Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại ii và ứng dụng

1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - ĐINH TIẾN HỒNG BÀI TỐN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QT LOẠI II VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết tối ưu hình thành từ ý tưởng cân kinh tế, lý thuyết giá trị Edgworth Pareto từ cuối kỉ XIX đầu kỉ XX Sau có nhiều cơng trình nghiên cứu ứng dụng lĩnh vực khác ngành khoa học kĩ thuật thực tế: Borel (1921), Von Neuman (1926) xây dựng lý thuyết trò chơi dựa khái niệm kết toán học, Koopman (1947) đưa lý thuyết lưu thông hàng hóa Lý thuyết tối ưu véctơ phận quan trọng lý thuyết tối ưu Sau công trình H.W Kuhn A.W.Tucker điều kiện cần đủ cho véctơ thoản mãn ràng buộc nghiệm hữu hiệu, tối ưu véctơ thực ngành tốn học độc lập có nhiều ứng dụng thực tế Các toán lý thuyết tối ưu bao gồm: toán tối ưu, toán cần Nash, toán bù, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm yên ngựa, Bài toán điểm cân biết đến từ lâu cơng trình Arrow-Debreu, Nash sau nhiều nhà tốn học sử dụng để xây dựng mơ hình kinh tế từ nửa sau kỉ XX Ky Fan (1972) Browder-Minty (1978) phát biểu chứng minh tự tồn nghiệm toán cân dựa định lý điểm bất động Năm 1991, Blum Oettli phát biểu toán cân cách tổng quát tìm cách liên kết toán Ky Fan Browder-Minty với thành dạng chung cho hai Bài toán phát biểu ngắn gọn là: tìm 𝑥 ∈ 𝐾 cho 𝑓 𝑥 , 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾, K tập cho trước, 𝑓: 𝐾 × 𝐾 ⟶ 𝑅 hàm số thực thỏa mãn 𝑓(𝑥, 𝑥) ≥ Đây dạng suy rộng trực tiếp toán cổ điển lý thuyết tối ưu véctơ Ban đầu người ta nghiên cứu toán liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều sang không gian hữa hạn chiều khác mà thứ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tự đưa nón Orthant dương Sau mở rộng sang khơng gian có số chiều vơ hạn với nón Khái niệm ánh xạ đa trị xây dựng phát triển thân toán học lĩnh vực khoa học khác Những định nghĩa, tính chất, phân lớp ánh xạ đơn trị dần mở rộng cho ánh xạ đa trị Từ người ta tìm cách chứng minh kết thu từ đơn trị sang đa trị Chính lẽ đó, tốn điểm cân nhiều nhà nghiên cứu đặc biệt quan tâm năm gần Với lý mà chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Bài toán tựa cân tổng quát loại II ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Đối với ánh xạ đa trị, toán điểm cân xây dựng cách tổng quát Blum Oettli đặt Có nhiều mở rộng toán cân ánh xạ đa trị, nhiên kết đạt nhiều tác giả chưa thực tổng quát cho toán liên quan đến ánh xạ đa trị trường hợp đơn trị Để tìm nghiệm tốn tối ưu, thơng thường người ta thường đưa thuật tốn quy hoạch như: quy hoạch lồi, quy hoạch Lipshitz hay phương pháp Newton xây dựng dãy hội tụ nghiệm Chính tồn nghiệm toán vấn đề quan trọng nghiên cứu toán lý thuyết tối ưu véctơ Mục đích luận văn đưa mơ hình tốn tựa cân tổng qt loại II, nghiên cứu tồn nghiệm ứng dụng tốn tối ưu véctơ Đối tƣợng nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu toán tựa cân tổng quát loại II Phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát loại II toán liên quan lý thuyết tối ưu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phƣơng pháp nghiên cứu Để chứng minh tồn nghiệm tốn đặt luận án, chúng tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu định lý điểm bất động Ky Fan, Fan-Browder định lý KKM Ý nghĩa khoa học thực tiễn Làm phong phú thêm kết nghiên cứu toán tựa cân toán khác lý thuyết tối ưu Ứng dụng vào toán thực tế như: xây dụng lý thuyết trị chơi, đưa mơ hình kinh tế Cấu trúc luận án Luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Đưa số khái niệm liên quan không gian thường dùng: không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian tuyến tính lồi địa phương Haussdorff; nón khái niệm liên quan; ánh xạ đa trị Chương 2: Trình bày toán tựa cân tổng quát loại II điều kiện nghiệm toán Chương 3: Ứng dụng toán tựa cân vào toán tựa cân vơ hướng tốn tối ưu loại II Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong thực tế, nhiều toán liên quan đến phép chuyển điểm tập thành tập tập Những khái niệm cổ điển hàm số, toán tử hay ánh xạ khơng cịn thích hợp Việc mở rộng ánh xạ đa trị tất yếu nhu cầu thực vấn đề nảy sinh từ tự nhiên sống Chính mà mơn giải tích đa trị