tiểu luận quy hoạch tuyến tính

LỜI MỞ ĐẦUTrong thực tế ta thường hay gặp các tình huống là phải lựa chọn một trong số nhữngquyết định quan trọng để đưa ra những phương án hoặc chiến lược tốt nhất trong sảnxuất kinh do

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HỒ CHÍ MINH

……….o0o……….

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Lớp: 211301219 GVHD: Nguyễn Ngọc Chương

TP.HCM 11/2014

1

TIỂU LUẬN

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tuyết Nhung 13015781

2

TIỂU LUẬN

LỜI MỞ ĐẦU

Trong thực tế ta thường hay gặp các tình huống là phải lựa chọn một trong số nhữngquyết định quan trọng để đưa ra những phương án hoặc chiến lược tốt nhất trong sảnxuất kinh doanh hay trong một trò chơi mà đối thủ là một kẻ thông minh và nguyhiểm…Khi đó ta cần phải lập mô hình toán học quy hoạch tuyến tính để có đượcphương án tối ưu cần thiết

Trong đó phương pháp đơn hình được George Bemanrd Dantzig đưa ra năm 1947 cùnglúc với việc khai sinh ra quy hoạch tuyến tính, phương pháp này thực sự có hiệu quả đểgiải những bài toán quy hoạch tuyến tính cỡ lớn trong thực tế mà ta thường gặp, như đểvận chuyển hàng hóa đầy đủ nhưng có tổng chi phí là nhỏ nhất – đây chính là bài toánvận tải Hoặc trong kinh doanh phải lập kế hoạch sản xuất đối với các nguyên liệu vàsản phẩm để thu được tổng lợi nhuận là lớn nhất…

Kiến thức sau khi học quy hoạch tuyến tính rất cần thiết, đây là những kiến thức rấtquan trọng để xây dựng một mô hình toán học cho bất kỳ bài toán phức tạp nào trongthực tế, chỉ cần xây dựng các thuật toán đã mô hình hóa ngôn ngữ nhờ việc lập trìnhtrên máy tính ta có thể giải quy hoạch tuyến tính một cách dể dàng nhanh chóng vàchính xác Như vậy việc học quy hoạch tuyến tính rất quan trọng, nó đem lại nhữnghiệu quả kinh tế rất lớn nếu biết lập các mô hình và tính toán đúng quy cách

Quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực nghiên cứu các bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu làvấn đề được quan tâm nhất và các ràng buộc là các yêu cầu ,điều kiện của kế hoạch đặt ra,đều là hàm và các phương trình, bất phương trình tuyến tính Các bước để nghiên cứu vàứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính điển hình là:

 Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu

 Lập mô hình toán học thật chính xác

 Xây dựng các thuật toán để giải bài toán trên các lập trình máy tính.

 Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần

Áp dụng để giải các bài toán thực tế

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

 Đối ngẫu là một phương pháp mà ứng dụng với mỗi bài toán QHTT đã cho (gọi làbài toán gốc), ta có thể thiết lập một bài toán QHTT khác (gọi là bài toán đối ngẫu) saocho từ lời giải của bài toán này ta có thể thu được thông tin về lời giải của bài toán kia

 Khi phân tích đồng thời cả hai bài toán gốc và dối ngẫu ta có thể rút ra các kết luậnsâu sắc cả về mặt toán học lẫn về ý nghĩa thực tiễn

1.1 Xét quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc:

+

+

,n,

,2,1j,0x

m ,,2,1ibxa

xaxa

j

i n in 2

2 i 1 1 i

+ +

, n , , 2 , 1 i

0

y

, n , , 2 , 1 j , c y a y

a y

Ở đây y = (y1, y2, … ,ym)∈ Rm là vectơ biến cần tìm

- Các ràng buộc chính của (P) ↔ các biến của (Q) Các biến của (P) ↔ các ràng buộcchính của (Q).

