Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt tuyến tính hệ số hàm với điều kiện biên loại ba

Việc giải các bài toán đó để có được đáp số bằng số làmột yêu cầu quan trọng của thực tiễn.. Tuy nhiên trong đa số trường hợp, đặc biệtđối với các bài toán có hệ số hàm thì nghiệm tường

2.1 Phát biểu bài toán……….9

3.3 Lược đồ sai phân………27

3.4 Bài toán sai phân đối với sai sè……… 32

3.5 Sự xấp xỉ……….33

3.6 Sự ổn định……… 33

3.7 Sự hội tụ……… 43

KẾT LUẬN ……….44

PHỤ LỤC ………45

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 51

Lời nói đầu

Bài toán truyền nhiệt là một trong ba bài toán vật lý toán cơ bản mà chúng

ta hay gặp trong thực tế Việc giải các bài toán đó để có được đáp số bằng số làmột yêu cầu quan trọng của thực tiễn Trong một số Ýt trường hợp, chúng ta cóthể tìm được nghiệm tường minh Tuy nhiên trong đa số trường hợp, đặc biệtđối với các bài toán có hệ số hàm thì nghiệm tường minh của bài toán là khó cóthể xác định được, hoặc nghiệm tường minh ở dạng rất phức tạp Vì vậy trongtrường hợp này chúng ta thường dựa vào các phương pháp giải gần đúng để tìmnghiệm

Đến nay có hai lớp phương pháp quan trọng thường được sử dụng để tìmnghiệm gần đúng là : phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp phần tửhữu hạn Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trongnhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Nội dung của nó là đưa bài toán cần xét vềviệc giải phương trình sai phân hoặc hệ phương trình sai phân sao cho việc tínhtoán thuận tiện, đồng thời vẫn đảm bảo được tính ổn định của lược đồ, cũng nhưđánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm gần đúng tìm được tới nghiệm đúngcủa bài toán

Nhận thấy tầm quan trọng của phương pháp sai phân hữu hạn, em đã tìmhiểu về phương pháp này Đồng thời với sự hướng dẫn của thầy Tạ Văn Đĩnh,

em đã chọn đề tài : giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp saiphân Trong đồ án này em đã đi xây dựng lược đồ sai phân cho một số dạng bàitoán truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiên biên loại một và điều kiện biên loại ba.Lược đồ này ổn định, đồng thời nghiệm sai phân của các lược đồ này đều hội tụ

Chương này giới thiệu phương trình truyền nhiệt và công thức Taylor đểnghiên cứu lược đồ sai phân.

Chương 2: Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt tuyến tính hệ

số hàm với điều kiện biên loại một

Chương 3: Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt tuyến tính hệ

số hàm với điều kiện biên loại ba

Chương 1

MỞ ĐẦU

1.1 Phương trình truyền nhiệt.

Xét một thanh vật chất không đồng chất, dài L(cm), có thiết diện thẳng

nhau bởi công thức:

H = uρCV (1.1)

Người ta quan sát thấy khi thanh vật chất có vùng nóng vùng lạnh thì nhiệtlượng có khả năng khuếch tán từ vùng nóng sang vùng lạnh Ta gọi suất khuếchtán nhiệt là k(cm2/s)

Bây giờ giả sử thanh vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trường xung quanh,trừ tại hai đầu mút Hãy xét diễn biến theo thời gian của phân bố nhiệt độ trongthanh

Ta tưởng tượng thanh vật chất đặt trên trục Ox từ x = a đến x = a+L = b

0 a b x

Gọi u(x,t) là nhiệt độ của thanh tại điểm x ở thời điểm t Nhiệt truyền từnơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp hơn Sự lan truyền diễn ra dọc theothanh vật chất tức là theo phương x Nó tuân theo định luật truyền nhiệt thựcnghiệm của Fourier