hình thành trở thành cơng cụ đắc lực để nghiên cứu toán liên quan đến ánh xạ đa trị Ta dành trọn chương để nhắc lại số kiến thức mơn giải thích đa trị Các kiến thức quan trọng việc nghiên cứu toán chương sau 1.1 Một số không gian thƣờng dùng 1.1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn cặp 𝑋, , X khơng gian tuyến tính, cịn ánh xạ 𝑋 ⟶ 𝑅 thỏa mãn: (i) ∀𝑥 ∈ 𝑋, 𝑥 ≥ 𝑥 = 𝑥 = 0; (ii) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 ; (iii) ∀𝑥 ∈ 𝑋, ∀𝜆, 𝜆𝑥 = 𝜆 𝑥 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.2 Cho X khơng gian tuyến tính trường 𝐾 = 𝑅, 𝐶 Hàm số , : 𝑋 × 𝑋 ⟶ 𝐾 gọi tích vơ hướng X nếu: (i) 𝑦, 𝑥 = 𝑥, 𝑦 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 (kí hiệu 𝑥, 𝑦 số phức liên hợp số phức 𝑦, 𝑥 ); (ii) 𝑥 + 𝑦, 𝑧 = 𝑥, 𝑧 + 𝑦, 𝑧 , ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋; (iii) 𝜆𝑥, 𝑧 = 𝜆 𝑥, 𝑧 , ∀𝜆 ∈ 𝐾; (iv) 𝑥, 𝑥 ≥ 0; 𝑥, 𝑥 = ⟺ 𝑥 = Không gian X trang bị tích vơ hướng gọi khơn gian tiền Hilbert Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong không gian tiền Hilbert ta ln có bất đẳng thức Cauchuy – Schwarz sau: 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑥, 𝑥 𝑦, 𝑦 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 Từ bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có 𝑥 = 𝑥, 𝑥 chuẩn không gian X Không gian tiền Hilbert khơng gian định chuẩn Do đó, định nghĩa dãy Cauchy tính đầy đủ Vậy ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.3 Khơng gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert 1.1.3 Khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phƣơng Haussdorff Định nghĩa 1.4 Cho tập hợp X, gọi 𝒯 tập X Khi X gọi không gian tôpô điều kiện sau thỏa mãn: (i) ∅ ∈ 𝒯, 𝑋 ∈ 𝒯; (ii) Với 𝑈𝑡 ∈ 𝒯, ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑈𝑡 ∈ 𝒯; 𝑡∈𝑇 (iii) Với ∀𝑈1 , 𝑈2 ∈ 𝒯 𝑈1 ∩ 𝑈2 ∈ 𝒯 Một khơng gian tuyến tính thực hay phức đồng thời trang bị cấu trúc tôpô cấu trúc đại số (phép cộng hai phần tử phép nhân số với phần tử) Khi ta có khơng gian vừa tuyến tính, vừa tơpơ Vấn đề đáng ý hai cấu trúc có quan hệ với để không gian nảy sinh nhiều tính chất Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.5 Ta nói tơpơ 𝒯 phù hợp với cấu trúc đại số không gian X, phép tính đại số X liên tục tơpơ 𝒯, tức nếu: (i) 𝑥 + 𝑦 ánh xạ liên tục hai biến x, y; nói rõ hơn, với lân cận V điểm 𝑥 + 𝑦 tồn lân cận 𝑈𝑥 𝑥 lân cân 𝑈𝑦 𝑦 cho 𝑥 ′ ∈ 𝑈𝑥 , 𝑦′ ∈ 𝑈𝑦 𝑥 ′ + 𝑦′ ∈ 𝑉 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) 𝛼𝑥 ánh xạ liên tục hai biến 𝛼, 𝑥; nói rõ hơn, với lân cận V 𝛼𝑥 có số 𝜀 > lân cận U x cho 𝛼 ′ − 𝛼 < 𝜀, 𝑥 ′ ∈ 𝑈 𝛼 ′ 𝑥 ′ ∈ 𝑉 Khơng gian tuyến tính X có tơpơ tương thích với cấu trúc đại số gọi khơng gian tơpơ tuyến tính Định nghĩa 1.6 Khơng gian tơpơ tuyến tính X gọi không gian lồi địa phương phần tử X có sở lân cận thành lập từ tập lồi, hay tương đương phần tử ∈ 𝑋 có sở lân cận thành lập từ tập lồi Định nghĩa 1.7 Không gian tôpô 𝑋, 𝒯 gọi không gian Haussdorff với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝑥 ≠ 𝑦 tồn lân cận 𝑈𝑥 𝑥 𝑈𝑦 𝑦 thỏa mãn 𝑈𝑥 ∩ 𝑈𝑦 = ∅ 1.2 Nón khái niệm liên quan Trong không gian số thực, hai phần tử so sánh với qua khái niệm lớn hay bé Điều khơng có khơng gian khác Muốn mở rộng toán nhận giá trị thực sang toán nhận giá trị vectơ đa trị người ta đưa vào khái niệm đồng thời xây dựng khái niệm tương tự số thực, số phức không gian tơpơ tuyến tính Một phương pháp hữu hiệu để xây dựng khái niệm đưa nón vào khơng gian tơpơ tuyến tính Định nghĩa 1.2.1 Cho Y khơng gian tuyến tính C tập Y C gọi nón có đỉnh gốc (gọi ngắn gọn nón) Y 𝑡𝑐 ∈ 𝐶, ∀𝑐 ∈ 𝐶, 𝑡 ≥ Nón C gọi nón lồi C tập lồi Nếu Y khơng gian tơpơ tuyến tính C nón Y, kí hiệu clC, intC, convC bao đóng, phần trong, bao lồi nón C, 𝑙 𝐶 = 𝐶 ∩ (−𝐶) Khi nghiên cứu tốn liên quan đến nón, người ta thường quan tâm đến loại nón sau: (i) Nón C gọi nón đóng C tập đóng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) Nón C gọi nón nhọn 𝑙 𝐶 = (iii) Nón C gọi nón sắc bao đóng nón nhọn (iv) Nón C gọi nón 𝑐𝑙𝐶 + 𝐶\𝑙(𝐶) ⊆ 𝐶 Dễ thấy C nón đóng C nón Với nón C cho trước ta định nghĩa quan hệ sau: 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑌, 𝑥 ≽ 𝑐𝑦 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐶 Nếu khơng có nhầm lẫn ta viết đơn giản 𝑥 ≽ 𝑦 Kí hiệu 𝑥 ≻ 𝑦 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐶\𝑙 𝐶 𝑥 ≫ 𝑦 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑖𝑛𝑡𝐶 Ta thấy quan hệ quan hệ thức tự, C nón lồi quan hệ thứ tự tuyến tính quan hệ thứ tự phần Y Hơn nữa, C nón nhọn quan hệ có tính phản đối xứng, nghĩa 𝑥 ≽ 𝑦 𝑦 ≽ 𝑥 𝑥 = 𝑦 Dưới số ví dụ nón Ví dụ 1.2.1 Tập {0} Y nón khơng gian Y Ta gọi chúng nón tầm thường Cho 𝑅𝑛 khơng gian Euclid n chiều, tập 𝐶 = 𝑅+𝑛 = 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅𝑛 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 nón lồi, đóng, nhọn gọi nón Orthant dương 𝑅 𝑛 Nếu lấy 𝐶 = 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅𝑛 𝑥1 ≥ C nón lồi, đóng khơng nhọn Vì 𝑙 𝐶 = 𝑥 = 0, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅𝑛 ≠ Cho Ω không gian dãy dãy số thực 𝐶 = 𝑥 = 𝑥𝑛 ∈ Ω: xn ≥ 0, ∀n C nón lồi, nhọn Ta chưa thể nói sắc hay chưa có tơpơ đưa vào khơng gian Cho 𝐿𝑝 0,1 , < 𝑝 < không gian hàm [0;1] 𝐿𝑝 0,1 = 𝑥 𝑡 , 𝑡 ∈ 0,1 , 𝑥 𝑝 𝑑𝜇 < ∞, 𝜇 độ đo 𝐿ơ𝑏𝑒 Tôpô không gian xác định sở lân cận 0, gồm tập có dạng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 𝑥 ∈ 𝐿𝑝 0,1 , 𝑥 𝑝 𝑑𝜇 𝑝 < 𝑛 Tập 𝐶 = 𝑥 ∈ 𝐿𝑝 0,1 : 𝑥 𝑡 ≥ 0, 𝑡 ∈ 0,1 lồi, đóng Định nghĩa 1.2.3 Cho C nón khơng gian tuyến tính Y 𝐵 ⊆ 𝑌 gọi tập sinh nón C, kí hiệu 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝐵 𝐶 = 𝑡𝑏 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑡 ≥ Trong trường hợp B không chứa điểm gốc với 𝑐 ∈ 𝐶, 𝑐 ≠ tồn 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑐 = 𝑡𝑏, B gọi sở nón C Hơn nữa, B tập hữu hạn phần tử tập 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑒(𝑐𝑜𝑛𝑣𝐵) gọi nón đa diện Khi ta xây dựng nón khơng gian tuyến tính nghĩa ta xây dựng quan hệ thứ tự từ quan hệ ta tìm điểm hữu hiệu tập hợp Ta có khái niệm sau: Định nghĩa 1.2.4 Cho Y không gian tơpơ tuyến tính với thứ tự sinh nón lồi C A tập Y Ta nói rằng: (i) Điểm 𝑥 ∈ 𝐴 điểm hữu hiệu lý tưởng tập A nón C 𝑦 − 𝑥 ∈ 𝐶, ∀y ∈ 𝐴 Tập điểm hữu hiệu lý tưởng A nón C kí hiệu IMin(A\C) hay IMinA (ii) Điểm 𝑥 ∈ 𝐴 điểm hữu Pareto (cực tiểu Pareto) tập A nón C ∄𝑦 ∈ 𝐴 để 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐶\𝑙(𝐶) Tập điểm hữu hiệu Pareto A nón C kí hiệu PMin(A\C) đơn giản MinA (iii) Điểm 𝑥 ∈ 𝐴 điểm hữu hiệu yếu (khi 𝑖𝑛𝑡𝐶 ≠ ∅ 𝐶 ≠ 𝑌 ) tập A nón C 𝑥 ∈ 𝑀𝑖𝑛 𝐴\( ∪ 𝑖𝑛𝑡𝐶 ) Tức x điểm hữu hiệu Pareto nón 𝐶0 = {0} ∪ 𝑖𝑛𝑡𝐶 Tập điểm hữu hiệu yếu A nón C kí hiệu WMin(A\C) WMinA Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 (iv) Điểm 𝑥 ∈ 𝐴 gọi điểm hữu hiệu thực tập A nón C tồn nón lồi 𝐶 khác tồn khơng gian chứa C\l(C) phần để 𝑥 ∈ 𝑃𝑀𝑖𝑛 𝐴\𝐶 Tập điểm hữu hiệu thực A nón C kí hiệu PrMin(A\C) hay PrMinA Từ định nghĩa ta ln có 𝐼𝑀𝑖𝑛𝐴 ⊂ 𝑃𝑟𝑀𝑖𝑛𝐴 ⊆ 𝑀𝑖𝑛𝐴 ⊆ 𝑊𝑀𝑖𝑛𝐴 1.3 Ánh xạ đa trị 1.3.1 Các định nghĩa Cho X tập hợp Ký hiệu 2𝑋 tập gồm tập X Định nghĩa 1.3.1.1 Mỗi ánh xạ F từ tập X vào 2𝑌 gọi ánh xạ đa trị từ X vào Y, kí hiệu 𝐹: 𝑋 ⟶ 2𝑌 (Đơi người ta sử dụng kí hiệu 𝐹: 𝑋 ⇉ 2𝑌 để thống luận văn sử dụng kí hiệu trình bày trước) Như 𝑥 ∈ 𝑋, 𝐹 𝑥 tập Y, không loại trừ khả với số phần tử x F(x) tập rỗng Nếu 𝐴 ⊂ 𝑋 ta kí hiệu 𝐹 𝐴 = 𝑥∈𝐴 𝐹 𝑥 gọi ảnh tập A qua ánh xạ F Nếu 𝑥 ∈ 𝑋, 𝐹 𝑥 gồm phần tử Y ta nói F ánh xạ đơn trị từ X vào Y, thay cho kí hiệu 𝐹: 𝑋 ⟶ 2𝑌 đơi ta sử dụng kí hiệu 𝐹: 𝑋 ⇉ 𝑌 Miền định nghĩa, đồ thị miền ảnh F định nghĩa sau: 𝑑𝑜𝑚𝐹 = 𝑥 ∈ 𝐷 𝐹(𝑥) ≠ ∅ ; 𝐺𝑟 𝐹 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 × 𝑌 𝑦 ∈ 𝐹(𝑥) ; 𝑟𝑔𝑒𝐹 = 𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝑦 ∈ 𝐹(𝑥) Ví dụ 1.3.1.2 Cho a, b số thực, 𝐹: 𝑅 ⟶ 2𝑅 xác định 𝐹 𝑥 = 𝑎; 𝑏 , 𝑎 , 𝑛ế𝑢 𝑥 ≠ 0; 𝑛ế𝑢 𝑥 = 0; F ánh xạ đa trị Cho 𝐹: 𝑋 ⟶ 2𝑌 , ánh xạ 𝐹 −1 : 𝑌 ⟶ 2𝑋 xác định Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 𝐹 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦, 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦 ⊆ 𝐹 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦, 𝑥 − 𝐶 𝛼𝑥 + 1−𝛼 𝑦 2.3 𝐹 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦, 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦 ⊆ 𝐹 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦, 𝑦 − 𝐶 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦 (2.4) Từ (2.2), (2.3), (2.4) suy 𝐹 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦, 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦 ⊆ 𝑌\𝐶 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦 Ta có mâu thuẫn Do ta có 𝐹 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦, 𝑥 ∩ 𝐶 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦 ≠ ∅, với 𝛼 ∈ 0; Tương tự ta có 𝐹 𝑦, 𝑥 ⊈ −𝐶 𝑦 \{0}, ∀𝑥 ∈ 𝐷 Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.3.5 Cho ánh xạ đa trị 𝐹: 𝐷 × 𝐷 ⟶ 2𝑌 với giá trị khác rỗng 𝐶: 𝐷 ⟶ 2𝑌 ánh xạ nón thỏa mãn 𝐹 𝑥, 𝑥 ⊈ −𝑖𝑛𝑡𝐶(𝑥) ≠ ∅ 𝑣ớ𝑖 𝑚ỗ𝑖 𝑥 ∈ 𝐷 Giả sử rằng: (i) Với điểm cố định 𝑥 ∈ 𝐷, ánh xạ 𝐹( , 𝑥): 𝐷 ⟶ 2𝑌 C-hemi liên tục dưới; (ii) F C - giả đơn điệu; (iii) F C - lồi theo đường chéo theo biến thứ hai Khi đó,với 𝑦 ∈ 𝐷, mệnh đề sau tương đương: 1) 𝐹 𝑦, 𝑥 ⊈ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑦 , ∀𝑥 ∈ 𝐷 2) 𝐹 𝑥, 𝑦 ⊈ −𝐶 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷 Chứng minh Dễ thấy chiều 1) ⇒ 2) suy trực tiếp từ định nghĩa ánh xạ C – giả đơn điệu Để chứng minh điều ngược lại, giả sử 2) đúng, dẫn đến với 𝑥 ∈ 𝐷 𝐹 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦, 𝑦 ⊆ −𝐶 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦 ≠ ∅, với α ∈ 0; Ta chứng minh 𝐹 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦, 𝑥 ⊈ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦 , với 𝛼 ∈ 0; (2.5) Thật vậy, (2.5) khơng xảy ra, tồn điểm 𝑥 ∈ 𝐷 𝛼 ∈ [0; 1] cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 𝐹 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦, 𝑥 ⊆ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦 Từ F C-lồi theo đường chéo theo biến thứ hai, kéo theo 𝐹 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦, 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦 ⊆ 𝛼𝐹 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦, 𝑥 + − 𝛼 𝐹 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦, 𝑦 ⊆ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦 − 𝐶 𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦 ⊆ −𝑖𝑛𝑡𝐶(𝛼𝑥 + − 𝛼 𝑦) Điều mâu thuẫn với giả thiết 𝐹 𝑧, 𝑧 ⊈ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑧 ≠ ∅, với 𝑧 ∈ 𝐷 Mặt khác, F(.,x) C - hemi liên tục dưới, suy 𝐹 𝑦, 𝑥 ⊈ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑦 Ta có điều phải chứng minh Dưới hệ tồn nghiệm toán tựa cân yếu tựa cân Pareto Hệ 2.3.6 Cho D, P1, P2 xác định định lý 2.2.2 Giả sử 𝐺: 𝐷 × 𝐷 ⟶ 2𝑌 ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng 𝐶: 𝐷 ⟶ 2𝑌 ánh xạ nón thỏa mãn 𝐺 𝑥, 𝑥 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅ 𝑣ớ𝑖 𝑏ấ𝑡 𝑘ỳ 𝑥 ∈ 𝐷 Giả sử rằng: (i) Với điểm cố định 𝑡 ∈ 𝐷, ánh xạ 𝐺( , 𝑡): 𝐷 ⟶ 2𝑌 C-hemi liên tục trên; (ii) Với điểm cố định 𝑥 ∈ 𝐷, tập 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝐷|𝐺(𝑥, 𝑡) ⊆ −𝐶 𝑥 } đóng D; (iii) G C-giả đơn điệu mạnh; (iv) G C-lồi theo đường chéo (hoặc, C- tựa giống lồi theo đường chéo) theo biến thứ hai Khi đó, tồn điểm 𝑥 ∈ 𝐷 𝑠𝑎𝑜 𝑐𝑕𝑜 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 𝑣à 𝐺 𝑥, 𝑡 ⊈ − 𝐶 𝑥 \ , với 𝑡 ∈ 𝑃2 𝑥 Chứng minh Định nghĩa ánh xạ 𝑀: 𝐷 ⟶ 2𝐷 𝐹: 𝐷 × 𝐷 ⟶ 2𝑋 𝑀 𝑡 = 𝑥 ∈ 𝐷 𝐺 𝑡, 𝑥 ⊆ −𝐶 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝐷; 𝐹 𝑥, 𝑡 = 𝑥 − 𝑀 𝑡 , với 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐷 × 𝐷 Với điểm cố định 𝑡 ∈ 𝐷, A tập đóng nên tập 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝐷 ∉ 𝐹 𝑥, 𝑡 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên = 𝑌\𝐴 http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 mở D Gọi {𝑡1,…, 𝑡𝑛 } tập hữu hạn D điểm 𝑛 𝑥= 𝑛 𝛼𝑖 𝑡𝑖 , 𝛼𝑖 ≥ 0, 𝑖=1 𝛼𝑖 = 𝑖=1 Chúng ta chứng minh tồn số 𝑖 ∈ 1, … , 𝑛 cho ∈ 𝐹 𝑥, 𝑡𝑖 Giả sử ngược lại, ∉ 𝐹 𝑥, 𝑡𝑖 với 𝑖 = 1, … , 𝑛 Khi 𝐺 𝑡𝑖 , 𝑥 ⊈ −𝐶 𝑡𝑖 , ∀𝑖 = 1, … , 𝑛 Do G C – giả đơn điệu mạnh, ta có 𝐺 𝑥, 𝑡𝑖 ⊆ −𝐶 𝑡𝑖 \{0}, ∀𝑖 = 1, … , 𝑛 Tính C - lồi theo đường chéo C- tựa giống lồi theo đường chéo theo biến thứ hai G, kéo theo 𝑛 𝐺 𝑥, 𝑥 = 𝐺 𝑥, 𝛼𝑖 𝑡𝑖 ⊆ −𝐶 𝑥 \{0} Điều mâu thuẫn với 𝐺 𝑥, 𝑥 ∩ 𝐶 𝑥 ≠ ∅ Vì tồn số 𝑗 ∈ 1, … , 𝑛 cho ∈ 𝐹(𝑥, 𝑡𝑗 ) F ánh xạ KKM Áp dụng Định lý 2.2.2 với 𝐷, 𝑃𝑖 , 𝑖 = 1, 2, 𝐹 ta suy tồn điểm 𝑥 ∈ 𝐷 cho 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 , 𝑡 , ∀𝑡 ∈ 𝑃2 𝑥 Điều tương đương với 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 𝐺 𝑡, 𝑥 ⊆ −𝐶 𝑡 , ∀𝑡 ∈ 𝑃2 𝑥 Để kết thúc chứng minh, ta cần áp dụng bổ đề 2.3.4 với 𝐷 = 𝑃2 𝑥 , 𝐺 𝑥, 𝑡 ⊈ −(𝐶 𝑥 \{0}) với 𝑡 ∈ 𝑃2 (𝑥) Chứng minh tương tự áp dụng Bổ đề 2.3.5 ta có tồn nghiệm toán tựa cân yếu