Bài giảng: Quy hoạch tuyến tính

Bài giảng: Quy hoạch tuyến tính Lớp Tốn VB2-K2-Mr.Trung BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM Nguyễn Đức Phương Bài giảng Quy hoạch tuyến tính MSSV: Họ tên: TP HCM – Ngày 22 tháng 12 năm 2010 Lớp Toán VB2-K2-Mr.Trung Mục lục Mục lục iii Giới thiệu quy hoạch tuyến tính 1.1 Một số ví dụ dẫn đến tốn quy hoạch tuyến tính 1.2 Các dạng tốn quy hoạch tuyến tính 1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát 1.2.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn 1.2.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 1.3 Quan hệ dạng chuẩn tắc 1.3.1 Đổi chiều bất đẳng thức ràng buộc 1.3.2 Biến không ràng buộc 1.3.3 Quan hệ dạng chuẩn, tắc 10 1.4 Dạng ma trận toán quy hoạch 13 1.5 Phương án chấp nhận 14 1.6 Ý nghĩa hình học tốn quy hoạch tuyến tính 16 1.6.1 Phương pháp đồ thị 16 1.6.2 Tính chất tập phương án chấp nhận 17 1.7 Điểm cực biên 21 1.8 Phương án chấp nhận 22 1.8.1 Nghiệm Ax D b 23 1.8.2 Thành lập phương án cực biên 25 1.8.3 Phương án cực biên phương án tối ưu 30 Lớp Toán VB2-K2-Mr.Trung MỤC LỤC ii 1.9 Bài tập chương Phương pháp đơn hình 31 33 2.1 Phương pháp đơn hình cho tốn quy hoạch dạng chuẩn 33 2.1.1 Phương án cực biên ban đầu 36 2.1.2 Dấu hiệu tối ưu 37 2.1.3 Chọn biến vào sở 40 2.1.4 Chọn biến khỏi sở 41 2.1.5 Lập bảng đơn hình 42 2.2 Thuật tốn đơn hình cho tốn 50 2.3 Bài tốn tắc khơng có sẵn ma trận đơn vị 52 2.4 Bài tập chương 58 Lý thuyết đối ngẫu 63 3.1 Ví dụ dẫn đến bái tốn đối ngẫu 63 3.1.1 Bài toán đối ngẫu toán max 65 3.1.2 Bài toán đối ngẫu toán 67 3.2 Các định lý đối ngẫu 70 3.3 Bài tập chương 77 Bài toán vận tải 80 4.1 Bài toán vận tải cân thu phát 80 4.2 Phương án cực biên toán vận tải 82 4.3 Các phương pháp thành lập phương án cực biên 86 4.3.1 Phương pháp cước phí thấp 86 4.3.2 Phương pháp góc Tây - Bắc 87 4.3.3 Phương pháp Vogel (Fogel) 87 4.4 Thuật toán vị giải toán vận tải 89 4.4.1 Thuật tốn quy khơng cước phí chọn 89 4.4.2 Xây dựng phương án cực biên 93 Lớp Toán VB2-K2-Mr.Trung MỤC LỤC iii 4.5 Một số trường hợp đặc biệt toán vận tải 98 4.5.1 Bài tốn vận tải khơng cân thu phát 98 4.5.2 Bài tốn vận tải có cấm 100 4.6 Bài toán vận tải cực đại cước phí 101 4.7 Bài tập chương 103 Tài liệu tham khảo 106 Lớp Tốn VB2-K2-Mr.Trung Chương Giới thiệu quy hoạch tuyến tính 1.1 Một số ví dụ dẫn đến tốn quy hoạch tuyến tính Ví dụ 1.1 (Bài tốn lập kế hoạch sản xuất) Một trại cưa khúc gỗ thành ván Có hai loại ván: ván thành phẩm ván sử dụng xây dựng Giả sử, đối với: Ván thành phẩm cần để cưa để bào 10m ván Ván xây dưng cần để cưa để bào 10m ván Máy cưa làm việc tối đa ngày, máy bào làm việc tối đa 15 ngày Nếu lợi nhuận 10m ván thành phẩm 120 (ngàn đồng), lợi nhuận 10m ván xây dựng 100 (ngàn đồng) Trong ngày, trại