Giáo trình quy hoạch tuyến tính (in lần thứ 3) phần 2

63 Chuong Bài tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Hàm Lagrange 3.1 yên ngựa 3.1.1 Hàm Bài toán đối ngẫu Điểm Lagrange Xét toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc: f(z) = cx — Az >b (P) x+>0 Dinh nghia Ham L(x,y) = cix + (b — A+)'ụ xác định uới + € R}, € IR? gọi hàm Lagrange toán Diém (x*,y*) € R† x IR? gọi điểm yên ngựa hàm Lagrange P(r:w) L(+*,) < L(z*,y*) < L(z,°),V+ € R†,Vụ € R} Lex*,y*) Ta goi (x*,y*) 14 diém yén ngua (diém déo) xudt phat ty minh hoạ điểm không gian chiều Xét mặt có phương trình z = L(r,) Khi z = +` cố định * làm cực đại hàm L(Z*, -) Khi y = * cố định z* làm cực tiểu hàm L(-,y*) Trong lân cận điểm (z*,*) mat cong z = L(x, ) có hình dáng yên ngựa (cái đèo) 64 Chương 3._ 3.1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu D6i ngẫu quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc Rõ ràng với z € ÏR? thỏa mãn điều kiện Az > b b— Az < (, maxL (xr, y) = Ụ ft z € Ïч thỏa mãn Ar > b +oœo_ trái lại Vậy tốn quy hoạch tuyến tính (P) hồn tồn tương đương với toán: minmaxL(x, y) (*) coy Đổi thứ tự lấy cực trị tốn (*) ta có tốn maxmin(z, 9) yz © Bài tốn (*) gọi toán gốc, (**) gọi toán đối ngẫu Đặt gy) mon = minL( (x,y) = nme ay m ze m min{ 58 tị + Vite j=l = ~ {by +(e- Aty)x}= ya Yi >> del Jt sui} Auw)1,} bt + éuc> y neu ‘ ~ —oo Abi Ỷ trái lại Vậy tốn (**) tốn: b'y — Aty max Alu + (-A)lu 0,v20 Bay gid đặt := u — v thi bai toan trén tré b'y —> max Aly aị + đ+a đa = 2m +za=—3 #ạ + 47a + +4 =6 xy 2>0,j=T4 3.14 Bài toán đối ngẫu 4y, — 3y2 + 6y3 -—> max tị + 2a < 3ụi ++2 a br = by (1) (2) (3) Ta đưa dạng tắc cách đưa thêm biến bù +4 có: f(x) = e121 + Coxg + C323 + Og > Ú ta —> 412, + Q1242 + 0373 — đa = by A121 + A22L2 + A2373 + 0.24 = be (§=1,4) aj 20 Bài tốn đối ngẫu là: 90) = bu: + Đyy¿ —* max any + aay max any + a2y2 G12) + 622/2 G13) † 0232 yi = 0; y2 có Như đẳng Nếu thức “>” bài tốn tốn tốn gốc, đối ngẫu Sc Š C2 Š C3 dấu tuỳ ý gốc có ràng buộc thứ ¿ ràng buộc bất toán đối ngẫu phải có điều kiện ¿ > ràng buộc thứ j 1a ràng buộc đẳng thức biến 1/; khơng có ràng buộc dấu 3.1 Ham Lagrange Bai toán đối ngẫu Điểm yên ngựa 67 2) Giả sử toán gốc là: ft) = củi + ca Quit) Ant, Zz) + + < Ger, 073 Ũ + cara = + + > ary, Q23%3 v3 = = > b O Dat t) = ~2; > Ta có tốn cyt) + C2%2 + 6323 —> ait; + Qy2%2 + 44323 = by Ay t; + A22F2 + A373 = be t), 22, x3 > Bãi toán đối ngẫu oly) = bisn + boyz —> max any — aay S -c a1241 + Ar2y2 S C2 đ13) + 623/2 Cạ ì, 92, 1a có dấu tuỳ ý hay 90) = biUi + bay —* max any + 62192 = C1 Q1241 + Ar242 < C2 41341 + A23Y2 < C3 Yi, Ya, có dấu tuỳ ý Như vậy, tốn gốc có biến z; < toán đối ngẫu, ràng buộc thứ ¿ đối ngược dấu bất đẳng thức 3) Giả sử toán gốc f(z) = cay + core + e343 —> đ112ị + 0272 + 0a2a = Đị đại#i + 02272 + 02374 = Ùạ x, c6 dau y,Z2, 23 > 68 Chương Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngu Thay x, = x, — với z1,#ÿ > 0, tốn trở thành © Í€iZ1 — ciZT + ca2¿ + cay —+ , ” — Gii1 — 0121 + 0a22 + aygx3 = by đại71" — đại21 ” + Ag2L2 + đạs#2_ = Ùạ T, 21, 22,23 >0 Bài toán đối ngẫu là: 9(y) = by: + boyz —> max — hay g(y) = bị + DaU¿ —3 max any + aay any = Gaye Se Ser any + aay < đ12 9) † 222 S C2 đ131 + 232 C3 (11/1 † G212 = Cị đG12/) † dạy S 0139) -F 02302 € €3 * ì, 2, 1/4 có dấu tuỳ ý Yay Yr Ys có dấu tuỳ ý Như tốn gốc z; có dấu tuỳ ý tốn đối ngẫu ràng buộc thứ ¡ ràng buộc đẳng thức Từ phân tích trên, bỏ qua giai đoạn chuyển tốn dạng tắc cho ta quy tắc xây dựng toán đối ngẫu toán quy hoạch tuyến tính tổng quát với ràng buộc hỗn hợp Bài toán đối ngẫu(Q) Bài toán gốc (P) cz ——› by —+3 max i=1,2, m, Vajz; =b yi > Oi i=m,+1, ,m yi tu (cd dau ý) j=) | 520 J=1/2, ,m z; có dấu tuỳ ý (tự do) | j =mị + 1, = 1.2, 1m) (¿= mì + 1, ,m) Vays Sey = 1,2, m) a Ñqui = = €jÚ = mị +1, vn) Quan hệ gốc - đối ngẫu (Primal problem - Dual problem) hoàn toàn đối xứng, nghĩa đối ngẫu toán đối ngẫu toán gốc, coi toán gốc tốn đối ngẫu ngược lại | | 31 Hàm Lagrange Bài toán đối ngẫu Điểm yên ngựa 69 Thật vậy, ta thử viết toán đối ngẫu toán (Q) cột phải bảng Trước hết ta viết lại toán (Q) thành m Đụ —+> Sau) i=l " > ec) (Tai): =-q i=l yi 1¡ tự ¬ (i = Tim) (j=m + l,n) 1,1m) (¡= (i = m, + I,m) Coi bai toan (Q) 1a bai toan géc, 4p dung quy tac néu d bang trén tốn đối ngẫu là: `(T—au)x; = -b¡_ (= rmị + 1,mn) z;>0 (= x; tu 1m) (j =n+, 1,n) hay cx — n So aij; >; j=l = So a;2; =b jal (t= 1,m)) ——_—— (i= m a, + Ì,m) z;>0 xj tudo Đó tốn (P) Vậy đối ngẫu toán đối ngẫu (Q) bà' toán gốc (P) 70 Chương Ví dụ 12 Bai todn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Bài tốn gốc ƒ(+) = 5t — T¿ + 2; + đưa — 03; ——3 mắn 3x, — ro + 273 + 3x44 475 = 80 t2; > —10 Tì †a †+ za +74 3ữị — 2#; — 203 — đá + z; < 30 #¡+z¿ Ú;#4,zs tự Bài toán đối ngẫu Ø0) = 80 — 10a + 30a + + >5 3đ) +a +3, + y2 — 2y3 S-1 2ì + a — 29a + — 1a =3 đưa +2 4yi + yo +y3 =-6 —> max (dozi 0) 0) ( z4 tự do) (do xs tu do) 1ì tự (vì ràng buộc tốn gốc:“ = ”) > (vì ràng buộc tốn gốc:“ > ”) 3,4 Ví dụ 13 < (vì ràng buộc 3, tốn gốc:“ < ”) Bài tốn gốc ƒ(2) = 2ì + 3z; — zạ + zạ —> max — 20 2; 22 > 0,23 < 0,24 tự Bài toán đối ngẫu (9) = Sy + Tyo + 20y3 —> 32 Quan hệ cặp toán đổi ngẫuCác định lý đối ngẫu 2y t+ yatys 22 WT (dor; > 0) —Utiz+y3 23 (do xr, 20) (do zz < 0) ~ựi + 2a + 3a € —L y+ yo + Ys= 1( x4 tu do) 1ì > 0( ràng buộc thứ toán gốc là“ < ”) 1a tự (do ràng buộc thứ hai toán gốc là“ = ”) a < (do ràng buộc thứ ba toán gốc là“ > ”) 3.2 Quan hệ cặp toán đối ngẫu Các định lý đối ngẫu Vì tốn quy hoạch tuyến tính đưa tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc có tốn đối ngẫu tương ứng, nên khơng tính tổng qt ta xét cặp toán đối ngẫu với toán gốc cho dạng tắc để đơn giản ta xét trường hợp tốn khơng suy biến Bài tốn gốc f(x) = cx — (n ° eal) Bài toán đối ngẫu og) = By —» max (P) Ay ly tSuedo Q) Định lý 3.2.1 Giả sử z phương án toán gốc (P), y phương án todn déi ngdu (Q) thi f(x) > g(y) Chứng gly) = b'y = (Ax,y) = (2, A’y) < (2,¢) = cx = f(z) n Dinh ly 3.2.2 Nếu +" phương án toán gốc (P), J" phương án tốn đối ngẫu (Q) có ƒ(+*) = g(°) +" phương án ưu (P), " phương án tối ưu (Q) Chứng Giả sử x phương án (P) Theo định lý 3.2.1 có f(x) > g(y*) Theo giả thiết ø(0") = ƒ(2") ƒ(z) > ƒ(z') Vậy z* phương án tối ưu toán (P) 72 Chương Bài tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Hoàn toàn tương tự, ta chứng (Q) minh * phương án tối ưu a Dinh ly 3.2.3 a) Néu tốn (P) có phương án tối ưu x” thi bai todn déi ngau (Q) có phương án tối wu y* va nguoc lại, đồng thời ƒ(r*) = g(y*) b) Nếu hàm mục tiêu ƒ(+) tốn gốc (P) khơng bị chặn dươi tốn đối ngẫu (Q) khơng có phương án Nếu hàm mục tiêu g(U) tốn đối ngẫu (Q) khơng bị chặn tốn gốc (P) khơng có phương án Chứng a) Giả sử tốn (P) có phương án tối ưu, có phương án cực biên tối ưu z* z; =0,Vj Ø J nên có Goi z* la cét thứ triển cột ø* zk = akAj!: với sở tương ứng J, ma tran cd sd la Ay Vi 4z} = b hay 25 = Aj!b k bảng đơn hình, hệ số khai ma trận A theo sở J, tức a# = zÈA; hay Ay = > ZjkŒj — Cụ = zFey — ged z* phuong 4n téi uu nén A, < 0(k = 1,2, ,n) tue 1a 06 2*ey Ce bị Ta có d'+ < bị < a'zÈ với + € Xét “nửa” ellipsoid chứa S, giao với nửa không gian '{z € R*": a+ < alzF} E¿.¡ ellipsoid tích nhỏ chứa 5.2, Phuong phap ellipsoid 135 nua ellipsoid néi trén, quay lai bude Sy „x3? Hình 5.1: chia đơi ellipsoid thu nhỏ dần Bổ đề 5.9.9 Qua bước, thể tích ellipsoid giảm dân Tỷ số giảm thể tích À= SP +T) ) Xuất phát ta có ellipsoid hình cầu nằm trọn hình hộp ?+ chiểu với cạnh 8nL Vậy thể tích (8nL)" Sau lần lặp, thể tích ellipsoid giảm À Vậy sau k phép lặp thể tích ellipsoid khơng vượt q À*(8nL)" Ta dừng phát nghiệm thé tich ellipsoid hon 27+), AF(EnL)" > 2-tn+)t hay klog,A > BR k ~ < —(n+1)L —nlog(8nL) x (n + 1)L + nlog,(8nL) logoX 4(m+1)((n + 1)L + nlog;(BnL)) Số phép toán số học bước đa thức theo m, n Bất đẳng thức chứng tổ phương pháp ellipsoid có thời gian đa thức Phương pháp ellipsoid khơng có ý nghĩa thực hành Tuy nhiên có ý nghĩa lớn lí thuyết chứng minh tốn quy hoạch tuyến tính tốn thời gian đa thức Nó khởi đầu cho trào lưu nghiên cứu phương pháp khác với phương pháp đơn hình, có thời gian đa thức để giải quy hoạch tuyến tính 136 Chuong 5.3 Phuong Thudt todn thoi gian da thite phap diém Phương pháp điểm được Karmakar [5] giới thiệu lần vào năm 1984 Đây thuật toán thời gian da thức thực có hiệu triển khai thực tiễn 5.3.1 Tư tưởng phương pháp điểm Phương pháp đơn hình tìm lời giải tốn quy hoạch tuyến tính cách di chuyển qua điểm cực biên, nằm biên miền ràng buộc Phương pháp điểm trong, tên gọi cho thấy, xuất phát từ điểm nằm bên miền ràng buộc di chuyển dân đến lời giải tối ưu luôn bên miền ràng buộc x* lời giải tối ưu Hình 5.2: Dãy điểm xấp xỉ phương pháp điểm Từ điểm xét ta di chuyển đến điểm tốt theo hướng d Hướng di chuyển tổ hợp hai thành phần Thành phần thứ hướng giảm hàm mục tiêu Thành phần thứ hai nhằm hướng vào bên để không chạm vào biên miển ràng buộc, gọi thành phần hướng tâm 5.3.2 Xác định hướng giảm Xét miền ràng buộc tốn quy hoạch tuyến tính Ar=b #@=0 Au+s=0,s>0 Số hạng thứ hàm mục tiêu dần đến —oo khoảng hãng gốc — đối ngẫu dần đến Số hạng thứ hai lượng chắn nói Ở bước, để tìm hướng giảm hàm mục tiêu sử dụng phương pháp hướng dốc phương pháp Newton 5.3.6 Phương pháp quỹ đạo trung tâm "Thay cho toán quy hoạch tuyến tính ban đầu xét dãy tốn phi tuyến sau n cx — pe D> Ing; j=l — Azr=b,xz>0 với u„ —> Số hạng thứ hai hàm mục tiêu hàm chắn logarit bước, sử dụng phương pháp Newton có ràng buộc để tìm cực tiểu hàm mục tiêu phi tuyến miền ràng buộc tuyến tính Vậy thực chất, phương pháp hàm chắn quy hoạch phi tuyến 141 Phu luc HAM LOI Dinh nghia Ham f(x) xde dinh trén tap loi C C R" duoc goi hàm lôi C néu V.r,y € C,0 < a < thoả mãn bất đẳng thức flax + (1= a)y) < af(x) + (1 - a) f(y) Nếu bất đẳng thức thoả mãn chiêu ngược lợi ƒ(z) gọi la hàm lõm, nói cách khác ƒ(+) lõm — ƒ(+) lơi Hàm tuyến tính hàm uừa lơi uừa lõm D={x€C: ƒ(z) < b} rỗng tập lắi Chứng Với +, thuộc D ƒ(z) < b, ƒ(u) < b(z,y C) Vơ € [0, 1] có ƒ(œz + (L— ø)y) < #ƒ(z) +(1— œ)ƒ(w) ab + (1 —a)b = b suy œz + (1— œ)u € D Vậy D lài HIAm Định lý Nếu ƒ(z) hàm lôi tap Idi C thi Vb € R tap hop Bổ đề I Nếu Vì = 1,2, ,rn hàm f,(x) la ham lỗi tập lôi Œ tập hợp - f(Z) Ta cn ching minh f(r) = f(), Vx €D Giả sử ngược lại : 3ro € D mà ƒ(zo) > f(F) Vì T € In£D tên ay € D để Z = œzo + (1 — œ)y,0 < œ < L Vì ƒ(z) hàm lõm tên ƒŒ) = ƒ(a+ + (1 — a)w) > af (zo) + (1 — a) fly) >-af(@) + ( — œ)ƒ(#) = ƒ(Œ) Đó điều vơ lý Vậy Vz € D ƒ(z) = ƒ() Giả sử ƒ(z) = ƒ(®) xcD Nếu Z đỉnh D định lý Nếu Z khơng phải đỉnh D - Nếu # € In£tD theo khẳng định D Vậy điểm D (trong có tiểu chứng minh xảy tình sau ta có ƒ(z) = ƒ(#),V:€ điểm D ) điểm :ực - Nếu # điểm biên không điểm cực biên # nột điểm cạnh biên (hoặc mặt phẳng biên) dé f(x) hìm cạnh (mặt đó), nên điểm cạnh có đỉnh điểm cực biên biên (mặt bimn), Vậy D có đỉnh cực tiểu đạt đỉnh b) Giả sử Z điểm cực tiểu địa phương hàm lồi ƒ(z) ập lỗi D, tức tổn lân cận W Z để ƒ(z) > ƒ(£),Vz € W nD Lấy điểm z € D, gọi giao điểm đoạn [E, z] với biên da W, thé thi nên Ta = œ# + (1— œ)+,0 < œ < Vì ƒ(z) hàm lồi trên2 f(y) = flak+ (1~ œ)z) < af () + (1 — a)ƒ(z) có ƒŒ) < ƒ(w) < &ƒ(Œ) + (L— œ)ƒ(+) hay ƒ(#) < ƒ(z),Vz € I Vậy điểm cực tiểu toàn 7D oO 145 GÀ, x Bổ đề9 Cực tiểu địa phương hàm tuyến tính đa diện lơi D cực tiểu tồn cục D uà cực tiểu đạt đỉnh D Điều suy trực tiếp từ định lý 3, 4, hàm tuyến tính ham vita 16i vừa lõm Định lý Hàm toàn phương xác định tập l6i D € R": f(r) =< a, B'x > hàm lôi u B ma trộn xác định không âm ( Ký hiệu < , > tích hướng) Nếu D ma trận xác định dương ƒ(+) hàm lơi chặt Chứng Với Vz,ụ € D, Vơ € |0, 1] có ƒ(œz+ (1— a)y) =< ar + (1 -a)y, Bar+ (1 —a)y > =< ar +(1-a)y,aB‘z+ (1—a)By >= 0? +(1- a)’ =a +a(l—a) +a(1—a) + { (1 -a)? -a + + día — 1) < ụ, By > taf(z) + (1 - a)fty) = a(œ— 1L) < #, B!(z~— 0) > +aƒ(z) + (L— œ)ƒ@) Nếu Ư ma trận xác định khơng âm < z — y, B'(x — y) >> nên Vœ € [0,1] có œ(œ — 1) < z — , B!{(z — ) >< ngược lại Vậy ƒ(az +(1— ø)) < ƒ(#)+(1— øœ) ƒ(u) Ð xác định không âm Bất đẳng thức thoả mãn chặt œ € (0, 1) Ö xác định dương o Ví dụ Hàm f(,y) = x? — 4zy + 5y* — 7x — Ty + = pi(z,y) + 2(x,y) yi(z,y) = 2? — 4z + 5u? hàm toàn phương với 146 ma tran e-( 3) -2 xác định dương định thức Ai = 1,A¿ = | nh zÍ = 1éu duong, vay (x,y) hàm lỗi, yo(x,y) = —7x — Ty + 1a hm tuyến tính (vừa lỗi vừa lõm), dé f(x,y) 1a ham 1éi Dinh ly Néu f(x) la ham loi, kha vi lién tuc trén tap lơi D khiđó V+,u € D ta có < Vƒ(),z — ụ >< f(x) — f(y) dé Vf(y = (2) Oz,’ 9/0) 8ƒ() Or.’ Chứng Oxy ) la vée ta gradient tai y Véi Va € (0,1) ta c6 flax + (1 -a)y) < œƒ(z) + ( — a) f(y) = f(y) + a( f(x) ~ ƒ()) hay a( f(x)~ f(y))2 f(yt+a(z —y))— f(y) Theo dinh ly Lagrag, tôn sốØ để ƒ(u+a(z—))— ƒ(w ) =< VE(y+0a(x-y)), a(2-y'> nén ta c6 a( f(x) — f(y)) >a< Vi (y + 8a( — 9)),(# — ) > œ € (0, 1) nên ta có f(z) — f(y) >< Vƒ(u+ 0a(+ — 0), (+ — y) > Cho œơ — 0† ta f(z) - ƒ(w) >< Vƒ(w),(z — 9) > Định lý chứng minh o Đối với trường hợp hàm biến Vƒ(y) = ƒ () nên /là hàm lỗi biến {ø,b] theo định lý vừa chứng minhta có ƒ(z) > ƒ (9)(œ — 9) + ƒ(w), nói cách khác đồ thị hàm số nm phía tiếp tuyến đồ thị tai Vy € (a, b) Hệ la ham Nếu < Vƒ(z*),+z — z" >> 0Y+ € lơi ƒ(z) — zeD D +" nghiệm tập lôi D uà hàm ƒt) tốn quy hoạch Ì¿ : Ni theo định lý có Vz € D ƒ(z)— ƒ(z*) >< Vƒ(*),xz—z'> < Vƒ(z*),# — z* >> 0Vz € D ƒ(z) > ƒ(+*) Vz € ) Trường hợp đặc biệt, z* € D điểm dừng hàm ƒ(z) (ức Vƒ(z*) = 0) z* nghiệm tốn quy hoạch lơi 147 Vi du Xét bai toan quy hoach 1éi sau R? Tìm véc tơ (z,) thoả mãn ràng buộc z+U0 cho f(x,y) =x? — + y? — 4y + dat giá trị nhỏ Ta có V(z,1) = (2z — 2,2 — 4) Vƒ/(+,) = = + = 1,ụ = Điểm dừng điểm (1, 2) Rõ ràng điểm (1, 2) thoả mãn ràng buộc toán V(Z, ) € Dyc6f (,y) — (1,2) >< Vf (1,2), (2,y)— (1,2) >= Ohay f(x,y) > ƒ(1,2),V(+,) € Dị Vậy z = 1, = nghiệm toán Lưu ý nghiệm toán quy hoạch lỗi không-nhất thiết điểm dừng hàm số: Ví dụ Xét tốn quy hoạch lơi ƒ(£,) = +? — 2z + yˆ — 4ụ + ~» uới ràng buộc rty0 Lưu ý điểm ditng cia f(x,y) diém (1,2) ¢ Do Trong điểm (0,1) € Dạ không điểm dừng ham f(x,y) vi VƒƑ(0,1) = (—2,2) Theo định lý ta có V(+,) € Dạ ƒ(+,9) — †(0,1) >< V/(0,1),(z,y) - (0,1) >=< (—2,2),(z, — 1) >= —2z—2+2 > (0 z+ < nên —2z—2u+2 > 0) hay V(+,) Dạ có ƒ(z,) > ƒ(0,1) Vậy z = 0, = nghiệm toán 148 Tài liệu tham khảo - Asmanov X A.,“Lineinoe programmirovanie”, Moskva, Nauka, 1981 _ 2- Hadley G.,“Linear programming”, Addison-Wesley, 1963 - Hoàng Tuy, “Lí thuyết quy hoạch - phần P', Nxb Khoa-học, Hà Nội, 1967 - Karmanov V.G., “Mathematical Programming”, Mir Publishers, Moscow, 1989 - §- Karmarkar N.K., “A New Polynomial-Time Algorithm for Linear Programming”, Combinatorica 4, 373-395, 1984 6- Khachiyan L.G., “A polynomial algorithm in linear programming”, Dokklady Akademiia Nauk SSSR, 244:1093-1096, 1979 - Doãn Châu Long - Lê Huy Hùng, “Lí thuyết quy hoạch tuyến tính uà Lí thuyết đồ thị hữu hạn”, Nxb Giáo dục, Hà Nội,1971 - Murtagh A B., “Aduanced Linear Programming: Computation and Practice”, - Nguyễn Đức Nghĩa, “Tối ưu hoá - Quy hoach tuyén tinh va roi rợc”, Nxb Giáo dục, Hà Nội 1996 10 - Papadimitriou C H., Steiglitz K., “Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity”, Prentice-Hall Inc., New Jersey, 1982 11 - Yudin D B., Golstein Moskva, Nauka, 1963 E G “Lineinoe programmirovanie”,