Bài toán truyền nhiệt và lời giải trong phần mềm mathematica

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— ĐỖ THỊ TÂM BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT VÀ LỜI GIẢI TRONG PHẦN MỀM MATHEMATICA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG-NĂM 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— ĐỖ THỊ TÂM BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT VÀ LỜI GIẢI TRONG PHẦN MỀM MATHEMATICA Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG ĐÀ NẴNG-NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiện cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Đỗ Thị Tâm LỜI CẢM ƠN Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Tốn giải tích với đề tài “ Bài tốn truyền nhiệt lời giải phần mềm Mathematica” kết q trình cố gắng khơng ngừng thân giúp đỡ, động viên khích lệ thầy, bạn bè đồng nghiệp người thân Qua trang viết tác giả xin gửi lời cảm ơn tới người giúp đỡ thời gian học tập - nghiên cứu khoa học vừa qua Tơi xin tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc thầy giáo TS Lê Hải Trung trực tiếp tận tình hướng dẫn cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho luận văn Xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo, tất thầy khoa Tốn trường Đại học Đà Nẵng tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt cơng việc nghiên cứu khoa học Cuối xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, Ban giám hiệu Trường THPT Pleiku, Lớp toán K31 gia đình giúp đỡ tơi q trình học tập thực Luận văn Tác giả luận văn Đỗ Thị Tâm Mục lục MỞ ĐẦU Dẫn nhập Mathematica Dẫn nhập Mathematica 1.1 Một số kí hiệu Mathematica 4 1.2 1.3 Cách khai báo hàm số 1.2.1 Khai báo hàm giá trị thực, biến thực 7 1.2.2 1.2.3 Vẽ đồ thị 10 1.3.1 1.3.2 1.4 1.5 Khai báo hàm thực biến véc-tơ Khai báo hàm giá trị véc-tơ Vẽ đồ thị mặt phẳng không gian ba chiều 10 Lệnh ListPlot 11 Các giới hạn 12 Đạo hàm, vi phân, nguyên hàm, tích phân 12 1.5.1 1.5.2 Tính đạo hàm cấp n 12 Tính đạo hàm hàm véc-tơ 13 1.6 1.5.3 Tính nguyên hàm hàm,tích phân 14 Giải phương trình hệ phương trình 15 1.7 1.6.1 Giải phương trình vi phân 17 Làm việc với ma trận 17 1.7.1 Cách cho ma trận 17 1.7.2 Khai báo ma trận biết trước phần tử 18 1.8 1.7.3 1.7.4 Khai báo ma trận biết trước cỡ ma trận 19 Khai báo ma trận đặc biệt 19 1.7.5 1.7.6 Phương trình ma trận 19 Các hàm với ma trận 19 1.7.7 Tạo ma trận với tính chất cho trước 20 Các vòng lặp 20 1.8.1 1.8.2 Vòng lặp Do 20 Vòng lặp dạng For,Vòng lặp While, Lệnh If 21 Bài toán truyền nhiệt 22 2.1 2.2 Xây dựng toán truyền nhiệt 22 Nghiệm phương trình truyền nhiệt 23 2.3 2.4 Bài toán Cauchy 26 Nghiệm toán Cauuchy 27 2.5 2.6 Bài tốn khơng 28 Nghiệm tốn khơng 29 2.7 2.8 Nguyên lý cực đại mạnh phương trình truyền nhiệt 31 Nguyên lý cực tiểu mạnh phương trình truyền nhiệt 33 2.9 Định lý nghiệm toán đầu 34 2.10 Nghiệm tổng quát toán truyền nhiệt với n = 36 2.11 Nghiệm toán giá trị ban đầu với n = 37 2.12 Công thức Poisson 43 Lời giải toán truyền nhiệt Mathematica 49 3.1 Lời giải toán truyền nhiệt R 49 3.2 3.3 Lời giải toán truyền nhiệt R2 53 Lời giải toán truyền nhiệt R3 58 3.4 3.5 Lời giải toán truyền nhiệt R4 Lời giải toán truyền nhiệt R5 Tài liệu tham khảo 65 74 86 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán truyền nhiệt vấn đề tiêu biểu " Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng " Ý nghĩa toán truyền nhiệt thể việc miêu tả tiêu tán nhiệt, nhiều trình tiêu tán khác, tiêu tán hạt lan truyền phản ứng tế bào thần kinh Với tính chất quan trọng trên, toán thu hút quan tâm đặc biệt nhà Toán học khoa học giới Kevorkian.J(2000), Lawrence C., Svesnhikop A.G., Bolgoliubov A.N., Krapxop V.V(2004 ), Tikhonop A,N.,Samarxki A.A, Titchmars E.(2000), Glusko V.P(2002), Diakonop V(2001), Một điều dễ nhận thấy cơng trình tác giả nêu thiếu vắng sợi dây liên hệ phần mềm toán học (Mathematica, Matlap, Maple, Matcad )trong việc mô tả dáng điệu nghiệm toán truyền nhiệt việc sử dụng phần mềm để đưa lời giải cho tốn cách nhanh chóng xác Phần mềm Mathematica Stephen Wolfram, nhà vật lý học người Anh viết vào năm 1988, hệ thống nhằm thực tính tốn tốn học máy tính điện tử khơng ngừng nâng cấp phát triển công ty Wolfram Research Việc đưa phần mềm Mathematica thành môn chương trình giảng dạy khoa Tốn thực nhiều nước Châu Âu, điển hình Liên Bang Nga,Pháp, Đức công cụ hữu hiệu cho nhà Tốn học nói riêng nhà khoa học nói chung Khơng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng cịn coi phần mềm hàng đầu cho môn như: Lý thuyết xác suất thống kê, Đại số tuyến tính Trong [4] toán truyền nhiệt giải R, R2 R3 Tuy nhiên thực tế cho thấy có nhiều tốn đặt u cầu phải giải R4 R5 Nhằm mục tiêu tìm hiểu giải tốn truyền nhiệt R4 R5 với gợi ý giáo viên hướng dẫn TS Lê Hải Trung, lựa chọn đề tài " Bài toán truyền nhiệt lời giải phần mềm Mathematica " cho luận văn thạc sĩ Mục tiêu Hệ thống lại kiến thức liên quan đến toán Truyền nhiệt Chứng minh lại cách chi tiết định lý liên quan đến toán truyền nhiệt Nghiên cứu giải tốn truyền nhiệt lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Ứng dụng phần mềm Mathematica để giải toán truyền nhiệt R4 R5 Phương pháp tiếp cận Nghiên cứu cách giải toán truyền nhiệt phương diện lý thuyết Tổng hợp kết tốn truyền nhiệt với việc tìm nghiệm toán R, R2 R3 Xây dựng hướng giải R, R2 , R3 , R4 R5 Phương pháp nghiên cứu Trong cấu trúc luận văn kiến thức khai thác thuộc lĩnh vực Giải tích, Phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng, Phần mềm Mathematica Đối tượng phạm vi nghiên cứu 5.1 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu toán truyền nhiệt 5.2 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu toán truyền nhiệt R4 R5 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo dành cho sinh viên nghành toán đối tượng quan tâm đến tốn tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt ứng dụng phần mềm Mathematica cho lời giải phương trình Truyền nhiệt Chương Dẫn nhập Mathematica Nội dung chương có tham khảo tài liệu tương ứng với danh mục [1], [5], [6], [7], [8] 1.1 Một số kí hiệu Mathematica -Option bạn đọc tham khảo thẻ Help - Mathematica phân biệt chữ hoa, chữ thường, hàm bắt đầu chữ hoa - Các biến theo hàm đặt ngoặc vng, cú pháp hình thức sau Hàm [expr] Có thể lấy ví dụ Cos[x], Sin[x] - Để thực câu lệnh cho kết ta dùng tổ hợp phím "Shift + Enter" - Để kết thúc câu lệnh ta đặt dấu chấm phẩy (;), khơng có dấu (;) kết hiển thị bên - Lệnh N [expr] dùng để hiển thị kết thành số thập phân Ví dụ 1.1 Nếu bạn gõ Cos[1] kết hiển thị Cos[1], bạn gõ N [Cos[1], 6] kết 0.540302 - Khơng chạy nhiều chương trình lúc biến 84 l [ a222a, f 0222a [x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , t] , u0222a [x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ] , u222a [x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , t ] {0, 0} Vậy nghiệm toán u [x1, x2, x3, x4, x5, t] = e4t + x3 + x4 + e−625t Sin [x1] +e−625t Sin [3x2] − e−625t Sin [x5] 85 KẾT LUẬN Bài toán truyền nhiệt vấn đề tiêu biểu "Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng" Ý nghĩa tốn truyền nhiệt thể việc miêu tả tiêu tán nhiệt, nhiều trình tiêu tán khác, tiêu tán hạt lan truyền phản ứng tế bào thần kinh Với tính chất quan trọng trên, tốn thu hút quan tâm đặc biệt nhà Toán học Đề tài “Bài toán truyền nhiệt lời giải phần mềm Mathematica” thực số vấn đề sau: Giới thiệu tổng quát Mathematica như: Một số kí hiệu Mathematica; Cách khai báo hàm số mới; Vẽ đồ thị; Đạo hàm, vi phân, nguyên hàm, tích phân Phương trình khuếch tán; nêu định lý; Giá trị max nghiệm phương trình nhất; cách giải tốn Truyền nhiệt; Cơng thức Poisson; ví dụ cụ thể Tổng hợp kết tốn truyền nhiệt với việc tìm nghiệm toán R, R2 R3 Ứng dụng phần mềm Mathematica để giải toán truyền nhiệt R4 R5 Có thể sử dụng đề tài tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Tốn đối tượng có chun ngành liên quan Mặc dù cố gắng hoàn thiện luận văn nghiêm túc nỗ lực lớn nhất, nhiên luận văn không tránh khỏi vài thiếu sót Tác giả mong góp ý quý Thầy, Cô bạn để luận văn tốt 86 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Minh Chương (2001) Phương trình đạo hàm riêng Nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Thừa Hợp (2001) Giáo trình phương trình đạo hàm riêng Hà Nội Đại học Quốc gia [3] Nguyễn Mạnh Hùng(2009) Phương trình đạo hàm riêng Nhà xuất Đại học Sư phạm [4] Huỳnh Thị Thúy Phượng (2012) Bài toán truyền nhiệt ứng dụng phần mềm Mathematica cho toán truyền nhiệt R, R2 R3 Luận văn thạc sĩ khoa học Đại học Đà Nẵng [5] Lê Hải Trung, Lê Văn Dũng (2001) Ứng dụng phần mềm Mathematica cho lời giải toán truyền nhiệt mặt phẳng TCKH CN Đại học Đà Nẵng Số 6(47), [6] Trần Đức Vân (2004) Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng Hà Nội Đại học Quốc gia [7] Lawrence C.Evans (1998) Partial Differential Equations American Mathematica Society [8] Kevorkian, J (2000) Partial Differential Equations Analytical Solution Techniques New York Springer-Verlag ... Lời giải toán truyền nhiệt Mathematica 49 3.1 Lời giải toán truyền nhiệt R 49 3.2 3.3 Lời giải toán truyền nhiệt R2 53 Lời giải toán truyền nhiệt R3 58 3.4 3.5 Lời giải. .. hệ phần mềm toán học (Mathematica, Matlap, Maple, Matcad )trong việc mô tả dáng điệu nghiệm toán truyền nhiệt việc sử dụng phần mềm để đưa lời giải cho tốn cách nhanh chóng xác Phần mềm Mathematica. .. toán truyền nhiệt Nghiên cứu giải toán truyền nhiệt lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Ứng dụng phần mềm Mathematica để giải toán truyền nhiệt R4 R5 Phương pháp tiếp cận Nghiên cứu cách giải toán