cưa phải cưa ván loại để lợi nhuận lớn nhất? Giải Lớp Tốn VB2-K2-Mr.Trung 1.1 Một số ví dụ dẫn đến tốn quy hoạch tuyến tính Ví dụ 1.2 (Bài tốn phần ăn) Chun gia dinh dưỡng định thành lập thực đơn gồm loại thực phẩm A B Cứ (trăm gram): Thực phẩm A chứa đơn vị chất béo, đơn vị carbohydrate đơn vị protein Thực phẩm B chứa đơn vị chất béo, đơn vị carbohydrate đơn vị protein Nếu (trăm gram) thực phẩm A giá 20 (ngàn đồng) (trăm gram) thực phẩm B giá 25 (ngàn đồng) Nhà dinh dưỡng muốn thức ăn phải cung cấp 18 đơn vị chất béo, 12 đơn vị carbohydrate 24 đơn vị protein Bao nhiêu (trăm gram) thực phẩm loại để có giá nhỏ cung cấp đủ dinh dưỡng? Giải Lớp Toán VB2-K2-Mr.Trung 1.1 Một số ví dụ dẫn đến tốn quy hoạch tuyến tính Ví dụ 1.3 (Bài tốn vận tải) Một nhà sản xuất có nhà máy: Một nhà máy Vĩnh Phúc nhà máy Bình Dương Có kho hàng phân phối sản phẩm đặt Hà Nội, TP HCM Cần Thơ Nhà máy Vĩnh phúc; Bình Dương, có khả cung cấp tối đa 100; 140 tuần Lượng cầu kho Hà Nội, TP HCM Cần Thơ từ 100; 60 80 trở lên Chi phí vận chuyển (trăm ngàn) cho bảng bên Hỏi cần vận chuyển hàng hóa từ nhà sản xuất đến kho hàng Hà Nội, TP HCM cần thơ để chi phí nhỏ đáp ứng đủ nhu cầu? Giải Lớp Tốn VB2-K2-Mr.Trung 1.1 Một số ví dụ dẫn đến tốn quy hoạch tuyến tính ❵❵❵ ❵❵❵ ❵❵❵ Trạm thu ❵❵❵ Trạm phát ❵❵❵ Vĩnh Phúc-Q1 : 100 Bình Dương-Q2 :140 Hà Nội TP HCM Cần thơ W1 :100 W2 :60 W3 :80 10 Lớp Toán VB2-K2-Mr.Trung 1.2 Các dạng tốn quy hoạch tuyến tính 1.2 1.2.1 Các dạng tốn quy hoạch tuyến tính Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát Từ ví dụ mục 1.1, tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt phát biểu sau: Tìm x1 ; x2 ; : : : ; xn cho z D c1x1 C c2x2 C C cnxn ! max hay min/ Với ràng buộc ˆ a11x1 C a12x2 C ˆ ˆ < a x C a x C 21 22 : :: :: ˆ : ˆ ˆ :a x C a x C m1 m2 C a1nxn Ä /.D/ b1 C a2n xn Ä /.D/ b2 :: :: : : C amnxn Ä /.D/ bm (1.1) (1.2) Hàm tuyến tính (1.1) gọi hàm mục tiêu Hệ bất phương trình tuyến tính (1.2) gọi ràng buộc Vế trái ràng buộc hàm tuyến tính với x1 ; x2 ; : : : ; xn biến số 1.2.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn Chúng ta nói tốn quy hoạch tuyến tính có dạng chuẩn có dạng sau: Tìm x1 ; x2 ; : : : ; xn cho z D c1 x1 C c2x2 C C cn xn ! max; hay min/ Với ràng buộc ˆ a11x1 C a12x2 C ˆ ˆ < a x C a x C 21 22 :: : :: ˆ : ˆ ˆ :a x C a x C m1 m2 xj C a1nxn Ä b1 C a2n xn Ä b2 :: :: : : C amnxn Ä bm 0; j D 1; 2; : : : ; n Lớp Toán VB2-K2-Mr.Trung (1.3) (1.4) (1.5) 4.4 Thuật toán vị giải tốn vận tải 92 Ví dụ 4.12 Chứng minh phương án cực biên thời tốn vận tải sau khơng phải phương án tối ưu bj 80 45 55 30 30 40 40 50 7 12 10 40 60 55 Giải Ví dụ 4.13 Chứng minh phương án cực biên thời toán vận tải Lớp Toán VB2-K2-Mr.Trung 4.4 Thuật toán vị giải toán vận tải 93 sau phương án tối ưu bj 80 45 55 30 20 10 12 40 50 7 40 60 35 15 Giải 4.4.2 Xây dựng phương án cực biên Trên bảng quy khơng cước phí tìm Bước Ơ vào loại có cij < nhỏ Lớp Toán VB2-K2-Mr.Trung 60 4.4 Thuật toán vị giải toán vận tải 94 Bước Xác định chu trình chứa vào vừa xác định bước Ơ vào đánh dấu (+), cịn lại xen kẻ dấu (-), (+) chu trình Bước Xác định phương án cực biên ˚ « Lượng điều chỉnh q D xij j.i; j / có dấu (-) Phương án cực biên mới: ˆ ˆ tìm phương án tốt phương án thời, chuyển sang bước Bước Xây dựng phương án cực biên tốt hơn, ý vào loại có cij > lớn nhất, bước làm giống toán : Bước Quay bước Ví dụ 4.19 Giải tốn vận tải cực đại cước phí sau: bj 90 80 100 70 55 85 60 11 10 10 Giải Lớp Toán VB2-K2-Mr.Trung 4.7 Bài tập chương 4.7 103 Bài tập chương Bài tập 4.1 Giải toán vận tải bj 90 70 40 30 50 80 40 Đáp án: Phương án tối ưu 30 20 40 x D @ 30 40 A ; 0 40 z D 400 Bài tập 4.2 Giải toán vận tải: Lớp Toán VB2-K2-Mr.Trung 4.7 Bài tập chương 104 bj 80 70 100 40 100 60 50 4 5 Đáp án: Phương án tối ưu 20 60 0 x D @20 0 50A ; 40 60 z D 390 Bài tập 4.3 Giải toán vận tải: bj 40 30 55 20 30 45 50 11 7 12 8 10 Đáp án: Phương án tối ưu 0 40 x D @20 5 A ; 25 30 z D 930 Bài tập 4.4 Giải tốn vận tải có cấm sj ri 45 85 50 16 15 10 17 12 14 10 70 100 100 60 11 13 Lớp Toán VB2-K2-Mr.Trung 4.7 Bài tập chương 105 Đáp án: Phương án tối ưu 10 60 x D @45 50 A ; 85 0 z D 2995 Bài tập 4.5 Cho toán vận tải cân thu phát phương án: bj 90 65 55 40 25 11 45 15 60 45 65 20 40 65 10 a Tính cước phí vận chuyển phương án này, chứng minh phương án cực biên cho phương án tối ưu b Xuất phát từ phương án xây dựng phương án tốt (chỉ cần phương án tốt hơn) Bài tập 4.6 Một nhà máy chế biến thịt, sản xuất ba loại thịt: bò, lợn, cừu, với tổng lượng ngày 480 bò; 400 lợn; 230 cừu Mỗi loại bán dạng tươi nấu chín Tổng lượng loại thịt nấu chín để bán làm việc 420 Ngoài nấu thêm 250 (với giá cao hơn) Lợi nhuận thu cho bảng sau: (với đơn vị triệu đồng) ❅ ❅ ❅ Bò Lợn Cừu Tươi Nấu chín 4 11 Nấu chín Ngồi 14 12 13 Mục đích nhà máy tìm phương án sản xuất để làm cực đại lợi nhuận Hãy tìm phương án tối ưu Lớp Toán VB2-K2-Mr.Trung Tài liệu tham khảo [1] Phan Quốc Khánh, Trần Huệ Nương (2000) Quy hoạch tuyến tính NXB Giáo dục [2] Nguyễn Đình Tùng (2010) Quy hoạch tuyến tính [3] Lê Khánh Luận (2006) Quy hoạch tuyến tính NXB Lao động [4] Bùi Phúc Trung (2003) Quy hoạch tuyến tính NXB Lao động - Xã hội [5] Bernard Kolman, Robert E Beck (1995) Elementary Linear Programming with Applications Elsevier Science & Technology Books [6] Robert J Vanderbei (2007) Linear Programming, Foundations and Extensions Third Edition Springer Publication [7] George B Dantzig, Mukund N Thapa (1997) Linear Programming, Introduction Springer Publication Lớp Toán VB2-K2-Mr.Trung