- Các hệ số vế phải ràng buộc chính của (P) trở thành các hệ số mục tiêu của (Q), còncác hệ số mục tiêu của (P) lại trở thành các hệ số vế phải ràng buộc chính của (Q)

- Bài toán gốc tìm min thì bài toán đối ngẫu tìm max (và ngược lại)

- Cả hai bài toán (P) và(Q) đều có dạng chuẩn

 Ví dụ: tìm bài toán đối ngẫu của bài toán QHTT dạng chuẩn.

≥ +

≥ +

0 , 0

60 2

40

60 3

2 1

2 1

2 1

2 1

x x

x x

x x

x x

Bài toán đối ngẫu là:

g(y) = 60y1 + 40y2 + 60y3 → max

≤ + +

0

; 0

; 0

15

20 3

3 2

1

3 2 1

3 2 1

y y

y

y y y

y y y

 Dùng ký hiệu vectơ và ma trận, ta có thể viết:

) (

x

b Ax

x c x f

) (

y

c y A

y b y g

T

AT là ma trận chuyển vị của A, <a, b> là tích vô hướng của hai vectơ a và b

1.2 Định nghĩa đối ngẫu của bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc:

+ +

→ +

+ +

=

, , , 2 , 1 , 0

, , , 2 , 1 ,

min )

(

2 2 1 1

2 2 1 1

n j

x

m i

b x a x

a x a

x c x

c x c x f

j

i n in i

i

n n









+ +

→ +

+ +

=

, , , 2 , 1 ,

max )

(

2 2 1 1

2 2 1 1

n j

c y a y

a y a

y b y

b y b y g

j m mj j

 Dưới dạng vectơ – ma trận, ta có thể viết:

) (

x

b Ax

x c x f

y b y g T

max ,

) (

1.3 Tổng quát, xét bài toán QHTT có dạng

+ +

→ +

+ +

=

) ( 0 ), (

), (

0

, , ,

min )

(

3 2

1

3 2

1 2

2 1 1

2 2 1 1

J j x

J j ý tùy x J j x

I i b

I i b

I i b x

a x

a x a

x c x

c x c x f

j j

j

i i

i n

in i

i

n n

+ +

→ +

+ +

=

).

( 0 ), ( ),

( 0

, , ,

max )

(

3 2

1

3 2

1 2

2 1 1

2 2 1 1

I i y I i ý tùy y I i y

J j c

J j c

J j c y

a y

a y a

y b y

b y b y g

i i

i

j j

j m

mj j

j

m m





SƠ ĐỒ ĐỐI NGẪU TỔNG QUÁT

Bài toán gốc Bài toán đối ngẫuCác biến gốc: x1, x2,…, xn Các biến đối ngẫu: y1, y2,…,ym

Hàm mục tiêuf(x) = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn→ min g(y) = b1y1+ b2y2 +…+ bmym → max

I i b

I i b

I i b

i i i

32 1

I i

I i

I i

3 2 1

J j

J j

J j

2 j

1 j

J j , c

J j , c

J j , c

∈

∈

∈

 Nhận xét: Nếu lấy đối ngẫu của bài toán đối ngẫu thì ta sẽ nhận được bài toán gốc.

 Ví dụ: tìm bài toán đối ngẫu của bài toán sau

= +

−

−

≥

− +

→ +

−

=

ý tùy x x

x

x x x

x x x

x x x

x x x x f

3 2

1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

, 0 , 0

3 4

3

6 4 2

8 3 2

min 2

3 4 ) (

Bài toán đối ngẫu là:

−

−

≥ +

−

≤ +

−

→ +

+

=

0 y , ý tùy y , 0 y

2 y y 4 y

3 y 4 y 2 y

4 y y y

max y

y 6 y ) y ( g

3 2

1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

) (

x

b Ax

x c x f

) (

y

c y A

y b y g

T

Để tiện nghiên cứu lý thuyế đối ngẫu, ta xét cặp bài toán đối ngẫu (P) và (Q) cho ởdạng chuẩn Tuy nhiên các kết quả nhận được cũng đúng cho một cặp bài toán đối ngẫubất kỳ

Nếu x là 1 phương án bất kỳ của bài toán gốc (P) và y là 1 phương án bất kỳ của bàitoán đối ngẫu (Q) thì:

- Nếu x* là 1 phương án của bài toán gốc, y* là 1 phương án của bài toán đối ngẫu và f(x*)

= g(y*) thì x* là phương án tối ưu của bài toán gốc và y* là phương án tối ưu của bài toánđối ngẫu

Nếu một quy hoạch có phương án tối ưu thì quy hoạch đối ngẫu của nó cũng cóphương án tối ưu và giá trị tối ưu của chúng là bằng nhau

Đối với mỗi cặp quy hoạch đối ngẫu nhau thì có thể xảy ra một trong ba khả năngloại trừ nhau sau đây.

- Cả hai bài toán đều không có phương án

- Cả hai bài toán đều có phương án Khi đó, cả hai bài toán đều có phương án tối ưu và giátrị tối ưu của các hàm mục tiêu là bằng nhau

- Một bài toán có phương án và bài toán kia không có phương án Khi đó, bài toán cóphương án sẽ không có phương án tối ưu và hàm mục tiêu của nó không giới nội trongmiền ràng buộc

y n

1 j

i j ij

y a c

i i ij j

j a y c

Nói cách khác, nếu một ràng buộc có độ lệch dương thì biến (gốc hay đối ngẫu)tương ứng với ràng buộc đó phải bằng không; ngược lại, nếu một biến gốc hay đối ngẫu

có giá trị dương thì phương án của bài toán thỏa mãn ràng buộc tương ứng với dấu bằng

Như vậy, hệ thức (1) có nghĩa là:

∑

=

n j j

ij x a

ij x a

ij y a

2.2 Tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

Nếu biết phương án tối ưu của bài toán gốc, vận dụng lý thuyết đối ngẫu ta có thểsuy ra phương án tối ưu của bài tối đối ngẫu tương ứng mà không cần giải nó,

Ví dụ: Bài toán qui hoạch tuyến tính

= +

+ +

= +

+

→ + + + +

=

5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0

8 5

2

3 5

1 3

min )

(

5 3

2 1

4 3 2 1

3 2 1

5 4 3 2 1

j x

x x

x x

x x x x

x x x

x x x x x x f

≤ +

+

≤ + +

→ +

+

=

ý tùy y , y , y

1 y

1 y

1 y y y

1 y 5 y y

1 y y y

max y

8 y 3 y ) y ( g

3 2 1

3 2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

Gọi y* là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

Do x*2, x*3, x*5 >0, nên theo định lý độ lệch bù, y* là nghiệm đúng hệ phươngtrình:

1 1

1 5

3 2

3 2 1

y y

y y y

3 2 1

y y y

Vậy y* (-5, 1, 1) là phương án tối ưu của g(y) với

gmax = -5 +(3*1) + (8*1) = 6 = fmin

Ví dụ: dùng phương pháp đơn hình giải quy hoạch gốc (P) sau đây, từ đó suy

ra lời giải của bài toán đối ngẫu tương ứng với nó.

= + +

=

− + +

→

− +

−

−

=

6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0

9 3 4 2

12 2

min 3

2 2 )

(

6 5 4 3

6 4

2

6 5 4 1

6 5 4 2 1

j x

x x x x

x x

x

x x x x

x x x x x x f

j

Xuất phát từ phương án cực biên ban đầu x0=(2, 12, 9, 0, 0, 0), cơ sở tương ứng {A1,

A2, A3) Quá trình giải được ghi lại trong bảng đơn hình dưới đây

Nếu cơ sở ban đầu của (P) là cơ sở chính tắc (các vecto đơn vị), giả sử là {Aj, j∈J}.

Để tìm lời giải của bài toán đối ngẫu, ta chọn ra từ bảng đơn hình cuối cùng của (P)các ∆j (j∈J) rồi cộng với hệ số cj tương ứng

Vì thế, lời giải của bài toán đối ngẫu y* = (y*1, y*2, y*3) được xác định như sau:

−

= +

∆

=

= +

−

= +

∆

=

5

3 0 5

3

*

1 1 0

*

5

1 1 5

4

*

3 3 3

2 2 2

1 1 1

c y

c y

c y

−

−

=

− + +

−

≥ +

− +

0 x , 0 x , 0 x , ý tùy x

, 9 x x 2 x x

, 8 x x x 2 x

, 10 x 2 x 2 x x

4 3

2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

−

−

≥

− +

−

≤

− +

= +

−

,

0 , 0

, 5 2

, 4 2

2

, 3 2

, 2

2 3

1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

ý tùy y y

y

y y y

y y y

y y y

y y y

= + +

−

0 , 0 , ,

0

, 4 3

5

, 8 3

2

, 1 2

4 3

2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

x x

ý tùy x x

x x x x

x x x x

x x x x

−

−

≤

− +

−

=

− +

−

≤

− +

0 , 0 ,

, 2 3

, 3 3

, 4 5

2

, 1 2

3 2

1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

y y

ý tùy y

y y y

y y y

y y y

y y y

1. Xét qui hoạch tuyến tính: 

−

→ + +

=

0 x , 0 x , 0 x

, 1 x

x

, 1 x x

, 1 x x

min, x

x x f

3 2

1

2 1

3 1

3 2

2 2 1

Chứng tỏ rằng bài toán này trùng với bài toán đối ngẫu của nó (bài toán tự đối ngẫu).

−

→ + +

=

0 y , 0 y , 0 y

1 y

y

1 y y

1 y y

min y

y y g

3 2

1

2 1

3 1

3 2

3 2 1 /

Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc f(x) là:

, 1

, 1

, 1 max,

3 2

1

2 1

3 1

3 2

3 2 1

y y

y

y y

y y

y y

y y y g

Đưa bài toán đối ngẫu về dạng min ta có bài toán tương đương:

−

−

≥ +

−

≥ +

−

→ + +

=

0 y , 0 y , 0 y

, 1 y

y

, 1 y y

, 1 y y

min, y

y y g

3 2

1

2 1

3 1

3 2

3 2 1 /

Bài toán tương đương của bài toán đối ngẫu trùng với bài toán gốc

⇒ bài toán tự đối ngẫu

⇒ điều phải chứng minh

2. Cho bài toán qui hoạch tuyến tính:

= + +

→ +

−

=

4 , 3 , 2 , 1 , 0

, 8 5 2

, 6 4

min, 2

2

4 3 2

4 2

1

3 2 1

j x

x x x

x x

x

x x x f

j

tối ưu và giá trị tối ưu của bài toán đối ngẫu.

Giải

Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc:

−

≤ +

≤

→ +

=

ý tùy y y

y y y

y y y

y y g

2 1

2 1 2

2 1 1

2 1

,

0 5 4

, 2

, 2 2

, 1

max, 8

6

Gọi y* = (y1, y2) là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

Do x1*, x2* > 0 nên theo định lí về độ lệch bù, y* là nghiệm đúng hệ phương trình

=

2 2

1

2 1

1

y y y

Giải hệ phương trình, ta được y* = (1, -2

0 , 0

, 7 4 3

, 2

, 3 3

min 19

15

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

≥ +

≥ +

→ +

=

x x

x x

x x

x x

x x f

≤ + +

→ +

+

=

0 , 0 , 0

, 19 4

, 15 3

3

max, 7

2 3

3 2

1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

y y

y

y y y

y y y

y y y g

b. Ta giải bài toán đối ngẫu:

Thêm vào hai ẩn phụ y4 ≥0, y5 ≥0 vào ràng buộc thứ nhất và thứ hai Lập bảng đơn hình, ta có:

Cơ

sở

Hệsố

Phươngán

⇒ Phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu: y* = (0, 3, 4)

