1 0130 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN THÀ HU CC BI TON TÜA C N BNG TÊNG QUT V ÙNG DÖNG LUN VN THC Sò TON HC ThĂi Nguyản - 2011 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN THÀ HU CC BI TON TÜA C N BNG TÊNG QUT V NG DệNG Chuyản ngnh: GII TCH M số: 60.46.01 LUN VN THC Sò TON HC Ngữới hữợng dăn khoa håc GS.TSKH NGUYN XU N TN Th¡i Nguy¶n - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Möc löc MÐ U Mët sè kián thực chuân b 1.1 Mởt số khổng gian cỡ b£n 4 1.1.1 Khæng gian metric 1.1.2 Khỉng gian ành chu©n 1.1.3 Khæng gian Hilbert 1.1.4 Khæng gian tæ pổ tuyán tẵnh lỗi a phữỡng Haussdorff 1.2 nh xÔ a tr v mởt sè kh¡i ni»m li¶n quan 1.3 Mởt số nh lẵ im bĐt ëng cì b£n 10 B i to¡n tüa c¥n bơng tờng quĂt loÔi I 2.1 t bi toĂn v c¡c b i to¡n li¶n quan 11 11 2.1.1 °t b i to¡n 11 2.1.2 C¡c b i to¡n li¶n quan 12 2.2 nh lẵ tỗn tÔi nghi»m 17 2.3 p dưng cho c¡c b i to¡n li¶n quan 19 Bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi II 3.1 3.2 t bi toĂn v cĂc b i to¡n li¶n quan 32 32 3.1.1 °t b i to¡n 32 3.1.2 C¡c b i to¡n li¶n quan 33 nh lẵ tỗn tÔi nghiằm 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 3.3 p döng cho c¡c b i to¡n li¶n quan KT LUN T i li»u tham kh£o Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 38 49 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mé U Lỵ thuyát tối ữu  v ang thu hút ữủc sỹ quan tƠm rĐt lợn cừa cĂc nh toĂn hồc trản thá giợi Lẵ thuyát ny  thƠm nhêp vo rĐt nhiÃu lắnh vỹc thỹc tá v cĂc ngnh khoa hồc kắ thuêt khĂc Trong thỹc tiạn cuởc sống cụng muốn cổng viằc hng ngy cừa mẳnh ữủc hon thnh mởt cĂch tốt nhĐt, v tẳm phữỡng Ăn tối ữu thỹc hiằn nõ Nhữ vêy, mồi ngữới cụng phÊi giÊi cĂc bi toĂn tối ữu cừa mẳnh theo mởt nghắa no õ VĐn à quan trồng nhĐt °t èi vỵi c¡c b i to¡n nâi chung v bi toĂn tối ữu nõi riảng: Vợi iÃu kiằn no bi toĂn cõ nghiằm, v náu cõ nghiằm iÃu gẳ s xÊy ra? Lẵ thuyát tối ữu vc tỡ ữủc hẳnh thnh tứ nhỳng ỵ tững và cƠn bơng kinh tá, lẵ thuyát giĂ tr cừa Edgeworth tứ nôm 1881 v Pareto tø n«m 1906 Cì sð to¡n håc cõa lẵ thuyát ny l nhỳng khổng gian cõ thự tỹ ữa bi Cantor nôm 1897, Hausdorff nôm 1906, v nhỳng Ănh xÔ ỡn tr cụng nhữ a tr tứ mët khæng gian n y v o mët khæng gian câ thù tỹ khĂc vợi nhỳng tẵnh chĐt no õ Lẵ thuyát trá chìi cõa Borel n«m 1921 v Von Neumann n«m 1926, lẵ thuyát và lữu thổng hng hõa cừa Koopmans nôm 1947 l nhỳng cổng trẳnh Ưu tiản lắnh vỹc ny Những phÊi nõi rơng cho tợi nhỳng nôm 1950 tr lÔi Ơy, sau nhỳng cổng trẳnh và iÃu kiằn cƯn v ừ cho tối ữu cừa Kuhn- Jucker nôm 1951, và giĂ tr cƠn bơng v tối ữu Pareto cừa Deubreu nôm 1954, lẵ thuyát tối ữu vc tỡ mợi thỹc sỹ ữủc cổng nhên l mởt ngnh to¡n håc quan trång v câ nhi·u ùng döng thỹc tá Cho tợi nhỳng nôm cuối cừa thá k 20, hng trôm sĂch v hng nghẳn bi bĂo viát và lắnh vỹc ny cung cĐp cho ta nhỳng phữỡng phĂp nghiản cựu v ựng dửng nhỳng lắnh vüc kh¡c Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cõa c¡c ng nh khoa hồc v kắ thuêt cụng nhữ thỹc tá Ưu tiản ngữới ta nghiản cựu nhỳng bi toĂn liản quan tợi Ănh xÔ ỡn tr tứ khổng gian Euclide