Luồng nhiệt q(cal/(cm2.s)) theo phương x (tức là nhiệt lượng khuếch tánqua một đơn vị diện tích của thiết diện thẳng nhỏ S trong một đơn vị thời gian) tỉ

lệ với vận tốc biến thiên của nhiệt độ u dọc theo phương x, tức là tỉ lệ với

Do có định luật bảo toàn nhiệt lượng nên có sự cân bằng nhiệt ở mỗi phân

đạt bằng công thức :

Nhiệt truyền vào phân tố – Nhiệt ra khỏi phân tố = Nhiệt tích luỹ trongphân tố

u kC (

để đơn giản tính toán ta coi ρ=const và C=const ta viết lại phương trình (1.3)

t

u ) x

u k (

Khi trong thanh vật chất còn có một nguồn nhiệt(sinh hay hấp thụ nhiệt)đặc trưng bởi hàm f(x,t) thì ta có phương trình:

Ta nhắc lại công thức Taylor vì sau này ta phải sử dụng nó nhiều lần

minh được công thức Taylor sau:

( + ∆ )= ( )+∆ ( ) ( )+ ∆ ( )+ +

! 2

! 1

F

( ) ( )( ) ( ) ( ) F( )( )c

m

x x F m

! 1

!

+ +

+

∆ +

thức Taylor (1.8) viết gọn hơn:

( + ∆ )= ( )+∆ ( ) ( )+ ∆ ( )+ +

! 2

! 1

∆

x O x F m

trong đó k ,( )x t , q ,( )x t , f ,( )x t , g( )x , g a( )t , g b( )t là những hàm số cho trước

đủ trơn và thoả mãn điều kiện :

0 <c0 ≤k( )x,t , 0 ≤q ,( )x t c0 = const

Phương trình (2.1) là phương trình loại parabol Phương trình (2.1) là

gọi là biến thời gian

Bài toán (2.1)-(2.3) là một bài toán vừa có điều kiện ban đầu (đó là điềukiện (2.2)), vừa có điều kiện biên (đó là điều kiện (2.3)); Đó là bài toán biên loạimột đối với phương trình (2.1)

2.2 Lưới sai phân và hàm lưới

2.2.1 Lưới sai phân

N

a b

điểm ( )x , i t j gọi là một nút, nút ( )x , i t j còn được viết gọn là (i,j); h gọi là bước đi

Lưới trên [a, b] (lưới không gian): Tập:

gọi là một lưới sai phân trên [ ]a, b

Lưới trên [ ]0 ,T (lưới thời gian): Tập:

Hàm số xác định tại các nút của một lưới nào đó gọi là một hàm lưới Giá

Sử dụng phương pháp Crank-Nicolson (6 điểm đối xứng) để giải.

Dùng công thức Taylor ta tính xấp xỉ các đạo hàm của phương trình (2.1)tại các nút lưới ta có:

Với quy ước t j+1/2 =t j+ τ / 2

∂

∂ +

x u t

x u t

x

2 / 1 2

2 2

, 2

! 2

1

τ

τ

O t

x t

u j

x u t

x u t

x

2 / 1 2

2 2

, 2

! 2

1 τ x t Oτ

t

u j

t

u t

x t

u t

x u t x

( ) ( )3

2 / 1

x u t x u

j i j

i j

/ 1 2

/ 1

2

, 2

,

t

u t

x u t

x u t

x

∂

∂ +

/ 1 2

/

2

, 2

,

t

u t

x u t

x u t

, 2

, ,

τ

O t

x u t x u t

x u

j i j

i j

(2.5)

theo (2.5) ta có :

