ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ========== TRẦN THỊ HƯƠNG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG LOẠI I VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ========== TRẦN THỊ HƯƠNG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG LOẠI I VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✷ ✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ➤❛ trÞ ✺ ✶✳✶ ❚❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✷ ◆ã♥ ✈➭ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✸ ✽ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✹ ❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ ❧✐➟♥ tơ❝ t❤❡♦ ♥ã♥ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✺ ❚Ý♥❤ ❧å✐ t❤❡♦ ♥ã♥ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✶✳✻ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ị ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✷ ❇➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tæ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐ ■ ✷✷ ✷✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tæ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐ ■ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✷✳✷ ▼ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✸ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tỉ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐ ■ ✈➭ ♥❤÷♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✸ ø♥❣ ❞ô♥❣ ✈➭♦ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ trÞ ✸✽ ✸✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ tù❛ tè✐ ➢✉ ❧♦➵✐ ■ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ✸✳✷ ❇➭✐ t♦➳♥ q✉❛♥ ❤Ö tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧♦➵✐ ■ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸ ✸✳✸ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧ý t➢ë♥❣ tr➟♥ ❧♦➵✐ ■ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✶ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ▲ê✐ ♥ã✐ t ể ợ ì t từ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ➤✐Ĩ♠ ❤÷✉ ❤✐Ư✉ ♠➭ ❊❞❣❡✇♦rt❤ ✈➭ P❛r❡t♦ ➤Ị ①➢í♥❣ tõ ❝✉è✐ t❤Õ ❦û ✶✾✳ ❙❛✉ ➤ã ♥ã ➤➢ỵ❝ ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ♥❤➢ ❉❡❜r❡✉✱ ◆❛s❤✱✳✳✳ sư ❞ơ♥❣ ➤Ĩ ự ữ ì tế tr ữ ♥➝♠ ❝✉è✐ t❤Õ ❦û ✷✵✱ ♥❤✐Ò✉ ♥❤➭ ❦✐♥❤ tÕ tr➟♥ t❤Õ ❣✐í✐ q✉❛♥ t➞♠ ❦❤❛✐ t❤➳❝✳ ➜Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù tå♥ t➵✐ ➤✐Ĩ♠ ❝➬♥ ❜➺♥❣ ❝đ❛ ♠➠ ❤×♥❤ ❦✐♥❤ tÕ✱ ➤➬✉ t✐➟♥ ♥❣➢ê✐ t❛ t❤➢ê♥❣ sư ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ❜✃t ➤é♥❣ ❦✐Ó✉ ❇r♦✉✇❡r ❬✹❪✱ ❑❛t✉t❛♥✐ ❬✶✶❪✱ ❑②❋❛♥ ❬✽❪✱ ❇r♦✇❞❡r ❬✺❪✱✳✳✳ ❙❛✉ ♥➭②✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ➤➲ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❇r♦✉✇❡r t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ị sù t➢➡♥❣ ❣✐❛♦ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ ❝➳❝ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t✱ ➤Þ♥❤ ❧ý ❦❤➠♥❣ t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤ ❝đ❛ ❍♦➭♥❣ ❚ơ② ❬✷✷❪ ✈➭ ị ý t tì r❛ ♥❤✐Ị✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥✳ ◆➝♠ ✶✾✼✷ ❑② ❋❛♥ ❬✼❪ ✈➭ ♥➝♠ ✶✾✼✽ ❇r♦✇❡r✲▼✐♥t② ❬✶✽❪ ➤➲ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ♠ét ❝➳❝❤ tæ♥❣ q✉➳t ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♥ã ✈í✐ ♥❤÷♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❑Õt q✉➯ ❝đ❛ ❑② ❋❛♥ ♥➷♥❣ ✈Ị tÝ♥❤ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥✱ ❝ß♥ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❇r♦✇❡r✲▼✐♥t② ♥➷♥❣ ✈Ị tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝đ❛ ❤➭♠ sè✳ ◆➝♠ ✶✾✾✶✱ ❇❧✉♠ ✈➭ ❖❡tt❧✐ ❬✸❪ ➤➲ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tỉ♥❣ q✉➳t ✈➭ t×♠ ❝➳❝❤ ❧✐➟♥ ❦Õt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝đ❛ ❑② ❋❛♥ ✈➭ ❇r♦✇❡r✲▼✐♥t② ✈í✐ ♥❤❛✉ t❤➭♥❤ ❞➵♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝❤♦ ❝➯ ❤❛✐✳ ❈➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭② ❞ù❛ tr➟♥ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❑❑▼✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ó♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❜❛♦ ❣å♠ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✱ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜ï✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ◆❛s❤✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ♥➭② ➤➲ ➤➢ỵ❝ ◆✳ ❳✳ ❚✃♥✱ P❤❛♥ ◆❤❐t ❚Ü♥❤ ❬✷✸❪ ✈➭ ❏✳ ▲✐♥ ❬✶✸❪ ♠ë rộ trờ ợ ét trị ữ ♥ã ❝ß♥ ♠ë ré♥❣ ❝❤♦ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✱ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣✱ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉❛♥ ❤Ö ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② t❛ tr×♥❤ ❜➭② sù ♠ë ré♥❣ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tr➟♥ ❝❤♦ ❧í♣ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tỉ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐ ■ ✈➭ ❝➳❝ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ♥ã✳ ❱Ị ❜è ❝ơ❝✱ ♥❣♦➭✐ ♣❤➬♥ ♠ë ➤➬✉✱ ❦Õt ❧✉❐♥ ✈➭ t➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✸ ❝❤➢➡♥❣✿ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ ❈❤➢➡♥❣ ✶✿ ❚r×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ♥ã♥✱ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✱ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ✈Ị ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✱ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ ❧✐➟♥ tơ❝ t❤❡♦ ♥ã♥ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✱ tÝ♥❤ ❧å✐ t❤❡♦ ♥ã♥ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ✈➭ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ❝➬♥ ❞ï♥❣ tí✐ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷✿ ❚r×♥❤ ❜➭② ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tæ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐ ■ ✈➭ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ♥❤➢✿ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➠ ❤➢í♥❣✱ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❧ý t➢ë♥❣ tr➟♥✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜❛♦ ❤➭♠ tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝t➡ tỉ♥❣ q✉➳t ✈➭ ①Ðt sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✸✿ ❚r×♥❤ ❜➭② ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ tè✐ ➢✉✱ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉❛♥ ❤Ö tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜❛♦ ❤➭♠ tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧ý t➢ë♥❣ tr➟♥ ✈➭ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ ❝ị♥❣ ♥❤➢ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ư ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tỉ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐ ■ ✈í✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❦❤➳❝✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❝❤Ø ❜➯♦ t❐♥ t×♥❤✱ ❝❤✉ ➤➳♦ ❝đ❛ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆❣✉②Ơ♥ ❳✉➞♥ ❚✃♥✳ ◗✉❛ ➤➞②✱ t➠✐ ①✐♥ ❣ư✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ t❤➬② ✈Ị sù ❣✐ó♣ ➤ì ♥❤✐Ưt t×♥❤ ❝đ❛ t❤➬② tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ t➠✐ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ö✉ ❚r➢ê♥❣ ❈❛♦ ➤➻♥❣ ❑✐♥❤ tÕ ✲ ❦ü t❤✉❐t ❝ï♥❣ t♦➭♥ t❤Ĩ ❝➳❝ ❜➵♥ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❝❤♦ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q trì ọ t ũ ợ ❝➯♠ ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ tí✐ tr➢ê♥❣ ➜❍❙P ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥✱ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❝❤♦ t➠✐ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ tèt ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t ủ ì ố ù t ợ tỏ sù ❜✐Õt ➡♥ tí✐ ❣✐❛ ➤×♥❤ t➠✐ ➤➲ ❧✉➠♥ ❜➟♥ ❝➵♥❤ đ♥❣ ❤é ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ✈➭ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tèt ♥❤✃t ❝❤♦ t➠✐ ➤➢ỵ❝ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹ ❉♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ✈➭ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ❜➯♥ t❤➞♥ ♥➟♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tể tr ỏ ữ tế sót ì t rt ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sù ➤ã♥❣ ❣ã♣ ý ❦✐Õ♥ ❝đ❛ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥ ➤Ĩ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ư♥ ❤➡♥✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ➤❛ trÞ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ t❛ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✈Ị ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐ ♥❤➢ t❐♣ ❧å✐✱ ♥ã♥ ❧å✐✱ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✱ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tơ❝ t❤❡♦ ♥ã♥ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✱ tÝ♥❤ ❧å✐ t❤❡♦ ♥ã♥ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ✈➭ ♠ét sè ị ý ể t ộ ữ ế tứ ụ ✈ơ ❝❤♦ ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ë ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ✶✳✶ ❚❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳ ●✐➯ sư ❧➭ ❧å✐ ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ x1 , x2 ∈ A, t ∈ [0, 1] t❤× tx1 + (1 − t)x2 ∈ A✳ ❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✷✳ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ❚❐♣ A ⊂ X ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ì t ì trò tr t ì ị tr ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✸✳ ❈➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭ ➤ó♥❣✿ ✭✐✮ ●✐❛♦ ❝đ❛ ♠ét ❤ä ❜✃t ❦ú ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ ❧➭ t❐♣ ❧å✐❀ ✭✐✐✮ ❚Ý❝❤ ➤Ị ❝➳❝ ❝đ❛ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ ❧➭ t❐♣ ❧å✐❀ ✭✐✐✐✮ ❚❐♣ ➯♥❤ ✈➭ ➯♥❤ ♥❣➢ỵ❝ ❝đ❛ ♠ét t❐♣ ❧å✐ q✉❛ ➳♥❤ ①➵ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧➭ t❐♣ ❧å✐❀ ✭✐✈✮ ❱í✐ A, B ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ t ∈ R t❤× tA, A + B Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✺ ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐✱ ✈í✐ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻ tA = {c = ta | a ∈ A}; A + B = {c = a + b | a ∈ A, b ∈ B} ❈❤♦ A ❧➭ t❐♣ rỗ tr tế tí X ❚❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ intA, A ❧➭ ♣❤➬♥ tr♦♥❣ ✈➭ ❜❛♦ ➤ã♥❣ ❝đ❛ A✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✹✳ ❈❤♦ A⊂X ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ✈í✐ intA = φ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❝➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭ ➤ó♥❣✿ intA, A ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐❀ ✭✐✮ ✭✐✐✮ ❱í✐ x ∈ intA, y ∈ A t❛ ❝ã [x, y) = {tx + (1 − t)y | < ≤ 1} ⊂ intA; ✭✐✐✐✮ A = intA; ✭✐✈✮ int(A) = intA n ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✺✳ ❈❤♦ A ⊂ X ✈➭ n ➤✐Ó♠ x1 , , xn ∈ A ➜✐Ĩ♠ x = n ✈í✐ ti ≥ 0(i = 1, 2, , n) t❤á❛ ♠➲♥ ti xi , i=1 ti = 1, ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét tỉ ❤ỵ♣ ❧å✐ ❝đ❛ i=1 ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ x1 , , xn ✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✻✳ t❐♣ ❧å✐ ❝❤ø❛ ❇❛♦ ❧å✐ ❝ñ❛ t❐♣ A✱ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❜ë✐ coA ❧➭ ❣✐❛♦ ❝đ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ A✳ ❇❛♦ ❧å✐ ➤ã♥❣ ❝đ❛ t❐♣ A✱ ❦ý ❤✐Ư✉ ❜ë✐ coA ❧➭ ❣✐❛♦ ❝ñ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ ❝❤ø❛ A✳ ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tr➟♥ t❛ t❤✃② coA ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ♥❤á ♥❤✃t ❝❤ø❛ A✱ coA ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ ➤ã ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ ♥❤á ♥❤✃t ❝❤ø❛ A✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✼✳ ❈➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭ ➤ó♥❣✿ ✭✐✮ ✭✐✐✮ coA trï♥❣ ✈í✐ t✃t ❝➯ ❝➳❝ tỉ ❤ỵ♣ ❧å✐ tr♦♥❣ ❆❀ coA = coA ✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼ ✶✳✷ ◆ã♥ ✈➭ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ●✐➯ sö Y ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ❚❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ♥ã♥ ♥❤➢ s❛✉✳ ị ĩ C Y ợ ọ ♥ã♥ ❝ã ➤Ø♥❤ t➵✐ ❣è❝ tr♦♥❣ Y ♥Õ✉ tc ∈ C ✈í✐ ♠ä✐ c ∈ C, t ≥ 0✳ ❚❐♣ C ⊂ Y ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ❝ã ➤Ø♥❤ t➵✐ y0 ♥Õ✉ t❐♣ C − {y0 } ❧➭ ♥ã♥ ❝ã ➤Ø♥❤ t➵✐ ❣è❝✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ t❛ ❝❤Ø q✉❛♥ t➞♠ ➤Õ♥ ♥ã♥ ❝ã ➤Ø♥❤ t➵✐ ❣è❝ ✈➭ ❣ä✐ ♥❣➽♥ ❣ä♥ ❧➭ ♥ã♥✳ ◆ã♥ ♥ã♥ ➤ã♥❣ ♥Õ✉ tÝ♥❤ ✈➭ C ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐ ♥Õ✉ C ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ ♥ã♥ C ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ C ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ Y ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t➠♣➠ t✉②Õ♥ C ❧➭ ♥ã♥ tr♦♥❣ Y ✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ clC, intC, convC ❧➬♥ ❧➢ỵt ❧➭ ❜❛♦ ➤ã♥❣✱ ♣❤➬♥ tr♦♥❣ ✈➭ ❜❛♦ ❧å✐ ❝đ❛ ♥ã♥ ◆Õ✉ C ✳ ❑Ý ❤✐Ư✉ l(C) = C ∩ (−C)✱ t❛ t❤✃② r➺♥❣✿ C ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐ t❤× l(C) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ♥❤á ♥❤✃t ♥➺♠ tr♦♥❣ C ✈➭ ♥ã ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➬♥ tr♦♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝đ❛ ♥ã♥ C ✳ ❚❛ ❝ã ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ s❛✉ ✈Ị ♥ã♥ ✭✐✮ ◆ã♥ C ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ♥❤ä♥ ♥Õ✉ l(C) = {0}❀ ✭✐✐✮ ◆ã♥ ✭✐✐✐✮ ◆ã♥ C ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ s➽❝ ♥Õ✉ ❜❛♦ ➤ã♥❣ ❝đ❛ ♥ã ❧➭ ♥ã♥ ♥❤ä♥❀ C ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ➤ó♥❣ ♥Õ✉ cl(C) + C \ l(C) ⊂ C ✳ ❚❛ t❤✃② r➺♥❣ ♥Õ✉ C ❧➭ ♥ã♥ ➤ã♥❣ t❤× C ❧➭ ♥ã♥ ➤ó♥❣✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✷✳✷✳ ❈➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✭✐✮ ✭✐✐✮ C ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐❀ C +C ⊂C ❱í✐ ♥ã♥ s❛✉✿ ✈➭ tC ⊂ C ✱ ✈í✐ ♠ä✐ t ≥ C ❝❤♦ tr➢í❝ tr♦♥❣ Y ✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ q✉❛♥ ❤Ư t❤ø tù tr➟♥ Y ♥❤➢ x, y ∈ Y, x ≥C y ♥Õ✉ x − y ∈ C ◆Õ✉ ❦❤➠♥❣ ❝ã sù ♥❤➬♠ ❧➱♥✱ t❛ ❝ã t❤Ó ✈✐Õt ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❧➭ ❈❤♦ x ≥ y x, y ∈ Y ✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ x > y ♥Õ✉ x − y ∈ C \ l(C) ✈➭ x >> y ♥Õ✉ x − y ∈ int(C) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✾ ♠➝♥❣ A ➤➢ỵ❝ ❣✐❛♦ ❜➳♥ ❝❤♦ ➤➵✐ ❧ý B ✳ ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ➤➵✐ ❧ý B ❧✃② s➯♥ ♣❤➮♠ tõ ♥❤➭ ♠➳② ①✐ ♠➝♥❣ A✳ ❑❤✐ ♥❤➭ ♠➳② A sư ❞ơ♥❣ ❝❤✐Õ♥ ❧➢ỵ❝ s➯♥ ①✉✃t s➯♥ ♣❤➮♠ x ∈ D ✈➭ ➤➵✐ ❧ý B sư ❞ơ♥❣ ❝❤✐Õ♥ ❧➢ỵ❝ ❜➳♥ ❤➭♥❣ y ∈ K ✭➤è✐ t➳❝ ❧➭♠ ➝♥ ❝ñ❛ ♥❤➭ ♠➳② A✮ t❤× ❧➲♥❤ ➤➵♦ ♥❤➭ ♠➳② A ❝ã t❐♣ ❝❤✐Õ♥ ❧➢ỵ❝ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ s➯♥ ①✉✃t t➢➡♥❣ ø♥❣ S(x, y) ✈➭ ❝❤đ ➤➵✐ ❧ý B ❝ị♥❣ ❝ã t❐♣ ❝❤✐Õ♥ ❧➢ỵ❝ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ❦✐♥❤ ❞♦❛♥❤ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ❤➭♠ ❜ë✐ ❤➭♠ g : K × D × D R ủ ý B ợ ị h : D × K × K −→ R✳ ❑❤✐ ➤ã ✈✃♥ ➤Ị ➤➷t r❛ ❧➭✿ ❚×♠ ♠ét ♣❤➢➡♥❣ ➳♥ s➯♥ ①✉✃t x tr♦♥❣ t❐♣ ❝➳❝ ❝❤✐Õ♥ ❧➢ỵ❝ ❝đ❛ ❧➲♥❤ ➤➵♦ ♥❤➭ ♠➳② A ✈➭ ♠ét y tr♦♥❣ t❐♣ ❝❤✐Õ♥ ❧➢ỵ❝ ❜➳♥ ❤➭♥❣ ❝đ❛ ❝❤đ ➤➵✐ ❧ý B ✭tø❝ ♣❤➢➡♥❣ ➳♥ ❜➳♥ ❤➭♥❣ ❧➭ T (x, y)✳ ❈❤✐ ♣❤Ý t❤✃t t❤♦➳t ❝đ❛ ♥❤➭ ♠➳② A ➤➢ỵ❝ x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)✮ ➤Ĩ tỉ♥❣ ❝❤✐ ♣❤Ý ❝đ❛ ♥❤➭ ♠➳② A ♥❤á ♥❤✃t ✈í✐ ♠ä✐ ❝❤✐Õ♥ ❧➢ỵ❝ s➯♥ ①✉✃t ❝đ❛ ❧➲♥❤ ➤➵♦ ♥❤➭ ♠➳② A ✈➭ tỉ♥❣ ❝❤✐ ♣❤Ý ❝đ❛ ➤➵✐ ❧ý B ♥❤á ♥❤✃t ✈í✐ ♠ä✐ ❝❤✐Õ♥ ❧➢ỵ❝ ❜➳♥ ❤➭♥❣ ❝đ❛ ❝❤đ ➤➵✐ ❧ý B ✳ ❚ø❝ ❧➭ g(y, x, x) = minx∈S(x,y) g(y, x, x); h(x, y, y) = miny∈T (x,y) h(x, y, y) ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✶✳✷✳ ❈❤♦ D✱ K t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❝♦♥ t rỗ ủ t tế tí ị sr S : D ì K 2D rỗ T : D ì K 2K (x, y) ∈ D × K ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ✭✐✮ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ❝♦♠♣❛❝t✱ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ✈í✐ F : K × D × D → R ❧➭ ❤➭♠ sè ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ ❝è ➤Þ♥❤ ❤➭♠ sè (¯ x, y¯) ∈ D × K F (y, x, ) : D → R ❧➭ tù❛ ❧å✐✳ t❤♦➯ ♠➲♥✿ x¯ ∈ S (¯ x, y¯)✱ y¯ ∈ T (¯ x, y¯)✱ ✭✐✐✮ ✭✐✐✐✮ ✭ ❤❛② ❈❤♦ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ❝♦♠♣❛❝t✱ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ ó trị ó rỗ X✱ Y ✳ F (¯ y , x¯, x¯) = M int∈S(¯x,¯y) F (¯ y , x¯, t) F (¯ y , x¯, t) ≥ F (¯ y , x¯, x¯) ✈í✐ ♠ä✐ t ∈ S(¯ x, y¯)✮✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❚❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ M : D × K → 2D ♥❤➢ s❛✉✿ M (x, y) = {x ∈ S(x, y)| F (y, x, z) ≥ F (y, x, x ), ∀z ∈ S(x, y)}, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✵ (x, y) ∈ D × K ❈❤♦ (x, y) D ì K ố ị t t B = S(x, y) ✈➭ G(z) = F (y, x, z)✳ ❑❤✐ ➤ã ❤➭♠ sè G ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t S(x, y)✱ ❞♦ ➤ã tå♥ t➵✐ z¯ ∈ B t❤♦➯ ♠➲♥ G(z) ≥ G(¯ z ) ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ B ✱ ❤❛② ❧➭ tå♥ t➵✐ z¯ ∈ S(x, y) t❤♦➯ ♠➲♥ F (y, x, z) ≥ F (y, x, z¯) ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y)✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ z¯ ∈ M (x, y) ✈➭ ❞♦ ➤ã M (x, y) = ∅✳ ❇➞② ❣✐ê ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ M (x, y) ❧➭ t❐♣ ❧å✐✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ✈í✐ ♠ä✐ x1 , x2 ∈ M (x, y) ✈➭ ♠ä✐ t ∈ [0, 1]✱ tõ tÝ♥❤ ❧å✐ ❝ñ❛ S(x, y) t❛ s✉② r❛ tx1 + (1 − t)x2 ∈ S(x, y)✳ ❉♦ x1 , x2 ∈ M (x, y) ♥➟♥ F (y, x, z) ≥ F (y, x, x1 ), ∀z ∈ S(x, y), ✈➭ F (y, x, z) ≥ F (y, x, x2 ), ∀z ∈ S(x, y) ❱× F (y, x, ) ❧➭ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐ ♥➟♥ F (y, x, z) ≥ ▼❛①{F (y, x, x1 ); F (y, x, x2 )} ≥ F (y, x, (tx1 + (1 − t)x2 )), ✈í✐ ♠ä✐ ✈➭ t ∈ [0, 1]✱ z ∈ S(x, y)✳ ❚õ ➤ã✱ t❛ s✉② r❛ tx1 + (1 − t)x2 ∈ M (x, y) M (x, y) ❧➭ t❐♣ ❧å✐✳ ➳♣ ❞ơ♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✽ t❛ ❝ã ➤✐Ị✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜Þ♥❤ ❧ý tr➟♥ ❝ã t❤Ĩ ♠ë ré♥❣ ❝❤♦ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ư ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ tè✐ ➢✉ ♥❤➢ s❛✉✿ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✶✳✸✳ ❈❤♦ D ✈➭ K ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐✱ rỗ t tr t tế tí ị sr T : D ì K 2K rỗ trị t ❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ ❧å✐✱ ➤ã♥❣✱ F1 : K ×D ×D → R ✈➭ F2 : D ×K ×K → R ❧➭ ❤❛✐ ❤➭♠ sè ❧✐➟♥ tơ❝✳ ❍➡♥ ♥÷❛ ✈í✐ ♠ä✐ ✈➭ ❤➭♠ sè ✭✐✐✮ (x, y) ∈ D × K ❝è ➤Þ♥❤ t❤× ❤➭♠ sè F1 (y, x, ) : D → R F2 (x, y, ) : K → R ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ✭✐✮ X, Y ✳ S : D×K → 2D ✱ (x, y) ∈ D × K t❤♦➯ ♠➲♥✿ x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✶ ✭✐✐✐✮ F1 (y, x, x) ≥ F1 (y, x, x) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ S(x, y); ✭✐✈✮ F2 (x, y, y) ≥ F2 (x, y, y) ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ T (x, y) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ M1 : D ì K 2D ị ĩ trị s M2 : D ì K → 2K ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ M1 (x, y) = {x ∈ S(x, y) | F1 (y, x, z) ≥ F1 (y, x, x ), ∀z ∈ S(x, y)}, M2 (x, y) = {y ∈ T (x, y) | F2 (x, y, t) ≥ F2 (x, y, y ), ∀t ∈ T (x, y)} ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù ➤Þ♥❤ ❧ý tr➟♥✱ M1 ✱ M2 ❧➭ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ➤ã♥❣ M1 (x, y) M2 (x, y) rỗ ✈í✐ ♠ä✐ (x, y) ∈ D × K ✳ ❳Ðt M : D × K → 2D×K ♥❤➢ s❛✉✿ M (x, y) = M1 (x, y) × M2 (x, y) ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã✿ ✐✮ M (x, y) = ∅ ✭❞♦ M1 (x, y) = ∅ ✈➭ M2 (x, y) = ∅✮ ✈➭ M (x, y) ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ✈í✐ ♠ä✐ ✐✐✮ (x, y) ∈ D × K ✳ M ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ➤ã♥❣✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sư t❛ ❝ã (xβ , yβ ) → (x, y)✱ (vβ , uβ ) ∈ M (xβ , yβ ) ✈➭ (vβ , uβ ) → (v, u)✳ ❙✉② r❛ vβ ∈ M1 (xβ , yβ ) tõ ➤ã t❛ ❝ã v ∈ M1 (x, y)✱ t➢➡♥❣ tù t❛ ❝ò♥❣ ❝ã u ∈ M2 (x, y)✳ ❉♦ ➤ã s✉② r❛ ➤➢ỵ❝ (v, u) ∈ M1 (x, y) × M2 (x, y) = M (x, y) ✐✐✐✮ M ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trị t M (D ì K) M1 (D × K) × M2 (D × K) ⊂ S(D × K) ì T (D ì K) t ị ❧ý ❑② ❋❛♥ ✭➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✼✮✱ tå♥ t➵✐ ♠➲♥ (¯ x, y¯) ∈ D × K t❤♦➯ (¯ x, y¯) ∈ M (¯ x, y¯)✳ ❚õ ➤ã s✉② r❛ x ∈ M1 (x, y), y ∈ M2 (x, y) ✈➭ ♥❤➢ ✈❐② x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y), F1 (y, x, x) ≥ F1 (y, x, x), ∀x ∈ S(x, y), F2 (x, y, y) ≥ F2 (x, y, y), ∀y ∈ T (x, y) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✶✳✹✳ ❈❤♦ D✱ K t➢➡♥❣ ø♥❣ t t rỗ ủ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t➠♣➠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧å✐ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❍❛✉s❞♦r❢❢ X✱ Y ✳ ❈❤♦ S : D × K → 2D , T : D × K → 2K ❧➭ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ❝♦♠♣❛❝t✱ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ ó rỗ F : K ì D × D → R✱ F2 : D × K × K → R ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ sè ❧✐➟♥ tô❝✳ ữ (x, y) D ì K ố ị số G : D ì K R ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐ G(v) = F1 (y, x, x ) + F2 (x, y, y ), ✈í✐ v = (x , y ) ∈ D × K, ❧➭ tù❛ ❧å✐✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ t❤♦➯ ♠➲♥✿ x ∈ S(x, y); ✭✐✮ ✭✐✐✮ y ∈ T (x, y); ✭✐✐✐✮ ✈í✐ ♠ä✐ (¯ x, y¯) ∈ D × K F1 (y, x, x) + F2 (x, y, y) ≥ F1 (y, x, x) + F2 (x, y, y); x ∈ S(x, y) ✈➭ ♠ä✐ y ∈ T (x, y)✳ ˜ = D × K ✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ S˜ : D ˜ → 2D˜ D ˜ ˜ ×D ˜ → Z ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❜ë✐ S(u) = S(x, y) × T (x, y) ✈➭ ➳♥❤ ①➵ F˜ : D ˜ ✳ ❑❤✐ F˜ (u, v) = F1 (y, x, x ) + F2 (x, y, y ) ✈í✐ u = (x, y), v = (x , y ) ∈ D ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ➜➷t ˜ ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐✱ ó rỗ ủ D = X ì Y ✱ S˜ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ ❣✐❛♥ t➠♣➠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧å✐ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❍❛✉s❞♦r❢❢ X ˜ ❧➭ ❤➭♠ sè ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ trÞ ❝♦♠♣❛❝t✱ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ ó rỗ F ó t ễ ứ ợ ố ị F (u, ) = G(.) ❧➭ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐✳ ❉♦ ➤ã t❤❡♦ ➤Þ♥❤ u = (x, y) ∈ D ˜ t❤♦➯ ♠➲♥✿ ❧ý ✸✳✶✳✷ t❤× tå♥ t➵✐ u ˜∈D ✈í✐ ˜ u) F˜ (˜ u, u) ≥ F˜ (˜ u, u˜), ∀u ∈ S(˜ ●✐➯ sư u˜ = (x, y)✱ tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ S˜✱ F˜ t❛ s✉② r❛ (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y) ❤❛② x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y) ✈➭ F1 (y, x, x) + F2 (x, y, y) ≥ F1 (y, x, x) + F2 (x, y, y), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✸ ✈í✐ ♠ä✐ ✸✳✷ x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y) ❇➭✐ t♦➳♥ q✉❛♥ ❤Ư tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧♦➵✐ ■ ●✐➯ sư D, K, S, T ợ ị ĩ tr R(y, x, t, z) ❧➭ q✉❛♥ ❤Ö ❧✐➟♥ ❦Õt y ∈ K, x, t, z ∈ D R ❧➭ q✉❛♥ ệ ợ ị tứ t tứ ❝ñ❛ ❤➭♠ t❤ù❝ ❤♦➷❝ ❜ë✐ ❝➳❝ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝✱ ❝➳❝ ❣✐❛♦ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✳ ❈➳❝ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trị M : K ì D ì D 2X , F : K × D × D × D 2X ợ ị ĩ M (y, x, z) = {t ∈ D | R(y, x, t, z) ➤ó♥❣}, (y, x, z) ∈ K × D × D; F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D ❇➭✐ t♦➳♥✿ ✭✐✮ ❚×♠ (x, y) ∈ D × K s❛♦ ❝❤♦ x ∈ S(x, y); ✭✐✐✮ y ∈ T (x, y); ✭✐✐✐✮ R(y, x, x, z) ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y), ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ q✉❛♥ ❤Ư ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ❚❛ ➳♣ ❞ơ♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✽ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭②✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✷✳✶✳ ❈❤♦ D ⊆ X, K ⊆ Z ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ❦❤➳❝ rỗ ợ t q ệ tự ế ♣❤➞♥ ❧♦➵✐ ■ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ♥Õ✉ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ t❤á❛ ♠➲♥✿ ✭✐✮ ✭✐✐✮ S T ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ❝♦♠♣❛❝t✱ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ t❐♣ ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣✱ ❦❤➳❝ rỗ trị t t trị rỗ t ỳ ú ♠ä✐ (x, y) ∈ D × K tå♥ t➵✐ t ∈ S(x, y) s❛♦ ❝❤♦ R(y, x, t, z) z ∈ S(x, y); ✭✐✈✮ ❱í✐ ❜✃t ❦ú ➤✐Ĩ♠ ❝è ➤Þ♥❤ (y, x) K ì D t ợ A = {t ∈ S(x, y) | R(y, x, t, z) ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y)} ❧➭ ❛❝②❝❧✐❝❀ ✭✈✮ ◗✉❛♥ ❤Ư R ❧➭ ➤ã♥❣✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✹ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ M : K × D −→ 2X , F : K × D × D × D −→ 2X ❧➭ trị ợ ị ĩ M (y, x) = {t ∈ S(x, y) | R(y, x, t, z) ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y)}, (y, x) ∈ K×D F (y, x, t, z) = t − M (y, x), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D ❚õ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✐✐✐✮ tå♥ t➵✐ r➺♥❣ t ∈ M (y, x), ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y) ➜✐Ò✉ ♥➭② s✉② r❛ ∈ F (y, x, t, z) ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y) ữ t ó tể t r t ợ A = {t ∈ S(x, y) | ∈ F (y, x, t, z), ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y)} = {t ∈ S(x, y) | t ∈ M (y, x), ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y)} ❧➭ ❛❝②❝❧✐❝✳ ❇➞② ❣✐ê t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ M ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ➤ã♥❣✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö r➺♥❣ xβ → x, yβ → y, tβ ∈ M (yβ , xβ ), tβ → t t❛ ♣❤➯✐ s✉② r❛ t ∈ M (y, x) ❚õ tβ ∈ M (yβ , xβ ), t❛ ❝ã t❤Ó t❤✃② r➺♥❣ R(yβ , xβ , tβ , z) ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(xβ , yβ ) S ❧➭ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ✈➭ xβ → x, yβ → y s✉② r❛ ✈í✐ ❜✃t ❦ú z ∈ S(x, y) tå♥ t➵✐ zβ ∈ S(xβ , yβ ) s❛♦ ❝❤♦ zβ → z ✳ ❱× ✈❐②✱ R(yβ , xβ , tβ , z) ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ❚õ z ∈ S(xβ , yβ ) (yβ , xβ , tβ , zβ ) → (y, x, t, z) ✈➭ q✉❛♥ ❤Ö R ➤ã♥❣✱ t❛ ❦Õt ❧✉❐♥ r➺♥❣ R(y, x, t, z) ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y) ➜✐Ị✉ ♥➭② ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t ∈ M (y, x) ✈➭ M ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ➤ã♥❣✳ ❱❐② F ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ➤ã♥❣✳ ➳♣ ❞ơ♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✽ tå♥ t➵✐ (x, y) ∈ D × K s❛♦ ❝❤♦ ✭✐✮ x ∈ S(x, y); ✭✐✐✮ ✭✐✐✐✮ y ∈ T (x, y); ∈ F (y, x, x, z), ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y), ♥❣❤Ü❛ ❧➭✱ R(y, x, x, z) ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y) ❈❤ó ý ✸✳✷✳✷✳ ❚❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ q✉❛♥ ❤Ư R ♥❤➢ s❛✉✿ R(y, x, t, z) ➤ó♥❣ ✈í✐ ∈ F (y, x, t, z) ◆Õ✉ ♠ä✐ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✽ tr➟♥ F ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥ t❛ sÏ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tỉ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐ ■ ❧➭ ❤Ư q✉➯ trù❝ t✐Õ♣ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉❛♥ ❤Ư tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✺ ❚❤❐t ✈❐②✱ tõ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✐✐✐✮ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✽✳ tå♥ t➵✐ t ∈ S(x, y) s❛♦ ❝❤♦ R(y, x, t, z) ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y) ●✐➯ sö (yβ , xβ , tβ , zβ ) → (y, x, t, z) ✈➭ R(y, x, t, z) ➤ó♥❣ ❞♦ ✈❐② ∈ F (yβ , xβ , tβ , zβ ) ✈× F ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ➤ã♥❣ s✉② r❛ r➺♥❣ ∈ F (y, x, t, z) ❱× ✈❐② R(y, x, t, z) ➤ó♥❣ ✈➭ R ❧➭ ➤ã♥❣✳ ❱í✐ ❜✃t ❦ú ể ố ị (y, x) K ì D t ❤ỵ♣ A = {t ∈ S(x, y) | ∈ F (y, x, t, z), ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y)}; t❤× A = {t ∈ S(x, y) | R(y, x, t, z) ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y)} ❧➭ ①②❝❧✐❝✳ ➳♣ ❞ơ♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ✸✳✷✳✶✳ t❛ ❦Õt ❧✉❐♥ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ (x, y) ∈ D × K s❛♦ ❝❤♦ ✭✐✮ x ∈ S(x, y); ✭✐✐✮ y ∈ T (x, y); ✭✐✐✐✮ ◆❣❤Ü❛ ❧➭✱ R(y, x, x, z) ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y) ∈ F (y, x, x, z), ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y) ❱× ✈❐②✱ ❇➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tæ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐ ■ s✉② r❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ q✉❛♥ ❤Ö ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧♦➵✐ ■ ✈➭ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐✳ ✸✳✸ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧ý t➢ë♥❣ tr➟♥ ❧♦➵✐ ■ ❈❤♦ D, K, S, T ợ ị ĩ tr H, G ❧➭ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ Y ✳ ●✐➯ sö C : K × D −→ 2Y ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ♥ã♥ trị ó rỗ ị ĩ ①➵ M : K × D × D −→ 2X , F : K × D × D × D −→ 2X ❜ë✐ M (y, x, z) = {t ∈ D | H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + C(y, x)} (y, x, z) ∈ K × D × D; F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✻ ❇➭✐ t♦➳♥✿ ✭✐✮ ❚×♠ (x, y) ∈ D × K s❛♦ ❝❤♦ x ∈ S(x, y); ✭✐✐✮ y ∈ T (x, y); ✭✐✐✐✮ H(y, x, z) ⊆ G(y, x, x) + C(y, x), ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y), ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧ý t➢ë♥❣ tr➟♥✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✸✳✶✳ ❈❤♦ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ B⊆D Y ✱ G : B −→ 2Y ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❝♦♠♣❛❝t rỗ trị ệ ề ✸✳✸✳✷✳ ❈❤♦ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ z z∈B s❛♦ ❝❤♦ ∈ B B ⊆ D ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❝♦♠♣❛❝t ❧å✐ rỗ C Y G : B 2Y ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐✱ C− tù❛ ❧å✐ ❞➢í✐ ✈➭ (−C)− ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ ó rỗ ó tồ t G(z) G(z) − C, ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐ C− tù❛ ❧å✐ tr➟♥ ✈➭ (C) tụ ớ trị ó rỗ ❑❤✐ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ G(z) ⊆ G(z) + C, C ✈ã✐ ♠ä✐ z z∈B s❛♦ ❝❤♦ ∈ B ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❤❛✐ ♠Ư♥❤ ➤Ị ♥➭② t❛ ❝ã t❤Ĩ t×♠ t❤✃② tr♦♥❣ ❬✶✸❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✸✳✸✳ ❈❤♦ D, K ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ rỗ ợ t tứ tự ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝t➡ t➠♣➠ ❧å✐ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ X, Z ✱ ●✐➯ sư S : D × K −→ 2D , T : D × K −→ 2K ; H, G : K × D × D −→ 2Y , C : K × D −→ 2Y ❧➭ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧ý t➢ë♥❣ tr➟♥ ❧♦➵✐ ■ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ♥Õ✉ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥✿ ✭✐✮ S ✭✐✐✮ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ❝♦♠♣❛❝t ❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ ❣✐➳ trị ó rỗ T trÞ ❝♦♠♣❛❝t ❛❝②❝❧✐❝❀ ✭✐✐✐✮ C ✭✐✈✮ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ H ❧➭ (−C)− ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣✱ rỗ trị ó tụ tr trị ó rỗ ➤❛ trÞ G ❧➭ C− ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ✈í✐ ❣✐➳ trị t rỗ S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✼ ✭✈✮ ❱í✐ t ỳ ể ố ị (x, y) D ì K, ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ G(y, x, ) ❧➭ C(y, x)✲tù❛ ❧å✐❀ ✭✈✐✮ ❱í✐ ❜✃t ❦ú (y, x, z) ∈ K × D × D, H(y, x, z) ⊆ G(y, x, z) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❚❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ trị M : K ì D 2X , F : K × D × D × D −→ 2X ❜ë✐ M (y, x) = {t ∈ S(x, y) | H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + C(y, x), ∀z ∈ S(x, y)} (y, x) ∈ K × D; F (y, x, t, z) = t − M (y, x), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D ❱í✐ ♠ä✐ ➤✐Ĩ♠ ❝è ➤Þ♥❤ (x, y) ∈ D × K ❚❛ ➳♣ ❞ơ♥❣ ♠Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✸✳✶ ✈í✐ B = S(x, y), C = C(y, x) ✈➭ G(z) = G(y, x, z) s✉② r❛ t ∈ S(x, y) s❛♦ ❝❤♦ G(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + C(y, x), ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y) ❚õ ✭✐✈✮ t❛ ❝ã H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + C(y, x) ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y) ➜✐Ị✉ ♥➭② ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ ●✐➯ sư t❤× t ∈ S(x, y) s❛♦ ❝❤♦ ∈ F (y, x, t, z) ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y) A = {t ∈ D | ∈ F (y, x, t, z), ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y)} ◆Õ✉ t1 , t2 ∈ A H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t1 ) + C(y, x) ✈➭ H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t2 ) + C(y, x) ❚õ tÝ♥❤ C(y, x)✲tù❛ ❧å✐ tr➟♥ ❝đ❛ G s✉② r❛ ✈í✐ ♠ä✐ λ ∈ [0, 1] t❛ ❝ã G(y, x, t1 ) ⊆ G(y, x, λt1 + (1 − λ)t2 ) + C(y, x) ❤♦➷❝ G(y, x, t2 ) ⊆ G(y, x, λt1 + (1 − λ)t2 ) + C(y, x) ❱❐② H(y, x, z) ✈❐② ⊆ G(y, x, λt1 +(1−λ)t2 )+C(y, x) s✉② r❛ λt1 +(1−λ)t2 ∈ A A ❧å✐ ✈➭ ❞♦ ➤ã ❧➭ ❛❝②❝❧✐❝✳ ❚❛ ❣✐➯ sö xβ → x, yβ → y, tβ ∈ M (yβ , xβ ), tβ → t✳ ❉♦ tβ ∈ S(xβ , yβ ) ✈➭ tÝ♥❤ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ❝đ❛ S ✈í✐ ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣ s✉② r❛ t ∈ S(x, y)✳ ❚õ tβ ∈ M (yβ , xβ ) t❛ ❝ã H(yβ , xβ , zβ ) ⊆ G(yβ , xβ , tβ ) + C(y, x) ❉♦ H ❧➭ (−C)✲❧✐➟♥ ❝❐♥ ❜✃t ❦ú tơ❝ ❞➢í✐ t➵✐ (1) (y, x, z), (yβ , xβ , zβ ) → (y, x, z), ✈í✐ ❧➞♥ V ❝ñ❛ ❣è❝ tr♦♥❣ Y ✱ tå♥ t➵✐ β1 s❛♦ ❝❤♦ H(y, x, z) ⊆ H(yβ , xβ , zβ ) + V + C(y, x), ✈í✐ ♠ä✐ β ≥ β1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2) ✹✽ ❉♦ (yβ , xβ , tβ ) → (y, x, t) ✈➭ G ❧➭ C ✲❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ t➵✐ (y, x, t), tå♥ t➵✐ β2 s❛♦ ❝❤♦ G(yβ , xβ , tβ ) ⊆ G(y, x, t) + V + C(y, x), ✈í✐ ♠ä✐ β ≥ β2 ➜➷t β0 = max{β1 , β2 }✱ tõ ✭✶✮✱ ✭✷✮ ✈➭ ✭✸✮ t❛ ❝ã (3) H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + 2V + C(yβ , xβ ) + C(y, x) ❉♦ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ C ❧➭ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ✈í✐ ♥ã♥ ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣✱ t❛ ❝ã ✈í✐ ♠ä✐ ❧➞♥ ❝❐♥ V ❝đ❛ ❣è❝ tr♦♥❣ Y ✱ C(yβ , xβ ) ⊆ C(y, x) + V ❱× ✈❐② H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + 3V + C(y, x) ❚õ tÝ♥❤ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ C(y, x) ✈➭ ❣✐➳ trÞ ❝♦♠♣❛❝t ❝đ❛ G t❛ ❝ã H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + C(y, x) ❉♦ ✈❐②✱ tå♥ t➵✐ t ∈ M (y, x) ✈➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ M, F ❧➭ ➤ã♥❣✳ ➳♣ ❞ơ♥❣ ị ý (x, y) D ì K s ❝❤♦ ✶✮ x ∈ S(x, y); ✷✮ y ∈ T (x, y); ✸✮ ∈ F (y, x, x, z), ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y) ◆❣❤Ü❛ ❧➭✱ H(y, x, z) ⊆ G(y, x, x) + C(y, x) ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y) ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✸✳✹✳ ❈❤♦ D, K t rỗ ợ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝t➡ t➠♣➠ ❧å✐ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ X, Z S : D × K −→ 2D , T : D × K −→ 2K H, G : K × D × D −→ 2Y , C : K × D −→ 2Y ❧➭ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧ý t➢ë♥❣ tr➟♥ ❧♦➵✐ ■ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ♥Õ✉ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥✿ ✭✐✮ S ✭✐✐✮ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ❝♦♠♣❛❝t ❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ ❧å✐✱ ó rỗ T trị t ❛❝②❝❧✐❝❀ ✭✐✐✐✮ C ✭✐✈✮ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ H ❧➭ (C) tụ tr trị t rỗ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ✈í✐ ♥ã♥ trị ó rỗ trị G ❧➭ C− ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣✱ rỗ S húa bi Trung tõm Hc liu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✾ ✭✈✮ ❱í✐ ❜✃t ❦ú ể ố ị (x, y) D ì K, ①➵ ➤❛ trÞ G(y, x, ) ❧➭ C(y, x)✲tù❛ ❧å✐ ❞➢í✐❀ ✭✈✐✮ ❱í✐ ❜✃t ❦ú ❈❤ó ý ✸✳✸✳✺✳ ◆Õ✉ (y, x, z) ∈ K × D × D, G(y, x, z) ⊆ H(y, x, z) D, K, S, T, C, Y, H, G tr ị ý tì tồ t➵✐ (x, y) ∈ D × K s❛♦ ❝❤♦ ✶✮ x ∈ S(x, y); ✷✮ y ∈ T (x, y); ✸✮ H(y, x, z) ∩ (G(y, x, x) + C(y, x)) = φ ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y) ❚❤❐t ✈❐②✱ ➳♣ ❞ơ♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ✸✳✸✳✹ tå♥ t➵✐ (x, y) ∈ D×K s❛♦ ❝❤♦ x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); ✈➭ G(y, x, x) ⊆ H(y, x, z) − C(y, x), ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y) ➜➷t a ∈ G(y, x, x) t❤× a = f − c, f ∈ H(y, x, z), c ∈ C(y, x)✳ ❱× ✈❐②✱ f = a + c ∈ G(y, x, x) + C(y, x) ♥➟♥ H(y, x, z) ∩ (G(y, x, x) + C(y, x)) = φ ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ S(x, y) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺✵ ❑Õt ❧✉❐♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ủ tí trị sử ụ ữ ế t❤ø❝ ♥➭② ✈➭♦ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tæ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐ ■ ✈➭ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ♥❤➢✿ ❇➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➠ ❤➢í♥❣✱ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❧ý t➢ë♥❣ tr➟♥ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ✈Ð❝t➡✳ ➜å♥❣ t❤ê✐✱ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ✈➭♦ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ trÞ ♥❤➢✿ ❇➭✐ t♦➳♥ tù❛ tè✐ ➢✉ ❧♦➵✐ ■✱ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉❛♥ ❤Ö tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧♦➵✐ ■ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧ý t➢ë♥❣ tr➟♥ ❧♦➵✐ ■✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❝ị♥❣ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tr➟♥✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❝ị♥❣ ❝❤Ø r❛ ➤➢ỵ❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ư ❝đ❛ ❝❤ó♥❣✳ ❈ơ t❤Ĩ✱ tr♦♥❣ ❝❤ó ý ✸✳✷✳✷ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ❝❤Ø r❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tæ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐ ■ s✉② r❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ q✉❛♥ ❤Ö ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧♦➵✐ ■ ✈➭ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ◆❣✉②Ô♥ ❳✉➞♥ ❚✃♥✱ ◆❣✉②Ô♥ ❇➳ ▼✐♥❤ ✭✷✵✵✻✮✱ ▼ét sè ✈✃♥ ➤Ị tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt tè✐ ➢✉ ✈Ð❝t➡ ➤❛ trÞ✱ ◆①❜ ●✐➳♦ ❞ơ❝✳ ❬✷❪ ◆❣✉②Ơ♥ ❳✉➞♥ ❚✃♥✱ ◆❣✉②Ơ♥ ❇➳ ▼✐♥❤ ✭✷✵✵✼✮✱ ▲ý t❤✉②Õt tè✐ ➢✉ ❦❤➠♥❣ tr➡♥✱ ◆①❜ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✸❪ ❇❧✉♠✱ ❊✳ ❛♥❞ ❖❡tt❧✐✱ ❲✳✭✶✾✾✸✮✱ ✧❋r♦♠ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s t♦ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ Pr♦❜❧❡♠s✧✱ ❚❤❡ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙t✉❞❡♥t✱ ❱♦❧✳ ✻✹✱ ♣♣✳ ✶✲✷✸✳ ❬✹❪ ❇r♦✉✇❡r ▲✳ ❊✳ ❏✳ ✭✶✾✶✷✮✱ ✧❯❜❡r ❛❜❜✐❧❞✉♥❣❡♥✈♦♥ ♠❛♥♥✐❣❢❛❧t✐❣❤❡✐t❡♥✧✱ ♠❛t❤✳ ❆♥♥✳ ✼✶✱ ♣♣✳ ✾✼✲✶✶✺✳ ❬✺❪ ❇r♦✇❞❡r✱ ❋✳❊✳ ✭✶✾✽✹✮✱ ✧❈♦✐♥❝✐❞❡♥❝❡ ❚❤❡♦r❡♠s✱ ♠✐♥✐♠❛① ❚❤❡♦r❡♠s ❛♥❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❝♦♥t❡♠♣✧✱ ▼❛t❤✱ ✷✻✱ ♣♣✳ ✻✼✲✽✵✳ ❬✻❪ ❇r♦✇❞❡r✱ ❋✳❊✳ ✭✶✾✻✽✮✱ ✧❚❤❡ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r② ♦❢ ♠✉❧t✐✈❛❧✉❡❞ ♠❛♣♣✐♥❣s ✐♥ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡✧✱ ▼❛t❤✳❆♥♥✱ ✶✼✼✱ ♣♣✳ ✷✸✽✲✸✵✶✳ ❬✼❪ ❋❛♥✱ ❑✳✭✶✾✻✶✮✱ ✧❆ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❚②❝❤♦♥♦❢❢✬s ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠✧✱ ▼❛t❤✳ ❆♥♥✱ ✶✹✷✱ ♣♣✳ ✸✵✺✲✸✶✵✳ ❬✽❪ ❋❛♥✱ ❑✳✭✶✾✼✷✮✱ ✧❆ ♠✐♥✐♠❛① ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✧✱ ✐♥ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✸✱ ❖✳❙❤✐s❤❛ ✭❊❞✮✱ ❆❝❛ Pr❡ss✱ ◆❡✇✲❨♦r❦✱ ❬✾❪ ●✉rr❛❣❣✐♦✱ ❆✳ ❛♥❞ ❚❛♥✱ ◆✳ ❳✳ ✭✷✵✵✷✮✱ ✧❖♥ ●❡♥❡r❛❧ ❱❡❝t♦r ◗✉❛s✐✲ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠s✧✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ▼❡t❤♦❞s ♦❢ ❖♣❡r❛t✐♦♥ ❘❡✲ s❡❛r❝❤✱ ❱♦❧✳ ✺✺✱ ♣♣✳ ✸✹✼✲✸✺✽✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✺✶ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺✷ ❬✶✵❪ ◆✳ ❳✳ ❍❛✐ ❛♥❞ P✳ ◗✳ ❑❤❛♥❤✳ ✭✷✵✵✼✮✱ ✧❚❤❡ s♦❧✉s✐♦♥ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s✧✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✱ ✸✷✽✱ ♣♣✳ ✶✷✻✽✲ ✶✷✼✼✳ ❬✶✶❪ ❑❛❦✉❚❛♥✐✱ ❙✳ ✭✶✾✹✹✮✱ ✧❆ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❇r♦✉✇❡rs ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦✲ r❡♠✧✱ ❉✉❦❡✳ ▼❛t❤✳ ❏✱ ✽✱ ♣♣✳ ✹✺✼✲✹✺✾✳ ❬✶✷❪ ❑♥❛st❡r ❇✳✱ ❑✉r❛t♦✇s❦✐ ❈✳ ❛♥❞ ▼❛③✉r❦✐❡✇✐❝③ ❙✳ ✭✶✾✷✾✮✱ ✧❊✐♥ ❜❡✇✐❡s ❞❡s ❢✐①♣✉♥❦t③❡s ❢✉r ♥✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s✐♠♣❧❡①❡✧✱ ❋✉♥❞✳ ▼❛t❤✱ ❱♦❧✳ ✶✹✱ ♣♣✳ ✶✸✷✲✶✸✼✳ ❬✶✸❪ ▲✐♥✱ ▲✳ ❏✳ ❛♥❞ ◆✳ ❳✳ ❚❛♥✳ ✭✷✵✵✼✮✱ ✧❖♥ ■♥❝❧✉s✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠s ♦❢ ❚②♣❡ ■ ❛♥❞ ❘❡❧❛t❡❞ Pr♦❜❧❡♠s✧✱ ❏✳ ●❧♦❜❛❧ ❖♣t✐♠✱ ❱♦❧✳ ✸✾✱ ♥♦✸✱ ♣♣✳ ✸✾✸✲✹✵✼✳ ❬✶✹❪ ❉✳ ❚✳ ▲✉❝✳ ✭✶✾✽✷✮✱ ✧❖♥ ◆❛s❤ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ■✧✱ ❆❝t❛ ▼❛t❤✳ ❆❝❛❞✳ ❙❝✐✳ ❍✉♥❣❛r✱ ✹✵✭✸✲✹✮✱ ♣♣✳ ✷✻✼✲✷✼✷✳ ❬✶✺❪ ❉✳ ❚✳ ▲✉❝✳ ✭✶✾✽✾✮✱ ✧❚❤❡♦r② ♦❢ ✈❡❝t♦r ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✧✱ ▲❡❝t✳ ◆♦t❡s ✐♥ ❊❝♦✳ ❛♥❞ ▼❛t❤✳ ❙②st❡♠s✱ ❙♣r✐♥❣❡r ❱❡r❧❛❣✱ ❇❡r❧✐♥✱ ●❡r♠❛♥②✱ ❱♦❧✳ ✸✶✾✳ ❬✶✻❪ ❉✳ ❚✳ ▲✉❝ ❛♥❞ ◆✳ ❳✳ ❚❛♥✳ ✭✷✵✵✹✮✱ ✧❊①✐st❡♥❝❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✐♥ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❝❧✉s✐♦♥s ✇✐t❤ ❝♦♥str❛✐♥ts✧✱ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✺✸✱ ♣♣✳ ✺✵✺✲✺✶✺✳ ❬✶✼❪ ◆✳ ❇✳ ▼✐♥❤ ❛♥❞ ◆✳ ❳✳ ❚❛♥✳ ✭✷✵✵✵✮✱ ✧❙♦♠❡ ❙✉❢❢✐❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❊①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ P♦✐♥t ❈♦♥❝❡r♥✐♥❣ ♠✉❧t✐✈❛❧✉❡❞ ▼❛♣♣✐♥❣✧✱ ❱✐❡t♥❛♠ ❏♦✉r❛❧ ♦❢ ▼❡t❤❡♠❛t✐❝s✱ ❱♦❧✳ ✷✽✱ ♣♣✳ ✷✾✺✲✸✶✵✳ ❬✶✽❪ ▼✐♥t②✱ ●✳ ❏✳ ✭✶✾✼✽✮✱ ✧❖♥ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ♠♦♥♦t♦♥❡ ♦♣❡r❛✲ t♦rs✧✱ ■✳ ❆✈❛♥❝❡s ✐♥ ▼❛t❤✱ ✸✵✱ ♣♣✳ ✶✲✼✳ ❬✶✾❪ P❛r❦✱ ❙✳ ✭✷✵✵✵✮✱ ✧❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ ◗✉❛s✐✲❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜❧❡♠s✧✱ ◆♦♥✲ ❧✐♥❡❛r ❖♣❡r✳❚❤❡♦r②✳▼❛t❤✳ ❛♥❞ ❈♦♠✳▼♦❞❡❧✱ ❱♦❧✳ ✸✷✱ ♣♣✳ ✶✷✾✼✲✶✸✵✹✳ ❬✷✵❪ P❛r❦✱ ❙✳ ✭✷✵✵✼✮✱ ✧❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts t❤❡♦r❡♠s ❢♦r ❜❡tt❡r ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ♠✉❧t✐♠❛♣s ♦♥ ❛❧♠♦st ❝♦♥✈❡① s❡ts✧✱ ❏✳▼❛t❤✳❆♥❛❧✳❆♣♣❧✱ ✸✷✾✱ ♣♣✳ ✻✾✵✲✼✵✷✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺✸ ❬✷✶❪ ◆✳ ❳✳ ❚❛♥✳ ✭✷✵✵✹✮✱ ✧❖♥ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ q✉❛s✐✲✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s✧✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❱♦❧✳✶✷✸✱ ♣♣✳ ✻✶✾✲✻✸✽✳ ❬✷✷❪ ❍✳ ❚✉②✳ ✭✶✾✼✷✮✱ ✧❈♦♥✈❡① ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ t❤❡ ❍❛❤♥✲❇❛♥❛❝❤ t❤❡♦r❡♠✧✱ ❞✐ss❡rt❛t✐♦♥❡s ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧✱ ❈❳❱■■✳ ❬✷✸❪ ◆✳ ❳✳ ❚❛♥✳ ❛♥❞ P✳ ◆✳ ❚✐♥❤✳ ✭✶✾✾✽✮✱ ✧❖♥ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣♦✐♥ts ♦❢ ✈❡❝t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥✧✱ ◆✉♠❡r✳ ❋✉♥❝t✳❆♥❛❧✳ ❛♥❞ ❖♣t✱ ✶✾✱ ♣♣✳ ✶✹✶✲ ✶✺✻✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ...Đ? ?I HỌC TH? ?I NGUYÊN TRƯỜNG Đ? ?I HỌC KHOA HỌC ========== TRẦN THỊ HƯƠNG B? ?I TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG LO? ?I I VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: TOÁN GI? ?I TÍCH Mã số: 60.46.01... t ỉ số rỗ D ✈➭♦ Yi , (i ∈ I) ✳ Fi : D −→ 2Yi ❧➭ ❝➳❝ ➳♥❤ ➳♥❤ ①➵ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ Fi, Fi ✱ ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ tõ D ✈➭♦ Y = F = i? ? ?I (i I) ý Yi ợ ị ĩ iI Fi (x) F (x) = i? ? ?I ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳✽✳... p∗ , v ≥ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ ❉♦ I( x, y) = {i ∈ {0, , s} | ? ?i (x, y) > 0} s ? ?i (x, y) = ♥➟♥ I( x, y) = φ ❱× ✈❐②✱ ✈í✐ ❜✃t ❦ú ≤ ? ?i (x, y), i= 0 i ∈ I( x, y), (x, y) ∈ supp? ?i ⊆ U pj (i) ✈➭ s ∗ Cp (x, y) = supv∈F(y,x)