Gọi x* = (x1, x2) là phương án tối ưu của bài toán gốc

Do y2*, y3* >0, nên theo định lí về độ lệch bù, x*là nghiệm đúng hệ phương trình:







= +

= +

7 4 3

2

2 1

2 1

x x

x x

Giải hệ phương trình, ta được: x* = (1, 1)

Với fmin = gmax = 34

4. Xét bài toán quy hoạch tuyến tính:

ý tùy x , x , x

3 x x

, 6 x

x

3 x x x

, 4 x x

, 2 x x x

3 2 1

3 1

2 1

3 2 1

3 2

3 2 1

(*)

Viết bài toán đối ngẫu Chứng tỏ x 0 = (-1, 1, 1) là phương án tối ưu Xác định một phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.

Giải

Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc:

g(y) = -2y1 + 4y2 - 3y3 - 6y4 + 3y5 → max

=

− + +

0 ,

; 0 , ,

, 3 2

3 4

, 1 3

4 3

, 4 2

5 2 4

3 1

5 3

2 1

4 3 2 1

5 4 3 1

y y y

y y

y y

y y

y y y y

y y y y

−

3 2 1

, 6 4 3

1

, 3 3 4 2

, 4 0 1 1

, 2 4

3 1

x0 = (-1, 1, 1) thỏa (*) ⇒ x0 là phương án của bài toán gốc

Gọi y0 = (y1, y2, y3, y4, y5) là phương án của bài toán đối ngẫu.

Do độ lệch ràng buộc 2, 4 của bài toán gốc khác 0 nên theo định lí về độ lệch bù, y0

0 , 0

, 3 2

3 4

, 1 4

3

, 4 2

4 2

5 3

1

3 1

5 3

1

y y

y y

y

y y

y y

y

Giải hệ phương trình, ta được y0 = (1, 0, 1, 0, -1)

Với: f(x) = g(x) = -8

⇒ x0 = (-1, 1, 1) là phương án tối ưu của bài toán gốc

⇒ y0 = (1, 0, 1, 0, -1) là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

5. Xét qui hoạch tuyến tính:

−

≥

− + +

−

−

=

− + +

−

→ +

− +

−

=

5 , 3 , 1 , 0

, 8 4 3

, 4 2

3 2

, 6 2 3 2

min, 2

) (

5 3

1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

j x

x x

x

x x x x x

x x x x x

x x x x x x f

j

(*)

=

− + +

−

=

− + +

8 3 5

, 6 4 2 18 10

, 6 12 1 12 5

Do độ lệch ràng buộc 2 khác 0 và x10, x20, x30, x40 khác 0 nên theo định lí về độ lệch

bù vectơ x0 = (5, -6, 1, -4, 0) là phương án tối ưu của bài toán gốc khi tồn tại vectơ

= + +

−

0 , 0

, 1 4 2

, 1 3

, 1 3 2

, 2 3

2

, 1 3 2

3 2

3 2 1

2 1

3 2 1

2 1

3 2 1

y y

y y y

y y

y y y

y y

y y y

Hệ này vô nghiệm

⇒ không tồn tại y0∈ R3 thoả hệ trên

⇒ phương án x0 = (5, -6, 1, -4, 0) không phải là phương án tối ưu của bài toán gốc

≤ + +

−

→ +

−

=

0 , 0

, 1 4 2

, 1 3

, 1 3 2

, 2 3

2

, 1 2

max, 8

4 6 ) (

3 2

3 2 1

2 1

3 2 1

2 1

3 2 1

3 2 1

y y

y y y

y y

y y y

y y

y y y

y y y y g

, 28 5

, 21 4

, 4

, 7 8

, 7 5

3 3 3 3 2 1

y y y y y y

Hệ này vô nghiệm ⇒ bài toán đối ngẫu có tập phương án rỗng

Mà bài toán gốc có tập phương án khác rỗng (vì x0 là 1 phương án)

⇒ bài toán gốc không có phương án tối ưu (theo định lí tồn tại)

6. Xét qui hoạch tuyến tính:

−

≥ + +

− +

→

−

− + +

−

=

3 , 2 , 1 , 0

, 2 3 2 2

, 9 5

2 4 2

, 5 3

4 5

min, 20

8 16 9 4 ) (

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4

3 2

1

j x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x

x x

x x

f

j

(*)

−

= +

−

−

2 9 4 1 2

, 9 15 4 4 2

, 6 3 6 1 10

Do độ lệch ràng buộc 1 của bài toán gốc khác 0 và x10, x30, x40, x50 khác không nên theo định lí về độ lệch bù vectơ x0 = (2, 0, 1, -2, 3) là phương án tối ưu của bài toán gốc khi tồn tại vectơ y0 = (y1, y2, y3) ∈ R3 sao cho:

−

−

= +

−

=

− +

−

≤

− +

, 20 3

5

, 8 2

2 3

, 16 4

, 9 2 2 4

, 4 5

2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

y y

y y y

y y y

y y y

y y y

y y y

Giải hệ phương trình, ta được y0 = (0, 4, 0)

⇒ tồn tại y0∈ R3 thỏa hệ trên.

⇒ phương án x0 = ( 2, 0, 1, -2, 3) là phương án tối ưu của bài toán gốc

−

−

= +

−

≤

− +

−

≤

− +

−

=

0 , 0

, 20 3

5

, 8 2

2 3

, 16 4

, 9 2 2 4

, 4 5

max, 2

9 5 ) (

2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

y y

y y y

y y y

y y y

y y y

y y y

y y y y g

c. Vì đã biết x 0 = (2, 0, 1, -2, 3) là phương án tối ưu của bài toán gốc nên phương án tối ưu

y 0 của bài toán đối ngẫu có thể tìm từ định lí độ lệch bù:

−

−

−

= +

−

−

=

− +

−

−

−

= +

+

− +

−

0 3

5 20

0 2

2 3 8

0 4

16

0 2

2 4 9

0 5

4

0 3

2 2

2

0 5

2 4 2 9

0 3

4 5 5

5 3 2 1

4 3 2 1

3 3 2 1

2 3 2 1

1 3 2 1

3 5 4 3 2 1

2 5 4 3 2 1

1 5 4 3 2 1

x y y y

x y y y

x y y y

x y y y

x y y y

y x x x x x

y x x x x x

y x x x x x

Thay các giá trị đã biết vào hệ, ta được:

−

−

= +

20 3

5

8 2

2

0 4

0

3 2 1

3 2

3 2

3 2 1

y y y

y y

y y

y y y

Vậy phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là y0 = (0, 4, 0)

Với gmax = fmin = -36.

−

≤ + +

= +

−

→ +

+ +

=

4 , 3 , 2 , 1 , 0

, 20 3

2

, 8 4

, 16 2

max, 3

2 ) (

4 3 2

4 3 2

3 2 1

4 3 2 1

j x

x x x

x x x

x x x

x x x x x f

j

≥

− +

≥ + +

−

≥

→ +

+

=

0 , 0

, 3 3

, 1 2 4

, 1 1 1 2

, 2

min, 20

8 16 ) (

3 2

3 2

3 2 1

3 2 1 1

3 2

1

y y

y y

y y y

y y y y

y y

y y

g

Thêm vào hai ẩn phụ x5 ≥ 0, x6≥ 0 vào ràng buộc thứ hai và thứ ba Lập bảng đơn hình, ta có:

Cơ sở

Hệ số

A1 2 32 1 0 9 2 2 0

⇒ Phương án tối ưu của bài toán gốc là x0 = (32, 8, 0, 0)

Gọi y0 = (y1, y2, y3) là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.Dựa vào bảng đơn hình, ta có:

= +

∆

=

= +

= +

∆

=

= +

= +

∆

=

0 0 0

5 0 5

2 2 0

6 6 3

5 5 2

1 1 1

c y

c y

c y

Vậy phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là y0 = (2, 5, 0) Với gmin = fmax = 72

Mục Lục