Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt có dòng đối lưu với hệ số liên tục và giai đoạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀNH : TỐN CƠNG NGHỆ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TỐN TRUYỀN NHIỆT CĨ DỊNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ LIÊN TỤC VÀ GIÁN ĐOẠN PHẠM NGỌC BẮC HÀ NỘI 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀNH : TỐN CƠNG NGHỆ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TỐN TRUYỀN NHIỆT CĨ DỊNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ LIÊN TỤC VÀ GIÁN ĐOẠN PHẠM NGỌC BẮC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Đình Bình HÀ NỘI 2009 Luận văn thạc sĩ Mục lục Chương I XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN VI PHÂN CĨ DỊNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ LIÊN TỤC Bài toán đạo hàm riêng Lưới sai phân, hàm lưới đạo hàm lưới 2.1 Lưới sai phân [2, 3, 4, 10] 2.2 Hàm lưới 2.3 Đạo hàm lưới Bài toán sai phân 3.1 Ký hiệu chung 3.2 Xấp xỉ đạo hàm riêng 10 3.3 Phát biểu toán sai phân 19 Phương pháp giải toán sai phân 20 4.1 Quy tốn sai phân dạng hệ phương trình ba đường chéo 20 4.2 Phương pháp truy đuổi 24 4.3 Sơ đồ thuật tốn giải tốn (I.28) ÷(I.30) 27 Chương II 28 XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TỐN BIÊN VI PHÂN CĨ DỊNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ GIÁN ĐOẠN 28 Bài toán đạo hàm riêng [5,8,9,10] 28 Lưới sai phân hàm lưới 29 Bài toán sai phân 30 3.1 Một số kí hiệu quy ước điểm gián đoạn ξ 30 3.2 Điều kiện toán biên xN0= ξ + 30 3.3 Điều kiện toán biên xN0= ξ − 33 3.4 Phát biểu toán sai phân 35 3.5 Cách giải toán sai phân (II.12-II.15) 36 Chương III 39 NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH CỦA LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN TỪ ĐÓ SUY RA TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN SAI PHÂN TỚI NGHIỆM ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN VI PHÂN 39 Tính đơn điệu 39 Một số bổ đề 43 Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008 Luận văn thạc sĩ 2.1 Bổ đề 43 2.2 Bổ đề 48 Sự ổn định phương pháp sai phân 58 3.1 Khái niệm ổn định, bất đẳng thức ổn định 58 3.2 Xét toán 59 3.3 Ý nghĩa bất đẳng thức ổn định: 65 Sự hội tụ sai số 65 KẾT LUẬN 67 Tài liệu tham khảo 69 Phụ lục: Tin học hóa toán 71 Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008 Luận văn thạc sĩ Lời nói đầu Ngày nay, trình phát triển khoa học kỹ thuật, nhiều vấn đề thông qua khảo sát thực nghiệm, thí nghiệm (như thăm dị nghiên cứu dịng nước chảy, luyện kim, khai thác,…) đưa mơ hình thực tế, từ nhà tốn học chuyển đổi thành mơ hình tốn học Trong lớp mơ hình tốn học ta gặp mơ hình tốn dạng phương trình vật lý tốn (dạng đạo hàm riêng) Một số tốn đơn giản việc tìm nghiệm dạng biểu thức giải tích khơng khó khăn, nhiên nhiều tốn nghiên cứu tồn nghiệm, khơng thể tìm nghiệm dạng tường minh, kỹ thuật cần có số cụ thể Để giải vấn đề trên, nhà khoa học đề xuất nhiều giải pháp khác Trong luận văn sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để tìm nghiệm gần tốn biên với phương trình parabolic có dòng đối lưu hai trường hợp hệ số liên tục hệ số gián đoạn, đồng thời chứng minh hội tụ nghiệm gần tới nghiệm tốn xuất phát theo chuẩn không gian mà ta xét, cụ thể luận văn trình bày theo bố cục sau: Chương I: Xây dựng lược đồ sai phân để giải gần nghiệm tốn biên vi phân có dịng đối lưu với hệ số liên tục Chương II: Xây dựng lược đồ sai phân để giải gần toán biên vi phân có dịng đối lưu với hệ số gián đoạn Chương III: Nghiên cứu ổn định lược đồ sai phân từ suy tốc độ hội tụ nghiệm gần toán sai phân tới nghiệm toán vi phân Phần cuối phần phụ lục, mơ tả thuật tốn ngơn ngữ Visual Studio NET số ví dụ minh họa Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008 Luận văn thạc sĩ Cuối xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Đình Bình thầy giáo khoa Tốn Tin ứng dụng giúp tơi hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 01 tháng 04 năm 2009 Người thực Ks Phạm Ngọc Bắc Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008 Luận văn thạc sĩ Chương I XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA BÀI TỐN BIÊN VI PHÂN CĨ DỊNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ LIÊN TỤC Trong chương trình bày “bài tốn biên loại 3” (bài tốn truyền nhiệt vật chất mỏng, đồng chất có chiều dài đơn vị dài, có hệ số vật lý hàm số liên tục miền xét đơn vị dài khoảng thời gian đơn vị thời gian [8, 9, 10] Bài tốn đạo hàm riêng Tìm hàm số u ( x, t ) thỏa mãn điều kiện: ∂u ∂ ∂u ∂u ( x, t ) −  A ( x, t )  − B ( x, t ) + D ( x, t ) u = f ( x, t ) ∂t ∂x  ∂x  ∂x ≤ x ≤ 1,0 < t ≤ 1; (I.1) u= ( x,0 ) g ( x ) , x ∈ [0,1] ; (I.2) ∂u l0 u = − A ( 0, t ) ( 0, t ) + σ ( t ) u ( 0, t ) = g0 ( t ) ; ∂x (I.3) Lu = l1 u= A (1, t ) ∂u (1, t ) + σ1 ( t ) u (1, t )= g1 ( t ) ; ∂x (I.4) Trong đó: A ( x, t ) , B ( x, t ) , D ( x, t ) , f ( x, t ) ,σ ( t ) ,σ ( t ) , g ( x ) , g0 ( t ) , g1 ( t ) hàm số cho trước thỏa mãn: 0 < C0 ≤ A( x, t ) < C1   B( x, t ) < C2  , C, C0, C1, C2, C3, số dương 0 ≤ D( x, t ) < C3 σ (t ) ≥ C > 0, σ ≥ 0  σ (t ) ≥ C > 0, σ ≥  Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008 (I.5) Luận văn thạc sĩ ∂A ∂B ∂D ( x, t ) ≤ C4 , ( x, t ) ≤ C5 , ( x, t ) ≤ C6 ∂t ∂t ∂t (I.6) C4, C5, C6 số dương Giả sử tốn (I.1)÷(I.4) có nghiệm u(x,t) nghiệm đủ trơn đến cấp cần thiết (đạo hàm liên tục đến cấp x, cấp t) (I.7) Nhận xét toán đạo hàm riêng đặt ra: * ∂ ∂u  A( x, t )  đại lượng khuếch tán (ở khuếch tán nhiệt), với  ∂x  ∂x  A(x,t) hệ số khuếch tán nhiệt * B(x,t) ∂u đại lượng đối lưu, với B(x,t) hệ số đối lưu ∂x Chính lý mà tốn đạo hàm riêng (I.1) ÷ (I.4) có tên gọi tốn “khuếch tán – i lu ã Bi toỏn o hm riờng (I.1) ữ (I.4) có nghiệm u(x,t), hàm u(x,t) hàm nhiệt độ vật chất vị trí x thời điểm t • Hàm A(x,t) khơng thể khuyết, hàm số khác: hàm B(x,t), D(x,t) hàm f(x,t) khuyết phương trình (I.1) • Nếu tốn cho đoạn a≤x≤b, 0≤t≤T cách đổi biến sau:  x =(b − a) x '+ a  t = Tt ' ta đưa tốn cho có biến x t tốn có biến x’ t’ xác định đoạn ≤ x ' ≤ 1,0 ≤ t ' ≤ Do đó, từ sau cần quan tâm đến x t xác định đoạn [0,1] đủ Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008 Luận văn thạc sĩ Lưới sai phân, hàm lưới đạo hàm lưới 2.1 Lưới sai phân [2, 3, 4, 10] Đặt QT := {0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ t ≤ 1} Theo phương diện hình học, QT miền xác định hình chữ nhật Có nhiều cách chia miền QT khác nhau, dùng cách chia trục 0x, 0t t t t tM≡1 t tj t t1 t * 0≡x0 x1 t t xi t x Hình vẽ I.1 Chia QT thành miền nhỏ đoạn thẳng song song với trục 0x, 0t 0x: gọi chiều không gian (không gian chiều) 0t: gọi chiều thời gian Giả sử chia đoạn [0,1] thành N đoạn với điểm chia = xi ih= ,h , h gọi bước chia theo không gian N Giả sử chia đoạn [0,1] thành M đoạn với t j = jτ , τ = τ gọi bước chia theo thời gian Giao điểm đường x=xi, t = tj tạo thành nút lưới (xi, tj) Phạm Ngọc Bắc Toán Công Nghệ 2006 - 2008 , M Luận văn thạc sĩ i = 0, N Tập điểm ( xi ,t j ),   j = 0, M gọi lưới sai phân Tập hợp nút lưới Ωh, Ωt xác định: {Ωh=: {( xi , t j ), i= 1, N − 1, j= const}  = i const} {Ωt : {( x= i , t j ), j 1, M , = Cho i = 1, N − 1, j = 1, M ta tập điểm Ω ht gọi tập điểm lưới Ωht = Ωh x Ωt = {(xi, tj), i = 1, N − 1, j = 1, M } Γ = {(0,tj), j = 1, M }, Γ = {(1,tj), j = 1, M } gọi tập điểm lưới biên Ωh0 = {(xi,0), i = 0, N }, gọi điểm lưới ban đầu ứng với t = (thời điểm đầu) Ω ht = Ω ht ∪ Γ ∪ Γ ∪ Ω h , gọi lưới phủ QT := {0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ t ≤ 1} 2.2 Hàm lưới Xét hàm ϕ(x,t) xác định (xi,tj), i = 1, N − 1, j giữ nguyên Ta viết ϕ i j = ϕ(xi,tj) i = 1, N − 1, gọi hàm lưới = x x= xN , j = 0, M ϕi j = ϕ ( xi , x j ) , i = 0, N - hàm lưới kể biên 0, x 2.3 Đạo hàm lưới Đạo hàm lưới hàm lưới Vi j định nghĩa sau: ( ) j Vx i ( Vx )i j Vi +j1 − Vi j , gọi đạo hàm sai phân tiến theo biến số x = h Vi j − Vi −j1 , gọi đạo hàm sai phân lùi theo biến số x = h Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008 Luận văn thạc sĩ 67 KẾT LUẬN Trong luận văn tác giả thu số kết sau: Bài toán biên chương I, II toán, mà phương trình có số hạng chứa đạo hàm riêng cấp theo khơng gian (có dịng đối lưu), xấp xỉ đạo hàm theo đạo hàm sai phân thơng thường sai số cấp O(h) lược đồ sai phân không thỏa mãn tính chất đơn điệu Trong luận văn tác giả dựa theo ý tưởng A.A.Camarski [5], [10] , B − 0,5 ( B − | B |) , số hạng đạo hàm cách đặt= B + 0,5 ( B + | B |) = riêng cấp theo phương x cho xấp xỉ cấp O(h2) tính đơn điệu lược đồ sai phân (Định lý 1, chương III) Trong trường hợp hệ số gián đoạn (Chương II) nhờ khai triển Taylor, cách đặt số hạng đạo hàm cấp 1, khoảng lưới [ 0, ξ ] [ξ ,1] ta chọn bước khác nên xấp xỉ điều kiện liên hợp (tại x = xN0 ) đạt cấp O(h2) lược đồ thỏa mãn tính chất đơn điệu Nhờ nguyên lý cực đại chứng minh lược đồ sai phân tương ứng với toán vi phân (chương I, II) ổn định (Mục 3, chương III) Từ suy tốc độ hội tụ nghiệm lược đồ sai phân tới nghiệm ( ) toán vi phân với tốc độ O h + τ Tác giả mơ tả thuật tốn ngơn ngữ Visual Studio Net để giải tốn cụ thể Do điều điều kiện thời gian không cho phép trình độ kiến thức cịn hạn chế, dựa sở tham khảo tài liệu có nên kết nghiên cứu dừng mức trình bày luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết, tác giả mong nhận bảo thầy Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008 Luận văn thạc sĩ 68 ý kiến đóng góp người Trong điều kiện cho phép, vấn đề mà tác giả thấy nghiên tiếp là: - Trong luận văn đề cập đến gián đoạn x= ξ ∈ [ 0,1] với ξ const Ta xét x = ξ ( t ) phụ thuộc thời gian t (biên phân chia pha thay đổi) - Trường hợp có nhiều điểm gián đoạn (bài tốn nhiều pha) - Xét tốn khơng gian nhiều chiều Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008 Luận văn thạc sĩ 69 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Lê Trọng Vinh (2007), Giáo trình Giải tích số, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Tạ Văn Đĩnh (2002), Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Lê Trong Vinh (1982), Độ lược đồ sai phân lớp phương trình dạng parabolic phi tuyến với hệ số gián đoạn, Tạp chí Tốn học tập X số 4 Tạ Văn Đĩnh (2000), Khai triển tiệm cận sai số phương pháp luân phương ẩn giải toán truyền nhiệt chiều, Kỷ yếu hội nghị Tốn học ứng dụng tồn quốc lần thứ Hà Nội, tập III Đỗ Quang Vinh (1985), Phương pháp sai phân hữu hạn giải toán chuyển pha với hệ số gián đoạn, Tạp chí Tốn học tập XII Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh (2000), Phương pháp tính thuật tốn, Nhà xuất Giáo dục Lê Đình Thịnh (1996), Phương pháp tính, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật I.I, Liaskô, A.K Boiartrue, Lê Trọng Vinh (1974), Độ lược đồ sai phân phương trình khuyếch tán mơi trường hai pha, Tạp chí Tốn học tính tốn ứng dụng Kiep số 19 B.F Đemtrenkô, Lê Trọng Vinh (1974), Độ lược đồ sai phân phương trình khuyếch tán mơi trường nhiều pha, Tạp chí Tốn học tính tốn ứng dụng Kiep số 19 Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008 Luận văn thạc sĩ 70 10 A.A.Xamarski (1971), Lý thuyết lược đồ sai phân (bản dịch), Nhà xuất Mạc Tư Khoa Tiếng Anh 11 Michael Halvorson (2008), Micorosoft Visual Basic 2008 Step by Step, Microsoft Press UK 12 Evangelos Petroutsos (2008), Mastering Microsoft Visual Basic 2008, Sybex Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008 Luận văn thạc sĩ Phụ lục: Tin học hóa tốn Giao diện chương trình: Tổng quan: Chi tiết: Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008 Luận văn thạc sĩ Mã nguồn: Class Sai phân: Imports Imports Imports Imports Imports System System.Text System.Collections.Generic System.Text.RegularExpressions System.Math Public Class clsSaiPhan ' Khai bao cac bien su dung Private _U1 As String Private _U2 As String Private _U0 As String Private _hF As String Public stth() As Double Public sttt As String Public strCaption = "Luận văn tốt nghiệp cao học" Public Property hU0() As String Get Return _U0 End Get Set(ByVal value As String) _U0 = value End Set End Property Public Property hU1() As String Get Return _U1 End Get Set(ByVal value As String) _U1 = value End Set End Property Public Property hU2() As String Get Return _U2 End Get Set(ByVal value As String) _U2 = value End Set End Property Public Property hF() As String Get Return _hF End Get Set(ByVal value As String) _hF = value End Set End Property Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008 Luận văn thạc sĩ Public Function u0(ByVal x As Double) As Double Try Dim st, stra As String st = "" stra = Replace(hU0, "x", Str(x), 1) Call xulyhamcoban(stra, st) u0 = Value(st) Catch ex As Exception Throw New Exception("Lỗi hàm u0 " & ex.Message.ToString()) End Try End Function Public Function u1(ByVal t As Double) As Double Try Dim st, stra As String st = "" stra = Replace(hU1, "t", Str(t), 1) Call xulyhamcoban(stra, st) u1 = Value(st) Catch ex As Exception Throw New Exception("Lỗi hàm u0 " & ex.Message.ToString()) End Try End Function Public Function u2(ByVal t As Double) As Double Try Dim st, stra As String st = "" stra = Replace(hU2, "t", Str(t), 1) Call xulyhamcoban(stra, st) u2 = Value(st) Catch ex As Exception Throw New Exception("Lỗi hàm u0 " & ex.Message.ToString()) End Try End Function Public Function f(ByVal x As Double, ByVal t As Double) As Double Try Dim st, stra As String st = "" stra = Replace(hF, "x", Str(x), 1) stra = Replace(hF, "t", Str(t), 1) Call xulyhamcoban(stra, st) f = Value(st) Catch ex As Exception Throw New Exception("Lỗi hàm u0 " & ex.Message.ToString()) End Try End Function ' Ham so su dung de xu ly cac ham co ban Public Sub xulyhamcoban(ByVal st As String, ByRef stra As String) Try Dim i, j As Integer Dim stcon As String Dim gt As Double st = Replace(st, "pi", Str(3.141592654), 1) st = Replace(st, "cos", "c", 1) st = Replace(st, "sin", "s", 1) st = Replace(st, "tg", "g", 1) st = Replace(st, "cotg", "o", 1) st = Replace(st, "abs", "a", 1) Phạm Ngọc Bắc Tốn Cơng Nghệ 2006 - 2008 Luận văn thạc sĩ st = Replace(st, "sqr", "q", 1) st = Replace(st, "exp", "e", 1) st = Replace(st, "ln", "l", 1) i = Do While (i < Len(st)) stcon = "" j = i Select Case Mid$(st, i, 1) Case "c" If j