874 2637 2850 2613 2827 2589 2803 2565 2780 2541 2756 1516 2732 2492 2709 2468 2685 2444 1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 1,2 2179 1942 2155 1919 2131 1895 2107 1872 2083 1849 2059 1826 2036 1804 2012 1781 1989 1758 1965 1736 1,3 1,4 1714 1497 1691 1476 1669 1456 1647 1435 1626 1415 1604 1394 1582 1374 1561 1354 1539 1334 1518 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1,7 1109 0940 1092 0925 1074 0909 1057 0893 1040 0878 1023 0863 1006 0848 0989 0833 0973 0818 0957 0804 1,8 1,9 0790 0656 0775 0644 0761 0632 0748 0620 0734 0608 0721 0596 0707 0584 0694 0573 0681 0562 0669 0551 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 2,2 0440 0355 0431 0347 0422 0339 0413 0332 0404 0325 0396 0317 0388 0310 0379 0303 0371 0297 0363 0290 2,3 2,4 0283 0224 0277 0219 0270 0213 0264 0208 0258 0203 0252 0198 0246 0194 0241 0189 0235 0184 0229 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 2,7 0136 0104 0132 0101 0129 0099 0126 0096 0122 0093 0119 0091 0116 0088 0113 0086 0110 0084 0107 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 3,0 0060 0,0044 0058 0043 0056 0042 0055 0040 0053 0039 0051 0038 0050 0037 0048 0036 0047 0035 0046 0034 3,1 3,2 0033 0024 0031 0023 0031 0022 0030 0022 0029 0021 0028 0020 0027 0020 0026 0019 0025 0018 0025 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 3,5 0012 0009 0012 0008 0012 0008 0011 0008 0011 0008 0010 0007 0010 0007 0010 0007 0009 0007 0009 0006 3,6 3,7 0006 0004 0006 0004 0006 0004 0006 0004 0006 0004 0005 0004 0005 0003 0005 0003 0005 0003 0004 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 x 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001 157 Bảng : Bảng hàm Lap – la - xơ 2π Φ(x)  x  e t2 dt  x 0,0 0.1 0.5000 0.5398 0.5040 0.5438 0.5080 0.5478 0.5120 0.5517 0.5160 0.5557 0.5199 0.5596 0.5239 0.5636 0.5279 0.5675 0.5319 0.5714 0.5359 0.5753 0.2 0.3 0.5793 0.6179 0.5832 0.6217 0.5871 0.6255 0.5910 0.6293 0.5948 0.6331 0.5987 0.6368 0.6026 0.6406 0.6064 0.6443 0.6103 0.6480 0.6141 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.8 0.7580 0.7881 0.7611 0.7910 0.7642 0.7939 0.7673 0.7967 0.7704 0.7995 0.7734 0.8023 0.7764 0.8051 0.7794 0.8078 0.7823 0.8106 0.7852 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1,0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1,2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 1,4 0.9032 0.9192 0.9049 0.9207 0.9066 0.9222 0.9082 0.9236 0.9099 0.9251 0.9115 0.9265 0.9131 0.9279 0.9147 0.9292 0.9162 0.9306 0.9177 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 1.9 0.9641 0.9713 0.9649 0.9719 0.9656 0.9726 0.9664 0.9732 0.9671 0.9738 0.9678 0.9744 0.9686 0.9750 0.9693 0.9756 0.9699 0.9761 0.9706 0.9767 2,0 2.1 0.9772 0.9821 0.9778 0.9826 0.9783 0.9830 0.9788 0.9834 0.9793 0.9838 0.9798 0.9842 0.9803 0.9846 0.9808 0.9850 0.9812 0.9854 0.9817 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 2.4 0.9893 0.9918 0.9896 0.9920 0.9898 0.9922 0.9901 0.9925 0.9904 0.9927 0.9906 0.9929 0.9909 0.9931 0.9911 0.9932 0.9913 0.9934 0.9916 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 2.9 0.9974 0.9981 0.9975 0.9982 0.9976 0.9982 0.9977 0.9983 0.9977 0.9984 0.9978 0.9984 0.9979 0.9985 0.9979 0.9985 0.9980 0.9986 0.9981 0.9986 3.0 0.998650 0.998694 0.998736 0.998777 0.998817 0.998856 0.998893 0.998930 0.998965 0.998999 3.1 0.999032 0.999065 0.999096 0.999126 0.999155 0.999184 0.999211 0.999238 0.999264 0.999289 3.2 0.999313 0.999336 0.999359 0.999381 0.999402 0.999423 0.999443 0.999462 0.999481 0.999499 3.3 3.4 0.999517 0.999534 0.999550 0.999566 0.999581 0.999596 0.999610 0.999624 0.999638 0.999651 0.999663 0.999675 0.999687 0.999698 0.999709 0.999720 0.999730 0.999740 0.999749 0.999758 3.5 0.999767 0.999776 0.999784 0.999792 0.999800 0.999807 0.999815 0.999822 0.999828 0.999835 3.6 3.7 0.999841 0.999847 0.999853 0.999858 0.999864 0.999869 0.999874 0.999879 0.999883 0.999888 0.999892 0.999896 0.999900 0.999904 0.999908 0.999912 0.999915 0.999918 0.999922 0.999925 3.8 3.9 0.999928 0.999931 0.999933 0.999936 0.999938 0.999941 0.999943 0.999946 0.999948 0.999950 0.999952 0.999954 0.999956 0.999958 0.999959 0.999961 0.999963 0.999964 0.999966 0.999967 158 Bảng : Bảng phân vị  P(X > 2(n, )) với X  2 (n) Bậc 0.005 0.010 0.025 5.0239 0.050 0.500 0.950 0.975 0.990 0.9950 3.8415 0.4549 0.0039 0.00098 0.00016 0.000039 7.8794 6.6349 10.5966 9.2103 7.3778 5.9915 1.3863 0.1026 0.0506 0.0201 0.0100 12.8382 11.3449 9.3484 7.8147 2.3660 0.3518 0.2158 0.1148 0.0717 14.8603 13.2767 11.1433 9.4877 3.3567 0.7107 0.4844 0.2971 0.2070 16.7496 15.0863 12.8325 11.0705 4.3515 1.1455 0.8312 0.5543 0.4117 18.5476 16.8119 14.4494 12.5916 5.3481 1.6354 1.2373 0.8721 0.6757 20.2777 18.4753 16.0128 14.0671 6.3458 2.1673 1.6899 1.2390 0.9893 21.9550 20.0902 17.5345 15.5073 7.3441 2.7326 2.1797 1.6465 1.3444 23.5894 21.6660 19.0228 16.9190 8.3428 3.3251 2.7004 2.0879 1.7349 10 25.1882 23.2093 20.4832 18.3070 9.3418 3.9403 3.2470 2.5582 2.1559 11 26.7568 24.7250 21.9200 19.6751 10.3410 4.5748 3.8157 3.0535 2.6032 12 28.2995 26.2170 23.3367 21.0261 11.3403 5.2260 4.4038 3.5706 3.0738 13 29.8195 27.6882 24.7356 22.3620 12.3398 5.8919 5.0088 4.1069 3.5650 14 31.3193 29.1412 26.1189 23.6848 13.3393 6.5706 5.6287 4.6604 4.0747 15 32.8013 30.5779 27.4884 24.9958 14.3389 7.2609 6.2621 5.2293 4.6009 16 34.2672 31.9999 28.8454 26.2962 15.3385 7.9616 6.9077 5.8122 5.1422 17 35.7185 33.4087 30.1910 27.5871 16.3382 8.6718 7.5642 6.4078 5.6972 18 37.1565 34.8053 31.5264 28.8693 17.3379 9.3905 8.2307 7.0149 6.2648 19 38.5823 36.1909 32.8523 30.1435 18.3377 10.1170 8.9065 7.6327 6.8440 20 39.9968 37.5662 34.1696 31.4104 19.3374 10.8508 9.5908 8.2604 7.4338 21 41.4011 38.9322 35.4789 32.6706 20.3372 11.5913 10.2829 8.8972 8.0337 22 42.7957 40.2894 36.7807 33.9244 21.3370 12.3380 10.9823 9.5425 8.6427 23 44.1813 41.6384 38.0756 35.1725 22.3369 13.0905 11.6886 10.1957 9.2604 24 45.5585 42.9798 39.3641 36.4150 23.3367 13.8484 12.4012 10.8564 9.8862 25 46.9279 44.3141 40.6465 37.6525 24.3366 14.6114 13.1197 11.5240 10.5197 26 48.2899 45.6417 41.9232 38.8851 25.3365 15.3792 13.8439 12.1981 11.1602 27 49.6449 46.9629 43.1945 40.1133 26.3363 16.1514 14.5734 12.8785 11.8076 28 50.9934 48.2782 44.4608 41.3371 27.3362 16.9279 15.3079 13.5647 12.4613 29 52.3356 49.5879 45.7223 42.5570 28.3361 17.7084 16.0471 14.2565 13.1211 30 53.6720 50.8922 46.9792 43.7730 29.3360 18.4927 16.7908 14.9535 13.7867 31 55.0027 52.1914 48.2319 44.9853 30.3359 19.2806 17.5387 15.6555 14.4578 32 56.3281 53.4858 49.4804 46.1943 31.3359 20.0719 18.2908 16.3622 15.1340 33 57.6484 54.7755 50.7251 47.3999 32.3358 20.8665 19.0467 17.0735 15.8153 34 58.9639 56.0609 51.9660 48.6024 33.3357 21.6643 19.8063 17.7891 16.5013 35 60.2748 57.3421 53.2033 49.8018 34.3356 22.4650 20.5694 18.5089 17.1918 36 61.5812 58.6192 54.4373 50.9985 35.3356 23.2686 21.3359 19.2327 17.8867 37 62.8833 59.8925 55.6680 52.1923 36.3355 24.0749 22.1056 19.9602 18.5858 38 64.1814 61.1621 56.8955 53.3835 37.3355 24.8839 22.8785 20.6914 19.2889 39 65.4756 62.4281 58.1201 54.5722 38.3354 25.6954 23.6543 21.4262 19.9959 40 66.7660 63.6907 59.3417 55.7585 39.3353 26.5093 24.4330 22.1643 20.7065 45 73.1661 69.9568 65.4102 61.6562 44.3351 30.6123 28.3662 25.9013 24.3110 50 79.4900 76.1539 71.4202 67.5048 49.3349 34.7643 32.3574 29.7067 27.9907 159 Bảng : Bảng phân vị Student P(T< t) = p với t  t(n) n\p 0.800 0.850 0.875 0.900 0.925 0.950 0.975 0.990 0.995 0.9995 1.3764 1.9626 2.4142 3.0777 4.1653 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 636.619 1.0607 0.9785 1.3862 1.2498 1.6036 1.4226 1.8856 1.6377 2.2819 1.9243 2.9200 2.3534 4.3027 3.1824 6.9646 4.5407 9.9248 5.8409 31.5991 12.9240 0.9410 0.9195 1.1896 1.1558 1.3444 1.3009 1.5332 1.4759 1.7782 1.6994 2.1318 2.0150 2.7764 2.5706 3.7469 3.3649 4.6041 4.0321 8.6103 6.8688 0.9057 1.1342 1.2733 1.4398 1.6502 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 5.9588 0.8960 0.8889 1.1192 1.1081 1.2543 1.2403 1.4149 1.3968 1.6166 1.5922 1.8946 1.8595 2.3646 2.3060 2.9980 2.8965 3.4995 3.3554 5.4079 5.0413 10 0.8834 0.8791 1.0997 1.0931 1.2297 1.2213 1.3830 1.3722 1.5737 1.5592 1.8331 1.8125 2.2622 2.2281 2.8214 2.7638 3.2498 3.1693 4.7809 4.5869 11 0.8755 1.0877 1.2145 1.3634 1.5476 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 4.4370 12 13 0.8726 0.8702 1.0832 1.0795 1.2089 1.2041 1.3562 1.3502 1.5380 1.5299 1.7823 1.7709 2.1788 2.1604 2.6810 2.6503 3.0545 3.0123 4.3178 4.2208 14 15 0.8681 0.8662 1.0763 1.0735 1.2001 1.1967 1.3450 1.3406 1.5231 1.5172 1.7613 1.7531 2.1448 2.1314 2.6245 2.6025 2.9768 2.9467 4.1405 4.0728 16 0.8647 1.0711 1.1937 1.3368 1.5121 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208 4.0150 17 18 0.8633 0.8620 1.0690 1.0672 1.1910 1.1887 1.3334 1.3304 1.5077 1.5037 1.7396 1.7341 2.1098 2.1009 2.5669 2.5524 2.8982 2.8784 3.9651 3.9216 19 20 0.8610 0.8600 1.0655 1.0640 1.1866 1.1848 1.3277 1.3253 1.5002 1.4970 1.7291 1.7247 2.0930 2.0860 2.5395 2.5280 2.8609 2.8453 3.8834 3.8495 21 0.8591 1.0627 1.1831 1.3232 1.4942 1.7207 2.0796 2.5176 2.8314 3.8193 22 23 0.8583 0.8575 1.0614 1.0603 1.1815 1.1802 1.3212 1.3195 1.4916 1.4893 1.7171 1.7139 2.0739 2.0687 2.5083 2.4999 2.8188 2.8073 3.7921 3.7676 24 0.8569 1.0593 1.1789 1.3178 1.4871 1.7109 2.0639 2.4922 2.7969 3.7454 25 0.8562 1.0584 1.1777 1.3163 1.4852 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 3.7251 26 0.8557 1.0575 1.1766 1.3150 1.4834 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 3.7066 27 28 0.8551 0.8546 1.0567 1.0560 1.1756 1.1747 1.3137 1.3125 1.4817 1.4801 1.7033 1.7011 2.0518 2.0484 2.4727 2.4671 2.7707 2.7633 3.6896 3.6739 29 0.8542 1.0553 1.1739 1.3114 1.4787 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 3.6594 30 0.8538 1.0547 1.1731 1.3104 1.4774 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500 3.6460 35 0.8520 1.0520 1.1698 1.3062 1.4718 1.6896 2.0301 2.4377 2.7238 3.5911 40 45 0.8507 0.8497 1.0500 1.0485 1.1673 1.1654 1.3031 1.3006 1.4677 1.4645 1.6839 1.6794 2.0211 2.0141 2.4233 2.4121 2.7045 2.6896 3.5510 3.5203 50 0.8489 1.0473 1.1639 1.2987 1.4620 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 3.4960 55 0.8482 1.0463 1.1626 1.2971 1.4599 1.6730 2.0040 2.3961 2.6682 3.4764 60 0.8477 1.0455 1.1616 1.2958 1.4582 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 3.4602 65 70 0.8472 0.8468 1.0448 1.0442 1.1607 1.1600 1.2947 1.2938 1.4567 1.4555 1.6686 1.6669 1.9971 1.9944 2.3851 2.3808 2.6536 2.6479 3.4466 3.4350 75 0.8464 1.0436 1.1593 1.2929 1.4544 1.6654 1.9921 2.3771 2.6430 3.4250 80 0.8461 1.0432 1.1588 1.2922 1.4535 1.6641 1.9901 2.3739 2.6387 3.4163 85 0.8459 1.0428 1.1583 1.2916 1.4527 1.6630 1.9883 2.3710 2.6349 3.4087 90 95 0.8456 0.8454 1.0424 1.0421 1.1578 1.1574 1.2910 1.2905 1.4519 1.4513 1.6620 1.6611 1.9867 1.9853 2.3685 2.3662 2.6316 2.6286 3.4019 3.3959 100 0.8452 1.0418 1.1571 1.2901 1.4507 1.6602 1.9840 2.3642 2.6259 3.3905  0.8416 1.0364 1.1503 1.2815 1.4395 1.6448 1.9600 2.3264 2.5758 3.2905 160 Bảng : Bảng phân vị Phi – sơ P  X < Fn ,n  α   = α = 0,95 n1 n2 161,14 18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 199,5 19,00 9,55 6,94 5,79 5,14 215,7 19,16 9,28 6,59 5,41 4,76 224,6 19,25 9,12 6,39 5,19 4,53 230,2 19,30 9,01 6,26 5,05 4,39 234,0 19,33 8,94 6,16 4,95 4,28 236,8 19,35 8,89 6,09 4,88 4,21 238,9 19,37 8,85 6,04 4,82 4,15 240,5 19,38 8,81 6,00 4,77 4,10 10 5,59 5,32 5,12 4,96 4,74 4,46 4,26 4,10 4,35 4,07 3,86 3,71 4,12 3,84 3,63 3,48 3,97 3,69 3,48 3,33 3,87 3,58 3,37 3,22 3,79 3,50 3,29 3,14 3,73 3,44 3,23 3,07 3,68 3,39 3,18 3,02 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 12 13 14 15 4,75 4,67 4,60 4,54 3,89 3,81 3,74 3,68 3,49 3,41 3,34 3,29 3,26 3,18 3,11 3,06 3,11 3,03 2,96 2,90 3,00 2,92 2,85 2,79 2,91 2,83 2,76 2,71 2,85 2,77 2,70 2,64 2,80 2,71 2,65 2,59 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 17 18 19 20 4,45 4,41 4,38 4,35 3,59 3,55 3,52 3,49 3,20 3,16 3,13 3,10 2,96 2,93 2,90 2,87 2,81 2,77 2,74 2,71 2,70 2,66 2,63 2,60 2,61 2,58 2,54 2,51 2,55 2,51 2,48 2,45 2,49 2,46 2,42 2,39 21 22 23 24 25 4,32 4,30 4,28 4,26 4,24 3,47 3,44 3,42 3,40 3,39 3,07 3,05 3,03 3,01 2,99 2,84 2,82 2,80 2,78 2,76 2,68 2,66 2,64 2,62 2,60 2,57 2,55 2,53 2,51 2,49 2,49 2,46 2,44 2,42 2,40 2,42 2,40 2,37 2,36 2,34 2,37 2,34 2,32 2,30 2,28 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 40 60 120 4,08 4,00 3,92 3,84 3,23 3,15 3,07 3,00 2,84 2,76 2,68 2,60 2,61 2,53 2,45 2,37 2,45 2,37 2,29 2,21 2,34 2,25 2,17 2,10 2,25 2,17 2,09 2,01 2,18 2,10 2,02 1,94 2,12 2,04 1,96 1,88  161 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tống Đình Quỳ (2003), Giáo trình xác suất thống kê, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Tống Đình Quỳ (2003), Hướng dẫn giải tập xác suất thống kê, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 3.Đào Hữu Hồ (2006), Xác suất thống kê, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Đào Hữu Hồ (2007), Hướng dẫn giải toán xác suất - thống kê, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh (1999), Lý thuyết xác suất thống kê toán NXB Khoa học kỹ thuật Trần Thái Ninh (2002), Hướng dẫn giải tập xác suất thống kê toán, NXB thống kê 162 ... giải toán xác suất sau thực hành giải nhiều tập thực tốt kỹ Bước 1: Xác định biến cố cần tính xác suất ( Cần đọc kỹ giả thiết toán, xác định yêu cầu toán ) Bước 2: Sau xác định biến cố cần tính xác. .. nghĩa xác suất: định nghĩa cổ điển, định nghĩa theo thống kê, - Các tính chất xác suất; - Các cơng thức tính xác suất: cơng thức cộng, công thức nhân, xác suất biến cố đối, công thức xác suất. .. tính xác suất xác định biến cố sử dụng cơng thức thích hợp, phối hợp công thức Nếu xác định nhầm biến cố quan hệ biến cố cơng thức tính xác suất khơng thích hợp dẫn đến kết tốn tính xác suất