( )2 2

/ 1 1

2 / 1 2

/ 1 2

/

2

1 ) , ( ) ,

x

u t

x k t

x x

u t

x k x t

x x

u t

x

k

∂ +

+ +

+

( )2

2 / 1 1

2 /

, ( 2

1

τ

O t

x x

u t

x k x t

x x

u t

x k

2

(

1

1 2

/ 1 2

/ 1 1

1 2 / 1

2 k x i h t j u x i t j k x i h t j k x i h t j u x i t j

h

1 2

/ 1 1

1 2 /

, 2

x

u t

x k x t

x u t

h x

2 2 2

/ 1 2

/ 1 2

/

2

! 2

1 ,

2 ,

,

k h t

x x

k h t

x k t

∂

∂ +

3 3 1

2

2 2 1

1 1

! 3

1 ,

! 2

1 ,

,

x

u h t

x x

u h t

x x

u h t x u t

x

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

3 1

2

2 1

1 1

1

, 6

, 2

, ,

,

h O t

x x

u h t

x x

u h t

x x

u h

t x u t

x

u

j i j

i j

i j

i j

i

+

∂

∂ +

∂

∂ +

+ +

h

x

j i

1 1

1 2

/ 1

, ,

, 2

∂

∂

2 ,

x

u t

x k x

h t

x x

u t

x k

1 2

/ 1 2

2 1

2

2 2 / 1 1

3

3 2 / 1

8

1 ,

, 4

1 ,

,

6

1

h O t

x x

u t

x x

k t

x x

u t

x x

k t

x x

u t

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂

(2.7)Một cách tương tự ta có:

2 / 1 2

2 2 2

/ 1 2

/ 1 2

/

2

! 2

1 ,

2 ,

,

k h t

x x

k h t

x k t

3 3 1

2

2 2 1

1 1

! 3

1 ,

! 2

1 ,

,

x

u h t

x x

u h t

x x

u h t x u t

h

x

j i

1 1 1

2 / 1

, ,

,

2

u t

x k x

h t x x

u t

x k

1 2

/ 1 2

2 1

2

2 2 / 1 1

3

3 2 / 1

8

1 ,

, 4

1 ,

,

6

1

h O t

x x

u t

x x

k t

x x

u t

x x

k t

x x

u t

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂

(2.8)LÊy (2.7)-(2.8) ta có

+ + +

h

t x u t x u t

h x k h

t x u t x u t

h

x

j i j

i j

i j

i

1 1 1

2 / 1 1

1 1 2

/

1

, ,

, 2

, ,

,

2

1 2

/ 1 1

2 /

2 ,

,

u t

x k x

h t

x x

u t

x k x

h

j i j

i j

i j

x k x

+ +

1 1 1

2 / 1 2

1 1

1 2

/ 1

, ,

, 2

, ,

,

t x u t x u t

h x k h

t x u t x u t

h

x

j i j

i j

i j

i

1 2

x k

1

` 2

/ 1 2

/ 1 1

2 / 1

2 k x i h t j u x i t j k x i h t j k x i h t j u x i t j

h

2 / 1 1

2 /

, 2

x

u t

x k x t

x u t

h x

2 2 2

/ 1 2

/ 1 2

/

2

! 2

1 ,

2 ,

,

k h t

x x

k h t

x k t

∂

∂ +

2 2

! 3

1 ,

! 2

1 , ,

x

u h t

x x

u h t

x x

u h t x u t

x

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

2 1

, 6

, 2

, ,

,

h O t x x

u h t x x

u h t x x

u h

t x u t x

u

j i j

i j

i j

i j

∂

∂ +

∂

∂ +

/ 1

x k x

h t x x

u t

x

2 ,

2 / 1 2

2 2

2 2 / 1 3

3 2 / 1

8

1 , ,

4

1 , ,

6

1

h O t x x

u t

x x

k t

x x

u t

x x

k t

x x

u t

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂

(2.10)Tiếp tục ta có:

2 / 1 2

2 2 2

/ 1 2

/ 1 2

/

2

! 2

1 ,

2 ,

,

k h t

x x

k h t

x k t

2 2

! 3

1 ,

! 2

1 , ,

x

u h t

x x

u h t

x x

u h t x u t

/ 1

x k x

h t x x

u t

x

2 ,

2 / 1 2

2 2

2 2 / 1 3

3 2 / 1

8

1 , ,

4

1 , ,

6

1

h O t x x

u t

x x

k t

x x

u t

x x

k t

x x

u t

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂

(2.11)Lấy (2.10)-(2.11) ta có

h

t x u t x u t

h x k h

t x u t x u t

h

x

j i j

i j i j

i

, ,

, 2

, ,

,

2

1 2

/ 1

1 2

/

1

2 / 1 2

/

2 ,

,

u t

x k x

h t x x

u t

x k x

h

j i j

i j

i j

x

u t

x k x

/ 1 2

1 2

/ 1

, ,

, 2

, ,

,

t x u t x u t

h x k h

t x u t x u t

h

x

( ) ( ) ( )2

2 /

x

u t

x k

+ + +

2 / 1 2 / 1 1 1

1 2

x u a a

t x

u

i j i

j i

j i j

1 2 / 1 2

/ 1 2 / 1 1 1 1

t x u a t x u a a

t x

u

a

j i j

i

j i j i

j i

j i i

/ 1

+ + + +

+ + +

2

1 1 2 / 1 1 2

/ 1 2 / 1 1 1 1 2 / 1 1

2

1 , ,

h

t x u a t x u a a

t x u a t

j i

j i j i

j i j

i j

+ + +

+

+

2

, ,

, ,

,

2 / 1 2

1 2 / 1 2

/ 1 2 / 1 1 1 1

i

j i j i

j i

j i i

j

t x q h

t x u a t x u a a

t x

u

a

2 / 1 2

/ 1 2

x

t

u

j i j

i j

1 1 2 / 1 1 1

h

2

1 L

h

v a v a a

v a v

v

v

j i

j i

j i

j i

j i

j i

j i

j i

+

−

2 ,

1 2 / 1 2

1 2 / 1 2

/ 1 2 / 1 1 1 2 / 1 1

j i

j i j i

j i

j i

j i

j i

j i

j i

j

t x q h

v a v a a

v a

j

N g t

v = (2.17)

Mỗi phương trình (2.15) chứa 3 Èn 1

1 1 1

1 , +, ++

+

j i

+

− + +

+ +

+ + +

+

+

1/2 j i 1

j i

1/2 j i 1/2 j i 1/2 j 1 i 1

j 1 i 1/2

q 2

) a a

( 1 v

a

2

1

γ τ

γ γ

i

j 1 i 1/2 j i

j i

1/2 j i 1/2 j i 1/2 j 1 i j

1 i 1/2 j 1

2

1 v 2

q 2

) a a

( 1 v

a 2

− + +

+ +

+ +

2

1

1 + , + , , j+

N j

Hệ (2.15) là một hệ 3 đường chéo có thể giải bằng phương pháp truy đuổi

2.4 Bài toán sai phân đối với sai sè

Gọi v là nghiệm của bài toán sai phân (2.15) – (2.17) và u là nghiệm củabài toán vi phân (2.1) – (2.3) Đặt w = v – u thì w là sai số phương pháp và :

Ta nói bài toán sai phân (2.15) – (2.17) xấp xỉ bài toán vi phân (2.1) –

2.6 Sự ổn định

Xét bài toán sai phân với điều kiện biên thuần nhất (2.17) Để trình bày sự

ổn định, trước hết ta đưa ra một số khái niệm và một số kết quả phụ:

Với mỗi hàm lưới w xác định trên lưới:

i

j-j i j i t

j i-

j i j i x

j i

j i j i x

−

= + 1

do đó :

+ +

+ +

+ + +

+

h

w a

w a

w a

j i x / j i

j i x / j i x

j i x / j

i

1 2

1 1 1 2

1 1 1

2

+ + + + +

+ + +

h

h

w w

a h

w w

a

j i-

j i / j i

j i

j i / j i

1 1

1 2 1 1 1 1 2 1

1 1 2 1 1 2 1 2 1 1

1 1 2 1 1

h

w a )w a

(a w

/ j i

i-j i / j i / j i

j i / j

+

+ +

a w

a

j i x / j i

j i x / j i x

j i x / j

i

2 1 1 2

1 1 2

+ +

h

h

w w a h

w w a

j i-

j i / j i

j i

j i / j

2 1 1

2 1 1

2 1 2

1 2 1 1 1 2 1 1

h

w a )w a

(a w

/ j i

i-j i / j i / j i

j i / j i

+ +

+ + +

i w h v

i i

i w h v v,w

1

N-i

i i i N-

i xi i

1 1 1

1 1

i i

i N-

i

i i i

N-i

N N i i-

(w

∑

=

− +

−

2

1 1

N-i

N N i i

x v h w v w v w

1

1 1 1

1

N-i

N N x

i i

x v h w v h w v w v w

∑

=

− +

− +

−

1

1 1 1

0 1 1

N-i

N N i

i

x v h (w v w v ) w v w v w

1 1 0

N-i i i x N

1 1 2 1 1

2 2

j j / j x

j x / j j x / j j

t

w w q w

a w a

hay

2 2

+ +

+

x x j j j j

t

w w q w

w a

2

x x j j j

t

w q w

a

j t

t j j

t

j x x

j t

t j j

x t

j x

j

w

( ) 1( 1 ) 1 ( 1 1)

1 1

1 2

2

+ +

j j j j

j x

j x j x

j x j j

τ

w w

, w w

q τ τ

w w

, w w

a τ

j j j

j j j x

j x j j

x

j x j j

w

(2.22)Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

2 1 2

2

1 2

1 2 1 1

1 1

t j

j t j

j t j j

2 1 1

1 1 1 1

1 1 1 2

2

t j

j j j j

j j j x

j x j j

t

j x j j

1 1 1 1

1 1 1 2

x

j x j j

1 1

1 1 1

1

x j j

j j j

x

j x

j i

j i

/ j

i

t

k τ

τ ,t

h x k

τ ,t

h x k a

a

2 2

2 2

2

2 1 1

với

2 2

τ t t

=

+

j i

j

t

k τ a a

j j

t,

h x t

k τ

a a

a a

j i

j j

1 1

1 1 1

j j j

q và ( j+ 1 j+ 1 , j+ 1)= 0

w w q

2 1 1

1 1

x

j x j j

x

j x

2 1

1 1

j j j

j x

j

x

a τ

) a a ( τ a ,w

τ

) a a

(

j

j j

2 1 1

x

j x

j w w a

j

2 1

0 1

1 ≤ + τL E + τ ϕ

E

2 2 2

2 1 2

2 2

1 1

2 1 1 2

1 0

s j j

s

j

L E

L j

1 1

τ

τ τ ϕ τ

τ

− +

− +

= +

j j

= +

∑

L L

j j

τ τ

⇒ ( ) ( ) ( ) 2

2

2 2

1 1

1 1

ϕ

τ ϕ

τ

τ τ

L

L L

L j

E

j j

− +

=

− +

j

t L j x

j x

j j

j j j j

j j j

) a a ( τ a ,w

w q ,w

w

a

1 1

1 1 1

j

j j

q τ

) q - q ( τ

c

L a

τ

) a a ( j

j j

q τ

) q q ( j

j j

1 1 1

j j j

x

j x

j w ,w q w ,w a

j

2 1

1

+ ( τ L )F j τ j j

2 1

0 1

1 ≤ + τL F + τ ϕ

F

2 2 2

2 1 2

2 2

1 1

2 1 1 2

Đặt 22 max s 22

s ϕ

ϕ = và vì F( )0 =(a0w0 ,w0) (+ q j w0 ,w0)= 0

x x

2

2 2

1 1

τ

τ τ ϕ τ

τ

− +

− +

= +

j s

j j

= +

∑

L L

j j

τ τ

2

2 2

1 1

1

τ

τ τ

L

L L

L j

F

j j

− +

=

− +

L

e ,w w q ,w w a

j

t L j j j j x

j x

j

t L j x

j x

ta lại có :

i x

j i-

j i i

i

j i x j

j

w

1 1

i

j i x

2 2

j x

j i x N

i

j i

w h

1

2 1

2

x

j x j j x

2 j

i

L

1 a

b

-w ≤ e L t j − ϕ

c

2

2 0

j

L

1 c

a - b

∞

j

t L

e (2.25) Bất đẳng thức (2.25) là bất đẳng thức nói lên sự ổn định của phương phápCrank-Nicolson Ta có bÊt đẳng thức ổn định (2.25) mà không cần một hạn chế

ổn định vô điều kiện

a - b

∂

, ,

Phương trình (3.1) là phương trình loại parabol Phương trình (3.1) là

gọi là biến thời gian

Bài toán (3.1)-(3.4) là một bài toán vừa có điều kiện ban đầu (đó là điềukiện (3.2)), vừa có điều kiện biên (đó là điều kiện (3.3)-(3.4)); Đó là bài toánbiên loại ba đối với phương trình (3.1)

Giả sử bài toán (3.1)-(3.4) có nghiệm duy nhất đủ trơn trong Q T.

3.2 Lưới sai phân và hàm lưới

Làm tương tự nh trường hợp điều kiện biên loại một

3.3 Lược đồ sai phân

Làm tương tự nh trường hợp điều kiện biên loại một ta sai phân hoáphương trình (3.1) ta được:

+ + + +

+ + +

2

1 1 2 / 1 1 2

/ 1 2 / 1 1 1 1 2 / 1 1

2

1 , ,

h

t x u a t x u a a

t x u a t

j i

j i j i

j i j

i j

+ + +

+

+

2

, ,

, ,

,

2 / 1 2

1 2 / 1 2

/ 1 2 / 1 1 1 1

i

j i j i

j i

j i i

j

t x q h

t x u a t x u a a

t x

u

a

2 / 1 2

/ 1 2

x

t

u

j i j

i j

Ta tiếp tục sai phân hoá điều kiện biên:

Theo công thức Taylor ta có :

1 0 2

2 2 1 0 1

0 1

2 ,

,

x

u h t

x x

u h t

x u t

x

∂

∂ +

∂

∂ +

2 1

0 1

0 1

1

, 2

, ,

,

h O t

x x

u h t

x x

u h

t x u t

x u

j j

j j

+

∂

∂ +

+ +

Mặt khác :

2 / 1 0 2

/ 1 0 2

/ 1 0

2 / 1

2 ,

,

k h t

x k t

h x k

∂

∂ +

+ +

+

1 0 2

/ 1 0 1

0 1

1 2 / 1

x

u t

x k h

t x u t

x u a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 0 2

/ 1 0 1

0 2

2 2 / 1

u t

x x

k t

x x

u t

x k

h

j j

1 0 2

/ 1 0

1 1 2

x k u

1 0 2

/ 1 0 1

0 2

2 2 / 1

u t

x x

k t

x x

u t

x k

h

j j

j x

x

u t

x k u

1

0 2

/ 1 0 0

2

2 2 / 1

u t

x x

k t x x

u t

x k

h

j j

+ + +

j j

j

j x j j x

j

t x x

u t

x x

u t

x k u

a u

a

, ,

2

1 ,

1 2 / 1 1

1 1 2

x x

u t

x k

h

, ,

2

1 ,

2 1 0 2

2 2

/ 1 0

0 1

0 2

/ 1

x x

u t

x x

k

j j

+ + +

2 / 1 0 2

/ 1 0 1

2 / 1 1

1 1 2

/

1

1

, ,

j x j j x j

t x x

u t

x k u

a u

a

2 / 1 0 2

/ 1 0 2

2

, ,

u x

k t

x x

u k

2 / 1 0 1

2 / 1 1

1 1 2

j

t x x

u k u

a u

a

2 / 1

0 ,

u k x

j j

t

u t

x x

u k

2 / 1 0 1

2 / 1 1

1 1 2 / 1

j x j j x

j

t x x

u k u

a u

a

2 / 1 0 2

/ 1 0 2 / 1 0 2

/ 1

u h

j j

2 / 1 0 2 / 1 0 2

/ 1 0 2 / 1 0 1 2 / 1 1

1 1 2 / 1

1

, ,

2

,

j x j j x j

t x u t x q

h t

x u t u

a u

,

t

u h t

x u t t

x x

u t

x

2 / 1

2 / 1 0 2 / 1 0 2

/ 1 0 1 2 / 1 1

1 1 2 /

j

t x u t

x q

h t

u a u

a

2 / 1 0 2

/ 1 2

/ 1

g t

x t

u h

j j

2

, ,

, 2 2

0 1

0 2 / 1 0 2

/ 1 0 1 2 / 1 1

1 1 2 / 1

j j

j x j j x

t x q

h t

u a u

a

σ

2 / 1 0 2

/ 1 0

1 0

, 2

, ,

h t

g t x t

x u h

j j

a j j

+ +

trình vi phân bằng phương trình sai phân

( ) + ( ) + ( + ) + ( + ) ( + ) (+ ) +

+ + +

2

, ,

, 2 2

1 2

/ 1 2

/ 1 1

2 / 1 1 2

/

1

j n j

N j

N j

j N x

j N

j N x

j

t x q

h t

u a u

a

σ

2 / 1 2

/ 1 1

` , 2

, ,

h t

g t x t

x u h

j N j

b j N j

1 1 2 / 1 1 1

h

2

1 L

h

v a v a a

v a v

v v

j i

j i

j i

j i

j i

j i

j i

j i

j i

+

−

2 ,

1 2 / 1 2

1 2 / 1 2

/ 1 2 / 1 1 1 2 / 1 1

j i

j i j i

j i

j i

j i

j i

j i

j i

j

t x q h

v a v a a

v a

+

+ + +

2

, 2 2

0

1 0 2 / 1 0 2

/ 1 0 1 2 / 1 1

1 1 2

/

1

j j

j x j j x j

v v t

x q

h t

v a v

t x f

h t

g v v h

+ +

+

+ +

+

2

, 2 2

1 2 / 1 2

/ 1 1

2 / 1 1

N j

j N x

j N

h t

v a v

1 1 1

1 , +, ++

+

−

j i

j i

sơ đồ này gọi là sơ đồ 6 điểm đối xứng hay sơ đồ Crank-Nicolson.

+

− + +

+ +

+ + +

+

+

1/2 j i 1

j i

1/2 j i 1/2 j i 1/2 j 1 i 1

j 1 i 1/2

q 2

) a a

( 1 v a

2

1

γ τ

γ γ

i

j 1 i 1/2 j i

j i

1/2 j i 1/2 j i 1/2 j 1 i j

1 i 1/2 j 1

2

1 v 2

q 2

) a a

( 1 v a

2

− + +

+ +

+ +

+

+

1 1

2 / 1 1 1 0 2

/ 1 0 2

/ 1 0

4 2

1

2

j

j j j

j

j

v h

a v

h q

h t

h

a

τ σ

0 2

/ 1 1

2 / 1 0

2 / 1 0 2

/ 1 0

2 4

2

1 2

+ +

+ +

+

+

+ +

+

−

j a j

j i j j

j

j

f

h t

g v h

a v

h q

h t

+

+

1 1

2 / 1 1 2

/ 1 2

/ 1 1

2

/

1

2 2

4 2

1

2

j N

j N j N

j N j

j

h

a v

h q

h t

h

a

τ σ

2 / 1 2

/ 1 2

/ 1 1

2 / 1 1

2

/

1

2 2

4 2

1 2 2

+ +

+ +

+

−

+

+ +

+

−

N j

b

j N

j N j

j N j

một hệ đại số tuyến tính đối với v j+1 ,v j+1 , ,v j+1 Đây là một phương pháp Èn