sau Hệ 2.3.7 Cho D, P1, P2 xác định định lý 2.2.2 𝐺: 𝐷 × 𝐷 ⟶ 2𝑌 ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng 𝐶: 𝐷 ⟶ 2𝑌 ánh xạ nón thỏa mãn 𝐺 𝑥, 𝑥 ⊈ −𝑖𝑛𝑡𝐶 𝑥 ≠ ∅, 𝑣ớ𝑖 𝑚ỗ𝑖 𝑥 ∈ 𝐷 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với điểm cố định 𝑡 ∈ 𝐷, ánh xạ 𝐺( , 𝑡): 𝐷 ⟶ 2𝑌 C - hemi liên tục dưới; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 (ii) Với điểm cố định 𝑥 ∈ 𝐷, tập 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝐷|𝐺(𝑥, 𝑡) ⊆ −𝐶 𝑥 } đóng D; (iii) F C-giả đơn điệu; (iv) G C-lồi theo đường chéo theo biến thứ hai Khi đó, tồn điểm 𝑥 ∈ 𝐷 𝑠𝑎𝑜 𝑐𝑕𝑜 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 𝑣à 𝐺 𝑥 , 𝑡 ⊈ −𝑖𝑛𝑡𝐶(𝑥 ), ∀𝑡 ∈ 𝑃(𝑥 ) Nhận xét 2.3.8 Nếu 𝐺: 𝐷 × 𝐷 ⟶ 2𝑌 ánh xạ với giá trị khác rỗng compact, với điểm cố định 𝑦 ∈ 𝐷, 𝐺(𝑦, ): 𝐷 ⟶ 2𝑌 C - liên tục dưới, 𝐶: 𝐷 ⟶ 2𝑌 ánh xạ nón với giá trị đóng, với điểm cố định 𝑥 ∈ 𝐷, tập 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝐷|𝐺(𝑥, 𝑡) ⊆ −𝐶 𝑥 } tập đóng D Thật vậy, ta giả sử 𝑡𝛼 ∈ 𝐴, 𝑡𝛼 ⟶ 𝑡, 𝐺 𝑥, 𝑡𝛼 ⊆ −𝐶 𝑥 Tính C - liên tục G theo biến thứ hai, kéo theo với lân cận V O Y thỏa mãn 𝐺 𝑥, 𝑡 ⊆ 𝐺 𝑥, 𝑡𝛼 + 𝑉 − 𝐶 𝑥 Điều dẫn đến 𝐺 𝑥, 𝑡 ⊆ 𝑉 − 𝐶 𝑥 Hơn nữa, 𝐺 𝑥, 𝑡 tập compact 𝐶 𝑥 tập đóng, ta suy 𝐺 𝑥, 𝑡 ⊆ −𝐶 𝑥 Vì vậy, A tập đóng D Khi G ánh xạ với ba biến, ta xét toán tựa cân Pareto suy rộng sau: Cho 𝐺: 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 ⟶ 2𝑌 , 𝐶: 𝐾 × 𝐷 ⟶ 2𝑌 ánh xạ nón Tìm 𝑥 ∈ 𝐷 cho 𝑥 ∈ 𝑃 𝑥 , ∃ 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥 𝐺 𝑦, 𝑥 ⊈ −𝐶 𝑦, 𝑥 \ , với 𝑡 ∈ 𝑃(𝑥 ) Hệ 2.3.9 Cho D, K, P, T xác định hệ 2.3.1 𝐺: 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 ⟶ 2𝑌 là ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng 𝐶: 𝐾 × 𝐷 ⟶ 2𝑌 ánh xạ nón thỏa mãn 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 ∩ 𝐶 𝑦, 𝑥 ≠ ∅ 𝑣ớ𝑖 𝑚ỗ𝑖 𝑥 ∈ 𝐷 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với điểm cố định 𝑡 ∈ 𝐷, tập 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐷|𝑦 ∈ 𝑇(𝑥) ⊆ −𝐶 𝑦, 𝑡 } đóng D; (ii) G(y,.,.) C(y,.) – giả đơn điệu mạnh; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 (iii) G(y,.,.) C(y,.) – lồi theo đường chéo (hoặc C(y,.) – tựa giống lồi theo đường chéo) theo biến thứ ba Khi đó, tồn điểm 𝑥 ∈ 𝐷 𝑡𝑕ỏ𝑎 𝑚ã𝑛 𝑥 ∈ 𝑃 𝑥 , ∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑥 𝑣à 𝐺 𝑦, 𝑡, 𝑥 ⊆ −𝐶 𝑦, 𝑡 , ∀𝑡 ∈ 𝑃(𝑥 ) Chứng minh Định nghĩa ánh xạ 𝑀: 𝐾 × 𝐷 ⟶ 2𝐷 𝐹: 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 ⟶ 2𝑋 sau 𝑀 𝑦, 𝑡 = 𝑥 ∈ 𝐷 𝐺 𝑦, 𝑡, 𝑥 ⊆ −𝐶 𝑦, 𝑡 , 𝑦, 𝑡 ∈ 𝐾 × 𝐷; 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑡 = 𝑥 − 𝑀 𝑦, 𝑡 , 𝑦, 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 Với điểm cố định 𝑡 ∈ 𝐷, A tập đóng nên tập 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐷|∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑥 , ∈ 𝐹(𝑦, 𝑥, 𝑡)} mở D Lấy {𝑡1,…, 𝑡𝑛 } tập tùy ý D điểm 𝑛 𝑥= 𝑛 𝛼𝑖 𝑡𝑖 , 𝛼𝑖 ≥ 0, 𝑖=1 𝛼𝑖 = 𝑖=1 Giả sử với 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥 , ∉ 𝐹(𝑦, 𝑥, 𝑡𝑖 ), với 𝑖 = 1, … , 𝑛 Nghĩa 𝐺 𝑦, 𝑡𝑖 , 𝑥 ⊈ −𝐶 𝑦, 𝑡𝑖 , với 𝑖 = 1, … , 𝑛 Do G(y,.,.) C(y, )- giả đơn điệu mạnh 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑖 ⊆ −𝐶 𝑦, 𝑥 \{0} với 𝑖 = 1, … , 𝑛 Từ tính C(y,.) - lồi C(y,.)- tựa giống lồi theo đường chéo theo biến thứ ba G(y,.,.),ta suy 𝑛 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 = 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝛼𝑖 𝑡𝑖 ⊆ −𝐶 𝑦, 𝑥 \{0}, điều mâu thuẫn với 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 ∩ 𝐶(𝑦, 𝑥) ≠ ∅ Vì tồn điểm 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥 số 𝑗 ∈ 1, … , 𝑛 cho ∈ 𝐹(𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 ) Vậy điều kiện hệ 2.3.1 thỏa mãn tồn điểm 𝑥 ∈ 𝐷 thỏa mãn 𝑥 ∈ 𝑃(𝑥 ) tồn điểm 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥 , ∈ 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑡 , với 𝑡 ∈ 𝑃(𝑥 ) Điều dẫn đến 𝐺 𝑦, 𝑡, 𝑥 ⊆ −𝐶 𝑦, 𝑡 , với 𝑡 ∈ 𝑃(𝑥 ) Ta có điều cần chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Kết hợp Hệ 2.3.9 Bổ đề 2.3.5 ta có tồn nghiệm toán tựa cân Pareto suy rộng sau Hệ 2.3.10 Cho D, K, P, T xác định hệ 2.3.1, 𝐺: 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 → 2𝑌 ánh xạ với giá trị khác rỗng 𝐶: 𝐾 × 𝐷 → 2𝑌 ánh xạ nón thỏa mãn 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑥 ∩ 𝐶 𝑦, 𝑥 ≠ ∅ Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với điểm cố định 𝑦, 𝑡 ∈ 𝐾 × 𝐷, 𝐺 𝑦, , 𝑡 : 𝐷 → 2𝑌 C(y,.) - hemi liên tục trên; (ii) Với điểm cố định 𝑡 ∈ 𝐷, 𝑡ậ𝑝 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐷|∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑥 , 𝐺(𝑦, 𝑡, 𝑥) ⊆ −𝐶 𝑦, 𝑡 } đóng D; (iii) G(y,.,.) C(y,.) - giả đơn điệu mạnh; (iv) G(y,.,.) C(y,.) - lồi theo đường chéo(hoặc C(y,.)-tựa giống lồi theo đường chéo) theo biến thứ ba Khi đó, tốn tựa cân Pareto có nghiệm Dưới điều kiện đủ cho toán tựa tối ưu Pareto đơn trị có nghiệm Hệ 2.3.11 Cho D, K, P, xác định hệ 2.3.1 Nếu điều kiện sau thỏa mãn: (i) T ánh xạ đóng; (ii) Với điểm cố định y ∈ 𝐾, á𝑛𝑕 𝑥ạ − 𝑓 𝑦, : 𝐷 → 𝑌 hemi liên tục trên; (iii) Với điểm cố định 𝑡 ∈ 𝐷, á𝑛𝑕 𝑥ạ 𝑓 , 𝑡 : 𝐾 → 𝑌 𝑙à −𝐶 - liên tục ánh xạ 𝑓: 𝐾 × 𝐷 → 𝑌 𝑙à 𝐶- liên tục; (iv) Với điểm cố định y ∈ 𝐾, á𝑛𝑕 𝑥ạ 𝑓 𝑦, : 𝐷 → 𝑌 C-lồi C-tựa giống lồi Khi đó, tốn tựa tối ưu Pareto có nghiệm Chứng minh Định nghĩa ánh xạ đơn trị 𝐺: 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 → 𝑌 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 = 𝑓 𝑦, 𝑡 − 𝑓 𝑦, 𝑥 , 𝑦, 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Khi tốn trở thành: tìm 𝑥 ∈ 𝐷 với 𝑥 ∈ 𝑃 𝑥 cho ∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑥 𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ⊈ −𝐶\{0}, với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 Ta chứng minh ánh xạ G thỏa mãn điều kiện hệ 2.3.10 Trước hết, ta chứng minh G(y,.,t) C - hemi liên tục Do − 𝑓 𝑦, : 𝐷 → 𝑌 hemi liên tục, nên điểm cố định 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐷, ánh xạ 𝑔: 0; → 2𝑌 định nghĩa 𝑔 𝛼 = −𝑓 𝑦, 𝛼𝑥1 + (1 − 𝛼 𝑥2 ) nửa liên tục Điều dẫn đến với lân cận tùy ý V gốc Y, tồn lân cận U 0; cho −𝑓 𝑦, 𝛼𝑥1 + (1 − 𝛼 𝑥2 ∈ −𝑓 𝑦, 𝑥2 + 𝑉 Từ suy 𝐺 𝑦, 𝛼𝑥1 + (1 − 𝛼 𝑥2 , 𝑡) = 𝑓 𝑦, 𝑡 − 𝑓 𝑦, 𝛼𝑥1 + (1 − 𝛼 𝑥2 ) ∈ 𝑓 𝑦, 𝑡 − 𝑓 𝑦, 𝑥2 + 𝑉 Do đó, 𝐺 𝑦, 𝛼𝑥1 + (1 − 𝛼 𝑥2 , 𝑡 ∩ 𝐶 ≠ ∅, 𝛼 ∈ 0,1 , 𝑓 𝑦, 𝑡 − 𝑓 𝑦, 𝛼𝑥1 + − 𝛼 𝑥2 ∩ 𝐶 ≠ ∅ Điều kéo theo (𝐺 𝑦, 𝛼𝑥2 , 𝑡) + 𝑉) ∩ 𝐶 = (𝑓 𝑦, 𝑡 − 𝑓(𝑦, 𝑥2 ) + 𝑉 ∩ 𝐶 ≠ ∅, với lân cận V Vì vậy, 𝐺(𝑦, 𝛼𝑥2 , 𝑡) + 𝑉) ∩ 𝐶 ≠ ∅, nghĩa G(y,.,t) C-hemi liên tục Tiếp theo ta rằng, với điểm cố định 𝑡 ∈ 𝐷, tập 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐷|∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑥 , 𝐺(𝑦, 𝑡, 𝑥) ⊆ −𝐶} đóng D Giả sử 𝑥𝛽 ∈ 𝐴, 𝑥𝛽 → 𝑥, ta suy tồn 𝑦𝛽 ∈ 𝑇 𝑥𝛽 cho 𝐺 𝑦𝛽 , 𝑡, 𝑥𝛽 ⊆ −𝐶 Nghĩa 𝑓 𝑦𝛽 , 𝑥𝛽 − 𝑓𝑦𝛽 , 𝑡 ⊆ −𝐶 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Từ 𝑦𝛽 ∈ 𝑇(𝑥𝛽 ) ⊆ 𝐾 K tập compact, không tính tổng qt, ta giả sử 𝑦𝛽 → 𝑦 𝐾 Do 𝑥𝛽 → 𝑥 𝑣à 𝑇 ánh xạ đóng, 𝑦∈𝑇 𝑥 Mặt khác, f C - liên tục (y,t) (𝑦𝛽 , 𝑥𝛽 ) → (𝑦, 𝑥), nên với lân cận V gốc Y, tồn 𝛽1 cho 𝑓 𝑦, 𝑥 ∈ 𝑓 𝑦𝛽 , 𝑥𝛽 + 𝑉 − 𝐶, với 𝛽 ≥ 𝛽1 (2.6) Từ 𝑦𝛽 → 𝑦 f(.,t) – 𝐶 - liên tục y, tồn 𝛽2 cho 𝑓 𝑦, 𝑡 ∈ 𝑓 𝑦𝛽 , 𝑡 + 𝑉 + 𝐶, với 𝛽 ≥ 𝛽1 (2.7) Lấy 𝛽0 = 𝑚𝑎𝑥 𝛽1 , 𝛽2 , kết hợp 2.6 2.7 , ta có 𝑓 𝑦, 𝑥 − 𝑓 𝑦, 𝑡 ∈ 2𝑉 − 𝐶 (2.8) Do C tập đóng nên (2.8) trở thành 𝑓 𝑦, 𝑥 − 𝑓 𝑦, 𝑡 ∈ −𝐶, ta suy 𝐺 𝑦, 𝑡, 𝑥 = 𝑓 𝑦, 𝑥 − 𝑓 𝑦, 𝑡 ∈ −𝐶 A tập đóng Giả sử 𝐺 𝑦, 𝑥, 𝑡 ⊈ −𝐶\{0} nghĩa 𝑓 𝑦, 𝑡 − 𝑓 𝑦, 𝑥 ∉ −𝐶\{0}, từ suy 𝑓 𝑦, 𝑥 − 𝑓 𝑦, 𝑡 ∉ −𝐶\{0} Do 𝑌 = 𝐶 + −𝐶 𝑓 𝑦, 𝑥 − 𝑓 𝑦, 𝑡 ∈ −𝐶 Vì vậy, 𝐺 𝑦, 𝑡, 𝑥 ⊆ −𝐶 𝐺(𝑦, , ) C- giả đơn điệu mạnh Cuối cùng, ta phải chứng minh 𝐺(𝑦, , ) C - lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Thật vậy, lấy tập hữu hạn tùy ý {𝑡1 , … , 𝑡𝑛 } điểm 𝑛 𝑥= 𝑛 𝛼𝑖 𝑡𝑖 , 𝛼𝑖 ≥ 0, 𝑖=1 𝛼𝑖 = 𝑖=1 Nếu f C - lồi theo biến thứ hai, 𝑛 𝑓(𝑦, 𝑥) ∈ 𝛼𝑗 𝑓(𝑦, 𝑡𝑗 ) − 𝐶 𝑗 =1 Vì vậy, 𝑛 𝑓 𝑦, 𝑥 − 𝑓(𝑦, 𝑥) ∈ 𝛼𝑗 𝑓 𝑦, 𝑡𝑖 − 𝑓 𝑦, 𝑥 − 𝐶 𝑗 =1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Điều tương đương với 𝑛 𝐺(𝑦, 𝑥, 𝑥) ⊂ 𝛼𝑗 𝐺(𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 ) − 𝐶, 𝑗 =1 Hay 𝐺 𝑦, , C -lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Nếu f C -tựa giống lồi theo biến thứ hai, tương tự ta có 𝐺 𝑦, , C -tựa giống lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Theo hệ 2.3.10, tồn điểm 𝑥 ∈ 𝐷 với 𝑥 ∈ 𝑃 𝑥 , ∃𝑦 ∈ 𝑇 𝑥 𝐺 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ⊈ −𝐶\{0}, với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 Nghĩa 𝑓 𝑦, 𝑡 ∉ 𝑓(𝑦, 𝑥 ) − 𝐶\{0}, với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 Trong phần cuối chương ta xét ví dụ sau Ví dụ Cho tập 𝐷 = 0; , 𝐾 = −1; Cho ánh xạ đa trị 𝑇: 𝐷 → 2𝐾 , 𝑇 𝑥 = 𝑥 − 1; , 𝑃: 𝐷 → 2𝐷 , 𝑃 𝑥 = − 𝑥; , 𝐶 = 𝑅+, 𝑓: 𝐾 × 𝐷 → 𝑅, 𝑓 𝑦, 𝑥 = 𝑥𝑦 + 𝑦 Dễ thấy ánh xạ T, P, f thỏa mãn giả thiết hệ 2.3.11 Vì tốn tựa tối ưu đơn trị có nghiệm Kiểm tra trực tiếp ta kết luận với 𝑥 = 2 ∈𝑃 𝑥 = ; tồn 𝑦 ∈ 0; ⊆ 𝑇 𝑥 thỏa mãn 𝑦 + 𝑦 −2 ≤ 𝑦𝑡 + 𝑦 −2 , với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 = ;1 Nghĩa 𝑓 𝑦, 𝑥 ≤ 𝑓 𝑦, 𝑡 , với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 Điều tương đương với 𝑓 𝑦, 𝑡 ∉ 𝑓 𝑦, 𝑥 − 𝐶\{0}, với 𝑡 ∈ 𝑃 𝑥 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA BÀI TỐN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QT LOẠI II Bài tốn tựa cân tổng quát loại II có nhiều ứng dụng, đặc biệt toán tựa cân toán tối ưu Sau ta xét hai tốn: tốn tựa cân vơ hướng toán tựa tối ưa loại II 3.1 Bài toán tựa cân vô hƣớng Hệ 3.3.1 Cho D, K, P1, P2 định lý 2.2.1 Cho ϕ: 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 ⟶ ℝ hàm 𝑄, ℝ+ - tựa lồi thực theo đường chéo theo với ϕ 𝑦, 𝑥, 𝑥 = 0, 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑦 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ 𝐷 Trong phép cộng, giả sử với số 𝑡 ∈ 𝐷, 𝑕à𝑚 𝜙 , , 𝑡 : 𝐾 × 𝐷 → ℝ nửa liên tục Khi tồn 𝑥 ∈ 𝐷 𝑠𝑎𝑜 𝑐𝑕𝑜 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 𝑣à ϕ y, 𝑥 , 𝑡 ≥ 0, 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑡 ∈ 𝑃2 𝑥 𝑣à 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 Chứng minh: Đặt 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑡 = ϕ 𝑥, 𝑥, 𝑡 − ℝ+, ∀ 𝑦, 𝑥, 𝑡 ∈ 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 Ta có, với số 𝑡 ∈ 𝐷 tập 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝐷 ∉ 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑡 , với 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡 = 𝑥 ∈ 𝐷 ϕ 𝑦, 𝑥, 𝑡 < mở D Vì ϕ 𝑄, ℝ+ - tựa lồi theo đường chéo theo ba biến, nên với tập hữu hạn {𝑡1,…, 𝑡𝑛 } ⊆ 𝐷, 𝑥 ∈ 𝑐𝑜{𝑡1 , … , 𝑡𝑛 }, có số 𝑗 ∈ {1,2 … , n} cho: ϕ 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 ∈ ϕ 𝑦, 𝑥, 𝑥 + ℝ+ , ∀𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡𝑗 Điều kéo theo ϕ 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 ≥ đó, ∈ 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 , ∀ 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡𝑗 Điều cho thấy F ánh xạ đa trị Q- KKM từ 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 vào 2ℝ Vì thế, P1, P2 ,Q F thỏa mãn tất điều kiện định lý 2.2.1 Suy ra, có 𝑥 ∈ 𝐷 cho 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 ∈ 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑡 , với 𝑡 ∈ 𝑃2 𝑥 𝑦 ∈ 𝑄(𝑥 , 𝑡) Điều tương đương với ϕ 𝑦, 𝑥 , 𝑡 ≥ 0, với 𝑡 ∈ 𝑃2 𝑥 𝑦 ∈ 𝑄(𝑥 , 𝑡) 3.2 Bài toán tựa tối ƣu loại hai Trong mục ta giả thiết X Y không gian tôpô tuyến tính, 𝐷 ⊂ 𝑋, 𝐾 ⊂ 𝑌 tập khác rỗng Ta có định nghĩa sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Định nghĩa 3.2.1 Cho ánh xạ đa trị 𝑇: 𝐷 × 𝐾 → 2𝐾 hàm số 𝐹: 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 → 2𝑌 Ánh xạ T gọi F – tựa đơn điệu K với 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝐷 𝑥 ∈ 𝑐𝑜 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , tồn 𝑖 ∈ 1,2, … , 𝑛 cho 𝐹 𝑦, 𝑥𝑖 , 𝑥 ≥ 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑥 , ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥𝑖 , 𝑥 Cho ánh xạ đa trị 𝑃1 : 𝐷 → 2𝐷 , 𝑃2 : 𝐷 → 2𝐷 Bài tốn: tìm 𝑥 ∈ 𝐷 cho (i) 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 ; (ii) 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑥 ≤ 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑥 , với 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑃2 𝑥 ; gọi toán tựa tối ưu loại II (kí hiệu 𝐺𝑉𝑄𝑂𝑃 𝐼𝐼 ), điểm 𝑥 gọi nghiệm Ở phần tiếp theo, ta đưa điều kiện để toán tựa tối ưu loại II có nghiệm Các chứng minh phần sử dụng kết định lý điểm bất động ánh xạ đa trị sau: Định lý 3.2.2 Cho X khơng gian tơpơ tuyến tính, tập 𝐷 ≠ ∅, 𝐷 ⊂ 𝑋 Nếu ánh xạ đa trị 𝑃: 𝐷 → 2𝐷 thỏa mãn 𝐷 = 𝑥∈𝐷 𝑖𝑛𝑡 𝑃−1 (𝑥) tồn 𝑥 ∈ 𝐷 cho 𝑥 ∈ 𝑐𝑜 𝑃 𝑥 Ta có định lý: Định lý 3.2.3 Cho 𝐷, 𝐾, 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑇, 𝐹 trên, giả thiết thêm rằng: (i) D tập lồi khác rỗng compact; (ii) 𝑃2 (𝑥) ≠ ∅ 𝑃2−1 𝑥 mở ∀𝑥 ∈ 𝐷; (iii) 𝑃1 ánh xạ đóng 𝑐𝑜 𝑃2 𝑥 ⊂ 𝑃1 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷; (iv) T F – tựa đơn điệu nửa liên tục dưới; (v) F nửa liên tục với biến thứ biến thứ ba hàm số 𝑓: 𝐾 × 𝐷 → 𝑅 định nghĩa: 𝑓: 𝑦, 𝑥 = 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑥 nửa liên tục Khi đó, tồn 𝑥 ∈ 𝐷 cho 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 , 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑥 ≥ 𝐹 𝑦, 𝑥 , 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑃2 𝑥 𝑣à 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑥 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ 𝑆: 𝐷 → 2𝐷 sau: 𝑆 𝑥 = 𝑥′ ∈ 𝐷 𝐹 𝑦, 𝑥 ′ , 𝑥 < 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑥 , với 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥 ′ 𝑥) Ta nhận thấy rằng, tồn 𝑥0 ∈ 𝐷, 𝑥0 ∈ 𝑃1 𝑥0 𝑆 𝑥0 ∩ 𝑃2 𝑥0 = ∅ 3.1 𝑥0 nghiệm tốn Điều ngược lại Do đó, ta cần chứng minh tồn điểm 𝑥0 ∈ 𝐷 với 𝑥0 ∈ 𝑃1 𝑥0 thỏa mãn (3.1) Thật vậy, giả thiết phản chứng rằng, ∀𝑥 ∈ 𝐷 mà 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 , ta ln có 𝑆 𝑥 ∩ 𝑃2 𝑥 ≠ ∅ Xét ánh xạ đa trị: 𝑄: 𝐷 → 2𝐷 định nghĩa sau: 𝑄 𝑥 = 𝑆 𝑥 ∩ 𝑃2 𝑥 , 𝑃2 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 ; 𝑥 ∉ 𝑃1 𝑥 Vì 𝑄 𝑥 ≠ ∅, ∀𝑥 ∈ 𝐷 nên ta có: 𝑄 −1 𝑥 𝐷= 𝑥∈𝑄 Mặt khác, với 𝑥 ∈ 𝐷, 𝑄−1 𝑥 = 𝑆 −1 𝑥 ∩ 𝑃2−1 𝑥 ∩ 𝐷0 ∩ 𝑃2−1 𝑥 ∩ 𝐷\𝐷0 , với 𝐷0 = 𝑥 ∈ 𝐷: 𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 Vì 𝑃1 ánh xạ đóng, ta dễ dàng suy 𝐷0 tập đóng, vậy, 𝐷\𝐷0 tập mở Suy 𝑃2−1 𝑥 ∩ 𝐷\𝐷0 tập mở Tiếp theo, ta rằng, ∀𝑥 ∈ 𝐷, tập 𝑆 −1 𝑥 tập mở Ta có: 𝐷\𝑆 −1 𝑥 = 𝑥′ ∈ 𝐷 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑥 − 𝐹 𝑦, 𝑥 ′ , 𝑥 ≥ 0, ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑥 ′ Cho {𝑥𝑛 } ∈ 𝐷\𝑆 −1 𝑥 dãy suy rộng hội tụ đến 𝑥0 Vì ánh xạ T nửa liên tục dưới, nên với 𝑦 ∈ 𝑇(𝑥, 𝑥0 ) tồn dãy suy rộng 𝑦𝑛 , 𝑣ớ𝑖 𝑦𝑛 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ⟶ 𝑦 Ta có 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑥0 − 𝐹 𝑦, 𝑥0 , 𝑥0 ≥ 𝑙𝑖𝑚(𝐹(𝑦𝑛 , 𝑥, 𝑥𝑛 ) − 𝐹 𝑦𝑛 , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 ) ≥ 𝑛 Điều chứng tỏ 𝑥0 ∈ 𝐷\𝑆 −1 𝑥 𝐷\𝑆 −1 𝑥 tập đóng Vậy 𝑆 −1 𝑥 tập mở D, suy ra, 𝑄−1 𝑥 tập mở Theo định lý 3.2.2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 tồn 𝑥0 ∈ 𝐷 cho 𝑥0 ∈ 𝑐𝑜 𝑄 𝑥0 Rõ ràng, 𝑥0 ∈ 𝑐𝑜(𝑃2 𝑥0 ⊂ 𝑃1 𝑥0 Nên theo định nghĩa ánh xạ Q, ta có: 𝑥0 ∈ 𝑐𝑜 𝑆 𝑥0 ∩ 𝑃2 𝑥0 ⊂ 𝑐𝑜 𝑆 𝑥0 ∩ 𝑐𝑜 𝑃2 𝑥0 , suy ra, 𝑥0 ∈ 𝑐𝑜 𝑆 𝑥0 Từ đó, suy tồn 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑆 𝑥0 cho 𝑥0 ∈ 𝑐𝑜 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 Từ định nghĩa ánh xạ đa trị S, suy tồn 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥0 , 𝑥 cho 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑥0 − 𝐹 𝑦, 𝑥0 , 𝑥0 < Điều mâu thuẫn với tính F – tựa đơn điệu T Vậy định lý chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 KẾT LUẬN Chương luận văn đưa số khái niệm liên quan không gian thường dùng: không gian định chuẩn, không gian Hilbert, khơng gian tuyến tính lồi địa phương Haussdorff; nón khái niệm liên quan; ánh xạ đa trị tính liên tục ánh xạ đa trị; điểm bất động ánh xạ đa trị; tính KKM Chương trọng tâm luân văn, trình bày toán tựa cân tổng quát loại II điều kiện nghiệm toán số toán liên quan toán bao hàm thức tựa biến phân, tốn tựa cân Chương nói ứng dụng toán tựa cân vào tốn tựa cân vơ hướng toán tựa tối ưu loại II Các kết luận văn mở rộng cho toán liên quan đến toán tựa cân tổng quát loại II mở hướng nghiên cứu cho luận văn sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Xuân Tấn – Nguyễn Bá Minh, Một số vấn đề lý thuyết tối ưu véctơ đa trị NXB Giáo dục, 2006 [2] Fan, K (1972), Fixed point 0f compact multifunctions, Journal of Mathematical Analysis and Application, 38, 205-207 [3] Lai Jiu and Tu, C.I (2008), The studies of systems of variational inclusion and variational disclusion problems with applications, Nolinear Analysis, 69, 1981-2998 [4] Nguyen Ba Minh and Nguyen Xuan Tan (2000), Some sufficient conditions for the existence of equilibrium point concerning multivalued mappings, Vietnam Jour of Math, 28, 295-310 [5] S Pack (2000), Fixed Point and Quasi-Equilibrium problem, Nolinear operator Theory Mathematical and computer Modelling, 32, 1297-1304 [6] Yannelis, N.C., and Prabhaker, N.D (1983), Existence of maximal elements and equilibria in linear topological spaces, Jour of Math Eco., 12, 233-245 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn