Bài giảng quy hoạch tuyến tính

Bài giảng quy hoạch tuyến tính

Bài ging quy hoch toán Chng 1. BÀI TOÁN QUY HOCH TUYN TÍNH PHNG PHÁP HÌNH HC 1.1. Các bài toán thc t 1.1.1. Bài toán lp k hoch sn xut a) Ví d  sn xut ko và bánh cn 2 th nguyên liu chính là đng và bt mì, vi tr lng hin có là 0,9kg đng và 1,1 kg bt mì. 1kg ko cn 0,5 kg đng và 0,3 kg bt mì; 1kg bánh cn 0,2kg đng và 0,4 kg bt mì. Giá 1kg ko là 10000đ; 1kg bánh là 20000đ. Hãy lp k hoch sn xut sao cho tng giá tr sn phm ln nht. Gi x 1 là s kg ko đc sn xut; x 2 là s kg bánh đc sn xut. Có mô hình toán hc: f(x) = 10000x 1 +20000x 2  max ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤+ ≤+ 0, 1.14.03.0 9.02.05.0 21 21 21 xx xx xx b)Tng quát  sn xut n loi sn phm khác nhau cn m loi yu t sn xut vi tr lng hin có là b 1 , b 2 , ., b m . H s hao phí yu t i ( i=1 m ) cho 1 đn v sn phm j (j=1 n) là a ij . Giá 1 đn v sn phm j là c j (j=1 n). Hãy lp k hoch sn xut trên c s các yu t sn xut hin có sao cho tng giá tr sn phm ln nht. Gi x j là s sn phm j đc sn xut, f(x) là tng doanh thu ng vi k hoch sn xut x = (x 1 ,x 2 , ., x n ). Có mô hình toán hc: f(x) = c ∑ = n j 1 j x j  max ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =≥ =≤ ∑ = ) 1(0 ) 1( 1 njx mibxa j ij n j ij Bài ging quy hoch toán 1.1.2. Bài toán vn ti Có m kho hàng cha cùng 1 loi hàng hóa vi s lng  kho i là ai (i=1 m). ng thi có n ca hàng vi nhu cu  ca hàng j là bj (j=1 n). Chi phí vn chuyn 1 đn v hàng t kho i đn ca hàng j là c ij . Hãy lp k hoch vn chuyn sao cho tha mãn nhu cu các ca hàng và chi phí vn chuyn thp nht. Gi x ij là s lng hàng chuyn t kho i đn ca hàng j f(x) là tng chi phí theo k hoch vn chuyn x. Mô hình toán hc: f(x) = ∑ ∑ c = m i 1 = n j 1 ij x ij  min ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ==≥ == =≤ ∑ ∑ = = ) 1, 1(0 ) 1( ) 1( 1 1 njmix njbx miax ij j m i ij i n j ij 1.1.3. Bài toán xác đnh khu phn Có n loi thc n gia súc, giá 1 đn v thc n j là c (j=1 n). Gia súc cn m cht dinh dng vi nhu cu ti thiu cht i là b i (i=1 m). Bit hàm lng cht i có trong 1 đn v thc n j là a ij . Hãy xác đnh khu phn thc n cho gia súc sao cho chi phí thp nht đng thi đm bo các cht dinh dng cho gia súc. Gi x j là lng thc n j có trong khu phn, f(x) là giá khu phn x = (x 1 ,x 2 , ., x n ). Có mô hình toán hc sau: f(x) = c ∑ = n j 1 j x j  min ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =≥ =≥ ∑ = ) 1(0 ) 1( 1 njx mibxa j ij n j ij 1.2. Bài toán qui hoch tuyn tính Xét bài toán Bài ging quy hoch toán (1) f(x) = c ∑ = n j 1 j x j  min (2) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +=≤ +=≥ == ∑ ∑ ∑ = = = ) 1( ) 1( ) 1( 1 1 1 mkibxa kpibxa pibxa ij n j ij ij n j ij ij n j ij Bài toán (1,2) gi là bài toán quy hoch tuyn tính dng tng quát, ký hin là (d,f). * f(x) gi là hàm mc tiêu. * H (2) gi là h ràng buc. * Ma trn A = (a ij ) mxn gi là ma trn s liu. * Vect C = (c j ) n gi là h s hàm mc tiêu. Mi b s x=(x 1 , x 2 , ., x n ) tha mãn h ràng buc (2) gi là phng án, ký hiu x ∈ d. Phng án làm cho hàm mc tiêu f(x) đt cc tr cn tìm gi là phng án ti u, hay là nghim ca bài toán (d,f) . 1.3. Phng pháp hình hc Phng pháp hình hc dùng đ gii bài toán (d,f) 2 n, hoc nhiu hn 2 n nhng có th đa v bài toán 2 n tng đng. Xét bài toán f(x) = ax +by  min (max) (d) { ) 1( miciybxa ii =≤+ Min d d là giao các na mt phng, hay là mt đa giác. Bài toán có th phát biu bng hình hc nh sau: Tìm trong h đng thng song song ax+ by = f gi là h đng mc ,mt đng mc ng vi f nh nht (ln nht) có ít nht 1 đim chung vi min d. Ví d 1.1 f(x,y) = x + 2y  max ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤+ ≤+ 0, 1143 925 yx yx yx Bài ging quy hoch toán y A(0,11/4) B(1,2) d O C(9/5,0) x Qua hình v thy đng thng qua A(0, 4 11 ) ng vi f ln nht. Vy nghim là x 1 =0, x 2 = 4 11 và f max = 2 11 . Nhn xét - Nghim là đnh ca đa giác. - Nu hàm mc tiêu là f(x,y) = 3x + 4y thì nghim là c đon thng AB. - Giá tr f ca h đng mc tng theo chiu ca pháp vect. Ví d 1.2 f(x,y) = x + y  max ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤− −≥− 0, 22 1 yx yx yx d A(0,1) O B(2,0) Theo hình v, hàm mc tiêu không b chn trên trong min d nên bài toán vô nghim. ---oOo--- Bài ging Quy hoch toán hc Trang 5 ________________________________________________________________________ 1.4. Bài tp Gii các bài toán sau bng phng pháp hình hc 1. f(x) = x + 2y → max 2. f(x) = 5x - 3y → min 36 34 1 00 xy xy xy +≤ +≤ ≥≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ , 2 xy xy xy +≤ +≥ ≥≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 24 36 00, 3. f(x) = 3x + y → max 4. f(x) = 2x + 3y +10 → max −+≥ +≤ ≥≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 36 351 00 xy xy xy, 5 36 4 24 00 xy xy xy xy + ≤ +≤ +≤ ≥≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ , 5. f(x) = 2x + 5y → max 6. f(x) = x + 3y → max 22 8 3 21 00 xy xy xy xy xy +≥ +≤ +≥ +≤ ≥≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ , 2 xy xy xy +≤ +≥ ≥≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 36 4 00, 7. f(x) = x + 2y → max 8. f(x) = 2x + 3y → min xy xy xy +≤ +≤ ≥≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 8 21 00, 4 xy xy xy xy + ≥ +≥ +≥ ≥≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 28 36 34 1 00, 2 0 0 9. f(x) = 5x 1 + 2x 2 + 3x 3 → max 10. f(x) = 2x 1 + x 3 → min xxx xx x xx x xxx 123 12 3 12 3 123 1 253 4 432 00 ++= ++≤ ++ ≤ ≥≥≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ,, xxx xx x xxx 123 12 3 123 1 223 00 ++= ++ ≥ ≥≥≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ,, *********************** ________________________________________________________________________ GV: Phan Thanh Tao Bài ging Quy hoch toán hc Trang 6 ________________________________________________________________________ Chng 2. PHNG PHÁP N HÌNH 2.1. Dng chính tc và dng chun tc 2.1.1. nh ngha Trong thc t, đa s các bài toán có điu kin không âm ca các n. T đó có đnh ngha dng chính tc là bài toán (d,f) nh sau: f(x) = c ∑ = n j 1 j x j  min (1) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =≥ == ∑ = )3() 1(0 )2() 1( 1 njx mibxa j ij n j ij (2) gi là ràng buc cng bc, (3) gi là ràng buc t nhiên. Vi bài toán (d,f) chính tc, có th gi s m ≤n. Mt trng hp đc bit ca dng chính tc là ma trn s liu A = (a ij ) mxn có cha đ m vect ct là m vect đn v ca không gian R m và b i ≥ 0 (i=1 m) gi là dng chun tc. Không mt tính tng quát, có th đnh ngha bài toán (d,f) chun tc nh sau: f(x) = c ∑ = n j 1 j x j  min ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =≥ ==+ ∑ += ) 1(0 ) 1( 1 njx mibxax j ij n mj iji trong đó b i ≥ 0 (i=1 m). 2.1.2. Các phép bin đi Các phép bin đi sau đ đa bài toán (d,f) bt k v dng chính tc tng đng đ gii, và t đó suy ra nghim ca bài toán ban đu. a/ f(x)  max g(x) = -f(x)  min ⇔ b/ ∑ vi x = ≤ n j ijij bxa 1 ⇔ ∑ = + =+ n j iinjij bxxa 1 n+i ≥0 ∑ vi x = ≥ n j ijij bxa 1 ⇔ ∑ = + =− n j iinjij bxxa 1 n+i ≥0 x n+i gi là n ph. Có kt lun sau: Nu x = (x 1 , x 2 , ., x n , x n+1 , ., x n+m ) là nghim ca bài toán chính tc bin đi thì x=(x 1 , x 2 , ., x n ) là nghim bài toán gc. ________________________________________________________________________ GV: Phan Thanh Tao Bài ging Quy hoch toán hc Trang 7 ________________________________________________________________________ c/ Nu n x j không ràng buc v du thì đc thay bng hiu hai n không âm. Ngha là đt x j =x j ’ – x j ” vi x j ’≥0, x j ”≥0. d/ Trng hp b i < 0 thì nhân hai v phng trình cho -1 có đc b i >0. Vy: Mi bài toán quy hoch tuyn tính đu có th đa v bài toán dng chính tc tng đng. Hn na có th các h s t do b i trong h ràng buc là không âm. 2.1.3. Phng án c bn Xét bài toán (d,f) dng chính tc f(x) = c ∑ = n j 1 j x j  min ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =≥ == ∑ = ) 1(0 ) 1( 1 njx mibxa j ij n j ij t A j = (a 1j , a 2j , . , a mj ) là vect ct th j trong ma trn A mxn b = (b 1 , b 2 , . , b m ) là ct h s t do. Gi s x = ( x 1 , x 2 , ., x n ) là phng án ca bài toán thì h vect { A j / x j > 0 } gi là h vect liên kt vi phng án x. nh ngha x ∈ d là phng án c bn nu h véct liên kt vi x đc lp tuyn tính. n x j gi là n c bn nu x j > 0. Nhn xét: - Phng án c bn có ti đa m thành phn dng. Phng án c bn có đúng m thành phn dng gi là không suy bin. Ngc li gi là suy bin. Bài toán có phng án c bn suy bin gi là bài toán suy bin. - S phng án c bn ca mt bài toán (d,f) là hu hn. - Vi bài toán dng chun tc thì có phng án c bn là x o = (b 1 , b 2 , . ,b m ,0, .,0). 2.1.4. Các tính cht Tính cht 1 Bài toán (d,f) ch xy ra 1 trong 3 trng hp sau: a) Vô nghim b) Có 1 nghim duy nht c) Vô s nghim. Tính cht 2 Nu hàm mc tiêu f(x) là chn di (trên ) đi vi bài toán dng min (max) trên tp phng án d thì bài toán (d,f) có nghim. ________________________________________________________________________ GV: Phan Thanh Tao Bài ging Quy hoch toán hc Trang 8 ________________________________________________________________________ Tính cht 3 Nu bài toán (d,f) có nghim thì có nghm là phng án c bn. 2.2. Phng pháp đn hình 2.2.1. Ni dung Xut phát t phng án c bn nào đó, tìm cách đánh giá nó. Nu cha ti u thì chuyn sang phng án c bn mi tt hn. Nu bài toán có nghim thì sau hu hn bc s tìm đc phng án c bn ti u. Hn na du hiu vô nghim cng đc th hin trên thut toán . Ví d 2.1 Xét bài toán (d,f) dng chun tc: f(x) = x 1 -2x 2 +3x 3 -2x 4  min ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =≥ =++ =+− )4 1(0 5 432 421 321 jx xxx xxx j Có phng án c bn x o = (0, 0, 4, 5) và f(x o )=2 vi x 3 , x 4 là n c bn. ánh giá: ∀ x=(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )∈ d : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =≥ =++ =+− )4 1(0 5 432 421 321 jx xxx xxx j ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =≥ −−= +−= )4 1(0 5 324 214 213 jx xxx xxx j f(x) = x 1 -2x 2 +3x 3 -2x 4 = x 1 -2x 2 +3(4-2x 1 +3x 2 ) -2(5-x 1 -x 2 ) = 2 -3x 1 +9x 2 = 2-∆ 1 x 1 - ∆ 2 x 2 Vì x 1 , x 2 ≥0 nên nu ∆ 1 , ∆ 2 ≤ 0 thì f(x)≥2 và x o là phng án ti u. Tuy nhiên,  đây ∆ 1 =3>0 nên x o cha phi là nghim. Th chn x 1 , x 4 làm n c bn , cho x 2 =0 và x 3 =0. Có ⎩ ⎨ ⎧ =+ = 5 42 41 1 xx x x⇒ 1 =2 và x 4 =3. Rõ ràng A 1 , A 4 đc lp tuyn tính nên có phng án c bn là x = (2, 0, 0, 3) và f( x ) = - 4. ánh giá: ∀ x=(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )∈ d : ________________________________________________________________________ GV: Phan Thanh Tao Bài ging Quy hoch toán hc Trang 9 ________________________________________________________________________ ⎩ ⎨ ⎧ =++ =+− 5 432 421 321 xxx xxx ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +−= −+= 324 321 2 1 2 5 3 2 1 2 3 2 xxx xxx f(x) = x 1 -2x 2 +3x 3 -2x 4 = (2+ 2 3 x 2 - 2 1 x 3 ) -2x 2 +3x 3 -2(3- 2 5 x 2 + 2 1 x 3 ) = - 4 + 2 9 x 2 + 2 3 x 3 (= -4-∆ 2 x 2 - ∆ 3 x 3 ) ≥ -4 Vì x 2 , x 3 ≥0 nên x là phng án ti u (∆ 2 , ∆ 3 ≤0). 2.2.2. Bng đn hình Cho bài toán (d,f) chun tc: f(x) = c ∑ = n j 1 j x j  min ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =≥ ==+ ∑ += ) 1(0 ) 1( 1 njx mibxax j ij n mj iji trong đó b i ≥ 0 (i=1 m). ∀ j=1 n đt ∆ j = ∑ c = m i 1 i a ij - c j và gi là c lng ca n x j đi vi phng án c bn x o =(b 1 , b 2 , …, b m , 0, …, 0) vi f(x o )= c ∑ = m i 1 i b i Lu ý: ∆ i = 0 , ∀ i=1 m Có bng đn hình sau: H s n CB P/Án x 1 c 1 x 2 c 2 … x m c m x m+1 c m+1 … x s c s … x n c n c 1 x 1 b 1 1 0 … 0 a 1,m+1 … a 1s … a 1n c 2 x 2 b 2 0 1 … 0 a 2,m+1 … a 2s … a 2n … … … … … … … … … … c r x r b r 0 0 … 0 a r,m+1 … a rs … a rn … … … … … … … … … … c m x m b m 0 0 … 1 a m,m+1 … a ms … a mn f(x) ∆ 1 ∆ 2 ∆ m ∆ m+1 ∆ s ∆ n ________________________________________________________________________ GV: Phan Thanh Tao Bài ging Quy hoch toán hc Trang 10 ________________________________________________________________________ 2.2.3. C s lý lun Cho bài toán (d,f) chun tc: f(x) = c ∑ = n j 1 j x j  min ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =≥ ==+ ∑ += ) 1(0 ) 1( 1 njx mibxax j ij n mj iji trong đó b i ≥ 0 (i=1 m). ∀ j=1 n đt ∆ j = c ∑ = m i 1 i a ij - c j Có phng án c bn x o =(b 1 , b 2 , …, b m , 0, …, 0) vi f(x o )= c ∑ = m i 1 i b i nh lý 1 ( Du hiu ti u) Nu ∆ j ≤0 vi mi j = 1 n thì x o là phng án ti u. Chng minh Có f(x o )= c ∑ = m i 1 i b i ∀ x=(x j ) n ∈ d : x i + a ∑ += n mj 1 ij x j =b i (i=1 m) ⇒ x i = b i - a ∑ += n mj 1 ij x j (i=1 m) f(x) = c ∑ = n j 1 j x j = c ∑ = m i 1 i x i + c ∑ += n mj 1 j x j = c ∑ = m i 1 i (b i - a ∑ += n mj 1 ij x j ) + c ∑ += n mj 1 j x j = c ∑ = m i 1 i b i - ( c ∑ += n mj 1 ∑ = m i 1 i a ij -c j ) x j = f(x o ) - ∆ ∑ += n mj 1 j x j ≥ f(x o ) : vì ∆ j ≥0 và x j ≥ 0 (j=m+1 n) nh lý 2 ( Du hiu vô nghim) Nu ∃ ∆ k >0 và a ik ≤0 ∀ i = 1 m thì bài toán vô nghim. Chng minh Vì ∆ i = 0 , i=1 m và ∆∀ k >0 nên có k>m. ________________________________________________________________________ GV: Phan Thanh Tao