cõ số chiÃu hỳu hÔn ny sang khổng gian cõ số chiÃu hỳu hÔn khĂc m thự tỹ nõ ữủc sinh bi nõn orthan dữỡng Trồng tƠm l bi to¡n: T¼m x ¯ ∈ D º f (¯ x) = f (x) x∈D â f : D → R l h m sè, D l tªp kh¡c réng cõa khỉng gian ành chu©n X Tø b i toĂn ny vợi cĐu trúc khĂc cừa têp D v tẵnh chĐt cừa hm F , ngữới ta phƠn loÔi thnh nhiÃu bi toĂn tối ữu khĂc nhữ: qui hoÔch tuyán tẵnh, qui hoÔch phƠn tuyán, qui hoÔch to n ph÷ìng, V sau â ph¡t triºn c¡c b i toĂn khĂc nhữ: - Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn Stampachia: Tẳm x D cho hT (¯ x), x − x¯i ≥ 0, ∀x ∈ D â D ⊂ Rn , T : D → Rn - Bi toĂn cƠn bơng Blum- Oettli: Tẳm x ¯ ∈ D cho f (x, x¯) ≥ 0, x D õ D l têp lỗi âng khỉng gian v²c tì tỉ pỉ X , v f : D × D → R l h m sè thäa m¢n f (x, x) = B i to¡n ny bao gỗm nhữ nhỳng trữớng hủp c biằt cĂc bi toĂn: tối ữu, cƠn bơng Nash, bi toĂn bũ, bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn, Rỗi tiáp tửc mð rëng cho c¡c b i to¡n khæng gian câ số chiÃu vổ hÔn vợi nõn bĐt kẳ Viằc ữa khĂi niằm v chựng minh ữủc sỹ tỗn tÔi cừa cĂc loÔi im hỳu hiằu cừa mởt têp hủp khỉng gian câ thù tü sinh bði nân ¢ dăn tợi viằc nghiản cựu cĂc bi toĂn tối ữu khĂc Sau õ lẵ thuyát ny ữủc phĂt trin cho nhỳng bi toĂn liản quan án Ănh xÔ a tr khổng gian vổ hÔn chiÃu Nhỳng nh nghắa, tẵnh chĐt, sỹ phƠn lợp, cĂc Ănh xÔ ỡn tr dƯn dƯn ữủc m rởng cho Ănh xÔ a tr Berge  ữa cĂc khĂi niằm khĂc cừa Ănh xÔ a tr S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn â l tẵnh nỷa liản tửc trản, nỷa liản tửc dữợi cừa Ănh xÔ a r Tữỡng tỹ khĂi niằm lỗi trản, lỗi dữợi, Lipshitz trản, Lipshitz dữợi, tẵnh khÊ vi, khÊ dữợi vi phƠn, cụng ữủc ữa Tứ nhỳng khĂi niằm ny ngữới ta tẳm ữủc nhỳng iÃu ki»n c¦n v õ kh¡c cho c¡c b i to¡n tối ữu, v cụng xƠy dỹng ữủc lẵ thuyát tối ữu cho nhiÃu lợp bi toĂn nhữ lỗi, Lipshitz, Rỗi m rởng kát quÊ cho cĂc bi toĂn tỹa nhữ: bi toĂn tỹa tối ữu, bi toĂn tỹa cƠn bơng, Mửc ẵch cừa luên vôn l trẳnh by iÃu kiằn ừ cho sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi I v bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi II ỗng thới nghiản cùu mèi quan h» giúa hai b i to¡n n y vỵi mët sè b i to¡n kh¡c nh÷ b i to¡n bao h m thực tỹa bián phƠn, bi toĂn quan hằ tỹa bián phƠn, Tứ õ cho ta cĂch nhẳn bao quĂt và mèi quan h» giúa c¡c b i to¡n kh¡c lẵ thuyát tối ữu vc tỡ Luên vôn gỗm phƯn m Ưu, ba chữỡng v ti liằu tham khÊo Cử th l Chữỡng 1: Mởt số kián thực chuân b Chữỡng 2: Bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi I Chữỡng 3: Bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi II Cuối cũng, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi thƯy giĂo GS TSKH Nguyạn XuƠn TĐn, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, tÔo mồi iÃu kiằn giúp ù tổi hon thnh luên vôn ny Tổi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m Khoa Sau Ôi hồc, Ban chừ nhiằm Khoa ToĂn Trữớng H Sữ phÔm H ThĂi Nguyản cĂc thƯy giĂo, cổ giĂo  tham gia giÊng dÔy khoĂ hồc, xin chƠn thnh cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp v cĂc bÔn lợp cao hồc ToĂn K17  luổn quan tƠm, ởng viản v giúp ù tổi suốt thới gian hồc têp v lm luên vôn S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Trong chữỡng ny trẳnh by mởt số kián thực và cĂc khổng gian thữớng dũng, Ănh xÔ a tr v mởt số tẵnh chĐt cừa nõ dỹa trản ti li»u [6] 1.1 Mët sè khỉng gian cì b£n Trong toĂn hồc hay bĐt kẳ mởt ngnh khoa hồc no kh¡c, mët b i to¡n ÷đc °t bao gií cơng gưn vợi mởt khổng gian no õ Vẳ vêy viằc nghi¶n cùu to¡n håc nâi chung, v nhúng b i to¡n cử th toĂn hồc nõi riảng, trữợc hát ta phÊi quan tƠm tợi cĂc khổng gian cừa bi toĂn Méi b i to¡n ph£i gn vỵi mët hay nhi·u khỉng gian nhĐt nh Trong chữỡng ny ta nhưc lÔi nhỳng khỉng gian cì b£n m c¡c ch÷ìng sau cõa luên vôn thữớng à cêp án 1.1.1 Khổng gian metric nh nghắa 1.1 a) Vợi mội cp phƯn tỷ x, y cõa tªp hđp X ·u câ x¡c ành theo mët qui tc n o â, mët sè thüc ρ(x, y),, gåi l kho£ng c¡ch giúa x v y; b) Qui tưc nõi trản thọa mÂn cĂc iÃu kiằn sau Ơy: (i) ρ(x, y) > 0, n¸u x 6= y; ρ(x, y) = 0, n¸u x = y; (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), ∀x, y; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), ∀x, y, z H m sè ρ(x, y) ÷đc gåi l metric cõa khỉng gian X , v (X, ρ) ÷đc gåi l khổng gian metric 1.1.2 Khổng gian nh chuân nh nghắa 1.2 Khổng gian tuyán tẵnh nh chuân l cp (X, k.k), õ X l khổng gian tuyán tẵnh cỏn k.k l mởt Ănh xÔ X R thọa mÂn (i) ∀x ∈ X , k x k≥ v k x k = v ch¿ x = 0; (ii) ∀x, y ∈ X , k x + y k≤k x k + k y k; (iii) ∀x ∈ X , ∀λ ∈ K , k λx k =k λ kk x k 1.1.3 Khæng gian Hilbert nh nghắa 1.3 Cho X l khổng gian tuyán tẵnh trản trữớng K {R, C} Hm số h., i : X ì X K ữủc gồi l tẵch vổ hữợng trản = X náu (i) hy, xi = hx, yi, ∀x, y ∈ X ( k½ hi»u hx, yi ch¿ sè phùc li¶n hđp cõa sè phùc hy, xi); (ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y ∈ X; (iii) hλx, zi = λhx, zi, ∀λ ∈ K; (iv) hx, xi ≥ 0; hx, xi = ⇔ x = Khæng gian X ữủc trang b tẵch vổ hữợng gồi l khổng gian ti·n Hilbert Trong khæng gian ti·n Hilbert ta luæn câ b§t ¯ng thùc CauchySchwarz sau | hx, yi |2 ≤ hx, xi.hy, yi, ∀x, y ∈ X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 (v) Vợi t D cố nh têp B = {t ∈ D | ∈ F (y, x, t) vỵi mët v i y ∈ Q(x, t)} l mð D; (vi) F : K × D × D 2Y l Ănh xÔ a tr Q- KKM Chựng minh nh xÔ a tr M : D 2D ÷đc x¡c ành nh÷ sau: M (x) = {t ∈ D | ∈ F (y, x, t) vỵi mët vi y Q(x, t)} Ta thĐy rơng vợi x ¯ ∈ D, x¯ ∈ P1 (¯ x), m M (¯ x) ∩ P2 (¯ x) = ∅, th¼ ∈ F (y, x¯, t), ∀t ∈ P2 (¯ x) v y ∈ Q(¯ x, t) Do â ành l½ ữủc chựng minh xong BƠy giớ ta ch sỹ tỗn tÔi cừa x Thêt vêy, giÊ sỷ rơng vợi bĐt kẳ x P1 (x) thọa mÂn M (x) P2 (x) 6= Xt Ănh xÔ a trà H : D → 2D x¡c ành bði H(x) = (coM )(x) ∩ (coP2 )(x), x ∈ P1 (x); P2 (x), x ∈ P1 (x) é Ơy (coN )(x) = coN (x) Tiáp án ta khng nh rơng náu vợi bĐt kẳ y D, N −1 (y) l mð th¼ (coN )−1 (y) mð Thªt vªy gi£ sû y ∈ D n P −1 v x ∈ co(N (x)) th¼ y ∈ (coN ) (y), y = αi yi , vỵi ≤ αi ≤ 1, n P i=1 αi = 1, yi ∈ N (x), suy x ∈ N −1 (yi ), i = 1, 2, , n Tø N −1 (yi ), i=1 i = 1, 2, , n l mð, cõ mởt lƠn cên U (x) cừa x cho U (x) ⊆ N −1 (yi ), ∀i = 1, 2, , n, k²o theo yi ∈ N (z), ∀z ∈ U (x) v i = 1, 2, , n Do n P â y = αi yi ∈ (coN )(z) vỵi z ∈ U (x) v U (x) ⊆ (coN )1 (y) vẳ thá i=1 (coN ) (y) l m BƠy giớ ta ch H thọa mÂn cĂc giÊ thiát cừa nh lẵ 1.18 Thêt vêy, vợi x ∈ D, x ∈ P1 (x), M (x) ∩ P2 (x) 6= ∅, ta câ H(x) 6= ∅ v D = xD H (x) Tứ giÊ thiát (v) thẳ vợi bĐt kẳ x D, M (x) l tªp mð, k²o theo −1 H −1 (x) = (coM )−1 (x) ∩ (coP2 )−1 (x) ∪ (P2 −1 (x)\D0 ), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 â D0 = {x ∈ D : x ∈ P1 (x)} l tªp âng D Do â H −1 (x) l tªp mð D, ∀x ∈ D Hìn núa, n¸u câ x¯ ∈ D cho x¯ ∈ H(¯ x) = coM (¯ x) ∩ coP2 (¯ x), th¼ câ thº tẳm ữủc t1 , t2 , , tn M (¯ x) n n P P cho x ¯ = αi ti , αi ≥ 0, αi = Tø ành ngh¾a cõa M ta câ i=1 i=1 6∈ F (y, x, tj ) vỵi mët v i y ∈ Q(x, tj )}, ∀i = 1, 2, , n Vợi F l Q KKM cõ th tẳm ữủc mët ch¿ sè j = 1, 2, , n cho ∈ F (y, x, tj ), ∀y ∈ Q(x, tj ) Do õ ta cõ sỹ mƠu thuăn Vêy vợi bĐt kẳ x D, x H(x) p dửng nh lẵ 1.18 suy tỗn tÔi x ∈ D cho H(¯ x) = ∅ N¸u x¯ ∈ P1 (¯ x) th¼ H(¯ x) = P2 (¯ x) = ∅, i·u n y khæng thº x£y Do õ, ta kát luên rơng x P1 ( x) v H(¯ x) = coM (¯ x) ∩ coP2 ( x) = Nhữ vêy ta cõ sỹ mƠu thuăn v nh lẵ ữủc chựng minh xong 3.3 p dưng cho c¡c b i to¡n li¶n quan Mët sè ùng dửng cừa nh lẵ 3.1 l chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn tỹa cƠn bơng, bi toĂn bao hm thực bián phƠn, , cõ th ch c¡c h» qu£ sau H» qu£ 3.2 Cho D, K, P1, P2, Q nhữ nh lẵ 3.1 GiÊ sû Φ : K × D × D → R l hm số (Q, R+ )tỹa lỗi theo ữớng cho vỵi Φ(y, x, x) = 0, ∀y ∈ K, x ∈ D Gi£ sû vỵi t ∈ D cè ành, h m sè Φ(., , t) : K × D → R l nỷa liản tửc trản, thẳ tỗn tÔi x ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) v Φ(y, x¯, t) ≥ 0, ∀t ∈ P2 (¯ x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên v y ∈ Q(¯x, t) http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Chùng minh °t F (y, x, t) = Φ(y, x, t) R+ vợi (y, x, t) K ì D ì D Ta thĐy rơng vợi t D cố ành tªp B = {x ∈ D | 6∈ F (y, x, t) vợi bĐt kẳ y Q(x, t)} = {x ∈ D | Φ(y, x, t) < 0} l mð D Tø Φ l (Q, R+ )tỹa lỗi theo ữớng cho ối vợi bián thự suy vợi bĐt kẳ têp hỳu hÔn {t1 , t2 , , tn } ⊆ D, x ∈ co{t1 , t2 , , tn } câ mët j ∈ {1, 2, , n} cho Φ(y, x, tj ) ∈ Φ(y, x, x) + R+ , ∀y ∈ Q(x, tj ) i·u n y ngh¾a l Φ(y, x, tj ) ≥ v ∈ F (y, x, tj ), ∀y ∈ Q(x, tj ) Do â F l ¡nh xÔ a tr Q KKM tứ K ì D ì D vo 2R Vẳ vêy P1 , P2 , Q v F thäa m¢n måi i·u ki»n cõa nh lẵ 3.1, suy tỗn tÔi x D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) v ∈ F (y, x¯, t), ∀t ∈ P2 (¯ x) v y Q( x, t) iÃu ny tữỡng ữỡng vợi Φ(y, x¯, t) ≥ 0, ∀t ∈ P2 (¯ x) v y ∈ Q(¯ x, t) H» qu£ 3.3 Cho D, K, P1, P2 v Q nhữ nh lẵ 3.1 Gi£ sû G, H : K × D × D 2Y l cĂc Ănh xÔ a tr vợi gi¡ trà compc v G(y, x, x) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x) vợi (y, x) K ì D Gi£ sû C : K × D → 2Y l Ănh xÔ nõn a tr vợi giĂ tr khĂc rộng, lỗi, õng Hỡn nỳa, náu (i) Vợi t D cố nh, Ănh xÔ a tr G(., , t) : K ì D 2Y l (C) liản tửc dữợi v Ănh xÔ a tr N : K × D → 2Y x¡c ành bði N (y, x) = H(y, x, x) l C − li¶n tưc tr¶n; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 (ii) G l (Q, C) − tỹa lỗi trản theo ữớng cho ối vợi bián thự thẳ tỗn tÔi x D cho x ∈ P1 (¯ x) v G(y, x¯, t) ⊆ H(y, x¯, x¯) + C(y, x¯), ∀t ∈ P2 (¯ x) v y Q(x, t) Chựng minh CĂc Ănh xÔ a trà M : K × D → 2X , F : K ì D ì D 2D ữủc x¡c ành bði: M (y, x) = {t ∈ D | G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x)}, (y, x) ∈ K × D; F (y, x, t) = t − M (y, x), (y, x, t) K ì D ì D Vợi t D cè ành, tªp A = {x ∈ D | ∈ F (y, x, t), ∀y ∈ Q(x, t)} = {x ∈ D | t ∈ M (y, x), ∀y ∈ Q(x, t)} = {x ∈ D | G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), ∀y ∈ Q(x, t)} l âng D Thªt vªy, gi£ sû dÂy {x } A v x x, lĐy tũy ỵ y Q(x, t) Tứ Q(., t) l Ănh xÔ nỷa liản tửc trản v x x suy tỗn tÔi dÂy {y }, y Q(x , t) cho y y Vợi bĐt kẳ lƠn cên V cừa gốc Y cõ mởt ch¿ sè α0 cho ∀α ≤ α0 ta câ G(y, x, t) ⊆ G(yα , xα , t) + V + C(yα , xα ) ⊆ H(yα , xα , xα ) + V + C(yα , xα ) ⊆ H(y, x, x) + 2V + C(y, x) i·u ny v giĂ tr compưc cừa H dăn án G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), v â x ∈ A Vªy A l âng D v tªp B = D\A = {x ∈ D | ∈ F (y, x, t), vỵi mët v i y ∈ Q(x, t)} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 l mð D Hìn núa, tø G(y, x, x) ⊆ H(y, x, x)+C(y, x) vợi bĐt kẳ (y, x) K ìD v G l (Q, C) tỹa lỗi trản theo ữớng cho ối vợi bián thự 3, suy vợi bĐt kẳ têp hỳu hÔn {t1 , t2 , , tn } ⊆ D, x ∈ co{t1 , t2 , , tn } câ mët j ∈ {1, 2, , n} cho G(y, x, tj ) ⊆ G(y, x, x) + C(y, x) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), y Q(x, t) iÃu ny dăn án ∈ F (y, x, tj ) v F l Ănh xÔ a tr Q KKM Vêy Ăp dửng nh lẵ 3.1 suy tỗn tÔi x ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) v ∈ F (y, ξ, x¯, t), ∀t ∈ P2 (¯ x) v (y, ξ) ∈ Q(¯ x, t) i·u ny tữỡng ữỡng vợi G(y, x, t) H(y, x, x¯) + C(y, x¯), ∀t ∈ P2 (¯ x) v y Q( x, t) Tữỡng tỹ hằ quÊ trản ta câ h» qu£ sau: H» qu£ 3.4 Cho D, K, P1, P2 v Q nhữ nh lẵ 3.1 Gi£ sû G, H : K × D × D 2Y l cĂc Ănh xÔ a tr vợi giĂ trà compc v H(y, x, x) ⊆ G(y, x, x) C(y, x) vợi (y, x) K ì D Gi£ sû C : K × D → 2Y l Ănh xÔ nõn a tr vợi giĂ tr khĂc rộng, lỗi, õng Hỡn nỳa, náu (i) Vợi t D cố nh, Ănh xÔ a tr G(., , t) : K ì D 2Y l (C) liản tửc trản v Ănh xÔ a tr N : K ì D → 2Y x¡c ành bði N (y, x) = H(y, x, x) l C liản tửc dữợi; (ii) G l (Q, C) tỹa lỗi trản theo ữớng cho ối vợi bián thự thẳ tỗn tÔi x ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) v H(y, x¯, x¯) ⊆ G(y, x¯, t) − C(y, x¯), ∀t ∈ P2 (¯ x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên v y ∈ Q(¯x, t) http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Chùng minh Chùng minh t÷ìng tü H» qu£ 3.3 H» qu£ 3.5 Cho D, K, P1, P2 v Q nhữ nh lẵ 3.1 GiÊ sỷ G, H : K × D × D → 2Y l cĂc Ănh xÔ a tr vợi giĂ tr compưc v Gi£ sû C : K × D → 2Y l Ănh xÔ a tr nõn vợi giĂ tr khĂc rộng, lỗi, õng Hỡn nỳa, náu (i) Vợi t D cố nh, Ănh xÔ a tr G(., , t) : K ì D 2Y l (C) liản tửc trản v Ănh xÔ a tr N : K × D → 2Y x¡c ành bði N (y, x) = H(y, x, x) l C − li¶n tưc tr¶n; (ii) Vợi bĐt kẳ têp hỳu hÔn {t1, t2, , tn} ⊂ D v x ∈ co{t1, t2, , tn} câ mët j ∈ {1, 2, , n} cho G(y, x, tj ) 6⊆ H(y, x, x) + intC(y, x), ∀t ∈ P2 (¯ x) v y ∈ Q(¯x, t), thẳ tỗn tÔi x D cho x ∈ P1 (¯ x) v G(y, x¯, t) 6⊆ H(y, x¯, x¯) + intC(y, x¯), ∀t ∈ P2 (¯ x) v y Q(x, t) Chựng minh CĂc Ănh xÔ a trà M : K × D → 2X , F : K ì D ì D 2D ữủc x¡c ành bði: M (y, x) = {t ∈ D | G(y, x, t) 6⊆ H(y, x, x) + intC(y, x)}, (y, x) ∈ K × D; F (y, x, t) = t − M (y, x), (y, x, t) K ì D ì D Vợi t D cè ành, tªp A = {x ∈ D | ∈ F (y, x, t), ∀y ∈ Q(x, t)} = {x ∈ D | t ∈ M (y, x), ∀y ∈ Q(x, t)} = {x ∈ D | G(y, x, t) 6⊆ H(y, x, x) + intC(y, x), ∀y ∈ Q(x, t)} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 l âng D Thêt vêy, giÊ sỷ dÂy {x } D v x x, lĐy tũy ỵ y Q(x, t) Tứ Q(., t) l Ănh xÔ nỷa liản tửc dữợi v x x suy tỗn tÔi dÂy {y }, yα ∈ Q(xα , t) cho yα → y Vợi bĐt kẳ lƠn cên V cừa gốc Y câ mët ch¿ sè α0 cho ∀α ≤ α0 ta câ c¡c bao h m thùc sau G(yα , xα , t) ⊆ G(y, x, t) + V − C(y, x), H(y, x, x) ⊆ H(yα , xα , xα ) + V + C(yα , xα ) Vỵi xα ∈ A, ta câ G(yα , xα , t) 6⊆ H(yα , xα , xα ) + intC(yα , xα ) v G(y, x, t) + V − C(y, x) 6⊆ H(yα , xα , xα ) + intC(yα , xα ) + C(yα , xα ) Do â G(y, x, t) + V − C(y, x) 6⊆ H(y, x, x) + V + intC(y, x) v ta câ G(y, x, t) + V 6⊆ H(y, x, x) + intC(y, x) vợi bĐt kẳ lƠn cên V cừa gốc Y BƠy giớ giÊ sỷ rơng G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + intC(y, x) Vỵi bĐt kẳ lƠn cên V cừa gốc Y , tỗn tÔi a G(y, x, t), v V v aα + vα 6∈ H(y, x, t) + intC(y, x) Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ th giÊ sû aα → a v vα → th¼ aα + vα → a ∈ G(y, x, t) ⊆ H(x, x, x) + intC(y, x) V¼ H(x, x, x) + intC(y, x) l têp m nản tỗn tÔi cho ∀α ≤ α0 ta câ aα + vα 6∈ H(y, x, t) + intC(y, x) v ta câ sỹ mƠu thuăn Vêy G(y, x, t) H(y, x, x) + intC(y, x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 i·u n y cho thĐy x A nản A l têp âng D Do â vỵi t ∈ D cè ành, tªp B = D\A = {x ∈ D | 6∈ F (y, x, t), vỵi mët v i y ∈ Q(x, t)} l mð Hìn núa i·u ki»n (ii) cho thĐy F l Ănh xÔ a tr Q KKM Vêy Ăp dửng nh lẵ 3.1 ta cõ tỗn tÔi x D cho x P1 (¯ x) v ∈ F (y, x¯, t), ∀t ∈ P2 (¯ x) v y ∈ Q(¯ x, t) iÃu ny tữỡng ữỡng vợi G(y, x, t) H(y, x¯, x¯) + intC(y, x¯), ∀t ∈ P2 (¯ x) v y ∈ Q(¯ x, t) T÷ìng tü h» qu£ tr¶n ta câ h» qu£ sau H» qu£ 3.6 Cho D, K, P1, P2 v Q nh÷ ành l½ 3.1 Gi£ sû G, H : l c¡c ¡nh xÔ a tr Cho C : K ì D 2Y l Ănh xÔ a tr nõn liản tửc trản vợi giĂ tr khĂc rộng, lỗi, õng Hỡn nỳa, náu (i) Vợi t D cố nh, Ănh xÔ a trà G(., , t) : K × D → 2Y l C liản tửc dữợi v Ănh xÔ a trà N : K × D → 2Y x¡c ành bði N (y, x) = H(y, x, x) l (−C) liản tửc trản vợi giĂ tr com pưc; (ii) Vợi bĐt kẳ têp hỳu hÔn {t1, t2, , tn} ⊂ D v x ∈ co{t1, t2, , tn} câ mët j ∈ {1, 2, , n} cho H(y, x, x) 6⊆ G(y, x, tj ) − intC(y, x), ∀t ∈ P2 (¯ x) v y ∈ Q(¯ x, t), thẳ tỗn tÔi x D cho K × D × D → 2Y x¯ ∈ P1 (¯ x) v H(y, x¯, x¯) 6⊆ G(y, x¯, t) − intC(y, x¯), ∀t ∈ P2 (¯ x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên v y ∈ Q(¯x, t) http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Chùng minh Chùng minh t÷ìng tü H» qu£ 3.5 H» qu£ 3.7 Cho D, K, P1, P2 v Q nhữ nh lẵ 3.1 Gi£ sû R l quan h» giúa y ∈ K , x D, t D Náu (i) Vợi t ∈ D cè ành, quan h» R(., , t) giúa y ∈ K , x ∈ D l âng; (ii) R l Q KKM thẳ tỗn tÔi x ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) v R(y, x¯, t) x£y ra, ∀t ∈ P2 (¯ x) v y Q(x, t) Chựng minh CĂc Ănh xÔ a trà M : K × D → 2X F : K ì D ì D 2D ữủc xĂc ành bði M (y, x) = {t ∈ D | R(y, x, t) x£y ra} F (y, x, t) = t − M (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D Vỵi t ∈ D cè ành, x²t tªp A = {x ∈ D | R(y, x, t) x£y ra, ∀y ∈ Q(x, t)} = {x ∈ D | ∈ F (y, x, t), ∀y ∈ Q(x, t)} Lêp luên tữỡng tỹ nhữ chựng minh H» qu£ 3.3, ta câ A l tªp âng D Do â tªp B = D\A = {x ∈ D | 6∈ F (y, x, t), vỵi mët v i y ∈ Q(x, t)} l mð D Hìn núa, tø R l Q − KKM suy F l Ănh xÔ a tr Q KKM Do õ, Ăp dửng nh lẵ 3.1 ta suy tỗn tÔi x D cho x P1 (¯ x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 v R(y, x¯, t) x£y ra, ∀t ∈ P2 (¯ x) v y ∈ Q(¯ x, t) H» qu£ 3.8 Cho D, K, P1, P2 v Q nhữ nh lẵ 3.1 GiÊ sỷ G : l Ănh xÔ a tr Náu cĂc iÃu kiằn sau thọa mÂn: (i) Vợi t D cố nh, Ănh xÔ a tr G(., t) : K 2Y l õng; (ii) Vợi bĐt kẳ têp hỳu hÔn {t1, t2, , tn} ⊂ D v x ∈ co{t1, t2, , tn} câ mët j ∈ {1, 2, , n} cho x ∈ G(y, tj ) x£y ra, ∀t ∈ P2 (¯ x) v y ∈ Q(¯ x, t) Khi Đy tỗn tÔi x D cho K × D → 2Y \ x¯ ∈ P1 (¯ x) ∩ { \ G(y, t)} t∈P2 (¯ x) y∈Q(¯ x,t) Chựng minh nh xÔ a tr F : K × D × D → 2X ÷đc x¡c ành bði F (y, x, t) = x − G(y, t), (y, x, t) K ì D ì D Vợi t ∈ D cè ành, tªp A = {x ∈ D | ∈ F (y, x, t), ∀y ∈ Q(x, t)} = {x ∈ D | x ∈ G(y, t), ∀y ∈ Q(x, t)} l tªp âng D Thªt vêy, giÊ sỷ dÂy {x } A v x x, lĐy tũy ỵ y Q(x, t) Tứ Q(., t) l Ănh xÔ nỷa liản tửc dữợi v x x suy tỗn tÔi dÂy {y }, yα ∈ Q(xα , t) cho yα → y Do â xα ∈ G(yα , t), xα → x; yα → y T½nh âng cõa G(., t) dăn án x G(y, t) iÃu ny nghắa l x A nản A l têp õng Do õ tªp B = D\A = {x ∈ D | 6∈ x−G(y, t) = F (y, x, t), vỵi mët v i y ∈ Q(x, t)} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 l m D Hỡn nỳa, tứ iÃu kiằn (ii) dăn án vợi bĐt kẳ têp hỳu hÔn {t1 , t2 , , tn } ⊂ D v x ∈ co{t1 , t2 , , tn } câ mët j ∈ {1, 2, , n} cho ∈ F (y, x, tj ) x£y ra, ∀t ∈ P2 (¯ x) v y ∈ Q(¯ x, t) i·u n y cho th§y F l Ănh xÔ a tr Q KKM Vêy Ăp dửng nh lẵ 3.1 ta cõ tỗn tÔi x ¯ ∈ D cho ∈ F (y, x¯, t) x£y ra, ∀t ∈ P2 (¯ x) v y Q( x, t) iÃu ny dăn án \ x¯ ∈ P1 (¯ x) ∩ { \ G(y, t)} tP2 ( x) yQ( x,t) Ta cõ hằ quÊ dữợi Ơy l trữớng hủp c biằt cừa hằ quÊ trản m nâ ch½nh l ành l½ KKM H» qu£ 3.9 Cho D l têp lỗi, com pưc cừa X ThẳT vợi bĐt kẳ Ănh xÔ KKM G : D → 2D vỵi gi¡ trà âng kh¡c réng, ta câ t∈D G(t) 6= ∅ H» qu£ 3.10 Cho D, K, P1, P2 v Q nhữ nh lẵ 3.1 Gi£ sû F ⊆ K × D × D l têp tũy ỵ thọa mÂn cĂc iÃu kiằn sau: (i) Vợi t D cố nh, têp B = {x ∈ D | (y, x, t) 6∈ F, vỵi mët v i y ∈ Q(x, t)} l mð D; (ii) Vợi bĐt kẳ têp hỳu hÔn {t1, t2, , tn} ⊂ D v x ∈ co{t1, t2, , tn} câ mët j ∈ {1, 2, , n} cho (y, x, tj ) ∈ F, ∀t ∈ P2 (x) v y Q(x, t) Khi õ tỗn tÔi x ∈ D cho x¯ ∈ P1(¯x) v (y, x¯, t) ∈ F, ∀t ∈ P2 (¯ x) v y ∈ Q(¯ x, t) S ( i·u n y ngh¾a l t∈P (x) Q(¯x, t) × {¯x} × {t} ⊆ F ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Chựng minh CĂc Ănh xÔ a trà M : K × D → 2X ; F : K ì D ì D 2D ữủc x¡c ành bði M (y, x) = {t ∈ D | (y, x, t) ∈ F(y, x) ∈ K × D, F (y, x, t) = t − M (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D Tø i·u ki»n (i) vỵi t ∈ D cè ành, tªp B = {x ∈ D | 6∈ F (y, x, t), vỵi mët v i y ∈ Q(x, t)} = {x ∈ D | (y, x, t) 6∈ F, vỵi mët v i y ∈ Q(x, t)} l mð D Hỡn nỳa, iÃu kiằn (ii) dăn án F l Ănh xÔ a tr Q KKM Vêy ho n th nh chùng minh h» qu£ n y ta ch¿ c¦n ¡p dưng ành l½ 3.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 KT LUN Luên vôn trẳnh by kát quÊ và sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi I v loÔi II V Ăp dửng cĂc kát quÊ ny chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa mởt số bi toĂn liản quan nhữ bi toĂn quan hằ tỹa bián phƠn, bi toĂn bao hm thực tỹa bián phƠn, CĂc kát quÊ chẵnh cừa luên vôn l - Tr¼nh b y i·u ki»n õ º b i to¡n tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi I cõ nghiằm - ng dửng nh lẵ và sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi I chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa cĂc bi toĂn liản quan nhữ bi toĂn quan hằ tỹa bián phƠn loÔi I, bi toĂn bao hm thực tỹa bián phƠn loÔi I, bi toĂn tỹa cƠn bơng, - Trẳnh by iÃu kiằn ừ bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi II cõ nghiằm - ng dửng nh lẵ và sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi II chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa mởt số bi toĂn liản quan nhữ bi toĂn quan hằ tỹa bián phƠn loÔi II, bi toĂn bao hm thực tỹa bián phƠn loÔi II, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 T i li»u tham kh£o [1] Guerraggio, A and Tan, N.X (2002), "On General Vector QuasiOptimization Problems", search, Vol 55, 347-358 Mathematical Methods of Operation Re- [2] Lin, L.J and Tan, N.X (2007), "On Inclution Problems of Type I and Related Problems", J Global Optim, Vol 39 , no.3, 393-407 [3] Tuan, L A and Sach, P.H (2004), "Existence of solutions of genneralized quasi variational inequalities with set- valued maps", Math Vietnam 29, 309-316 Acta [4] Park, S (2000), "Fixed points and Quasi- Equilibrium Problems Non- linear Operator Theory", Mathematical and computer Modelling, Vol 32 , 1297-1304 [5] Luc, D T (2008), "An Abstract problem in Variational Analysis", J Optim theory Appl, Vol 138, no.1, 65-76 [6] Nguyạn XuƠn TĐn, Nguyạn BĂ Minh (2006), thuyát tối ÷u a trà, Nxb gi¡o dưc Mët sè v§n · l½ [7] Truong thi thuy Duong and Nguyen Xuan Tan (2010), "On the Generalized Quasi-equilibrium Problem of Type I and Related Problems", Adv Nonlinear Var Inequal, 13, No.1, 29-47 [8] Truong thi thuy Duong and Nguyen Xuan Tan (2011), "On the Generalized Quasi-equilibrium Problem of Type II and Related Problems", Acta Mathematica Vietmamica, (to appear) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 [9] Luc, D T and Tan, N X (2004), "Existence condition in variational inclutions with con- straints", Optimization 53 505-515 [10] Hai, N X and Khanh, P Q (2007), "The solution existence of general variational inclution problems",J Math Anal Appl, 328, 1268- 1277 [11] Yannelis, N.C and Prabhaker, N D (1983), "Existence of maximal elements and equalibria in linear topological space",J Math Eco, Vol 12, PP 233- 245 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn