Ứng dụng hàm bessel giải các bài toán truyền sóng và truyền nhiệt

LỜI CẢM ƠN Trƣớc tiên xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô giáo khoa Toán - Lý - Tin nói chung thầy cô giáo môn Vật lý Lý thuyết & Chất rắn nói riêng tận tình giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức, kinh nghiệm quý báu suốt thời gian qua Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn đến TS Khổng Cát Cƣơng, ngƣời tận tình giúp đỡ, bảo, hƣớng dẫn suốt trình làm khóa luận Trong thời gian làm việc với thầy, tiếp thu đƣợc nhiều kiến thức bổ ích mà học tập đƣợc tinh thần làm việc, thái độ nghiên cứu khoa học nghiêm túc, hiệu quả, điều cần thiết cho trình học tập công tác sau Với vốn kiến thức nhiều hạn chế, chƣa có nhiều kinh nghiệm lĩnh vực nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy cô bạn bè để khóa luận đƣợc hoàn thiện Sau xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, đóng góp ý kiến giúp đỡ trình học tập, nghiên cứu hoàn thành khóa luận Sơn La, tháng năm 2015 Ngƣời thực Phạm Thị Trang MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Đối tƣợng mục đích nghiên cứu 2.1 Đối tƣợng nghiên cứu 2.2 Mục đích nghiên cứu Giới hạn phạm vi nghiên cứu 3.1 Giới hạn đối tƣợng 3.2 Giới hạn khách thể Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu 5.1 Nhóm phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết 5.2 Nhóm phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn Đóng góp khóa luận PHẦN II NỘI DUNG CHƢƠNG 1: XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH BESSEL VÀ HÀM BESSEL 1.1 KHÁI NIỆM HÀM BESSEL 1.2 CƠ SỞ CHO VIỆC XÂY DỰNG HÀM BESSEL, PHƢƠNG TRÌNH HÀM BESSEL 1.2.1 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel 1.2.2 Phƣơng trình hàm Bessel: 11 1.3 TÍNH TRỰC GIAO CỦA HÀM BESSEL 12 1.4 CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BESSEL 13 1.4.1 Khai triển hàm tùy ý vào hàm Bessel 13 1.4.2 Đa thức Legendre 14 1.4.3 Hàm cầu 18 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG HÀM BESSEL GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRUYỀN SÓNG 23 2.1 Bài toán 23 2.2 Phƣơng pháp giải toán 24 2.3 Các tập áp dụng 30 2.3.1 Bài tập 30 2.3.2 Bài tập 32 2.3.3 Bài tập 34 2.3.4 Bài tập 35 2.3.5 Bài tập 40 CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG HÀM BESSEL GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT 44 3.1 Bài toán 44 3.2 Phƣơng pháp giải 45 3.3 Các tập áp dụng 49 3.3.1 Bài tập 49 3.3.2 Bài tập 51 3.3.3 Bài tập 52 3.3.4 Bài tập 54 3.3.5 Bài tập 56 3.3.6 Bài tập 59 PHẦN KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các phƣơng pháp toán học dùng cho vật lí học đại phong phú gồm khối lƣợng lớn phần nhƣ: hàm thực, hàm biến phức, phƣơng trình vi phân, phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính… Trong trình học môn phƣơng trình Vật lý-Toán sinh viên đƣợc làm quen với số hàm đặc biệt nhƣ: hàm Lagrang, hàm Bessel Tuy nhiên việc tìm hiểu sâu vào tính chất, đặc điểm hàm nhiều hạn chế thời gian tiếp thu kiến thức sinh viên lớp chƣa đƣợc nhiều.Trong trình giải toán, bên cạnh tƣ vật lý đòi hỏi sinh viên kĩ giải tích toán học, đặc biệt việc giải phƣơng trình vi phân việc củng cố nâng cao kỹ toán học sinh viên quan trọng Quá trình giải toán trình truyền sóng truyền nhiệt sinh viên bƣớc đầu đƣợc làm quen với số phƣơng pháp nhƣ: phƣơng pháp tách biến, phƣơng pháp đặt biến phụ…, việc chọn hệ tọa độ tách biến phụ thuộc vào hình dạng vật, vật có hình dạng trụ tròn việc giải toán hệ tọa độ trụ dẫn đến phƣơng pháp giải đơn giản nhất, giải phƣơng trình truyền sóng truyền nhiệt có dạng hình tròn hình trụ, phƣơng pháp tách biến dẫn đến phƣơng trình vi phân có liên quan đến hàm Bessel Với số dạng toán giải phƣơng pháp tách biến Fourier, phƣơng pháp biến đổi Laplace, việc tìm nghiệm gặp khó khăn giải phức tạp Học phần phƣơng pháp toán-lý có tập tƣơng đối khó, liên quan đến phép lấy đạo hàm riêng, phƣơng trình vi phân Cụ thể tập phần truyền sóng truyền nhiệt có phƣơng pháp giải nhƣ: phƣơng pháp tách biến Fourier, phƣơng pháp biến đổi Laplace, phƣơng pháp hàm Green, hàm Bessel Mỗi phƣơng pháp có ƣu điểm hạn chế riêng Đối với số toán biên nhiều chiều sử dụng phƣơng pháp tách biến Fourier hay phép biến đổi Laplace toán giải khó khăn Ta sử dụng hàm Bessel vào giải toán biên phƣơng trình truyền sóng truyền nhiệt việc tìm nghiệm toán đơn giản nhiều Phƣơng pháp sử dụng hàm Bessel để giải toán truyền sóng truyền nhiệt phƣơng pháp khó, nhiên lại đƣợc áp dụng hiệu vào việc giải toán biên nhiều chiều Nhƣng sách lý thuyết thƣờng đề cập đến phƣơng pháp này, không đƣa tập cụ thể, làm sinh viên gặp khó khăn việc áp dụng Yêu cầu bổ sung phƣơng pháp giải hiệu toán truyền sóng truyền nhiệt cho học phần phƣơng pháp toán lý cần thiết Với lý chọn đề tài: “Ứng dụng hàm Bessel giải toán truyền sóng truyền nhiệt” Đối tƣợng mục đích nghiên cứu 2.1 Đối tƣợng nghiên cứu Sử dụng hàm Bessel vào việc giải toán trình truyền sóng truyền nhiệt 2.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở toán học cho hàm Bessel Sử dụng hàm Bessel vào việc giải toán trình truyền sóng, truyền nhiệt Giới hạn phạm vi nghiên cứu 3.1 Giới hạn đối tƣợng - Các toán trình truyền sóng, truyền nhiệt - Các sở toán học phƣơng trình Bessel hàm Bessel 3.2 Giới hạn khách thể Nghiên cứu sử dụng hàm Bessel vào việc giải toán trình truyền sóng truyền nhiệt Nhiệm vụ nghiên cứu - Để tìm nghiệm toán truyền sóng truyền nhiệt - Tìm hiểu tính chất hàm Bessel - Đặt toán tổng quát trình truyền sóng truyền nhiệt có dạng hình tròn hình trụ - Thông qua việc áp dụng hàm Bessel giải phƣơng trình truyền sóng truyền nhiệt cụ thể có hình dạng phức tạp Phƣơng pháp nghiên cứu 5.1 Nhóm phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết Sử dụng kiến thức Vật lý-Toán, giải tích, phân tích, tổng hợp 5.2 Nhóm phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn Tìm tòi, thu thập, phân tích, tổng hợp tài liệu có liên quan Đóng góp khóa luận - Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên - Góp phần nâng cao kết học tập phần phƣơng trình Vật lý-Toán cho sinh viên PHẦN II NỘI DUNG CHƢƠNG XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH BESSEL VÀ HÀM BESSEL 1.1 KHÁI NIỆM HÀM BESSEL Ta xét trình sóng không gian, đặc biệt phân bố dừng chúng đƣợc mô tả phƣơng trình Laplace Phƣơng trình sóng đồng ba chiều có dạng:  2u  2u  2u  2 u  a    (2.1)  2 t  x  y z   Phƣơng trình truyền nhiệt vật thể đồng chất có dạng: u  2u  2u  2 u  a     (2.2) t y z   x Trong trƣờng hợp hàm u  u  x, y, z  không phụ thuộc vào t  2u  , ta có phƣơng trình Laplace: t  2u  u  u    (2.3) x y z Hay u  với u  u  x, y, z  Ta chuyển sang tọa độ trụ, cách đặt:  x  r cos    y  r sin   zz  Khi ta đƣợc hàm u toán tử Laplace cho tọa độ trụ là: u  u  r , , z    u   2u  2u  Và u  r   r r  r  r  z Phƣơng trình Laplace tọa độ trụ có dạng: u 0 t   u   2u  2u  0 r   r r  r  r  z (2.4) Bằng phƣơng pháp tách biến, ta đặt: u  r, , z   V  r, z     Thay vào phƣơng trình (2.4), ta đƣợc:    V r r r  r  2V  V   0  2 z  r  (2.5) r2 Ta nhân phƣơng trình (2.5) với , ta đƣợc: V r   V  r  2V "  r  V r  r  V z  (2.6) Ta thấy phƣơng trình (2.6) có vế trái không phụ thuộc vào  , vế phải không phụ thuộc vào r z, hai vế phƣơng trình phải số đặt v , nghĩa là: r   V  r  2V "   v2 r  V r  r  V z  (2.7) Từ ta có hệ phƣơng trình:   "    v       r   V  r  2V V r  r r   V z  v     Nhân phƣơng trình thứ hai với V , ta đƣợc hệ phƣơng trình: r2   "    v         V   2V v  r r  r r   z  r V     (2.8) (2.9) Với phƣơng trình (2.8), ta có nghiệm   A cos v  B sin v Còn phƣơng trình (2.9), tiếp tục dùng phƣơng pháp tách biến để giải toán cách đặt V  r , z   R  r  Z  z  vào phƣơng trình (2.9), ta đƣợc: Z   R  v2 " r   RZ  RZ  r r  r  r (2.10) Nhân (2.10) với , ta đƣợc: RZ   R  v Z" r        rR r  r  r Z (2.11) Cũng tƣơng tự nhƣ trên, ta đặt số vế phải vế trái phƣơng trình (2.11)  Từ đây, ta có hệ phƣơng trình:  Z "   2Z      R  v2  rR r  r r     r     Nhân phƣơng trình thứ hai với R, ta đƣợc hệ phƣơng trình:  Z "   2Z      R   v   r r  r r      r  R       (2.12) (2.13) với phƣơng trình (2.12), ta có nghiệm Z  z   Cchz   Dshz  Còn với phƣơng trình (2.13), ta biến đổi đại lƣợng   R   dR d R  d R dR v    r  r r  r  r  dr r  dr r dr thay vào phƣơng trình (2.13), ta đƣợc phƣơng trình sau đây: d R dR  v      R  dr r dr  r  (2.14)  x  r Từ phƣơng trình (2.14), ta biến đổi tiếp cách đặt  R  r   R  x  Ta đƣợc hệ phƣơng trình: d R dR  v    1   R  dx x dx  x  (2.15) Phƣơng trình (2.15) đƣợc gọi phƣơng trình Bessel tọa độ trụ Một cách tổng quát hơn, ta có: Phƣơng trình Bessel: x y"  xy '   x  v  y  v số Nghiệm phƣơng trình Bessel xác định hàm, ta gọi hàm Bessel Nó phƣơng trình vi phân thông thƣờng hạng hai có hệ số thay đổi Nghiệm đƣợc gọi hàm Bessel Vì đóng vai trò quan trọng việc mô tả trình vật lý xảy miền hình trụ, có tên hàm trụ 1.2 CƠ SỞ CHO VIỆC XÂY DỰNG HÀM BESSEL, PHƢƠNG TRÌNH HÀM BESSEL 1.2.1 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel Hàm Bessel đƣợc biểu diễn dƣới dạng nghiệm hàm Bessel có liên quan nhiều đến lý thuyết chuỗi nhƣ : chuỗi Fourier, chuỗi lũy thừa… Bên cạnh có điều kiện hội tụ, tích phân suy rộng, hàm Garma….Chúng làm sở cho việc xây dựng hàm Bessel Phƣơng trình Bessel phƣơng trình có dạng: x y"  xy '   x  v  y  (2.16) Trong v số Phƣơng trình Bessel có điểm kỳ dị x=0 Vì thế, ta tìm nghiệm riêng phƣơng trình dƣới dạng chuỗi:  y  x   ak x k ;  ao   (2.17) k 0 Đặt chuỗi (2.17) vào phƣơng trình (2.16) ta có:        a0 x0     12   a1x  1      k 2   ak  ak 2 x  k    k 2  (2.18) Chuỗi (2.18) không hệ số x không Tức là:    a0  (2.19)    12   a1x  1  (2.20)      k 2   ak  ak 2  (2.21)   Từ (2.19) suy     Nhân sin(n ) vào (3.12), với t=0, lấy tích phân ta đƣợc: Bmnk r0  L mz (n)  rf (r, ,z)sin(n  )sin( )J n ( k r)drddz (3.14)    (n) L r0 Lr0  J n 1  k  0 (với n  n ) 1 n=0 Với  n   2 n  3.3 Các tập áp dụng 3.3.1 Bài tập Tìm nhiệt độ ống trụ dài vô hạn với tiết diện hình tròn, biết nhiệt độ điểm cách trục ống khoảng Bề mặt ống trụ trì nhiệt độ không nhiệt độ ban đầu: u(r,0)=f(0) Giải: Vì điểm cách trục ống khoảng nhƣ có nhiệt độ ống dài vô hạn nên hàm nhiệt độ phụ thuộc vào bán kính r thời gian t: u(r,t) Phƣơng trình truyền nhiệt tọa độ trụ hàm u(r,t) là: u u  u a (  ) (3.15) t r r r Hàm nhiệt độ ống trụ nghiệm phƣơng trình (3.15) thỏa mãn điều kiện:  Điều kiện biên: u(r0 , t)  (với r0 bán kính ống trụ)  Điều kiện ban đầu: u(r,0)  f (r ) Phân tích hàm u(r,t) thành tích hàm R(r) thời gian T(t) u(r,t)=R(r)T(t) nhiệt độ không phụ thuộc vào z góc  nên:  Z(z)  Z(z)       (     ( ) Thay (3.16) vào phƣơng trình (3.15) ta đƣợc hệ phƣơng trình: T(t)  rR(r)    (3.17) Với  số a 2T(t) R(r) r 49 Xét phƣơng trình thứ hai hệ phƣơng trình (3.17), phƣơng trình Bessel cấp không: x 2R(x)  xR(x)  x 2R(x)  Với x   r Nghiệm phƣơng trình: R(r)   J ( r)   ( r) tính chất hữu hạn nghiệm nên   Vậy hàm R(r) đƣợc xác định: R(r)  J ( r) kết hợp (3.16) điều kiện biên, suy ra: u(r0 , t)  R(r0 )T(t)   R(r0 )  đặt     R(r)  J (r) áp dụng điều kiện biên:  (0)  (0) R(r0 )  J (r0 )   k   k  nên R(r)  J ( k r) r0  r0  Phƣơng trình T  a 2T  có nghiệm: T(t)  Tk (t)  eka t với k=1,2,3… 2 nghiệm phƣơng trình (3.15) là: u k (r, t)  J (k r)eka t 2 Nghiệm tổng quát:  u(r, t)   A k J (0r)ek a t 2 k 1 Áp dụng điều kiện ban đầu:  u  r,0    k J  k r   f  r  k 1 Theo tính trực giao hàm Bessel, hệ khai triển đƣợc tính theo công thức: r k  2 rf  r  J  0 r  dr r0 J1  k r0  0 (3.19) Nhiệt độ điểm ống trụ đƣợc xác định theo (3.18) với hệ số khai triển đƣợc xác định theo (3.19) 50 3.3.2 Bài tập Tìm nhiệt độ ống trụ dài vô hạn có bán kính r   r  r0 ;0    2  nhiệt độ ban đầu có dạng u t 0  f  r,  Biết nhiệt độ bề mặt hình trụ trì nhiệt độ không Giải: Vì ống trụ dài vô hạn nên nhiệt độ không phụ thuộc vào z Phƣơng trình xác định nhiệt độ: u u     u  a  r   2  t  r r  r  r   (3.20) nhiệt độ ống trụ đƣợc xác định giải phƣơng trình (3.20), với điều kiện biên: u  r0 , , t   điều kiện ban đầu: u t 0  f  r,  Hàm u  r, , t  dƣới dạng tích hàm R(r),    ,T  t  u  r, ,t   R  r      T  t  (3.21) Z''  z  nhiệt độ không phụ thuộc vào z nên:    Z z thay (3.21), vào (3.20), ta đƣợc: '' T'  t   rR  r           a 2T  t  R  r  r r    ' '   áp dụng công thức nghiệm (3.12), ta có nghiệm phƣơng trình (3.20), là: n   u  r, , t    J n  k r   nk cos  n   Bnk sin  n   e k 0 n 0  r0      n    k  a t  r0    (3.22) Điều kiện ban đầu:  kn   u t 0  f  r,    f  r,     J n  r   A nk cos  n   Bnk sin  n   (3.23) r k 0 n 0     51 Nhân cos  n  vào (3.23), lấy tích phân ta đƣợc: nk    r  J n 1 k    n  kn   0 rf  r,  cos  n J n  r0 r  drd   n0  n  (3.24) Nhân sin  n  vào (3.23), lấy tích phân ta đƣợc: Bnk    n r  J n 1 k    kn   rf  r,   sin  n  J n  r drd   r  00    n 2 (3.25) Vậy nhiệt độ ống trụ dài vô hạn đƣợc cho toán biểu diễn (3.22), với hệ số khai triển đƣợc tính theo (3.23) (3.25) 3.3.3 Bài tập Tìm nhiệt độ ống quạt trụ dài vô hạn có mặt cắt hình quạt với bán kính r0   r  r0 ;0    0  nhiệt độ ban đầu có dạng u t 0  f  r,  biết bề mặt trụ phần mặt phẳng hình quạt trì nhiệt độ không Giải Vì chiều dài ống trụ vô hạn nên nhiệt độ ống trụ không phụ thuộc vào tọa độ z Phƣơng trình truyền nhiệt tọa độ trụ hàm nhiệt độ: u  2u     u  a  r   2  t r  r  r  r    (3.26) Phƣơng trình (3.26), đƣợc giải với điều kiện: Điều kiện biên: u  r0 , , t   u  r,0, t   u  r, 0 , t   Điều kiện ban đầu: u t 0  f  r,  Hàm u  r, , t  dƣới dạng tích hàm: u  r, , t   R  r     T  t  thay vào phƣơng trình (3.26), ta đƣợc: '' T'  t   rR  r           a 2T  t  R  r  r r    ' ' suy ra:  rR (r)  ()       R(r) r r ()  T(t)  a T(t)  52 (3.27) Ta xét phƣơng trình thứ hệ (3.27), lý luận tƣơng tự tập suy ra:  Z(z)  Z(z)       ()  n   () với n số tự nhiên Từ phƣơng trình xét dẫn đến hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng:  ()  n ()   " 2   x R (x)  xR(x)   x  n  R  x   theo điều kiện biên ban đầu: u  r0 , , t    R  r0   u  r,0, t   u  r, 0 , t          0   Xét phƣơng trình: ''    n 2    phƣơng trình có nghiệm     Acos  n  Bsin  n  Áp dụng điều kiện biên:      A    0    sin  n0    n  Xét phƣơng trình: x 2R ''  x   x.R '  x    x  n  R  x   phƣơng trình Bessel cấp n, phƣơng trình có nghiệm R  r   n J n    r  pn  n   r tính giới hạn nghiệm nên pn=0 nên R  r   n J n Áp dụng điều kiện biên: R  r0   n J n    r0  gọi m  nghiệm phƣơng trình J n  x   n     nm  mn       r0  53   r  k 0  mn   R  r   n J n  r  r   đó: với trị riêng  nm phƣơng trình thứ hệ phƣơng trình (3.27), có nghiệm riêng: T  t   Tnk  t   e   n    m  a t  r0    nghiệm riêng phƣơng trình (3.26): n   u nk  r, , t   sin  n.  J n  m r  e  r0    n    m  a t  r0    Với n  k 0 nghiệm tổng quát: u  r, , t   n  m   m  A sin J  mk    m  r r e k,m 1   0      n    m a  t  r0    (3.28) Điều kiện ban đầu:  mn    m  u t 0  f  r,     A mk sin  r   J m   r m,k 1   0    (3.29)  m  Nhân sin   vào vế phƣơng trình (3.29), lấy tích phân từ  2 ta  0  đƣợc:  mn    m  0  A mk J m  r  0 f  r, .sin  0 .d   k 1 0  r0  2 Theo tính trực giao hàm Bessel suy ra: mk  n m  m   rf  r,   sin J m  r  drd    r  00 0     r0   n 0 r02  J m m   0 1   (3.30) 3.3.4 Bài tập Tìm nhiệt độ hình trụ tròn dài vô hạn, biết mặt xung quanh giữ nhiệt độ không đổi u0 Nhiệt độ ban đầu hình trụ u t 0  f  r,  54 Giải Hàm biểu diễn nhiệt độ hàm phụ thuộc vào r, t u  ur , , t  Phƣơng trình truyền nhiệt: u  2u     u  a   r   2  (3.31) t  r r  r  r   Hàm u(r, , t) đƣợc tìm phƣơng trình (3.31) phải thỏa mãn: Điều kiện biên: u(r0 , , t)  u Điều kiện ban đầu: u t 0  f (r, ) mặt xung quanh đƣợc giữ nhiệt độ u , nên nhiệt độ hình trụ phân tích thành: u(r, , t)  w(r, , t)  u0 hàm w(r,  ,t) thỏa mãn phƣơng trình:   w w 2w   a2  ( ) t r 2   r r r (3.32) w(r0,, t)  Điều kiện biên: điều kiện ban đầu: u t 0  f (r, )  u Phƣơng trình (3.32), đƣợc giải tƣơng tự nhƣ tập 2, nghiệm phƣơng trình là: ( (n) k w(r, , t)   J n ( r)(A nk cos(n )  Bnk sin(n ))e r0 k 0 r 0   (kn ) 2 ) a t r0 với hệ số khai triển xác định theo biểu thức: A nk = B nk r0  n r0  J n 1 ( k (n) )    r(f(r, )  u )cos(n ) J n ( 0 r0  (n) k r) drd  r0 (n) = r(f (r, ) u )sin(n ) J n ( k r)drd   r0  r0  J n 1 ((n) k  0 55 Vậy nhiệt độ ống trụ là: ( (n) u(r,  ,t)=  J n ( k r)(A nk cos(n )  Bnk sin(nk))e r0 k 0 n 0   (kn ) ).a t r0  u0 3.3.5 Bài tập Tìm nhiệt độ cầu có bán kính r0   r  r0 ;0     ;0    2  nhiệt độ ban đầu có dạng u t 0  f  r , ,  biết mặt cầu trì nhiệt độ không Giải Phƣơng trình có dạng:  u u   u   2u   u  a   sin      r r r r sin    t   r sin         u  r0 , , , t     r  r ;0     ;0    2  u t 0  f  r , ,      (3.44) Các điều kiện: Hàm nhiệt độ miền đƣợc xét phải hữu hạn: u  r , , , t    ; Theo biến  hàm nhiệt độ có tính tuần hoàn u  r , ,  2 , t   u  r , , , t  Chọn nghiệm dƣới dạng tách biến u  r , , , t   R  r Y  , T  t  thay vào phƣơng trình (3.44) ta có: dT  d R dR  1    Y   2Y     sin          2 2 a T dt R  dr r dr  r Y  sin      sin    1   Y   2Y  Đặt    , ta chọn   n  n  1 để có  sin   Y  sin      sin    nghiệm đa thức    Yn   2Yn   sin    sin     sin     n  n  1Yn      (3.45) Chọn Y  ,         thay vào phƣơng trình (3.45) ta có: 56   d  dP  P d 2   sin  d  sin  d   sin  d   n  n  1 P        d  dP  1 d 2 sin    n  n  1     Psin  d  d  sin   d d 2  k , hàm  phải thỏa mãn phƣơng trình  d Chọn "  k    cos k             2        sin k  (3.46) Hàm phụ thuộc  có số k n: d  dP   k2   sin    n  n  1   P  sin  d  d   sin   (3.47) Nghiệm phƣơng trình (3.47) là: k  P  Pn k  P  Pn  x   1  x k 2  d k Pn , k  n; dx k  cos    sin   k d k Pn  cos  d  cos  k Ta thu đƣợc hàm cầu n Yn  ,     Akn cos k  Bkn sin k  Pn m 0 k n  cos    CknYn k   ,  k  n  Akn, m  Ckn    Bkn, m  phƣơng trình T  t  R  r  là: T '  t   a 2 2T t   (3.48) d 2R dR r  r   2r  n  n  1  R  r   dr dr (3.49) 1  1 Ta có: n  n  1  n  n     n    4  2 Đặt  r  x thay vào phƣơng trình (3.49) ta có: 57 d 2R  x dR  x  x  x   x  n  n  1 R  x   dx dx 2 d 2R  x dR  x     1 Hay x  2x  x   n     R x  dx dx     Đặt R  (3.50) K  x dR d 2R , sau tính thay vào phƣơng trình (3.50) ta có: dx dx x d 2K dK dK 1 1  x x  x  K 2 x  K  x xK   n   K K 0 dr dx x dx 2 x x x  Hay      d 2K dK dK 1  x  K  x  K  x  n  K x x      K      dx dx x  dx      d 2K dK 1   x  x  n  Suy x   K  x  dx dx 2  K  r   CJ Nghiệm (3.51) là: Do R  r   K  r  r  n n  n  n  r   DYn  r    CJ n   r   DYn   r   r 2  Điều kiện R    D  hàm Y R  r0   C (3.51)     Thay điều kiện ban đầu ta có J   r0   , đánh số không điểm hàm Beesel r n  n n o , 1 , 2 , , m , , m  0,1,2     nm  m n r0 xác đến hệ số số, hàm theo biến r có dạng  m n   R  r   Rnm  r   J 1 r r n  r0  (3.52) Phƣơng trình theo biến t có nghiệm: T  t   Tnm  t   e Nghiệm tổng quát phƣơng trình (3.44) có dạng 58   n   k a  t  r0     m n  J 1  n n  r  u  r , , t     r n , m 0 k 0     n  r k    a t   r0  k   A   mnk cos k  Bmnk sin k   Pn  cos  e  Trong m  nghiệm phƣơng trình J n n     ; n m Các hệ số Amnk Bmnk đƣợc xác định theo công thức sau: r0  L  Amnk  f  r , ,  0 k r0  L   n  k m r  sin  Pn  sin k drd d 1   n r  2  r02  n  k !  J '  n 1 n k ! n    f  r , ,  Bmnk  r2J r2J 0  m n        n  k m r  sin  Pn  sin k drd d 1  n   r0  2  r02  n  k !  J ' n  n  k !     n     n m    1, k  với  n   2, k  3.3.6 Bài tập Tìm nhiệt độ ống trụ dài vô hạn bán kính r nhiệt độ ống trụ hàm phụ thuộc vào bán kính r thời gian t Biết bề mặt ống trụ cách nhiệt Và nhiệt độ ban đầu ống trụ: u t 0 = f(r) Giải Phƣơng trình truyền nhiệt trƣờng hợp là: u   u   a2  (r ) t  r r r  (3.33) Bài toán đƣợc giải với điều kiện biên: u(r, t) r điều kiện ban đầu: u t 0 r  r0  f (r) 59 0 Hàm nhiệt độ ống trụ dƣới dạng tích phân hai hàm: u(r, t)  R(r)T(t) theo điều kiện biên: u(r, t) r r r0 0 dR dr r r0 0 thay u(r, t)  R(r)T(t) vào (3.33), ta đƣợc: T(t)  rR(r)    Với  số a 2T(t) R(r) r Ta có hai phƣơng trình tƣơng đƣơng:  rR (r)    R(r) r T(t)   a T(t)  (3.34) Phƣơng trình thứ hệ phƣơng trình (3.34), dẫn đến phƣơng trình Bessel cấp không: xR(x)  R(x)  xR(x)  (với x  r ) (3.35) Áp dụng tính chất hữu hạn nghiệm, ta tìm đƣợc nghiệm (3.35) là: R(r)  J ( r) Từ điều kiện biên công thức truy hồi hàm Bessel ta có: dR dr r r0   J(  r)   J1 (  r)  (1)     n  ( n )2 r0 (1) (1) n r) với trị riêng:    n  ( n )2 Nhƣ vậy: R(r)  J ( r0 r0 Phƣơng trình T(t)  a 2T(t)  có nghiệm: T(t)  Tn (t)  e ( (1) n ) a t r0 Nghiệm riêng phƣơng trình (3.35), với điều kiện biên cho là: 60 ( (1) u n (r, t)  J ( n r)e r0 (1) n )2 a t r0 (3.36) ( (1) Nghiệm tổng quát: u(r, t)   A n J ( n r)e r0 n 1  u  r (1) n )2 a t r0 (3.37) (1) (1) n J1 ( n r) t 0    A n r0 r0 n 1  theo điều kiện ban đầu: u t t o  df (r)  f (r) dr Hệ số khai triển đƣợc tính: (1) r A n   (1)  f (r) J1 ( n )rdr r0n r0 r (3.38) Vậy nhiệt độ ống trụ đƣợc tính theo biểu thức (3.36), với hệ số khai triển (3.38) 61 PHẦN KẾT LUẬN Trong khuôn khổ đề: “Ứng dụng hàm Bessel vào việc giải toán trình truyền sóng truyền nhiệt” trình bày vấn đề sau đây: Đặt toán thiết lập phƣơng trình Bessel Tìm hiểu tính chất hàm Bessel Đặt toán tổng quát truyền sóng truyền nhiệt có dạng hình tròn hình trụ Thông qua việc áp dụng hàm Bessel giải phƣơng trình truyền sóng truyền nhiệt cụ thể, ta khái quát tập thành hai dạng: Dạng 1: Bài toán có điều kiện biên không Dạng 2: Bài toán có điều kiện biên khác không Đối với toán dạng việc áp dụng hàm Bessel đơn giản Các toán dạng phức tạp phải ý đến trình lấy nghiệm hàm Bessel theo điều kiện biên Trong giải cần ý đến tính trực giao hàm lƣợng giác, hàm Bessel khai triển chuỗi Fourier Để giải toán nêu đề tài toán khác, việc sinh viên nắm vững phƣơng pháp tách biến quan trọng Trong tập nêu chủ yếu dùng phƣơng pháp tách biến để đến phƣơng trình Bessel Trên trình bày sơ qua hàm Bessel việc vận dụng hàm Bessel để giải tập Nhƣng điều kiện thời gian phạm vi giới hạn đề tài chƣa thể xét hết tất trƣờng hợp Tôi mong muốn có thêm thời gian để nghiên cứu sâu lĩnh vực từ nghiên cứu sử dụng phƣơng pháp cách hiệu 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Đình Trí, Nguyễn Trọng Thái (1976), Phương trình Vật lý – Toán, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội Phan Huy Thiện (1996), Phương trình Toán Lý, NXB Giáo Dục Đỗ Đình Thanh (1996), Phương pháp Toán-Lý, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội Mạnh Tuấn Hùng (2000), Phương pháp Toán-Lý, tủ sách Trƣờng Đại học Vinh Nguyễn Văn Hùng, Lê Văn Trực (2000), Phương pháp Toán cho Vật lý, NXB Đại Học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Thừa Hợp (2001), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Chính Cƣơng (2013), Bài tập phƣơng pháp Toán-Lý, NXB ĐHSP Hà Nội 63 [...]... 2k Với 2n+1 hàm cầu trực giao và chuẩn hóa có thể khai triển hàm f  ,  bất kỳ vào chuỗi các hàm cầu   n f  ,   Yn  ,     Amn cos m  Bmn sin m Pn n 0 n 0 m 0 22 m  cos  CHƢƠNG 2 ỨNG DỤNG HÀM BESSEL GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRUYỀN SÓNG 2.1 Bài toán Một màng tròn mỏng đƣợc căng ra trên một mặt phẳng Oxy, dƣới tác dụng của các kích thƣớc ban đầu, các điểm trên màng sẽ chuyển động... (2.6) Nhƣ vậy bài toán đƣợc xác định dao động của màng (tròn) là việc tìm nghiệm của phƣơng trình (2.1) thỏa mãn các điều kiện biên (2.4) hoặc (2.5) và các điều kiện ban đầu (2.6) và (2.7) 2.2 Phƣơng pháp giải bài toán Xét dao động của màng tròn bán kính L, mép gắn chặt Bài toán dẫn đến việc giải phƣơng trình:  2u  2u 1  2u   x 2 y 2 a 2 t 2 (2.7) Thỏa mãn các điều kiện biên (2.4) và các điều kiện... (2.4), và điều kiện ban đầu (2.6), (2.7) đƣợc giải trọn vẹn 2.3 Các bài tập áp dụng 2.3.1 Bài tập 1 Tìm dao động ngang của màn tròn bán kính L, với các biên gắn chặt, gây ra bởi độ lệch và vận tốc ban đầu đối xứng xuyên tâm Điều kiện ban đầu có dạng: u  r,0   f  r  ; và u t  F r  t 0 Giải: Phƣơng trình dao động của màng:  2u a u  2 t 2 (2.30) Vì các kích thƣớc ban đầu cho ta độ lệch và. .. m  0  Hàm Yn 0    Pn  cos  không phụ thuộc vào  đƣợc gọi là hàm đới, tức là hình cầu chia thành n+1 miền vĩ tuyến, tại đó dấu của hàm đới đƣợc bảo toàn k  Xét hàm Yn  dk   sin k  sin   k Pn  t   trên hàm cầu bởi vì sin   cos k  dt   t cos  k  sin k chuyển bằng không ở trên các cực, các hàm  chuyển bằng không tại các cos k   đƣờng kinh tuyến 2k Với 2n+1 hàm cầu... hai hàm J 0  x  và J1  x  là hai hàm quan trọng nhất trong vật lý, ta biểu diễn chúng dƣới dạng chuỗi nhƣ sau: x2 x4 x6 J 0  x   1  2  2 2  2 2 2  .; 2 2 4 2 4 6  x x2 x4 x6 J1  x   1     .;  2  2  4 2  42  6 2  4 2  6 2  8  1.3 TÍNH TRỰC GIAO CỦA HÀM BESSEL  x Các hàm J  i  trực giao và chuẩn hóa trong đoạn: 0  x  L  L  Tính trực giao thứ nhất của hàm Bessel: ... j    L với i và  j là hai nghiệm dƣơng của phƣơng trình  J  x    xJ'  x   0   1 1.4 CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BESSEL 1.4.1 Khai triển một hàm tùy ý vào các hàm Bessel  x Khai triển một hàm bất kì vào chuỗi các hàm Bessel J  i  với hệ số  L   x khai triển là ai : f  x    ai J  i , v  1,0  x  L  L i 1  Nếu i  i  1,2,3  là nghiệm của phƣơng trình J... hệ nghiệm cơ bản của phƣơng trình (2.16) Đó là : y  C1J  x   C2Y  x  1.2.2 Phƣơng trình và hàm Bessel: a) Phƣơng trình Bessel : là phƣơng trình có dạng: x 2 y"  xy '   x 2  2  y  0 (2.25) Trong đó  là hằng số Nghiệm của phƣơng trình Bessel xác định một hàm, ta gọi đó là hàm Bessel  Hàm Bessel loại I cấp  : 2 k   x  1      2 J  x    k 0 k !   k  1 k (2.26) Thay... dx mn tƣơng ứng trị riêng n  n  n  1 (m=0,1,2, )  n  1,2, ; m  n b) Tính trực giao và chuẩn hóa của các đa thức Legendre: 0, kn    m  m 1 Pn  x Pk  x  dx   2  n  m !; k=n  2n  1  n  m !  1 Pn m  x 2  2  n  m ! 2n  1  n  m ! c) Khai triển một hàm tùy ý vào các hàm Legendre:  f  x    an Pn  x  n o 2n  1 với an  f  d 2 1 1 1.4.3 Hàm cầu Xét... phƣơng trình Bessel cấp không, nghiệm riêng và trị  (0)  (0) m at riêng của phƣơng trình là: Vm (r)  J 0 ( ),  mn   m  L  L  2 Nhƣ vậy phƣơng trình dao động của màng tròn có mép gắn chặt với các kích thích ban đầu đối xứng xuyên tâm đƣợc biểu diễn bởi công thức (2.37), với các hệ số đƣợc xác định theo (2.38) và (2.39) 2.3.2 Bài tập 2 Tìm dao động ngang của màng tròn bán kính L, với các biên... 2 y 2 a 2 t 2 23 (2.2)  Nếu W  W(x, y) và u(x, y) tức là các hàm không phụ thuộc thời gian, ta có phƣơng trình dao động ở trạng thái dừng:  2u  2u 1    w(x, y) x 2 y 2 T0 (2.3) Các điều kiện biên của bài toán:  Mép của màng gắn chặt: u(x, y, t) x,yC 0 (2.3) C: Là đƣờng biên của màng  Màng có mép tự do: u  gradu.n n x,yC  f (x, y) (2.4) Các điều kiện ban đầu:  Hình dạng ban đầu