Bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐOÀN TRUNG KIÊN BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐOÀN TRUNG KIÊN BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT HỖN HỢP Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Thái Nguyên, tháng 02 năm 2015 Tác giả Đoàn Trung Kiên Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn, người đặt tốn tận tình hướng dẫn suốt q trình nghiên cứu tơi Đồng thời tơi chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, sau Đại học - Trường Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho để hồn thành luận văn Tơi gửi lời cảm ơn đến bạn lớp Cao học Toán K21, chia sẻ, động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Tôi vô biết ơn Bố, mẹ, anh, chị, em gia đình mình, cảm thơng chia sẻ hai năm qua để học tập hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 02 năm 2015 Tác giả Đồn Trung Kiên Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đặt vấn đề 1.2 Nón khái niệm liên quan 1.3 Ánh xạ đa trị 1.4 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.5 Tính lồi ánh xạ đa trị 13 1.6 Một số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị 15 Chƣơng 2: BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT HỖN HỢP 18 2.1 Đặt vấn đề 18 2.2 Một số toán liên quan 19 2.3 Sự tồn nghiệm 24 2.4 Ứng dụng 43 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iv BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT Trong luận án ta dùng kí hiệu với ý nghĩa xác định đây: ℕ∗ Tập hợp số tự nhiên khác không 𝑋∗ Không gian đối ngẫu 𝑋 ℚ Tập hợp số hữu tỷ ℝ Tập hợp số thực ℝ+ Tập hợp số thực không âm ℝ− Tập hợp số thực không dương ℝ𝑛 Không gian vecto Euclid 𝑛 – chiều ℝ𝑛+ Tập hợp vecto có thành phần khơng âm khơng gian ℝ𝑛 ℝ𝑛− Tập hợp vecto có thành phần không dương không gian ℝ𝑛 2𝑋 Tập tập tập hợp 𝑋 𝜉, 𝑥 𝑖 = 1, 𝑛 𝑥∝ Giá trị 𝜉 ∈ 𝑋 ∗ 𝑥 ∈ 𝑋 𝑖 = 1,2, … 𝑛 Dãy suy rộng 𝑥𝑛 ⇀ 𝑥 𝑥𝑛 hội tụ yếu tới 𝑥 ∅ Tập rỗng ∃𝑋 Tồn 𝑋 ∀𝑥 Mọi x 𝐹: 𝑋 → 2𝑌 Ánh xạ đa trị tự tập 𝑋 vào tập 𝑌 𝑑𝑜𝑚𝐹 Miền định nghĩa ánh xạ 𝐹 𝐺𝑟𝐹 Đồ thị ánh xạ đa trị 𝐹 𝐶′ Nón đối ngẫu nón 𝐶 𝐶′+ Nón đối ngẫu chặt nón 𝐶 𝐶′− Nón đối ngẫu yếu nón 𝐶 𝐴𝐵 𝐴 tập 𝐵 𝐴⊈𝐵 𝐴 không tập 𝐵 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ v 𝐴∪𝐵 Hợp hai tập hợp 𝐴 𝐵 𝐴∩𝐵 Giao hai tập hợp 𝐴 𝐵 𝐴∖𝐵 Hiệu hai tập hợp 𝐴 𝐵 𝐴+𝐵 Tổng đại số hai tập hợp 𝐴 𝐵 𝐴×𝐵 Tích Descartes hai tập hợp 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝐴 Bao lồi tập 𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑒𝐴 Bao nón lồi tập hợp 𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑀 Nón sinh tập 𝑀 𝑐𝑙𝐴 Bao đóng topo tập hợp 𝐴 𝑖𝑛𝑡𝐴 Phần topo tập hợp 𝐴 𝐹: 𝑋 ⇉ 𝑌 Ánh xạ đa trị từ 𝑋 vào 𝑌 KKM Tên ba nhà toán học Knater, Kuratowski Mazurkiewicz (𝑀𝐺𝑄𝐸𝑃) Bài toán tựa cân tổng quát hỗn hợp ∎ Kết thúc chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Từ xưa toán học người ta quan tâm đến tốn tìm giá trị lớn (cực đại) hay nhỏ (cực tiểu), gọi tốn tối ưu Sau có nhiều cơng trình nghiên cứu ứng dụng nhiều lĩnh vự khác ngành khoa học ký thuật thực tế như: Borel (1921), Von Neuman (1926) xây dựng lý thuyết trò chơi dựa khái niêm kết toán học, Koopmam (1947) đưa lý thuyết lưu thông hàng hóa Lý thuyết cân phận quan trọng vủa lý thuyết tối ưu Sau cơng trình H.W.Kuhn A.W.Tucker điền kiện cần đủ cho véc tơ thỏa mãn ràng buộc nghiệm hữu hiệu, tối ưu véc tơ thực ngành tốn học độc lập có nhiều ứng dụng thực tế Các toán lý thuyết tối ưu véc tơ bao gồm: Bài toán tối ưu, toán cân Nash, toán bù, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm yên ngựa Trong kinh tế, toán điểm cân biết đến từ lâu cấc cơng trình Arrow- Debreu, Nash sau nhiều nhà tốn học sử dụng để xây dựng mơ hình kinh tế từ nửa sau kỷ 20 Ky Fan (1972) [7] Browder- Minty (1968) [4] dã phát biểu chứng minh tồn nghiệm toán điểm cân dựa định lý điểm bất động Năm 1991, Blum Oettli [3] phát biểu toán cân cách tổng quát tìm cách liên kết tốn Ky Fan Browder- Minty với thành dạng chung cho hai Bài tốn phát biểu ngắn gọn là: Tìm 𝑥 ∈ 𝐷 cho 𝑓(𝑥 , 𝑥) ≥ với 𝑥 ∈ 𝐷, 𝐷 tập cho trước khơng gian, 𝑓: 𝐷 × 𝐷 → 𝑅 hàm số thực thỏa mãn 𝑓(𝑥, 𝑥) ≥ Đây dạng suy rộng trực tiếp tốn lý thuyết tối ưu vơ hướng Ban đầu, người ta nghiên cứu toán liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự đưa bới nón orthant dương Sau mở rộng sang khơng gian có Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ số chiều vô hạn với nón Khái niệm ánh xạ đa trị xây dựng phát triển yêu cầu phát triển thân toán học lĩnh vực khoa học khác Những định nghĩa, tính chất, phân lớp ánh xạ đơn trị dần mở rộng cho ánh xạ đa trị Từ người ta tìm cách chứng minh kết tương tự kết biết từ đơn trị Chính mà tốn điểm cân năm gần nhiều nhà nghiên cứu toán học đặc biệt quan tâm Vì lí tơi chọn đề tài: “Bài toán tựa cân tổng quát hỗn hợp” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết toán cân tổng quát hỗn hợp Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: Trình bày số kiến thức giải tích đa trị, số tính chất ánh xạ đa trị phép tốn Trình bày Bài tốn tựa cân tổng qt hỗn hợp vấn đề liên quan đến chúng lý thuyết tối ưu đa trị Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn trình bày gồm chương Chương trình bày số khái niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục theo nón số định lý điểm bất động làm công cụ chứng minh kết chương Chương trình bày tốn tựa bao hàm biến phân hỗn hợp Định lý 2.3.1, 2.3.2, 2.3.4 cho ta kết tồn nghiệm toán Các hệ 2.3.5, 2.3.6 tồn nghiệm toán bao hàm thức tựa biến phân hỗn hợp Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đặt vấn đề Ngay từ đại học, ta làm quen với mơn giải tích lý thuyết tối ưu liên quan tới hàm số, tức hàm từ tập vào số Trong thực tế, ta thường gặp toán liên quan tới ánh xạ từ tập vào phần tử không gian vecto tức hàm vecto Hơn vậy, có toán chiếu điểm tập vào tập con, tức ánh xạ đa trị Muốn nghiên cứu tốn này, ta phải nghiên cứu nón tính liên tục hàm vecto ánh xạ đa trị Vì vậy, mục tiêu chương ta nghiên cứu kiến thức giải tích đa Chương viết dựa sở chương sách [1] 1.2 Nón khái niệm liên quan Trong sống hay khoa học, tốn học, tốn đặt thời điểm định với lí Chính để mở rộng toán nhận giá trị thực sang toán nhận giá trị véc tơ đa trị người ta đưa vào số khái niệm tương tự số thực, số phức không gian tô pô tuyến tính để nghiên cứu Một khái niệm nón Định nghĩa 1.2.1 Cho 𝑌 khơng gian tuyến tính 𝐶 tập 𝑌 𝐶 gọi nón có đỉnh gốc (gọi ngắn gọn nón) 𝑌 𝑡𝑐 ∈ 𝐶 với 𝑐 ∈ 𝐶, 𝑡 ≥ (được gọi nón cố định 𝑥, 𝐶 − 𝑥 nón có đỉnh Nón 𝐶 gọi nón lồi 𝐶 tập lồi Nếu Y khơng gian tơ pơ tuyến tính 𝐶 nón 𝑌, ký hiệu 𝑐𝑙𝐶, 𝑖𝑛𝑡𝐶, 𝑐𝑜𝑛𝑣𝐶 bao đóng, phần bao lồi nón 𝐶, 𝑙(𝐶) = 𝐶 ∩ (−𝐶) nghiên cứu toán liên quan đến nón, người ta thường quan tâm đến loại nón sau: i Nón 𝐶 gọi nón đóng 𝐶 tập đóng ii Nón 𝐶 gọi nón nhọn 𝑙 𝐶 = {0} Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 34 (iiia) Với điểm bất động (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾, tồn 𝑧 ∈ 𝑇 (𝑥, 𝑦) cho 𝐹 (𝑧, 𝑥, 𝑡) ∩ 𝐶(𝑥) ≠ với 𝑡 ∈ 𝑆 (𝑥, 𝑦); (iiib) Với (𝑥, 𝑡) ∈ 𝐷 × 𝐷 bất động, 𝐹 ( , 𝑥, 𝑡) ∶ 𝐾 → 2𝑌 ( 𝐶 (𝑥))lồi trên; (iva) Với điểm bất động 𝑡 ∈ 𝐷, 𝐺( , , 𝑡) ánh xạ đóng, 𝐺 có giá trị lồi, compact khác rỗng 𝐺(𝑦, 𝑥, 𝑥) ∩ 𝐶 (𝑥) ≠ ∅ với (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾; (ivb) 𝐺 𝑄, 𝐶 − tựa giống lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Khi đó, tồn (𝑥 , 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾 cho: 𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 , 𝑦 , 𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥, 𝑦); 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅, với 𝑡 ∈ 𝑆 (𝑥 , 𝑦); 𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅, với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 Chứng minh Đặt ánh xạ 𝑀 ∶ 𝐷 × 𝐾 → 2𝐾 , 𝐹 ∶ 𝐾 × 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 → 2𝑍 , 𝑁 ∶ 𝐾 × 𝐷 → 2𝐷 𝑣à 𝐺 ∶ 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 → 2𝑋 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑧 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑦 𝐹 𝑧, 𝑥, 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅, ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 , 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 × 𝐾; 𝐹 𝑦, 𝑧, 𝑥, 𝑡 = 𝑧 − 𝑀 𝑥, 𝑦 , (𝑦, 𝑧, 𝑥, 𝑡) ∈ 𝐾 × 𝐾 × 𝐷 × 𝐷; 𝑁 𝑦, 𝑥 = 𝑡 ∈ 𝐷 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅ , 𝑥 ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ 𝐾; 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 = 𝑡 − 𝑁 𝑦, 𝑥 , 𝑦, 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 Đầu tiên ta 𝐹 ánh xạ đóng Giả sử 𝑥𝛽 → 𝑥, 𝑦𝛽 → 𝑦, 𝑧𝛽 ∈ 𝑀 𝑥𝛽 , 𝑦𝛽 , 𝑧𝛽 → 𝑧, ta phải chứng minh 𝑧 ∈ 𝑀 𝑥, 𝑦 Từ 𝑧𝛽 ∈ 𝑀 𝑥𝛽 , 𝑦𝛽 , ta suy 𝑧𝛽 ∈ 𝑇 (𝑥𝛽 , 𝑦𝛽 ) 𝐹 𝑧𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑡𝛽 ∩ 𝐶 𝑥𝛽 ≠ ∅, với 𝑡 ∈ 𝑆 𝑥𝛽 , 𝑦𝛽 Do 𝑆 nửa liên tục 𝑥𝛽 → 𝑥, 𝑦𝛽 → 𝑦 nên với 𝑡 ∈ 𝑆 (𝑥, 𝑦), tồn 𝑡𝛽 ∈ 𝑆 (𝑥𝛽 , 𝑦𝛽 )sao cho 𝑡𝛽 → 𝑡 Do 𝐹 𝑧𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑡𝛽 ∩ 𝐶 𝑥𝛽 ≠ ∅, với 𝑡𝛽 ∈ 𝑆 𝑥𝛽 , 𝑦𝛽 (3) Từ (3) ta suy với 𝛽 tồn 𝑣𝛽 ∈ 𝐹 (𝑧𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑡𝛽 ) ∩ 𝐶 (𝑥𝛽 ) Mặt khác 𝐹 ánh xạ đóng với giá trị compact 𝐶 ánh xạ đóng, tồn Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 35 𝑣 ∈ 𝐹 (𝑧, 𝑥, 𝑡) ∩ 𝐶 (𝑥), 𝐹 𝑧, 𝑥, 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅ Vì 𝑧 ∈ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑀 ánh xạ đóng kéo theo 𝐹 ánh xạ đóng Theo điều kiện (𝑖𝑖𝑖𝑎 ) ta suy 𝐹 thỏa mãn điều kiện (iv) Định lý 2.3.3 Xét 𝐴 = 𝑧 ∈ 𝑇(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐹 (𝑦, 𝑧, 𝑥, 𝑡) = 𝑧 ∈ 𝑇(𝑥, 𝑦) 𝐹 𝑧, 𝑥, 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅, với 𝑡 ∈ 𝑆(𝑥, 𝑦) Lấy tuỳ ý 𝑧1 , 𝑧2 𝐴, 𝑧1 , 𝑧2 ∈ 𝑇 (𝑥, 𝑦) 𝐹 𝑧1 , 𝑥, 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅, 𝐹 𝑧2 , 𝑥, 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅ (4) Do 𝑇 (𝑥, 𝑦) tập lồi, nên  𝑧1 + −  𝑧2 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑦 , với  ∈ 0, Từ (4) ta suy tồn điểm 𝑢1 ∈ 𝐹 𝑧1 , 𝑥, 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 , 𝑣à 𝑢2 ∈ 𝐹 𝑧2 , 𝑥, 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 Do  𝑢1 + (1 −  )𝑢2 ∈ (  𝐹( 𝑧1 , 𝑥, 𝑡) ∩ 𝐶 (𝑥) + (1 −  )𝐹 (𝑧2 , 𝑥, 𝑡) ∩ 𝐶(𝑥)) ⊆  𝐹 𝑧1 , 𝑥, 𝑡 + −  𝐹 𝑧2 , 𝑥, 𝑡 ∩𝐶 𝑥 (5) Vì 𝐹 ( 𝐶 (𝑥))- lồi theo biến 𝑧 ta suy  𝐹 𝑧1 , 𝑥, 𝑡 + −  𝐹 𝑧2 , 𝑥, 𝑡 ⊆ 𝐹  𝑧1 + −  𝑧2 , 𝑥, 𝑡 − 𝐶 𝑥 (6) Kết hợp (5) (6) ta có  𝑢1 + (1 −  )𝑢2 ∈ 𝐹  𝑧1 + −  𝑧2 , 𝑥, 𝑡 − 𝐶 𝑥 ) ∩ 𝐶(𝑥) Vì 𝐹  𝑧1 + −  𝑧2 , 𝑥, 𝑡 − 𝐶 𝑥 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅, nghĩa 𝐹  𝑧1 + −  𝑧2 , 𝑥, 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅ hay  𝑧1 + −  𝑧2 ∈ 𝐴 Vậy 𝐴 tập lồi Tiếp theo ta chứng minh tập 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝐷 ∈ 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 , với 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡 = 𝑥 ∈ 𝐷 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅, với 𝑦 ∈ 𝑄(𝑥, 𝑡) tập đóng Giả sử 𝑥𝛽 ∈ 𝐵, 𝑥𝛽 → 𝑥, 𝐺(𝑦, 𝑥𝛽 , 𝑡) ∩ 𝐶 (𝑥 ) ≠ ∅ với 𝑦 ∈ 𝑄(𝑥𝛽 , 𝑡) Từ tính nửa liên tục 𝑄( , 𝑡) kéo theo với 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡 , tồn dãy 𝑦𝛽 ∈ 𝑄(𝑥𝛽 , 𝑡) cho 𝑦𝛽 → 𝑦 Vì vậy, 𝐺(𝑦𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑡) ∩ Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 36 𝐶 (𝑥𝛽 ) ≠ ∅ với 𝑦𝛽 ∈ 𝑄 𝑥𝛽 , 𝑡 Mặt khác, 𝐺( , , 𝑡) ánh xạ đóng 𝐺 có giá trị compact, 𝐶 ánh xạ đóng, ta suy 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅ Vậy 𝑥 ∈ 𝐵 𝐵 tập đóng Cuối ta chứng minh 𝐺 𝑄 − KKM Thật vậy, lấy {𝑡1 , … , 𝑡𝑛 } tập hữu hạn tuỳ ý 𝐷 điểm 𝑥 = Ngược lại, giả sử ∉ 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑖 𝑛 𝑖=1 𝛼𝑖 𝑡𝑖 , 𝛼𝑖 ≥ 0, 𝑛 𝑖=1 𝛼𝑖 =1 với 𝑦 ∈ 𝑄(𝑥, 𝑡𝑖 ) 𝑖 = 1, … , 𝑛 Khi 𝐺(𝑦, 𝑥, 𝑡𝑖 ) ∩ 𝐶 (𝑥) = ∅ với 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 Do 𝐺 (𝑄, 𝐶 ) −tựa giống lồi theo đường chéo theo biến thứ ba, tồn số 𝑗 ∈ {1, … , 𝑛} cho 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 ⊆ 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 − 𝐶 𝑥 , với 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡𝑗 Giả sử (𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 − 𝐶 (𝑥)) ∩ 𝐶 (𝑥) ≠ ∅, với 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡𝑗 , tồn 𝑎 ∈ 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 , 𝑐, 𝑐′ ∈ 𝐶 (𝑥) để 𝑎 − 𝑐 = 𝑐′ Ta suy 𝑎 = 𝑐 + 𝑐′ 𝐺(𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 ) ∩ 𝐶 (𝑥) ≠ ∅ với 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡𝑗 Điều mâu thuẫn với 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑖 ∩ 𝐶 𝑥 = với 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 − 𝐶 𝑥 Vì vậy, ∩ 𝐶 𝑥 = ∅ 𝑣à 𝐺(𝑦, 𝑥, 𝑥) ∩ 𝐶 (𝑥) = ∅ , mâu thuẫn với giả thiết (𝑖𝑣)𝑎 Vậy tồn số 𝑗 ∈ {1, … , 𝑛} cho ∈ 𝐺 (𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 ) với 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡𝑗 , 𝐺 𝑄 − KKM Theo Định lý 2.2.3 theo cách xác định 𝐹 , 𝐺 ta suy tồn (𝑥 , 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾 cho 𝑥 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 , 𝑦 ∈ 𝑇(𝑥 , 𝑦); 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅, với 𝑡 ∈ 𝑆 (𝑥 , 𝑦); 𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅, với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 ; 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 Hệ 2.3.9 Cho 𝑆, 𝑇, 𝑃, 𝑄 xác định Định lý 2.3.7 Giả sử rằng: (𝑖) 𝐶 ∶ 𝐷 → 2𝑌 ánh xạ nón với giá trị lồi, đóng khác rỗng 𝑖𝑛𝑡𝐶 (𝑥) ≠ ∅ Với 𝑥 ∈ 𝐷 ánh xạ 𝐶 ∶ 𝐷 → 2𝑌 định nghĩa 𝐶 (𝑥) = 𝑌 − 𝑖𝑛𝑡𝐶 (𝑥) nửa liên tục trên; Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 37 (𝑖𝑖) 𝐹 (−𝐶 ) −liên tục với giá trị lồi, compact khác rỗng; (𝑖𝑖𝑖𝑎 ) Với điểm bất động 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 × 𝐾, tồn 𝑧 ∈ 𝑇 (𝑥, 𝑦) cho 𝐹 𝑧, 𝑥, 𝑡 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 (𝑥) = ∅ với 𝑡 ∈ 𝑆 (𝑥, 𝑦); (𝑖𝑖𝑖𝑏 ) Với điểm bất động 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐷 × 𝐷, 𝐹 ( , 𝑥, 𝑡) (−𝐶 (𝑥)) −tựa giống lồi dưới; (𝑖𝑣𝑎 ) Với điểm bất động 𝑡 ∈ 𝐷; 𝐺( , , 𝑡) (−𝐶 ) −liên tục dưới, 𝐺 có giá trị lồi, compact khác rỗng 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅, với (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾; 𝑖𝑣𝑏 𝐺 𝑄, 𝐶 − tựa giống lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Khi đó, tồn điểm 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐷 × 𝐾 cho 𝑥 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 , 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑦 ; 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅, với 𝑡 ∈ 𝑆 𝑥 , 𝑦 ; 𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅, với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 Chứng minh Đặt ánh xạ 𝑀 ∶ 𝐷 × 𝐾 → 2𝐾 ; 𝐹 ∶ 𝐾 × 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 → 2𝑍 ; 𝑁 ∶ 𝐾 × 𝐷 → 2𝐷 𝐺 ∶ 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 → 2𝑋 sau: 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑧 ∈ 𝑇(𝑥, 𝑦) 𝐹 𝑧, 𝑥, 𝑡 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅, ∀ 𝑡 ∈ 𝑆(𝑥, 𝑦) , 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐷; 𝐹 𝑦, 𝑧, 𝑥, 𝑡 = 𝑧 − 𝑀 𝑥, 𝑦 , (𝑦, 𝑧, 𝑥, 𝑡) ∈ 𝐾 × 𝐾 × 𝐷 × 𝐷; 𝑁 𝑦, 𝑥 = 𝑡 ∈ 𝐷 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅ , 𝑥 ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ 𝐾; 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 = 𝑡 − 𝑁 𝑦, 𝑥 , 𝑦, 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 Từ (𝑖𝑖𝑖𝑎 ) ta suy 𝐹 thỏa mãn điều kiện (iv) Định lý 2.3.3 Để chứng minh 𝐹 đóng, ta chứng minh 𝑀 đóng Giả sử 𝑥𝛽 → 𝑥, 𝑦𝛽 → 𝑦, 𝑧𝛽 ∈ 𝑀 𝑥𝛽 , 𝑧𝛽 , 𝑧𝛽 → 𝑧 Vì 𝑧𝛽 ∈ 𝑀 𝑥𝛽 , 𝑦𝛽 , nên 𝑧𝛽 ∈ 𝑇 (𝑥𝛽 , 𝑦𝛽 ) 𝐹 𝑧𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑡𝛽 − 𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅ với 𝑡 ∈ 𝑆 𝑥𝛽 , 𝑦𝛽 Điều chứng tỏ 𝐹 𝑧𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑡𝛽 ⊆ 𝑌\− 𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥𝛽 (7) Từ 𝑧𝛽 ∈ 𝑇 (𝑥𝛽 , 𝑦𝛽 ) từ tính đóng 𝑇 với giá trị đóng ta suy 𝑧 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑦 Do 𝑆 nửa liên tục 𝑥𝛽 → 𝑥, 𝑦𝛽 → 𝑦 với 𝑡 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 , tồn 𝑡𝛽 ∈ 𝑆 (𝑥𝛽 , 𝑦𝛽 ) cho 𝑡𝛽 → 𝑡 Do Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 38 𝐹 𝑧𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑡𝛽 ⊆ 𝑌\− 𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥𝛽 , với 𝑡𝛽 ∈ 𝑆 𝑥𝛽 , 𝑦𝛽 Vì 𝐹 (−𝐶 ) −liên tục 𝐶 nửa liên tục trên, ta có với lân cận tuỳ ý 𝑉 điểm gốc 𝑌; tồn 𝛽0 cho với 𝛽 ≥ 𝛽0 𝐹 𝑧, 𝑥, 𝑡 ⊆ 𝐹 𝑧𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑡𝛽 + 𝑉 + 𝐶 𝑥 , (8) 𝑌\−𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥𝛽 ⊆ 𝑌\−𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 + 𝑉 (9) Từ (8) (9) suy 𝐹 𝑧, 𝑥, 𝑡 ⊆ 𝑌\−𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥𝛽 + 𝑉 + 𝐶 𝑥 ⊆ 𝑌\−𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 + 2𝑉 + 𝐶 𝑥 ⊆ 𝑌\−𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 + 2𝑉 𝑌\−𝑖𝑛𝑡𝐶 (𝑥) Vì đóng 𝐹 (𝑧, 𝑥, 𝑡) compact nên 𝐹 𝑧, 𝑥, 𝑡 ⊆ 𝑌\−𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 , 𝐹 𝑧, 𝑥, 𝑡 ∩ − 𝑖𝑛𝑡𝐶 (𝑥) = ∅ Vì vậy, 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑥, 𝑦) 𝑀 ánh xạ đóng Xét tập 𝐴 = 𝑧 ∈ 𝑇(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐹 (𝑦, 𝑧, 𝑥, 𝑡) = 𝑧 ∈ 𝑇(𝑥, 𝑦) 𝐹 𝑧, 𝑥, 𝑡 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅, 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑡 ∈ 𝑆(𝑥, 𝑦) Lấy tuỳ ý hai điểm 𝑧1 , 𝑧2 𝐴, 𝑧1 , 𝑧2 ∈ 𝑇 (𝑥, 𝑦) 𝐹 𝑧1 , 𝑥, 𝑡 ∩ − 𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅, 𝐹 𝑧2 , 𝑥, 𝑡 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅ Điều 𝐹 𝑧1 , 𝑥, 𝑡 + 𝐶 𝑥 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅; 𝐹 𝑧2 , 𝑥, 𝑡 + 𝐶 𝑥 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅ Do 𝑇 (𝑥, 𝑦) tập lồi, nên  𝑧1 + (1 −  )𝑧2 ∈ 𝑇 (𝑥, 𝑦) với  ∈ 0, Vì 𝐹 −(𝐶 (𝑥)) −tựa giống lồi dưới, 𝐹 (  𝑧1 + −  𝑧2 , 𝑥, 𝑡) ⊆ 𝐹 (𝑧1 , 𝑥, 𝑡) + 𝐶 (𝑥), 𝐹  𝑧1 + −  𝑧2 , 𝑥, 𝑡 ⊆ 𝐹 𝑧2 , 𝑥, 𝑡 + 𝐶 𝑥 Do đó, 𝐹  𝑧1 + −  𝑧2 , 𝑥, 𝑡 ∩ − 𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅ Điều dẫn đến,  𝑧1 + −  𝑧2 ∈ 𝐴 Vì vậy, 𝐴 tập lồi Tiếp theo, chứng minh tập 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝐷 ∈ 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 , với 𝑦 ∈ 𝑄(𝑥, 𝑡) Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 39 = 𝑥 ∈ 𝐷 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅, với 𝑦 ∈ 𝑄(𝑥, 𝑡) tập đóng Thật vậy, giả sử 𝑥𝛽 ∈ 𝐵, 𝑥𝛽 → 𝑥, 𝐺 𝑦, 𝑥𝛽 , 𝑡 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥𝛽 = ∅, với 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥𝛽 , 𝑡 Theo tính chất nửa liên tục 𝑄( , 𝑡) kéo theo với 𝑦 ∈ 𝑄(𝑥, 𝑡) tồn 𝑦𝛽 ∈ 𝑄(𝑥𝛽 , 𝑡) cho 𝑦𝛽 → 𝑦 Kết hợp điều với (7) ta có 𝐺 𝑦𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑡 ∩ − 𝑖𝑛𝑡𝐶 (𝑥𝛽 ) = ∅, với 𝑦𝛽 ∈ 𝑄(𝑥𝛽 , 𝑡) Chứng minh tương tự ta có 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 ∩ 𝐶(𝑥) = ∅ với 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡 Vậy 𝐵 tập đóng Cuối ta chứng minh 𝐺 𝑄-KKM Lấy {𝑡1 , … , 𝑡𝑛 } tập hữu hạn tuỳ ý 𝐷 𝑥 = 𝑛 𝑖=1 𝛼𝑖 𝑡𝑖 , 𝛼𝑖 ≥ 0, 𝑛 𝑖=1 𝛼𝑖 = Giả sử  𝐺 (𝑦, 𝑥, 𝑡𝑖 ) với 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 Điều dẫn đến 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑖 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 (𝑥) ≠ ∅, với 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 (10) Vì 𝐺 (𝑄, 𝐶 )-tựa giống lồi theo đường chéo theo biến thứ ba, nên tồn số 𝑗 ∈ {1, … , 𝑛} cho: 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 ⊆ 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 + 𝐶 𝑥 , với 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡𝑗 Từ (10) (11) ta suy 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 + 𝐶 𝑥 (11) ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 ≠ ∅, 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 ∩ − 𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 ≠ ∅, điều mâu thuẫn với 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 (𝑥) = ∅ Từ suy tồn số 𝑗 ∈ {1, … , 𝑛} cho ∈ 𝐺 (𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 ) với 𝑦 ∈ 𝑄(𝑥, 𝑡𝑗 ) 𝐺 𝑄-KKM Theo Định lý 2.3.3 theo cách xác định 𝐹 , 𝐺 tồn điểm 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐷 × 𝐾 thoả mãn 𝑥 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 ; 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑦 ; 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅, với ∈ 𝑆 𝑥 , 𝑦 ; 𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ − 𝑖𝑛𝑡𝐶 (𝑥 ) = ∅, với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 Tương tự Hệ 2.3.9 ta có Hệ sau: Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 40 Hệ 2.3.10 Cho ánh xạ 𝑆, 𝑇, 𝑃, 𝐶 giống Hệ 2.3.9 Nếu điều kiện sau thỏa mãn: (𝑖) 𝑄: 𝐷 → 2𝐾 nửa liên tục dưới; (𝑖𝑖) 𝐹 (−𝐶 ) −liên tục với tập giá trị khác rỗng lồi compact Ánh xạ đa trị 𝑁: 𝐾 × 𝐷 → 2𝑌 xác định sau: 𝑁 𝑦, 𝑥 = 𝐹(𝑦, 𝑥, 𝑥) 𝐶 -liên tục dưới; (𝑖𝑖𝑖) Với điểm bất động (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾; tồn 𝑧 ∈ 𝑇 (𝑥, 𝑦) cho 𝐹 𝑧, 𝑥, 𝑡 − 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑥 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅, ∀𝑡 ∈ 𝑆(𝑥, 𝑦); (𝑖𝑣) Với điểm bất động (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾, tập 𝑧 ∈ 𝑇(𝑥, 𝑦) 𝐹 𝑧, 𝑥, 𝑡 − 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑥 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅, ∀𝑡 ∈ 𝑆(𝑥, 𝑦) tập lồi; (𝑣) Với 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐷 bất động, 𝐺( , , 𝑡) (−𝐶 ) −liên tục 𝐺 có tập giá trị compact khác rỗng lồi; 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 − 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅, ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾; (𝑣𝑖) 𝐺 (𝑄, −𝐶 ) − giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Thì tồn điểm 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐷 × 𝐾 cho 𝑥 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 , 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑦 ; 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑡 − 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑥 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅, với 𝑡 ∈ 𝑆 𝑥 , 𝑦 ; 𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 − 𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑥 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅, với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 Chứng minh tương tự hệ trên, ta có kết luận sau: Hệ 2.3.11 Trong Hệ 2.3.7 ta thay (i) (iv) điều kiện tương đương (i’) (ii’) với (i’) 𝐶1 , 𝐶: 𝐷 → 2𝑌 ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi, compact, 𝐶1 : 𝐷 → 2𝑌 đóng với 𝑥 ∈ 𝐷 ánh xạ đa trị 𝐶 : D → 2𝑌 xác định 𝐶 x = Y ∖ (−intC x ) đóng; (iv’a) Ánh xạ đa trị G(.,.,t) đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 ∩ 𝐶1 x ≠ ∅, ∀(x, y) ∈ 𝐷 × 𝐾; Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 41 (iv’b) G 𝑄, 𝐶1 ) – giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Thì tồn 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐷 × 𝐾 thoả mãn 𝑥 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 ; 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑦 ; 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ⊈ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 ; với 𝑡 ∈ 𝑆 𝑥 , 𝑦 ; 𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ − 𝐶1 𝑥 ≠ ∅, với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 Hệ 2.3.12 Trong Hệ 2.3.7 ta thay (i), (ii), (iii) điều kiện tương đương (i’), (ii’), (iii’) với (i’) 𝐶1 , 𝐶: 𝐷 → 2𝑌 ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi, compact, 𝐶1 : 𝐷 → 2𝑌 đóng với 𝑥 ∈ 𝐷 ánh xạ đa trị 𝐶 : 𝐷 → 2𝑌 xác định 𝐶 𝑥 = 𝑌 ∖ (−𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 ) đóng; (ii’) F ánh xạ đa trị đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact; (iii’a) Với điểm bất động (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾 tồn 𝑧 ∈ 𝑇(𝑥, 𝑦) cho 𝐹 𝑧 𝑥, 𝑡 ∩ 𝐶1 𝑥 ≠ ∅, ∀𝑡 ∈ 𝑆(𝑥, 𝑦); (iii’b) Với 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐷 × 𝐷, 𝐹( , 𝑥, 𝑡) (−𝐶1 𝑥 ) – lồi Thì tồn 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐷 × 𝐾 thoả mãn 𝑥 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 ; 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑦 ; 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ 𝐶1 𝑥 ≠ ∅, với 𝑡 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 ; 𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ⊈ − 𝑖𝑛𝑡𝐶(𝑥 ), với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 Hệ 2.3.13 Trong Hệ 2.3.8 ta thay (i), (ii), (iii) điều kiện tương đương (i’), (ii’), (iii’) với (i’) 𝐶1 , C: D → 2𝑌 ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi, compact, 𝐶1 : D → 2𝑌 đóng với 𝑥 ∈ 𝐷 ánh xạ đa trị 𝐶 : D → 2𝑌 xác định 𝐶 x = Y ∖ (−intC x ) nửa liên tục trên; (ii’) Ánh xạ đa trị đóng F −𝐶1 – liên tục với tập giá trị khác rỗng lồi compact; Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 42 (iii’a) Với điểm bất động (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾 tồn 𝑧 ∈ 𝑇(𝑥, 𝑦) cho 𝐹 𝑧 𝑥, 𝑡 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶1 𝑥 = ∅, ∀𝑡 ∈ 𝑆(𝑥, 𝑦); (iii’b) Với 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐷 × 𝐷, 𝐹( , 𝑥, 𝑡) (−𝐶1 𝑥 ) – giống lồi Thì tồn 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐷 × 𝐾 thoả mãn 𝑥 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 ; 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑦 ; 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶1 𝑥 = ∅, với 𝑡 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 ; 𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅, với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 Hệ 2.3.14 Trong Hệ 2.3.8 ta thay (i) (iv) điều kiện tương đương (i’) (iv’) với (i’) 𝐶1 , 𝐶: 𝐷 → 2𝑌 ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi, compact, 𝐶: 𝐷 → 2𝑌 đóng với 𝑥 ∈ 𝐷 ánh xạ đa trị 𝐶 : 𝐷 → 2𝑌 xác định 𝐶 x = Y ∖ (−intC x ) nửa liên tục trên; (iv’a) Với 𝑡 ∈ 𝐷 Ánh xạ đa trị 𝐺( , , 𝑡) (−𝐶1 ) – liên tục với tập giá trị khác rỗng lồi compact 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶1 𝑥 = ∅, ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾; (iv’b) G (𝑄, 𝐶1 ) – giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Thì tồn 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐷 × 𝐾 thoả mãn 𝑥 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 ; 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑦 ; 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅, với 𝑡 ∈ 𝑆 𝑥 , 𝑦 ; 𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ − 𝑖𝑛𝑡𝐶1 𝑥 = ∅, với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 Hệ 2.3.15 Trong Hệ 2.3.9 ta thay (i), (ii), (iii) điều kiện tương đương (i’), (ii’), (iii’) với (i’) 𝐶1 , 𝐶: 𝐷 → 2𝑌 ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi, compact, 𝐶1 : 𝐷 → 2𝑌 đóng với 𝑥 ∈ 𝐷 ánh xạ đa trị 𝐶 : 𝐷 → 2𝑌 xác định 𝐶 x = Y ∖ (−intC x ) nửa liên tục trên; (ii’) Ánh xạ đa trị đóng F đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact; Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 43 (iii’a) Với điểm bất động (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾 tồn 𝑧 ∈ 𝑇(𝑥, 𝑦) cho 𝐹 𝑧 𝑥, 𝑡 ∩ 𝐶1 𝑥 ≠ ∅, ∀𝑡 ∈ 𝑆(𝑥, 𝑦); (iii’b) Với 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐷 × 𝐷, 𝐹( , 𝑥, 𝑡) (−𝐶1 𝑥 ) –lồi Thì tồn 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐷 × 𝐾 thoả mãn 𝑥 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 ; 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑦 ; 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ 𝐶1 𝑥 ≠ ∅, với 𝑡 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 ; 𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶(𝑥 ) ≠ ∅, với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 Hệ 2.3.16 Trong Hệ 2.3.9 ta thay (i) (iv) điều kiện tương đương (i’) (iv’) với (i’) 𝐶1 , 𝐶: 𝐷 → 2𝑌 ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi, compact, 𝐶1 : 𝐷 → 2𝑌 đóng với 𝑥 ∈ 𝐷 ánh xạ đa trị C: D → 2Y xác định 𝐶 𝑥 = 𝑌 ∖ (−𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 ) nửa liên tục trên; (iv’a) G ánh xạ đa trị đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 ∩ 𝐶1 𝑥 ≠ ∅, ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾; (iv’b) G (𝑄, 𝐶1 ) – giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Thì tồn 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐷 × 𝐾 thoả mãn 𝑥 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 ; 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑦 ; 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 = ∅, với 𝑡 ∈ 𝑆 𝑥 , 𝑦 ; 𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ∩ 𝐶1 𝑥 ≠ ∅, với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 2.4 Ứng dụng Trong mục ta giới thiệu số toán nhờ ứng dụng toán tựa cân tổng quát hỗn hợp 2.4.1 Bài toán điều khiển tối ƣu Cho  tập mở, bị chặn ℝ𝑛 , 𝑛 ≥ với biên Г thuộc 𝐶 Xét tốn tìm hàm điều khiển 𝑢 ∈ 𝐿𝑝  , < 𝑝 < +∞ tương ứng 𝑦 ∈ 𝑊 1,𝑝 (  ) hàm tiện ích Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 44 𝐽 𝑦, 𝑢 = ∫ 𝐿(𝑥, 𝑦 𝑥 , 𝑢 𝑥 𝑑𝑥 , (12) tương ứng với phương trình sau: 𝑛 𝑖,𝑗 =1(𝐷𝑗 (𝑎𝑖𝑗 − 𝑥 ) 𝐷𝑗 (𝑦)) + 𝑕(𝑥, 𝑦) = 𝑢,  , 𝑦 = 0, Г (13) Với ràng buộc sau: 1) Trường hợp 1: Rõ ràng hỗn hợp 𝑔𝑖 (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑢(𝑥)) ≤ hầu khắp nơi, 𝑥 ∈ Ω, 𝑖 = 1, , 𝑛(14) 2) Trường hợp 2: Ràng bộc đồng 𝑔(𝑥, 𝑦(𝑥)) ≤ 0, với 𝑥 ∈ Ω (15) 𝑢(𝑥) ∈ 𝑈 hầu khắp nơi, 𝑥 ∈ Ω 3) Trường hợp 3: Ràng buộc hỗn hợp 𝑔(𝑥, 𝑦(𝑥)) ≤ 0, với 𝑥 ∈ Ω (16) 𝑓𝑖 (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑢(𝑥)) ≤ 0, hầu khắp nơi, 𝑥 ∈ Ω, 𝑖 = 1, , 𝑛 Giả sử: 𝑛 1 𝑟 𝑝 𝑛 > ≥ − (17) 𝑢 ∈ 𝑊 1,𝑟  , 𝑦 ∈ 𝑊01,𝑟 (  ) nghiệm (1.2) 𝑛 (  𝑕 𝑦, 𝑥 𝜑𝑑𝑥 = 𝑢, 𝜑 , ∀𝜑 ∈ 𝑊01,𝑟 (  ) 𝑎𝑖,𝑗 𝐷𝑖 𝑦𝐷𝑗 𝜑)𝑑𝑥 + 𝑖,𝑗 =1  Sử dụng bất đẳng thức (17) Định lý Sobolev Rellich, ta kết luận 𝐿𝑝  ↪ 𝑊 1,𝑟 (  ) Do đó, 𝑢 ∈ 𝐿𝑝 (  ) Phương trình (13) cho ta nghiệm 𝑦 ∈ 𝑊01,𝑟 (  ) ↪ 𝐶(  ) Ta định nghĩa 𝐾 𝑦, 𝑢 = 𝐴𝑦 + 𝑕 , 𝑦 = 𝑢; 𝐺𝑖 𝑦, 𝑢 = 𝑔𝑖 , 𝑦, 𝑢 Nếu 𝑔𝑖 ( , 𝑦, 𝑢) ∈ 𝐶(  ), ta định nghĩa ∅𝑖 𝑦, 𝑢 = max 𝑔𝑖 𝑥, 𝑦 𝑥 , 𝑢 𝑥 𝑥∈  Bài toán (12) – (14) có dạng Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 45 min⁡ (𝑦, 𝑥), với buộc 𝐾 𝑦, 𝑢 = 0, 𝑣à ∅ 𝑦, 𝑢 ≤ Đặt 𝐹(𝑦, 𝑢, 𝑧, 𝑤) = 𝐽(𝑦, 𝑢) − 𝐽(𝑧, 𝑤) + ℝ+; 𝑛 𝐺 𝑦, 𝑢, 𝑧, 𝑤 = 𝐾 𝑦, 𝑢 ,  𝑖 𝑦, 𝑢 − ℝ+ 𝑖=1 Bài toán tương đương với tốn tìm (𝑦, 𝑢) ∈ 𝑊01,𝑟 (  ) × 𝐿𝑝 (  ) cho 𝑛 ∈ 𝐹 𝑦, 𝑢, 𝑧, 𝑤 × 𝐾 𝑦, 𝑢 ,  𝑖 𝑦, 𝑢 − ℝ+ 𝑖=1 Điều có nghĩa 𝐽 𝑦, 𝑢 ≤ 𝐽 𝑧, 𝑤 , với 𝑧, 𝑤 ∈ 𝑊01,𝑟  ; 𝐾 𝑦, 𝑢 = 0; ∅ 𝑦, 𝑢 ≤ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑚 2.4.2 Cân Nash trò chơi không hợp tác Cho 𝑋𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑌 không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, I tập hữu hạn số (số lượng người chơi), 𝐶 ⊆ 𝑌 nón nhọn lồi Với 𝑖 ∈ 𝐼, 𝐷𝑖 ⊆ 𝑋𝑖 tập khác rỗng (tập người huy người chơi thứ 𝑖) Đặt 𝑛 𝐷= 𝐷𝑖 𝑖=1 𝑗 Với 𝑖 ∈ 𝐼 ánh xạ đa trị 𝑆𝑖 : 𝐷 → 2𝐷𝑖 , 𝑗 = 1,2 ràng buộc người chơi thứ 𝑖 Hàm số 𝑓𝑖 ∶ 𝐷 → 𝑌 hàm tổn thất người chơi thứ 𝑖 Hàm phụ thuộc vào người huy tồn trị chơi Với 𝑥 = (𝑥𝑖 )𝑖∈𝐼 ∈ 𝐷 Ta ký hiệu 𝑥 𝑖 = (𝑥𝑗 )𝑗 ∈𝐼∖ 𝑖 𝑥 = (𝑥𝑖 )𝑖∈𝐼 gọi điểm cân trò chơi (𝐷𝑖 , 𝑓𝑖 , 𝑆𝑖1 , 𝑆𝑖2 )𝑖∈𝐼 𝑖 ∈ 𝐼 ta có 𝑥𝑖 ∈ 𝑆𝑖1 𝑓𝑖 𝑥 𝑖 , 𝑦𝑖 − 𝑓𝑖 𝑥  − 𝐶 ∖ , ∀𝑦𝑖 ∈ 𝑆𝑖2 𝑥 , 𝑖 ∈ 𝐼 Ta đặt Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 46 𝑛 𝑓𝑖 𝑥 𝑖 , 𝑡𝑖 − 𝑓𝑖 𝑥 𝐺 𝑥, 𝑡 = ; 𝑖=1 𝑀 𝑥 = 𝑡 ∈ 𝐷│𝐺 𝑥, 𝑡  − 𝐶\ ; 𝐹 𝑥, 𝑡 = 𝑡 – 𝑀(𝑥), (𝑡, 𝑥) ∈ 𝐷 × 𝐷 Nếu 𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 = 𝑛 𝑖=1 𝑆𝑖 (𝑥 ) cho ∈ 𝐹(𝑥 , 𝑡) với 𝑡𝑖 ∈ 𝑆𝑖2 𝑥 , 𝑖 ∈ 𝐼 Ta có 𝑥𝑖 ∈ 𝑆𝑖1 𝐺 𝑥 , 𝑡  − 𝐶 ∖ , ∀𝑦𝑖 ∈ 𝑆𝑖2 𝑥 , 𝑖 ∈ 𝐼 Khi ta có 𝑥𝑖 ∈ 𝑆𝑖1 (𝑥 ), ∀𝑖 = 1, , 𝑛; 𝑛 𝑓𝑖 𝑥 𝑖 , 𝑡𝑖 − 𝑓𝑖 𝑥 ∉ − 𝐶 ∖ 𝑖=1 Lần lượt thay thay 𝑡 = (𝑥𝑖 , 𝑡𝑖 ) ∈ 𝑆𝑖2 (𝑥 ), ta suy 𝑓𝑖 (𝑥 𝑖 , 𝑡𝑖 ) ∉ 𝑓𝑖 (𝑥) − (𝐶\{0}), với 𝑡𝑖 ∈ 𝑆𝑖2 (𝑥 ) Do 𝑥 = (𝑥𝑖 )𝑖∈𝐼 điểm cân Pareto trị chơi Nash Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 47 KẾT LUẬN Luận văn gồm chương Chương trình bày khái niệm tính chất ánh xạ đa trị khơng gian có nón Như tính chất liên tục theo nón, lồi theo nón Một số kết giải tích đa trị điểm bất động ánh xạ đa trị, tính KKM ánh xạ đa trị trở thành cơng cụ để nghiên cứu tốn ánh xạ đa trị Chương trình bày tốn tựa cân hỗn hợp số kết tốn hỗn hợp Sau đó, ta đưa ví dụ áp dụng minh họa tốn điều khiển với phương trình vi phân đạo hàm riêng tốn cân trị chơi khơng hợp tác Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2005), Một số vấn đề lý thuyết tối ưu đa trị NXB Giáo dục Tiếng Anh [2] B Kanster, C Kuratowski, and S Marzurkiewicz (1929), Ein beweis des fixpunktsatzes fur n – dimensionale simplexe, Fundamenta Math – ematicae,vol.14,pp.132-137 [3] Blum, E and Oettli, W (1993), From optimization and variational inequal-ities to equilibrium problems, The Math Student Vol.641-23 [4] Browder, F.E.(1968), The fixed point theory of multi – valued map – pings in topological vector spaces, Math.Ann,177,238-301 [5] C.Berge (1963), Topological spaces, Oliver and Boyd, London [6] Dinh The Luc, Sarabi, E and Soubeyran, A (2010), Existence of solutions in variational relation problems without convexity, Journal Mathematical Analysis and Applications,364,No 2, 544-555 [7] Fan, K (1972), A minimax inequality and application, in inequalaties III O Shisha (Ed), Academic press, New York, 103-113 [8] Le Anh Tuan and Pham Huu Sach (2004), Existence of solutions of general-ized quasivariational inequalities with set-valued maps, Acta Math Vietnam, 29, 309-316 [9] Lin, L.J and Nguyen Xuan Tan (2007), Onquasivariational inclusion problems of type I and related problems, Journal Global Optimization, 39, No 3, 393-407 [10] Nguyen Xuan Tan (2004), On the existence of solutions of quasivariational inclusion properties, Journal of Optimization Theory and Applica-tions, 123, 619-638 [11] Nguyen Xuan Tan (1985), Quasi-variational inequa lities in topological linear locally convex hausdorff space, Math Nachrichten 122, 231-245 [12] Truong Thi Thuy Duong (2012), Mixed generalized quasi-equilibrium problems, J Global Optim 56(2013), no 2, 647-667 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/