ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ========== TRẦN THỊ HƯƠNG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG LOẠI I VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ========== TRẦN THỊ HƯƠNG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG LOẠI I VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời nói đầu Kiến thức giải tích đa trị 1.1 Tập lồi tính chất 1.2 Nón khái niệm liên quan 1.3 ánh xạ đa trị 1.4 Tính liên tục liên tục theo nón ánh xạ đa trị 12 1.5 TÝnh låi theo nón ánh xạ đa trị 16 1.6 Các định lý điểm bất động ánh xạ đa trị 19 Bài toán tựa cân tổng quát loại I 22 2.1 Bài toán tựa cân tổng quát loại I 22 2.2 Một số toán liên quan 23 2.3 Sự tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát loại I toán liên quan 25 ứng dụng vào toán tối ưu đa trị 38 3.1 Bài toán tựa tối u lo¹i I 38 3.2 Bài toán quan hệ tựa biến phân loại I 43 3.3 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại I 45 Tài liƯu tham kh¶o 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Bài toán điểm cân hình thành từ khái niệm điểm hữu hiệu mà Edgeworth Pareto đề xướng từ cuối kỷ 19 Sau nhiều nhà toán học Debreu, Nash, sử dụng để xây dựng mô hình kinh tế mà năm cuối kỷ 20, nhiều nhà kinh tế giới quan tâm khai thác Để chứng minh tồn điểm cần mô hình kinh tế, người ta thường sử dụng định lý bất ®éng kiÓu Brouwer [4], Katutani [11], KyFan [8], Browder [5], Sau này, người ta đà định lý điểm bất động Brouwer tương đương với định lý tương giao hữu hạn tập compact, định lý không tương thích Hoàng Tụy [22] định lý KKM [12] Như người ta đà tìm nhiều phương pháp khác để chứng minh tồn nghiệm toán Năm 1972 Ky Fan [7] năm 1978 Brower-Minty [18] đà phát biểu toán cách tổng quát chứng minh tồn nghiệm với giả thiết khác Kết Ky Fan nặng tính nửa liên tục trên, kết Brower-Minty nặng tính đơn điệu hàm số Năm 1991, Blum Oettli [3] đà phát biểu toán cân tổng quát tìm cách liên kết toán Ky Fan Brower-Minty với thành dạng chung cho hai Các tác giả đà chứng minh tồn nghiệm toán dựa nguyên lý KKM Bài toán điểm cân bao gồm toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động, toán bù, toán điểm yên ngựa, toán cân Nash Bài toán đà N X TÊn, Phan NhËt TÜnh [23] vµ J Lin [13] më rộng cho trường hợp véctơ đa trị, mở rộng cho toán bao hàm thức tựa biến phân, toán tựa cân bằng, toán quan hệ biến phân Trong luận văn ta trình bày mở rộng toán cho lớp toán tựa cân tổng quát loại I ứng dụng Về bố cục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn gồm chương: S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch¬ng 1: Trình bày số khái niệm tính chất nón, khái niệm tính chất ánh xạ đa trị, phép tính ánh xạ đa trị, tính liên tục liên tục theo nón ánh xạ đa trị, tính lồi theo nón ánh xạ đa trị số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị cần dùng tới luận văn Chương 2: Trình bày toán tựa cân tổng quát loại I số toán liên quan như: toán tựa cân vô hướng, toán tựa cân lý tưởng trên, toán bao hàm tựa biến phân véctơ tổng quát xét tồn nghiệm chúng Chương 3: Trình bày toán tựa tối ưu, toán quan hệ tựa biến phân, toán bao hàm tựa biến phân lý tưởng tồn t¹i nghiƯm cđa chóng cịng nh mèi quan hƯ cđa toán tựa cân tổng quát loại I với toán khác Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình, chu đáo GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giúp đỡ nhiệt tình thầy suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Kinh tế - kỹ thuật toàn thể bạn đồng nghiệp trường đà tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới trường ĐHSP Thái Nguyên, Khoa Toán, thầy cô trường đà tạo điều kiện thuận lợi cho thực tốt kế hoạch học tập Cuối cùng, xin bày tỏ biết ơn tới gia đình đà bên cạnh ủng hộ động viên tạo điều kiện tốt cho học tập hoàn thành luận văn S húa bi Trung tõm Hc liu Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Do ®iỊu kiƯn thêi gian khả thân nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Vì mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiƯn h¬n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch¬ng KiÕn thøc c¬ giải tích đa trị Trong chương này, ta trình bày số kiến thức sở giải tích lồi tập lồi, nón lồi, khái niệm tính chất ánh xạ đa trị, tính liên tục theo nón ánh xạ đa trị, tính lồi theo nón ánh xạ đa trị số định lý điểm bất động Những kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu toán chương sau 1.1 Tập lồi tính chất Định nghĩa 1.1.1 Giả sử lồi với x1 , x2 ∈ A, t ∈ [0, 1] th× tx1 + (1 − t)x2 ∈ A VÝ dơ 1.1.2 X lµ không gian tuyến tính Tập A X gọi Các hình tam giác, hình tròn mặt phẳng hình cầu đơn vị không gian Banach tập lồi Mệnh đề 1.1.3 Các khẳng định sau đúng: (i) Giao họ tập lồi tập lồi; (ii) Tích đề tập lồi tập lồi; (iii) Tập ảnh ảnh ngược tập lồi qua ánh xạ tuyến tính tập lồi; (iv) Với A, B tập lồi t R tA, A + B Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn tập lồi, với http://www.lrc-tnu.edu.vn tA = {c = ta | a ∈ A}; A + B = {c = a + b | a ∈ A, b ∈ B} Cho A lµ tËp khác rỗng không gian tuyến tính X Ta kí hiệu intA, A phần bao ®ãng cđa A MƯnh ®Ị 1.1.4 Cho A⊂X lµ tËp lồi với intA 6= Khi đó, khẳng định sau đúng: intA, A tập lồi; (i) (ii) Víi x ∈ intA, y ∈ A ta cã [x, y) = {tx + (1 − t)y | < ≤ 1} ⊂ intA; (iii) A = intA; (iv) int(A) = intA Định nghĩa 1.1.5 với ti Cho A X n điểm x1 , , xn ∈ A §iĨm x = n P ≥ 0(i = 1, 2, , n) tháa m·n n P ti xi , i=1 ti = 1, gọi tổ hợp lồi i=1 điểm x1 , , xn Định nghĩa 1.1.6 tập lồi chứa Bao lồi tËp A, kÝ hiƯu bëi coA lµ giao cđa tÊt A Bao lồi đóng tập A, ký hiệu coA giao tất tập lồi đóng chứa A Từ định nghĩa ta thấy coA tập lồi tập lồi nhỏ chứa A, coA tập lồi đóng tập lồi đóng nhỏ chứa A Mệnh đề 1.1.7 Các khẳng định sau đúng: (i) (ii) coA trùng với tất tổ hợp lồi A; coA = coA Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Nón khái niệm liên quan Giả sử Y không gian tuyến tính Ta nhắc lại khái niệm nón sau Định nghĩa 1.2.1 Tập C Y gọi nón có đỉnh gốc Y tc ∈ C víi mäi c ∈ C, t ≥ Tập C Y gọi nón có đỉnh y0 tập C {y0 } nón có đỉnh gốc Trong luận văn này, ta quan tâm đến nón có đỉnh gốc gọi ngắn gọn nón Nón nón đóng tính C gọi nón lồi C tập lồi, nón C gọi C tập đóng Trong trường hợp Y không gian tôpô tuyến C lµ nãn Y , ta kÝ hiƯu clC, intC, convC bao đóng, phần bao låi cđa nãn NÕu C KÝ hiƯu l(C) = C ∩ (−C), ta thÊy r»ng: C lµ nãn lồi l(C) không gian tuyến tính nhỏ nằm C gọi phần tun tÝnh cđa nãn C Ta cã c¸c khái niệm sau nón (i) Nón C gọi lµ nãn nhän nÕu l(C) = {0}; (ii) Nãn (iii) Nón C gọi nón sắc bao đóng nón nhọn; C gọi nón ®óng nÕu cl(C) + C \ l(C) ⊂ C Ta thấy C nón đóng C nón Mệnh đề 1.2.2 Các khẳng định sau tương đương (i) (ii) C nón lồi; C +C ⊂C Víi nãn sau: vµ tC ⊂ C , víi mäi t ≥ C cho tríc Y , ta định nghĩa quan hệ thứ tự Y nh x, y ∈ Y, x ≥C y nÕu x y C Nếu nhầm lẫn, ta viết đơn giản Cho x y x, y ∈ Y , ta kÝ hiÖu x > y nÕu x − y ∈ C \ l(C) vµ x >> y nÕu x − y ∈ int(C) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 măng A giao bán cho đại lý B Ngược lại, đại lý B lấy sản phẩm từ nhà máy xi măng A Khi nhà máy A sử dụng chiến lược sản xuất sản phẩm x D đại lý B sử dụng chiến lược bán hàng y K (đối tác làm ăn nhà máy A) lÃnh đạo nhà máy A có tập chiến lược phát triển sản xuất tương ứng S(x, y) chủ đại lý B có tập chiến lược phát triển kinh doanh tương ứng xác định hàm hàm g : K ì D ì D R đại lý B xác định h : D ì K ì K R Khi vấn đề đặt là: Tìm phương án sản xuất x tập chiến lược lÃnh đạo nhà máy A y tập chiến lược bán hàng chủ đại lý B (tức phương án bán hàng T (x, y) Chi phí thất thoát nhà máy A x S(x, y), y ∈ T (x, y)) ®Ĩ tỉng chi phí nhà máy A nhỏ với chiến lược sản xuất lÃnh đạo nhà máy A tổng chi phí đại lý B nhỏ với chiến lược bán hàng chủ đại lý B Tøc lµ g(y, x, x) = minx∈S(x,y) g(y, x, x); h(x, y, y) = miny∈T (x,y) h(x, y, y) Định lý 3.1.2 Cho D, K tương ứng tập lồi, compact, khác rỗng không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff S : D ì K 2D khác rỗng; T : D ì K → 2K (x, y) ∈ D × K Khi tồn (i) ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục với F : K ì D ì D R hàm số liên tục cố định hàm số ( x, y) D ì K F (y, x, ) : D → R lµ tùa låi tho¶ m·n: x¯ ∈ S (¯ x, y¯), y¯ ∈ T (¯ x, y¯), (ii) (iii) ( hay Cho ánh xạ đa trị compact, liên tục với giá trị lồi, đóng, giá trị lồi, đóng, khác rỗng Cho víi X, Y F (¯ y , x¯, x¯) = M int∈S(¯x,¯y) F (¯ y , x¯, t) F (¯ y , x¯, t) ≥ F (¯ y , x¯, x¯) víi mäi t ∈ S(¯ x, y¯)) Chứng minh: Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : D × K → 2D nh sau: M (x, y) = {x0 ∈ S(x, y)| F (y, x, z) ≥ F (y, x, x0 ), ∀z ∈ S(x, y)}, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 (x, y) ∈ D × K Cho (x, y) D ì K cố định ta đặt B = S(x, y) G(z) = F (y, x, z) Khi hàm số G liên tục tập compact S(x, y), tồn z ∈ B tho¶ m·n G(z) ≥ G(¯ z ) víi z B , tồn z ∈ S(x, y) tho¶ m·n F (y, x, z) ≥ F (y, x, z¯) víi mäi z ∈ S(x, y) §iỊu nµy kÐo theo z¯ ∈ M (x, y) vµ M (x, y) 6= Bây sÏ chøng minh M (x, y) lµ tËp låi ThËt vËy, víi mäi x1 , x2 ∈ M (x, y) vµ mäi t ∈ [0, 1], tõ tÝnh låi cña S(x, y) ta suy tx1 + (1 − t)x2 ∈ S(x, y) Do x1 , x2 ∈ M (x, y) nªn F (y, x, z) ≥ F (y, x, x1 ), ∀z ∈ S(x, y), vµ F (y, x, z) ≥ F (y, x, x2 ), ∀z ∈ S(x, y) Vì F (y, x, ) hàm tựa låi nªn F (y, x, z) ≥ Max{F (y, x, x1 ); F (y, x, x2 )} ≥ F (y, x, (tx1 + (1 − t)x2 )), víi mäi vµ t ∈ [0, 1], z ∈ S(x, y) Tõ ®ã, ta suy tx1 + (1 − t)x2 ∈ M (x, y) M (x, y) tập lồi áp dụng định lý 2.3.8 ta có điều phải chứng minh Định lý mở rộng cho tồn nghiệm hệ hai toán tựa tối ưu sau: Định lý 3.1.3 Cho D K tập lồi, khác rỗng, compact không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff T : D ì K 2K khác rỗng ánh xạ đa trị compact, liên tục với giá trị lồi, đóng, F1 : K ìD ìD R F2 : D ìK ìK R hai hàm số liên tục Hơn với hàm số (ii) (x, y) D ì K cố định hàm số F1 (y, x, ) : D → R F2 (x, y, ) : K R hàm tựa lồi Khi tồn (i) X, Y S : D×K → 2D , (x, y) ∈ D × K tho¶ m·n: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 (iii) F1 (y, x, x) ≥ F1 (y, x, x) víi mäi x ∈ S(x, y); (iv) F2 (x, y, y) ≥ F2 (x, y, y) víi mäi y ∈ T (x, y) Chøng minh: M1 : D ì K 2D , Ta định nghĩa ánh xạ đa trị sau: M2 : D × K → 2K bëi c«ng thøc M1 (x, y) = {x0 ∈ S(x, y) | F1 (y, x, z) ≥ F1 (y, x, x0 ), ∀z ∈ S(x, y)}, M2 (x, y) = {y ∈ T (x, y) | F2 (x, y, t) ≥ F2 (x, y, y ), ∀t ∈ T (x, y)} Chøng minh t¬ng tự định lý trên, M1 , M2 ánh xạ đa trị đóng M1 (x, y), M2 (x, y) lồi, khác rỗng với (x, y) D × K XÐt M : D × K → 2D×K nh sau: M (x, y) = M1 (x, y) × M2 (x, y) Khi ®ã ta cã: i) M (x, y) 6= ∅ (do M1 (x, y) 6= ∅ vµ M2 (x, y) 6= ∅) vµ M (x, y) lµ tËp låi víi mäi ii) (x, y) ∈ D ì K M ánh xạ đa trị đóng ThËt vËy, gi¶ sư ta cã (xβ , yβ ) → (x, y), (vβ , uβ ) ∈ M (xβ , yβ ) vµ (vβ , uβ ) → (v, u) Suy vβ ∈ M1 (xβ , yβ ) từ ta có v M1 (x, y), tương tù ta còng cã u ∈ M2 (x, y) Do ®ã suy ®ỵc (v, u) ∈ M1 (x, y) × M2 (x, y) = M (x, y) iii) M ánh xạ đa trị compact M (D ì K) ⊂ M1 (D × K) × M2 (D × K) ⊂ S(D × K) × T (D × K) Như theo Định lý Ky Fan (định lý 2.3.7), tồn mÃn ( x, y) D ì K tho¶ (¯ x, y¯) ∈ M (¯ x, y¯) Tõ ®ã suy x ∈ M1 (x, y), y ∈ M2 (x, y) vµ nh vËy x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y), F1 (y, x, x) ≥ F1 (y, x, x), ∀x ∈ S(x, y), F2 (x, y, y) ≥ F2 (x, y, y), ∀y ∈ T (x, y) Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Định lý 3.1.4 Cho D, K tương ứng tập lồi, compact, khác rỗng không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, Y Cho S : D × K → 2D , T : D × K 2K ánh xạ đa trị compact, liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng Cho F : K × D × D → R, F2 : D ì K ì K R hàm số liên tục Hơn nữa, với (x, y) D ì K cố định, hàm số G : D ì K R định nghĩa G(v) = F1 (y, x, x0 ) + F2 (x, y, y ), víi v = (x0 , y ) ∈ D ì K, tựa lồi Khi tồn tho¶ m·n: x ∈ S(x, y); (i) (ii) y ∈ T (x, y); (iii) víi mäi (¯ x, y¯) ∈ D × K F1 (y, x, x) + F2 (x, y, y) ≥ F1 (y, x, x) + F2 (x, y, y); x ∈ S(x, y) vµ mäi y ∈ T (x, y) ˜ = D × K , ta định nghĩa ánh xạ đa trị S : D → 2D˜ D ˜ ˜ ×D ˜ → Z bëi công thức S(u) = S(x, y) ì T (x, y) ánh xạ F : D Khi F˜ (u, v) = F1 (y, x, x0 ) + F2 (x, y, y ) víi u = (x, y), v = (x0 , y ) ∈ D Chứng minh: Đặt tập lồi, đóng, khác rỗng không D = X ì Y , S ánh xạ đa gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X hàm số liên tục trị compact, liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng, F ta dễ dàng chứng minh cố định F (u, ) = G(.) hàm tựa lồi Do theo định u = (x, y) D thoả mÃn: lý 3.1.2 tồn u ˜∈D víi ˜ u) F˜ (˜ u, u) ≥ F˜ (˜ u, u˜), ∀u ∈ S(˜ Gi¶ sư u˜ = (x, y), từ định nghĩa S, F ta suy (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y) hay x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y) vµ F1 (y, x, x) + F2 (x, y, y) ≥ F1 (y, x, x) + F2 (x, y, y), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 víi mäi 3.2 x ∈ S(x, y), y T (x, y) Bài toán quan hệ tựa biến phân loại I Giả sử D, K, S, T định nghĩa phần trên, R(y, x, t, z) quan hệ liên kết y K, x, t, z D R quan hệ xác định đẳng thức, bất đẳng thức hàm thực bao hàm thức, giao ánh xạ đa trị Các ánh xạ đa trị M : K × D × D −→ 2X , F : K × D × D × D −→ 2X định nghĩa bởi: M (y, x, z) = {t ∈ D | R(y, x, t, z) ®óng}, (y, x, z) ∈ K × D × D; F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D Bài toán: (i) Tìm (x, y) D ì K cho x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y); (iii) R(y, x, x, z) ®óng víi z S(x, y), gọi toán tựa quan hệ biến phân Ta áp dụng định lý 2.3.8 để chứng minh tồn nghiệm toán Định lý 3.2.1 Cho D X, K Z tập lồi khác rỗng chấp nhận được, toán quan hệ tựa biến phân loại I có nghiệm điều kiện sau thỏa mÃn: (i) (ii) S T ánh xạ đa trị compact, liên tục với tập giá trị đóng, khác rỗng; ánh xạ đa trị compact, acyclic với tập giá trị khác rỗng; (iii) Với với (x, y) D ì K tồn t S(x, y) cho R(y, x, t, z) z ∈ S(x, y); (iv) Với điểm cố định (y, x) K ì D tập hợp A = {t S(x, y) | R(y, x, t, z) ®óng víi mäi z ∈ S(x, y)} lµ acyclic; (v) Quan hƯ R đóng S húa bi Trung tõm Hc liu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Chøng minh: M : K × D −→ 2X , F : K × D ì D ì D 2X ánh xạ đa trị định nghĩa M (y, x) = {t ∈ S(x, y) | R(y, x, t, z) ®óng víi mäi z ∈ S(x, y)}, (y, x) ∈ K×D F (y, x, t, z) = t − M (y, x), (y, x, t, z) ∈ K × D ì D ì D Từ điều kiện (iii) tồn r»ng t ∈ M (y, x), víi mäi z ∈ S(x, y) Điều suy F (y, x, t, z) víi mäi z ∈ S(x, y) H¬n ta thấy tập hợp A = {t ∈ S(x, y) | ∈ F (y, x, t, z), víi mäi z ∈ S(x, y)} = {t ∈ S(x, y) | t ∈ M (y, x), víi z S(x, y)} acyclic Bây ta chứng minh M ánh xạ đa trị đóng Thật vËy, gi¶ sư r»ng xβ → x, yβ → y, tβ ∈ M (yβ , xβ ), tβ → t ta ph¶i suy t ∈ M (y, x) Tõ tβ ∈ M (yβ , xβ ), ta cã thÓ thÊy r»ng R(yβ , xβ , tβ , z) ®óng víi mäi z ∈ S(xβ , yβ ) S lµ nửa liên tục x x, y y suy víi bÊt kú z ∈ S(x, y) tån t¹i zβ ∈ S(xβ , yβ ) cho zβ → z V× vËy, R(yβ , xβ , tβ , z) ®óng víi mäi Tõ z ∈ S(xβ , yβ ) (yβ , xβ , tβ , zβ ) → (y, x, t, z) vµ quan hƯ R ®ãng, ta kÕt luËn r»ng R(y, x, t, z) ®óng với z S(x, y) Điều có nghĩa t M (y, x) M ánh xạ đa trị đóng Vậy F ánh xạ đa trị đóng áp dụng định lý 2.3.8 tồn (x, y) ∈ D × K cho (i) x ∈ S(x, y); (ii) (iii) y ∈ T (x, y); ∈ F (y, x, x, z), víi mäi z ∈ S(x, y), nghĩa là, R(y, x, x, z) với z S(x, y) Chú ý 3.2.2 Ta định nghÜa quan hÖ R nh sau: R(y, x, t, z) ®óng víi ∈ F (y, x, t, z) NÕu giả thiết định lý 2.3.8 F thỏa mÃn ta toán tựa cân tổng quát loại I hệ trực tiếp toán quan hệ tựa biến phân S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 ThËt vËy, tõ ®iỊu kiƯn (iii) cđa định lý 2.3.8 tồn t S(x, y) cho R(y, x, t, z) ®óng víi mäi z ∈ S(x, y) Gi¶ sư (yβ , xβ , tβ , zβ ) → (y, x, t, z) vµ R(y, x, t, z) ®óng vËy ∈ F (yβ , x , t , z ) F ánh xạ đa trị đóng suy F (y, x, t, z) V× vËy R(y, x, t, z) ®óng vµ R lµ ®ãng Víi bÊt kú ®iĨm cè định (y, x) K ì D tập hợp A = {t ∈ S(x, y) | ∈ F (y, x, t, z), víi mäi z ∈ S(x, y)}; th× A = {t ∈ S(x, y) | R(y, x, t, z) với z S(x, y)} xyclic áp dụng định lý 3.2.1 ta kết luận tồn (x, y) D ì K cho (i) x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y); (iii) Nghĩa là, R(y, x, x, z) với z ∈ S(x, y) ∈ F (y, x, x, z), với z S(x, y) Vì vậy, Bài toán tựa cân tổng quát loại I suy toán tựa quan hệ biến phân loại I ngược lại 3.3 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại I Cho D, K, S, T định nghĩa phần trên, H, G ánh xạ đa trị với giá trị không gian Y Giả sử C : K ì D 2Y ánh xạ đa trị nón với giá trị lồi, đóng, khác rỗng Định nghĩa ánh xạ M : K × D × D −→ 2X , F : K × D × D × D −→ 2X bëi M (y, x, z) = {t ∈ D | H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + C(y, x)} (y, x, z) ∈ K × D × D; F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Bài toán: (i) T×m (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y); (iii) H(y, x, z) ⊆ G(y, x, x) + C(y, x), với z S(x, y), gọi toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng MƯnh ®Ị 3.3.1 Cho ®ãng B⊆D Y , G : B 2Y tập compact lồi khác rỗng, ánh xạ đa trị Mệnh đề 3.3.2 Cho ®ãng víi mäi z z∈B cho ∈ B B D tập compact lồi khác rỗng, C Y , G : B 2Y ánh xạ đa trị nón lồi, C tựa lồi (C) liên tục với giá trị đóng, khác rỗng Khi đó, tồn G(z) G(z) C, nón lồi C tựa lồi (C) liên tục với giá trị đóng, khác rỗng Khi đó, tån t¹i G(z) ⊆ G(z) + C, C vãi mäi z z∈B cho ∈ B Chøng minh hai mÖnh đề ta tìm thấy [13] Định lý 3.3.3 Cho D, K tập lồi khác rỗng chấp nhận theo thứ tự không gian véctơ tôpô lồi địa phương X, Z , Giả sư S : D × K −→ 2D , T : D × K −→ 2K ; H, G : K × D × D −→ 2Y , C : K ì D 2Y ánh xạ đa trị Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại I có nghiệm điều kiện sau thỏa mÃn: (i) S (ii) ánh xạ đa trị compact liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; T ánh xạ đa trị compact acyclic; (iii) C (iv) ánh xạ đa trị H (C) liên tục với giá trị đóng, khác rỗng ánh xạ đa trị nón liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; ánh xạ đa trị G C liên tục với giá trị compact, khác rỗng; S húa bi Trung tõm Hc liu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 (v) Víi bÊt kú điểm cố định (x, y) D ì K, ánh xạ đa trị G(y, x, ) C(y, x)-tựa lồi; (vi) Víi bÊt kú (y, x, z) ∈ K × D × D, H(y, x, z) ⊆ G(y, x, z) Chứng minh: Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : K × D −→ 2X , F : K × D × D × D −→ 2X bëi M (y, x) = {t ∈ S(x, y) | H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + C(y, x), ∀z ∈ S(x, y)} (y, x) ∈ K × D; F (y, x, t, z) = t − M (y, x), (y, x, t, z) ∈ K × D × D ì D Với điểm cố định (x, y) D ì K Ta áp dụng mệnh đề 3.3.1 với B = S(x, y), C = C(y, x) vµ G(z) = G(y, x, z) suy t ∈ S(x, y) cho G(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + C(y, x), víi mäi z ∈ S(x, y) Tõ (iv) ta cã H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + C(y, x) với z S(x, y) Điều tồn Giả sử t S(x, y) cho ∈ F (y, x, t, z) víi mäi z ∈ S(x, y) A = {t ∈ D | ∈ F (y, x, t, z), víi mäi z ∈ S(x, y)} NÕu t1 , t2 ∈ A H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t1 ) + C(y, x) vµ H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t2 ) + C(y, x) Tõ tÝnh C(y, x)-tùa låi trªn cđa G suy víi mäi λ ∈ [0, 1] ta cã G(y, x, t1 ) ⊆ G(y, x, λt1 + (1 − λ)t2 ) + C(y, x) hc G(y, x, t2 ) ⊆ G(y, x, λt1 + (1 − λ)t2 ) + C(y, x) VËy H(y, x, z) vËy ⊆ G(y, x, λt1 +(1−λ)t2 )+C(y, x) suy t1 +(1)t2 A A lồi acyclic Ta gi¶ sư xβ → x, yβ → y, tβ ∈ M (yβ , xβ ), tβ → t Do tβ ∈ S(xβ , yβ ) vµ tÝnh nưa liên tục S với giá trị đóng suy t ∈ S(x, y) Tõ tβ ∈ M (yβ , xβ ) ta cã H(yβ , xβ , zβ ) ⊆ G(yβ , xβ , tβ ) + C(y, x) Do H (C)-liên cận tục t¹i (1) (y, x, z), (yβ , xβ , zβ ) → (y, x, z), víi l©n V cđa gèc Y , tån t¹i β1 cho H(y, x, z) ⊆ H(yβ , xβ , zβ ) + V + C(y, x), víi mäi β ≥ β1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2) 48 Do (yβ , xβ , tβ ) (y, x, t) G C -liên tục (y, x, t), tồn cho G(yβ , xβ , tβ ) ⊆ G(y, x, t) + V + C(y, x), víi mäi β ≥ Đặt = max{1 , }, từ (1), (2) vµ (3) ta cã (3) H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + 2V + C(yβ , xβ ) + C(y, x) Do ánh xạ đa trị C liên tục với nón giá trị đóng, ta cã víi mäi l©n cËn V cđa gèc Y , C(yβ , xβ ) ⊆ C(y, x) + V V× vËy H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + 3V + C(y, x) Tõ tÝnh ®ãng cđa C(y, x) giá trị compact G ta có H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + C(y, x) Do vËy, tồn t M (y, x) ánh xạ đa trị M, F đóng áp dụng định lý 2.3.8 (x, y) ∈ D × K cho 1) x ∈ S(x, y); 2) y ∈ T (x, y); 3) ∈ F (y, x, x, z), víi mäi z ∈ S(x, y) NghÜa lµ, H(y, x, z) ⊆ G(y, x, x) + C(y, x) víi mäi z ∈ S(x, y) Định lý 3.3.4 Cho D, K tập lồi khác rỗng chấp nhận tương ứng không gian véctơ tôpô lồi địa phương X, Z S : D × K −→ 2D , T : D × K −→ 2K H, G : K × D × D −→ 2Y , C : K × D 2Y ánh xạ đa trị Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại I có nghiệm điều kiện sau thỏa mÃn: (i) S (ii) ánh xạ đa trị compact liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; T ánh xạ đa trị compact acyclic; (iii) C (iv) ánh xạ đa trị H (C) liên tục với giá trị compact khác rỗng, ánh xạ đa trị liên tục với nón giá trị lồi, đóng, khác rỗng; ánh xạ đa trị G C liên tục với giá trị đóng, khác rỗng; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 (v) Víi bÊt kú ®iĨm cè định (x, y) D ì K, ánh xạ đa trị G(y, x, ) C(y, x)-tựa lồi dưới; (vi) Víi bÊt kú Chó ý 3.3.5 NÕu (y, x, z) ∈ K × D × D, G(y, x, z) ⊆ H(y, x, z) D, K, S, T, C, Y, H, G định lý 3.3.4 tồn (x, y) ∈ D × K cho 1) x ∈ S(x, y); 2) y ∈ T (x, y); 3) H(y, x, z) ∩ (G(y, x, x) + C(y, x)) 6= φ víi mäi z ∈ S(x, y) ThËt vËy, ¸p dụng định lý 3.3.4 tồn (x, y) DìK cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); vµ G(y, x, x) ⊆ H(y, x, z) − C(y, x), với z S(x, y) Đặt a ∈ G(y, x, x) th× a = f − c, f ∈ H(y, x, z), c ∈ C(y, x) V× vËy, f = a + c ∈ G(y, x, x) + C(y, x) nªn H(y, x, z) ∩ (G(y, x, x) + C(y, x)) 6= φ víi mäi z ∈ S(x, y) Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Kết luận Luận văn trình bày kiến thức giải tích đa trị sử dụng kiến thức vào toán tựa cân tổng quát loại I toán liên quan như: Bài toán tựa cân vô hướng, toán tựa cân lý tưởng toán bao hàm thức tựa biến phân tổng quát véctơ Đồng thời, ứng dụng vào toán tối ưu đa trị như: Bài toán tựa tối ưu loại I, toán quan hệ tựa biến phân loại I toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại I Luận văn đưa điều kiện tồn nghiệm toán trên, đồng thời mèi quan hƯ cđa chóng Cơ thĨ, chó ý 3.2.2 luận văn đà toán tựa cân tổng quát loại I suy toán tựa quan hệ biến phân loại I ngược lại Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), Một số vấn đề lý thuyết tối ưu véctơ đa trị, Nxb Giáo dục [2] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2007), Lý thuyết tối ưu không trơn, Nxb Đại học Quốc gia Hà Néi [3] Blum, E and Oettli, W.(1993), "From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems", The Mathematical Student, Vol 64, pp 1-23 [4] Brouwer L E J (1912), "Uber abbildungenvon mannigfaltigheiten", math Ann 71, pp 97-115 [5] Browder, F.E (1984), "Coincidence Theorems, minimax Theorems and variational inequalities contemp", Math, 26, pp 67-80 [6] Browder, F.E (1968), "The fixed point theory of multivalued mappings in topological vector space", Math.Ann, 177, pp 238-301 [7] Fan, K.(1961), "A generalization of Tychonoff's fixed point theorem", Math Ann, 142, pp 305-310 [8] Fan, K.(1972), "A minimax inequality and application", in Inequalities 3, O.Shisha (Ed), Aca Press, New-York, [9] Gurraggio, A and Tan, N X (2002), "On General Vector QuasiOptimization Problems", Mathematical Methods of Operation Research, Vol 55, pp 347-358 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 [10] N X Hai and P Q Khanh (2007), "The solusion existence of general variational inclusion problems", J Math Anal Appl, 328, pp 12681277 [11] KakuTani, S (1944), "A generalization of Brouwers fixed point theorem", Duke Math J, 8, pp 457-459 [12] Knaster B., Kuratowski C and Mazurkiewicz S (1929), "Ein bewies des fixpunktzes fur n-dimensional simplexe", Fund Math, Vol 14, pp 132-137 [13] Lin, L J and N X Tan (2007), "On Inclusion Problems of Type I and Related Problems", J Global Optim, Vol 39, no3, pp 393-407 [14] D T Luc (1982), "On Nash equilibrium I", Acta Math Acad Sci Hungar, 40(3-4), pp 267-272 [15] D T Luc (1989), "Theory of vector optimization", Lect Notes in Eco and Math Systems, Springer Verlag, Berlin, Germany, Vol 319 [16] D T Luc and N X Tan (2004), "Existence conditions in variational inclusions with constraints", Optimization 53, pp 505-515 [17] N B Minh and N X Tan (2000), "Some Sufficient Conditions for the Existence of Equilibrium Point Concerning multivalued Mapping", Vietnam Joural of Methematics, Vol 28, pp 295-310 [18] Minty, G J (1978), "On variational inequalities for monotone operators", I Avances in Math, 30, pp 1-7 [19] Park, S (2000), "Fixed points and Quasi-equilibrium problems", Nonlinear Oper.Theory.Math and Com.Model, Vol 32, pp 1297-1304 [20] Park, S (2007), "Fixed points theorems for better admissible multimaps on almost convex sets", J.Math.Anal.Appl, 329, pp 690-702 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 [21] N X Tan (2004), "On the existence of solutions of quasi-variational inclusion problems", Journal of Optimization theory and Applications, Vol.123, pp 619-638 [22] H Tuy (1972), "Convex inequalities and the Hahn-Banach theorem", dissertationes Mathematical, CXVII [23] N X Tan and P N Tinh (1998), "On the existence of equilibrium points of vector function", Numer Funct.Anal and Opt, 19, pp 141156 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn