Giáo trình quy hoạch tuyến tính bài tập ứng dụng có lời giải

Bài toán quy hoạch tuyến tính rất đa dạng như: lập kế hoạch sản xuất, kế hoạch vận chuyển hàng hóa, quy hoạch nông trang, quy hoạch sử dụng đất, rừng, đầu tư tài chính, điều chế vận tải.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN

ThS N g u yễ n Đức Hiến

Giáo trình

Q U Y H O Ạ G H

T U Y Ế N T Í N H

(BÀI TẬP ỨNG DỤNG CÓ LỜI GIẢI)

NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

Hà Nội - 2009

LỜI NÓI ĐẦU

Toán Quy hoạch tuyên tính được ứng đụng rộng rãi trong kinh tế, kỹ thuật và nhiều lĩnh vực khác Bài toán quy hoạch tuyến tính rất đa dạng như: lập kế hoạch sản xuất, kế hoạch vận chuyển hàng hóa, quy hoạch nông trang, quy hoạch sử dụng đất, rừng, đầu tư tài chính, điều chế vận tải Mục tiêu của bài toán quy hoạch tuyến tính là tìm ra phương án tối ưu mà chúng ta đặt ra trong những điều kiện nhất định nhằm đạt lợi nhuận cao nhất, cni phí thấp nhất, sử dụng lao động họp lý nhất, sử dụng nguyên liệu và các nguồn tài nguyên khác như thế nào để đạt hiệu quả cao nhất

Quy hoạch tuyến tính là môn học bắt buộc đối với các trường đại học thuộc khối ngành khoa học tự nhiên, sư phạm, kinh tế và là môn thi tuyên sau đại học đối với khối ngành kinh tế

Nội dưng cuốn 'Giáo trình Quy hoạch tuyến tính" gồm 5 chương:

C hương 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính tống quát và các mô hình

toán học

Chương 2: Phương pháp đơn hình

Chương 3: Quy hoạch đối ngẫu

Chương 4: Bài toán vận tải

Chương 5: Bài toán luồng cực đại trong m ạng

Cuốn sách với nhũng nội dung căn bản nhất của quy hoạch tuyến tính như cấu trúc đa dạng của bài toán và cách chuyển đổi sang cấu trúc chính tắc, chuẩn tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính, cấu trúc bài toán đối ngẫu của bài toán quy hoạch tuyến tính, các phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tín h được trình bày trong sách cùng với các ví dụ minh họa, đặc biệt nhiều bài toán ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau sẽ giúp ích nhiều cho các bạn sinh viên, nghiên cứu sinh cũng như các nhà quản lý, các nhà nghiên cứu kinh tế và khoa học

Cuốn sách được biên soạn với sự tham khảo, cập nhật tài liệu chuân quốc tế, nhiều tài liệu trong nước cùng với sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, đặc biệt các thầy Nguyễn Quảng, Lê Dũng Mưu, Phạm Ngọc Anh, N guyễn

Vũ Tiến Cuốn sách sẽ không tránh khỏi thiếu sót; tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của đồng nghiệp và bạn đọc Mọi góp ý xin gửi về: Nguyễn Đức Hiền, Bộ môn Toán, Trường Đại học Duy Tân, TP Đ à Nang

TÁC GIA

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÁN HỌC TỔNG QUÁT VÀ CAC MO HĨNH HOA TOẢN HOC

1.1 BAI TOAN QUY HOẠCH TOAN HỌC T O N G Q U Á T VÀ PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN

1.1.1 Bài toán tối ưu tổng quát

Bài toán tối ưu tông quát là bài toán có dạng: Cực đại (cực tiếu) hóa hàm:

với các điều kiện:

trong đó cac hàm f(x), gi (x) ( i = \ j n ) là các hàm số; X là biến số có n

thành phần

(1.1) gọi là hàm mục tiêu (objective function).

(1.2) gọi là điều kiện ràng buộc (contraint conditions).

- Tập hợp: D = {x e X\gi(x) (<, >, =) b„ / = l,m } gọi là miền

phương án (alternative region) hay miền chấp nhận (fea silhe region)

- Mỗi điểm X = (X 1 ,X 2 , ,X„) e D được gọi là một phương án

(alternative) hay lời giải chấp nhận được (feasible solution).

- Phương án X* e D dùng cho hàm mục tiêu đạt cực đại (hay cực tiểu), cụ thế là:

6 Giáo trình O uy hoạch tuyến t inh

được gọi là phương án tối ưu (optim al alternative hoặc lời giải tối uu- optimal solution) Khi đó, giá trị f(x*) được gọi là giá trị tối ưu (o p tim a l value) của bài toán.

Ví dụ I: Bài toán sau đây là bài toán tối ưu:

Căn cứ vào tính chất của các hàm trong hàm mục tiêu và điều kiện

ràng buộc mà người ta phân loại các bài toán khác nhau:

Quy hoạch tuyến tính (program m ing): là bài toán tối ưu mà f(\i

gj(x) là các hàm tuyến tính ( V/ = 1, m ).

Quy hoạch p h ỉ tuyến (nonlinear program m ing-N LP): nếu f(Xj hoặc

có ít nhât một trong các hàm gi(x) là phi tuyến hoặc cà hai trường hợp đá cùng xảy ra

Quy hoạch tham số (parametric program m ing): nếu các hệ số trong

biểu thức của các hàm mục tiêu và các điều kiện ràng buộc phụ thuc'c vào tham số

Quy hoạch động (dynamic programming)', nếu đổi tượng xét à cá:

quá trình có nhiều giai đoạn nói chung hay các quá trình phát triển theo thời gian

Quy hoạch đa mục tiêu (multiobject program m ing): nếu trên cùng

một miền ràng buộc ta xét nhiều hàm mục tiêu khác nhau

Quy hoạch rời rạc (discrete programming)', nếu miền D là rci rạc

Nếu các biến chỉ nhận giá trị nguyên thì gọi là quy hoạch nguyên (intege' programming)

Chươmỉ l: Bài loán quy hoạch toán học lông quái 7

Tất cả các loại bài toán trên gọi chung là bài toán Ouv hoạch toán

học (hay íiọi là phạm trù học-Operation Research) (Bạn đọc xem thêm

troníỉ [3], [5] [6])

1.2 GIẢI BÀI TO ÁN QUY HOẠCH TUYÉN TÍNH ĐƠN GIẢN

BẰNG PHƯ Ơ N G PHÁP HÌNH HỌC

1.2.1 Xây dựng mô hình toán học cho một số vấn đề thực tế

Các bước thực hiện để lập mô hình toán học cho vấn đề thực tế

B ước 1: Tìm kiếm thông tin gốc: Đây là quá trình thu thập các số

liệu kinh tế - kỹ thuật Bước này khá quan trọne vì tất cả các bước sau

dựa vào các số liệu này đê tính toán Nó quyết định tính chính xác của

kết quả thu được Mỗi bài toán kinh tế cụ thể đòi hỏi các thông tin gốc

khác nhau

Bước 2: X ư ìỷ sô liệu: Bước này có thê chia thành hai giai đoạn.

(Ị) Lập mô hình toán: Từ những số liệu và các yêu cầu về mặt kinh

tế - kỹ thuật, ta chuyển thành mô hình toán học Đòi hỏi ở bước này là

phải thiết lập chính xác và đầy đù các điều kiện của bài toán

(2) Lựa chọn thuật toán thích hợp vù giải bài toán: Đây là quá

trình tính toán trên mô hình toán dựa vào các thành tựu mà toán học đã

đạt được Kết quả ở bước này chính là lời giải cơ bản để đưa ra giải pháp

tối ưu về mặt kinh tế Vì vậy đây là bước rất quan trọng

B ước 3: Thông tin kết quá: Thực chất của bước này là sự diễn giải

các thông tin về mặt toán học thành các thông tin về mặt kinh tế Nghĩa

là, dựa vào các kết quả tính toán đã có để những nhà làm chính sách đưa

ra các quyết định kinh tế

1.2.2 Môt số mô hình thưc tế• •

1.2.2.1 B ài toán lập k ế hoạch sản xuất: (Production planning problem)

Bài toán tông quát:

Trong một chu kì sản xuất một doanh nghiệp sử dụng m loại nhân

tố sản xuất khác nhau để sản xuất ra n loại sản phẩm khác nhau

E | E ; E n.

8 Giáo trình Ouy hoạch tuyên tính

Tiêm năng vê các nhân tô sản xuât này của doanh nghiệp là có hạn cho bời véc-tơ b = (b| ồ2, , bm) 1 •

Biết rằng để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm Ej (với ị = 1.2 n)cần chi phí hết a,j đơn vị nhân tố sán xuất thứ i (với i = 1.2 m) lọinhuận khi bán sản phẩm được cho bởi véc-tơ c = (C| c2, , c n)' Đật A - (ây)m n

Vậy doanh nghiệp cần phải lập kế hoạch sán xuất bao nhiêu đêkhông bị động về tiềm năng các nhân tố sản xuất và thu được lợi nhuậnlớn nhất

( 'ha/nạ 1: Bùi toán quy hoạch loàn học tòng quát 9

Biêt rănu: Đê san xuàt hoàn thành 1 phân mêm A cân 2 thạc sỹ và

1 k sư đè san xuât hoàn thành 1 phân mêm [ỉ cân 1 thạc SV và 3 kỳ sư.Qua tiếp thị trên thị trườnc được biết nhu cầu cực đại cua ca 2 phần mền Giá bán ra cho một loại phần mềm A là: 2000USD và cho một loại

Hãy lập kể hoạch sán xuất cho mỗi tháng đê thoa mãn yêu cầu thị trường, không bị động về đội ngũ doanh thu đem về cho công tv lớr nhất

1.22.2 B à i toán vận tải (Transportation problem )

Bài toán:

Ta cần vận chuyển một loại mặt hàng nào dó (chẳng hạn như: máy

tínl linh kiện điện tử gạo, gồ, xi măng, xăng dầu, .) gồm có m trạm

p h á hàng Ả ị , A 2 Ả m vói lưựng hàng yêu cảu phái đi tương ứng là

ữ , 7: a m đơn vị hàng, n trạm thu hàng B ị B2 Bn với lượng hàng

y ê i cầu chuyến đến tương ứng là bị ,b 2, ,bn đơn vị hàng và ma trận

cưcc phí vận chuyền (chi phí vận chuyển một đơn vị hàng)

phái mêm B là: 3000USD

Giải:

Gọi X|, X: lần lượt là số lượng phần mềm A và B cần sản xuất.

Theo đề bài ta có mô hình toán học:

Tìm x = ( x p x 2 ):

X, > 0, x 2 > 0

2x, + X 2 < 6 V, + 3 x : < 8

f ( x ) = 2.V, + 3 x : -> m ax ( 1 0 0 0USD)

c

10 Giáo trình Oiiy hoạch tuyến tín h

Ớ đây C'(; ụ = \,m : j = 1,«) là cước phí vận chuyển cho mồi đ ơ n

vị hàng ho á được chuvển từ trạm phát A đến trạm thu B

Bài toán đặt ra với điều kiện:

(1.4) gọi là điều kiện căn bằng th u p h á t tức là: tổng lượng h à n g phát đáp ứng đầy đủ cho tống lượng hàng thu (cung hằng Cầu) Hãy lập

kê hoạch vận chuyên hàng sao cho:

- Các trạm phát (cung) hết lượng hàng hiện có.

- Các trạm thu (cần) nhận đủ lượng hàng yêu cầu.

- Tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất

Gọi x n (/' = l , m ; j = \.n ) là lượng hàng vận chuyển ưr A, đến B r

Thây ràng x n > 0 , V/ = \ m ; V/ = l,/7 trong đó X > 0 khi A, phát

hàng cho B Ị ; còn x v = 0 khi A1 không phát hàng cho B Khi đó mô hình

của bài toán nói trên là: Tìm một ma trận phàn phối và vận chuyển hàng:

Chcơrìg 1: Bài loàn quy hoạch toán học tônạ quái

Vi dụ 3:

Ta cân vận chuyên máy tính từ 2 công ty (trạm phút)' C |, Ci_ đên 3

nơ tiêu thụ (trạm thu) T | ị 2 và T3 s ố lượng máy tính ở mồi công ty cần chuyên, nhu câu máy tính tại các nơi tiêu thự cũnQ như cước phí vận ch.ivển cho mỗi máy tính được chuyên từ công ty C| đến nơi tiêu thụ

Tị V/ = 1.2 V/ = 1.3) được cho trong bảng sau:

Hãy lập kế hoạch vận chuyển máy tính như thế nào để:

- Các công ty phải phân phối hết số máy tính hiện có

- Các nơi tiêu thụ nhận đủ số máy theo nhu cầu

- Tổng cước phí vận chuyển là thấp nhất

Giải:

Gọi Xjj là số máy tính sẽ vận chuyển từ cảng (Cj) đến nơi tiêu thụ (T ,)(/ = Ũ ý = ũ )

Với điều kiện: X j j > 0 (i = 1,2, j = 1,3)

Số máy tính vận chuyển từ Ci đến 3 nơi tiêu thụ là:

12 Giáo trình Quv hoạch luyen tính

Tông sô máv tính vận chuyên đên tiêu thụ T;, từ 2 cang là:

*.3+*23Tồng cước phí phải chi trả là: (tổng này càng nhỏ cànạ tốt),

1.2.2.3 B à i toán n g ư ờ i du licit (Travelling salesm an problem )

Một người du lịch được phép mang theo một cái túi nặng khóng quá bkg Anh ta dự định đem theo n loại đồ vật Mỗi một đồ vật loại / có

(' h u m ií' 1: Bài toán quy hoạch loàn học IÔIÌỊỊ quái 13khỏi lượtm a,ku và có uiá trị la C| Nmrời du lịch muôn săp \'ào túi các đô

vật mang theo sao cho:

- Khôi lưạnu tôim cộng khônu được vượt quá khôi lượrm cho phép bke

- Nhưnẹ có tông giá trị lớn nhất

Ký hiệu X| ( / = \, n) là số lượng dô vật loại ị sẽ sấp vào túi du lịch

Mỏ hình cua bài toán là:

Tìm một ma trận X = ( x r x 2 x n ) thỏa mãn các điều kiện sau:

Bài toán người đi du lịch (còn được gọi là bài toán cái túi) loại bài

toán này được gọi là quy hoạch nguyên.

Nhận định chung:

Qua các ví dụ được trình bày ở phần trên, ta thấy rằng trong nhiều lĩnh vực khác nhau có những yêu cầu khác nhau trong việc đề ra các quyết định định lượng nhàm tối ưu hóa sán xuất Nhưng những yêu cầu này có thê được diễn giải thành mô hình toán và được tông quát hóa như sau:

(1) Điều kiện tối ưu hóa: Đòi hỏi thởa mãn yêu cầu về mặt kinh tế

bao gồm hai trường hợp cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa

(2) Điều kiện ràng buộc: Bao gồm một hệ gồm các phương trình

hoậc bất phương trình bậc nhất Hệ thống các ràng buộc này xuất phát từ những đòi hỏi cần được thỏa mãn về mặt kỹ thuật

(3) Điều kiện về dấu: Xuất phát từ yêu cầu thực tiễn là các biến

quyết định đòi hói không âm

(1) X J > 0 V/ = 1 n ; Xị nguyên, ị = \ n

n

n (3) f ( X ) = Y JCIXI -> max

14 Giáo trình Quy hoạch luyến lính

còn X ( j = 1,«) là các ân số

( 'hianiiỉ I : Hùi Itìán quy hoạch toán học tông quái 15

1.2.ĩ 2 M ột sô kêt (¡lid trong đại sô và giải tích

Tập D được gọi là tập lồi nếu Vx y e M ta có Ằ.X + ( 1 - À.)y €E D

Có nghĩa raim: với 2 điếm bất kì thuộc D thì tất ca các diêm năm trên đoạn thăng nối hai điểm dỏ cũng thuộc D và ngược lại

Ví dụ: Miền phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính

D - j.Y 6 R" \ Ax < (hay >, hay =)h X > ()| là tập lồi.

Thật vậy lieu ta lấy 2 điếm bất kì X y 6 D nghĩa là:

Mỗi siêu phẳng H(a,d) chia không gian R" ra làm hai phần, ta gọi

tương ứng là nửa không gian đúng dương và nửa không gian đủng âm

lần lượt là:

16 Giáo Irình Quy hoạch tuyến tín h

H+ (a.d) = {x e R n \ a' X > d; a e R n, d e R )

H (a.d) = {x g R" \ a1X < d; a eR" d e R Ị là các tập lồi

(Các đường thẳng, hình tròn, tam giác, tứ giác lồi hình tứ diện, là các tập lồi)

H ệ quả:

Giao hữu hạn các nua không gian đóng của R" là tập lồi.

Khi đó ta gọi là một tập lồi đa diện (polyhedron) hay khối da ciện (chứng minh xem [3])

Do đó miền phương án D của bài toán QHTT là một tập hợp lồ: có đỉnh (vertex) tạo bởi giao của các nửa siêu phăng:

Bùi toán Q H huy bài toán Q H TT nếu thoa mãn 2 điều kiện sau đáy.

- Điều kiện 1 : Miền phư ơ ng án D ± ộ

- Đ iều kiện 2: Hàm mục tiêu f ( x ) (với f là hàm liên tục) bị chận (chặn dưới đối với bài toán min, chặn trẽn đối với bài toán max) trên D thì tồn tại p h ư ơ n g ủn tối ưu.

( 'hu rniỊ 1: Bùi toán quy hoạch toán học lôm ' quát 17

Mỗi điềm X* =(X|* X2*) e D sẽ nằm trên đường mức với giá trị

mức a* = Ci Xi* + C2 X2*.

Bài toán đặt ra có thế phát biểu theo ngôn ngữ hình học như sau:

Trong số các đường mức cắt D hãy tìm đường mức với giá trị mức nhỏ nhất (lớn nhất)

Neu dịch chuyến song song các đường mức theo hưóng véc-tơ

pháp tuyến của chúng n = (Cị,c2) thì giá trị mức sẽ tăng (hoặc giảm nếu

dịch chuyển theo hướng ngược lại) Do đó để giải bài toán ta tiến hành như sau:

B ước 2: Băt đâu từ một đường mức căt D ta dịch chuyên song song

các đường mức theo hướng (hay ngược hướng) véc-tơ pháp tuyến của

chúng n - (c,, c2) cho đến khi nào việc dịch chuyến tiếp theo làm cho

đường mức không cắt D nữa thì dừng

Điêm căt D (có thê nhiêu điêm) năm trên đường mức cuôi cùng này

sẽ là lời giải tối ưu Còn giá trị của hàm mục tiêu (tức là giá trị mức) tại

đó là giá trị tôi ưu cân tìm của bài toán - - -

i ẼAI HOC QUOC GIA HA NOI

ỊI [3UNG Ĩ ẨM r H Ồ N G TIN ĨH Ư VIỆ N

V/ = 1,2

Bước 1: Vẽ miên châp nhận được D.

r

V • Ù C / £ H 3 C

18 Giáo trình Q uy hoạch tuyến tính

N hận xét:

Do trong quá trình vẽ miền D không thể tránh khỏi sai số (mà phần

chính là khi vẽ, xác định tọa độ, xác định vuông g ó c , ) nên việc tin cậy

để xác định tọa độ tối ưu không cao

Nên không mất tính chính xác của bài toán, ta có thể giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng hai biến hay 3 biến được tóm tắt theo các bước sau:

B ư ớ c 1: Vẽ miền chấp nhận được D (tức là ta xác định miền giao

nhau của các nứa mặt phẳng hay nửa không gian do điều kiện ràng buộc)

B ư ớ c 2: Nếu D ;É 0 v à bị chặn (chặn dưới đối với bài toán ta xét là

dạng min, chặn trên đối với bài toán ta xét là dạng max) thì khi đó bài toán

có phương án tối ưu Ta xác định toạ độ các đỉnh (sang bước 3) Ngược lại, kết luận bài toán vô nghiệm Dừng

B ư ớ c 3: Tính giá trị của f tại các đinh đó rồi kết luận (tức là tìm giá trị lớn nhất hay nhó nhất của f )

V ỉ dụ 6: Xét lại bài toán.

Chưrng 1: Bài toán quy hoạch toán học tỏng q u á i 19

Khi đó từ ( v d l) ta được miền phương án D của bài toán là hình đa giácOABCE Đó là một đa giác lồi kín, nên bài toán có phương án tối

20 Giáo trình Ouy hoạch tuyến tinh

Vỉ dụ 3: Tìm X = (X|, X2, X3) thỏa mãn:

(1) X, > 0 , .V, > 0 , Xy > 0

(2) + x 2 + X, < 4

X, < 2(3) f (x) = X\ + 2 x 2 + 3x, - 20 —» max

( 'hương ỉ: Bùi toán quy hoạch toán học tông quái 21

B' (0, 4 0) có f(B ') = -12C" (0 0 4 ) c ó f ( C ') = - 8

Ký hiệu (P) là mặt phăng X| + X2 + X.1 = 4; (Q) là mặt phăng

Xi = 2; (K) là mặt phăng tọa độ ( x i O x 2) và (J) là mặt phắng tọa độ

Vậy phương án tối ưu x° = C' = (0, 0, 4)

Chú ý: Có nhiều bài toán khi ta tiến hành giải bằng phương pháp

hình học, miền phương án là tập lồi nhưng không phải là đa diện

22 Giáo trình Quy hoạch tuyến tinh

Từ (1) và (2) ta có miền phương án D là một tập lồi (không kín):

+ 00A B C E + °0 và không rỗng Bởi vậy bài toán đã cho muốn có phương

án tối ưu thì hàm mục tiêu f(x) phải được chặn dưới.

- Gọi d(m) là đường thẳng 2xj + 3 x2 = m (m là tham số) Ta thấy

khi m giảm, đường thẳng d(m) tịnh tiến ngược chiều với véc-tơ pháp

tuyến h = (2, 3) của đường thẳng d(m) Điều đó chứng tỏ hàm mục tiêu

f(x) = + 7 bị chặn dưới bởi biên của miền phương án D, nên bài toán đã

cho theo định lý 1 có phương án tối ưu x°

* Tìm phương án tối ưu x°:

C hfơng 1: Bài toán quv hoạch toán học tông c/uál 23

- Điêm tối ưu của bài toán QHTT có thế đạt tại nhiều điểm

- Đối với các bài toán có dạng 2, 3 biến thì dùng phương pháp hình hcc chứng minh là rất đơn giản trong việc tìm phương án tối ưu x° của

bải toán nhưng khi n > 4 (tức là đối với các bài toán nhiều hơn 4 biến)

th: dùng phương pháp hình học sẽ không giải được nếu bài toán không thề biến đổi về bài toán dạng 2 biến, 3 biến (làm giảm biến) Vậy thì sao?

- Trong hoạt động kinh tế xã hội luôn đặt ra các bài toán tối ưu Ví dụtìm phương án sản xuất cho lợi nhuận cao nhất, chất lượng sán phẩm tốtnhất giá thành rẻ nhất và ảnh hưởng môi trường sống ít nhất Dạng bài toán

nay người ta gọi là lối ưu đ a m ụ c tiêu (quy hoạch đa mục tiêu).

B À I T Ậ P

Bài 1: Lập mô hình toán học

1 Một doanh nghiệp Thiên Thần trong năm nay sẽ sản xuất 2 loại sản phẩm P1 và P2 để cung cấp cho thị trường

Trong một chu kì sản xuất doanh nghiệp sử dụng 3 nhân tố sản xuất chính khác nhau là người lao động, nguyên liệu (đơn vị kg ), máy móc (đơn vị giờ) để sản xuất Tiềm năng về các nhân tố sản xuất (NTSX), lợi nhuận sản phẩm, chi phí sản xuất cho mỗi sản phấm mỗi loại được cho trong bảng sau:

24 Giáo trình Quy hoạch tuyên tính

Qua tiếp thị trên thị trường nhận thấy nhu cầu tiêu thụ tối đa cua sản phẩm P2 là 5 sản phẩm (trong năm nay)

Hãy lập kế hoạch sản xuất cho doanh nghiệp (trong năm) đê không

bị động về tiềm năng các nhân tố sán xuất, đáp ứng nhu cầu thị trườna và

thu được lợi nhuận lớn nhất (Các chi phí phát sinh trong quá trình san xuất là 10 triệu)

2 Một trường Đại học X cần trang bị 2 loại phần mềm A và B do công ty phần mềm sản xuất Với nhu cầu trang bị ít nhất 15 loại, tron» đó tối đa phải có 10 loại A (Thời gian bàn giao cho trường X là không quá

25 giờ theo thoả thuận) Đội ngũ ở Công tv Phần mềm gồm: 30 lập trình viên

Biết rằng: đế sản xuất hoàn thành 1 phần mềm A cần 2 lập trình viên, để sản xuất hoàn thành 1 phần mềm B cần 1 lập trình viên (nếu lập trình viên tham gia công việc A thì không tham gia công việc B)

Thời gian cài đặt cho mỗi loại phần mềm này chỉ tốn 1 giờ

Anh (chị) hãy lập kế hoạch sản xuất cho Công ty Phần mềm đê thoá mãn yêu cầu bên trường X, không bị động về đội ngũ ở công ty, doanh thu đem về cho công ty lớn nhất, (các chi phí khác là 5000USD) Giá bán ra cho một loại phần mềm A là: 2000USD và cho một loại phần mềm B là: 3000USD

3 Một Công ty Phần mềm chuyên sản xuất 2 loại phần mềm A và B Với đội ngũ gồm: 6 thạc sỹ tin học và 8 kỹ sư tin học

Biết ràng: để sản xuất hoàn thành 1 phần mềm A cần 2 thạc sỹ và 1

kỹ sư, để sản xuất hoàn thành 1 phần mềm B cần 1 thạc sỹ và 3 kỹ sư

Qua tiếp thị trên thị trường được biết nhu cầu tiêu thụ cho 2 loại phần mềm này là như nhau (trong một tháng) và nhu cầu tiêu thụ cực đại của phần mềm B là 2 phần mềm

Giá bán ra cho một loại phần mềm A là: 2000USD và cho một loai phần mềm B là: 3000USD

Hãy lập kế hoạch sản xuất cho mỗi tháng để: thoá mãn yêu câu thị trường, không bị động về đội ngũ, doanh thu đem về cho công ty lớn nhất, (các chi phí khác là 200USD)

Chương i : Bài loán quy hoạch toán hục lông quát 25

tô chức lễ hội: B 1 B2 B3 B4

Với lượng thiết bị có tại các cơ sở này lần lượt là: 500 150 350 (thiết bị)

Nhu cầu thiết bị tại các nơi tô chức lễ hội tương ứng là: 100 200,

300 400 (thiết bị) Đơn giá cước phí vận chuyên từ cơ sớ A (i = 1.3) đến các nơi tô chức lễ hội B ( / = 1.4) lần lượt là:

28 20

8 (nghìn đồng/thiết bị)Hãv lập kế hoạch vận chuyển thiết bị sao cho các CO' sở phân phối hát thiết bị, các nơi tố chức lễ hội thoả mãn nhu cầu về thiết bị, đáp ứng vèu cầu của ban tổ chức và tổng chi phí vận chuyển bé nhất

5 Để chuẩn bị cho lễ hội Festival Huế 2012, ban tố chức cần cung cáp m ột số thiết bị từ 3 cơ sở: Al A2 A3 đến 4 địa điếm tổ chức lễ hội:

26 Giáo trình Quy hoạch tuyến tính

Hãy lập kế hoạch vận chuyến thiết bị sao cho các cơ sờ phân phôi hết thiết bị, các nơi tổ chức lễ hội thoả mãn nhu cầu về thiết bị, đáp ứng yêu cầu của ban tổ chức và tổng chi phí vận chuyển bé nhất

6 M ột công ty vận tải cần chuyển hàng từ 3 cảng biển đến 4 nơi tiêu thụ

Số lượng hàng ở mỗi cang lần lượt là: 80 120, 130 tấn

N hu cầu hàng của các cừa hàng lần lượt là: 80, 70, 130 50 tấn

Đơn giá cước phí hàng từ cảng i đến nơi tiêu thụ j (/ = 1,3, 7 = 1-4) lần lượt là:

Chỉơng I : Bài toán quy hoạch toán học lỏng quát 27

x - 2 y < - 6 (3) f ( x , y ) - 2 x + 7 y + 2006 —> max

(2)

28 Giảo trình Quv hoạch tuyến tí nh

(2)

HƯỚNG DẢN VÀ ĐÁ P SÓ

Bài 1: Lập mô hình toán học

1 Gọi Xi, X2 lần lượt là số lượng phần mềm P1 và P2 cần sản xuất

2 Gọi X|, X2 lần lượt là số lượng phần mềm A và B cần sản xuất Theo đề bài ta có mô hình toán học:

Chương ì: Rời toán quy hoạch toán học tông quát 29

■Yu + .Yi : + Y , , + .YU = 500

Dùng phương pháp hình học giải bài toán (A), ta được phương án

tôi ưu X = (5, 3) với max f = 50

30 Giảo trình Quy hoạch tuyến tính

Từ đó trở lại bài toán đã cho ta thấy: với X| = 5 , x2 = 3 thay vào các phương trình của hệ ràng buộc (2), ta có: Xy = x4 = 0 , x5 = 6 và

x b = 3

Vì hai bài toán là tương đương (ta sẽ chứng minh chính xác sau, bây giờ bằng trực quan) ta suy ra phương án tối ưu của bài toán đã cho x° = ( 5 3 0 0 6 3) với m in / = - 5 0 + 2005 = 1955

4 Lập luận tương tự như bài 3 Ta được m ô hình toán học lương

đương với m ô hình toán học của bài toán iập kế hoạch trong ví dụ 6

5 Vẽ m iền phương án là miền trong của ngũ giác OABCD:

0 (0 ,0 ) ; A(2,0); B(4,1);C(1,4); D(0,2)

Phương án tối ưu cùa bài toán tại B (4,l)

6 C hú ý khi vẽ m iền phương án ta lấy toàn bộ mặt phẳng (vì X y tuỳ ý) không giống như X , y không âm như các bài toán khác Từ đó lấy

miền phương án do (2) tạo ra

PHƯƠNG PH ÁP Đ O N HÌNH

2.1 BÀI TO ÁN QUY HOẠCH TUYÉN TÍNH

2.1.1 Dạng chính tắc của bài toán QHTT

2.1.1.1 Đ ịnh nghĩa: Là bài toán có dạng:

+ Các ràng buộc đều là phương trình

+ Các ẩn đều không âm

V i dụ: Bài toán sau đây cũng ở dạng chính tắc.

32 Giáo trình Quy hoạch tuyên tính

2.1.1.2 Phương ph áp đưa bài toán quy hoạch tuyến tínlì về dạng chínlĩ

(3) / ( * ) = / ( r ) = V c , r ;

./=1

Rõ ràng (2.3) là một dạng chính tắc và gọi là dạng chính tắc cúa

bài toán QHTT (2.2)

- N ếu bi < 0 thì nhân hai vế bất phương trình i với - 1

- Nếu X không bị ràng buộc về dấu (tùy ý) có thể thay bởi hiệu

của 2 biến không âm bằng cách đặt: XỊ = x + - x~ với X* > 0 và > 0

Trong trường họp f(x) —> max ta muốn chuyển bài toán về dạng min

như sau:

- Đặt g(x) = f(-x), xét bài toán có g(x) —> min.

- Giả sử g(x)min = g(Xo) => m a x / = -g(xa).

Do đó, trong giáo trình này tác giả chỉ làm việc trên bài toán dạng min Nếu gặp bài toán dạng m ax thì ta dùng chú ý (m in-m ax).

+ Các ràng buộc chưa phải là phương trình

Ta thêm ẩn phụ X4 (x4 > 0) vào ràng buộc thứ nhất với hệ số + í

34 Giáo trình Quy hoạch tuyên tính

Ta thêm ẩn phụ X5 (x5 > 0) vào ràng buộc thứ hai với hệ số -1 Các ẩn phụ x 4, X5 đều có hệ s ố bằng 0 trong hàm mục tiêu

Vậy X là phương án tối ưu của (2.3)

(2) Hai bài toán được gọi là tương đương nhau khi và chỉ khi nghiệm của bài toán nèy cũng là nghiệm của bài toán kia và ngược lại.

Chương 2: P hư ơng p háp đơn hình 35

Vậy x° là phương án tối ưu của (2.2)

2.1.2 D ạn g ch u ẩn tắc của bài toán Q H T T

2.1.2.1 Đ ịnh nghĩa: là bài toán dạng:

36 Giáo trình Q uy hoạch tuyến tính

P hương án cơ bàn: Một phương án X* = (x*i x*2 x*n) thỏa mãn

ít nhất n ràng buộc của bải toán gọi là phương án cơ bản (phương án cực biên)

Một phư ơ n g án cơ bản không suy biến là phương án cơ bản thỏa mãn chặt (dấu “= ” xảy ra) đủng n ràng buộc của bài toán.

Một phương án cơ bản suy biến là phương án cơ bản thỏa mãn chặt (dấu “= ” xảy ra) hơn n ràng buộc của bài toán.

P hương án cơ bản đầu tiên là một phương án mà các ẩn không cơ

bản đều bằng 0

Nếu ta cho các ẩn không cơ bản x m+] = x m+2 = = X" = 0 thi từ hệ

phương trình ràng buộc (2) ta được: Xj = b ; V/ = 1, m

Vì bj > 0, V z = l , m nên xữ - (bv b2, ,bm,0 , ,0 )ìằ phương án cơ bản, gọi là p h ư ơ n g án cơ bản đầu tiên, về mặt hình học gọi là phưomợ án cực biên xuất phát.

M ột p h ư ơ n g án cơ bản đầu tiên Xo gọi ià không suy biến (nondegenrate) nếu x0 có đủ m thành phần dương, x0 gọi là suy biến nếu

có ít hon m thành phần dương

m Khi đó: f ( x ũ) = Ỵ j clb,

Chương 2: P hư ơng pháp đơn hình 37

nên:

A x ) = ỵ t c lx l = ỵ i c lx l + X c lx l

/ = l / = I /=w+1Thay j = i, ta có:

Bài toán Q H T T sẽ không bị giảm bản chất của nó nếu ta thêm một

số già thiết sau đây cho dạng chính tắc (2.1):

• Hệ m phương trình (2) độc lập tuyến tính, tức là hạng r ( A ) = m

Ở đây m a trận A = ( a ij )m n để trong hệ không có phương trình thừa

• Số phương trình trong hệ (2) nhỏ hơn số ẩn số, tức là m < n; để miền phương án D có vô số phương án

• Các b > 0; i = l,m nhàm xây dựng phương án cực biên xuât phát sau này

38 Giáo trình Quy hoạch tuyến tính

2.1.2.3 Phương pháp đua bài toán dạng chinh tấc về dạng chuẩn tấc

Mô tả p h ư ơ n g pháp:

Nếu trong bài toán dạng chính tắc: có một số hạng bi < 0 thì nhân hai vế phương trình i cho -1 để được bi > 0

Vậy từ đây, ta có thể xét bài toán chính tắc đang xét có bi > 0

Cho bài toán QHTT dạng chính tắc là:

ta thêm mỗi phương trình một ẩn giả (không âm Xn+i > 0 với hệ số 1).

Chú ỷ: Trong hàm mục tiêu f(x) -> m in, các ẩn giả có hệ số là

/=1

(2.8) gọi là bài toán M của (2.7).

V i dụ: Kiểm tra dạng chuẩn tắc của bài toán sau (nếu chưa) hãy đưa về

chuẩn tác, tìm ẩn cơ bản

Tìm X = ( x ị, x 2, , x4) thỏa mãn:

Chương 2: P hương pháp đơn hình 39

vào A Đê các cột này vào A, ta cân phải thêm các ân X j và ràng

buộc thứ nhất, X6 và ràng buộc thứ hai trong hệ ràng buộc (2) của bài toán Lúc đó, bài toán trở thành:

Tìm X ’ = (xi, X 2 , Xi, X 4 , Xỉ,xẻ) thoả mãn:

(1) X, > 0 , v / = ũ 4''xi + 2X2 + 3X3 + x 5= 15

(2)« 2xi + X2 + 5x3 ^6= 20 X| + 2x2 + X3 + X4 = 10

(3) / ( x ) = Xị + 2 x 2 + 3*3 - x 4 + M x 5 + M x b —> m inCác ẩn X5, X6, x4: Là các ẩn cơ bản của bài toán Thứ tự các ẩn cơbản cũng theo thứ tự đó

Các ẩn Xỉ, X(5là các ẩn giả; x4 là ẩn phụ của bài toán

Chủ ỷ: N ếu ta ký hiệu D là miền phương án của (2.7) và D (M) là

miền phương án của (2.8) thì rõ ràng là: D c D (M) và hai bài toán (2.7)

và (2.8) tương đương nhau trên miền D

40 Giảo trình Q uy hoạch tuyến tính

2.2 TH UẬT TO ÁN ĐƠN HÌNH

2.2.1 Các bước tiến hành

Giai đoạn 1: Bằng cách nào đó đi đến một đinh xo° của D

Giai đoạn 2: Kiểm tra xem Xị° (i = 0) đạt tối ưu hay chưa?

- Nếu X ị° (i = 0) là nghiệm tối ưu thì thuật toán dìmg

- Ngược lại, làm tiếp:

+ Nếu bài toán vô nghiệm thì thuật toán dừng

+ Nếu không ( X j ° chưa phải là nghiệm tối ưu) thì đi đến x ° +l kề

với x° m à f ( x (0+l) > f ( x ,° )

- i:= i+1 trở về giai đoạn 1

2.2.2 C ơ sở toán học của thuật toán

Đ ịnh lý 1: (Dấu hiệu tối ưu thứ nhất)

Nếu A j < 0 , Y/ = m + 1, n thì phư ơng án cơ bùn Xo là tối ưu Chứng minh:

Từ định lý 1 với A < 0, V/ = m + ì,n ta suy ra:

f ( x a) < f ( x ) , Vx e D (miền phương án)

Vậy Xo là phương án cơ bản tối ưu

Dấu hiệu tối ưu này là tổng quát, đúng cho mọi bài toán QHTT(không suy biến và suy biến)

Đ ịnh lý 2: (Trường họp bài toán QHTT vô nghiệm)

Để đảm bảo tính chất tổng quát, ta cho ẩn không cơ bản x q > 0 ,

các ẩn không cơ bản còn lại đều cho bằng 0 Khi đó bài toán (2.4) có dạng:

Chương 2: P hương p h á p đơn hình 41

Tìm X = (X,.x 2 x n ) thỏa mãn:

(1) x l > 0 , V / = 1, /7

(3 ) f ( x ) = f ( x ữ) ~ A (/x (/ -> min

Vì x q > 0 , À > 0 nên f ( x 0) > f ( x ) phương án c ơ bản X() không

- Với những i m à a = 0, bât đăng thức (2.10) nghiệm đúng với

mọi giá trị X( > 0, tức là X không bị chặn trên, nên f (x) của (2.9) không

bị chặn dưới

L

- Với những i m à a < 0 , thì từ (2.10) ta đươc: X > — , X cũng

«/

không bị chặn trên, do đó f(x) cũng không bị chặn dưới.

N hư vậy trong cả hai trường hợp ta thấy hàm mục tiêu f(x ) đều

không bị chặn dưới Chứng tỏ bài toán đã cho vô nghiệm

Định lý 3:

Gia s ử lập J ' ± ệ Nếu Vý J +, 3i : a fl > 0 , thì cỏ thể tìm ãưực

m ột p h ư ơ n g án c ơ bản m ới X 0 tốt hơn Xo, tức là f ( x 0) < f ( x 0 )

C hứng minh:

Với quan niệm như đã chứng minh ở định lý 2, ta lấy tuỳ ý một chỉ

số h e J + và lập bài toán dạng (2.9) và thay thế q = h.