Giải á bài toán tối ưu bằng phần mềm mathematia ải tiến

Đây là lĩnh v c toán h c nghiên c u các bài toán tự ọ ứ ối ƣu mà hàm mục tiêu và các ràng buộc đều là các hàm và các phƣơng trình, bất phƣơng trình tuyến tính.. Mathematica cũng là một t

Chuyên ngày: Toán tin

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

TOÁN TIN

NGƯỜI HƯỚ NG D N KHOA H C: Ẫ Ọ

GS.TSKH LÊ HÙNG SƠN

Hà N ộ i – 2018

LỜI CAM ĐOAN

công trình nào khác

LỜI CẢ ƠN M

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nộ i, ngày tháng năm

MỤC LỤ C

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢ ƠNM ii

DANH MỤC CÁC CH ẾT TẮT ỮVI iii MỤC LỤC iv

PHẦN MỞ ĐẦU 1

I Lý do chọn đề tài 1

II Mục đích, đối tượng, ph m vi nghiên c u c a luân văn 2 ạ ứ ủ III Các luận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả 3

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN V PH N M M MATHEMATICA 4 Ề Ầ Ề 1 1 Gi i thi u v ph n m m Mathematicaớ ệ ề ầ ề 4

1.2 Các phép tính toán học với số, bi u th c và hàmể ứ 6

1.2.1 Tính toán số 6

1.2.1.1 Các toán t s h cử ố ọ 6

1.2.1.2 Các toán t logicử 8

1.2.1.3 Kết quả ần đúng và chính xác 9 g 1.2.2 Tính toán với biểu th cứ 10

1.2.2.1 Các phép tính đạ ối s trên các bi u th c 10 ể ứ 1.2.2.2 Đặt tên và tính toán các bi u th c ể ứ 12

1.2.3 Định nghĩa các hàm 14

1.2.3.1 Định nghĩa hàm một biế n 14

1.2.3.2Định nghĩa hàm nhiều bi nế 16

1.2.3.3 Định nghĩa hàm vector một bi n ế 18

1.2.3.4 Định nghĩa hàm nhiều bi n 19 ế 1.2.3.5 Định nghĩa hàm hợp 19

1.2.3.6 Các hàm s phố ức tạ 21 p 1.2.4 Tính năng đồ ọ h a 23

1.2.4.1 Bi u di n nhi u hàm s trên cùng mể ễ ề ố ột đồthị 23

1.4 Hàm số 32

CHƯƠNG 2 Ứ: NG D NG C A MATHEMATICA TRONG BÀI TOÁN MIN, Ụ Ủ

2.1 D ng t ng quát c a bài toán qui ho ch tuy n tínhạ ổ ủ ạ ế 50

2.2 D ng chính t c c a bài toán qui ho ch tuy n tínhạ ắ ủ ạ ế 51

2.3 D ng chu n c a bài toán qui ho ch tuy n tínhạ ẩ ủ ạ ế 51

2.4 D ng chu n tạ ẩ ắc của bài toán qui ho ch tuy n tínhạ ế 54

2.5 Bài toán đối ng u 55 ẫ 2.6 Một số ví d giụ ải bằng Mathematica 59

CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG MATHEMATICA TRONG M T S BÀI TOÁN Ộ Ố THỰC TẾ 65

3.1 Bài toán v n t iậ ả 65

3.2 Bài toán kinh tế 70

KẾT LUẬN 81

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

tiêu và các ràng buộc đều là các hàm và các phương trình, bất phương trình tuyến

m m mà nó tr giúp nhi u trong nhiề ợ ề ều lĩnh vực khác nhau nh t là toán hấ ọc nhƣng

Mathematica

II Mục đích, đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu của luân văn

viên, gi ng viên khi chu n b bài và ki m tra k t qu Vả ẩ ị đề ể ế ả ới ứng d ng này thì ụ

III Các luận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN V PH N M M MATHEMATICA Ề Ầ Ề

1 1 Giới thiệu về phần mềm Mathematica

trong nhiều lĩnh vực khác

c i ti n và hoàn ả ế thiện : 1.2, 2.0, 2.2, 3.0, 4.0, …….và đến nay thì phiên bản 10 đã ra

chữ hoa

sau Evaluation/ Quit Kernel / Local

- T hổ ợp Ctrl + K để tìm các hàm có tên gi ng nhau ố ởphần đầu.

?*Int*

Ví dụ :

chương trình)

1.2 Các phép tính toán học với số, biểu thức và hàm

Không thể in ra kết quả do lỗi phép tính chia 0

Chú ý: Dấu cách (space) trong Mathematica cũng đƣợc sử dụng nhƣ dấu nhân

Out[56]:= 30

Các toán tử And và Or đƣợc sử dung nhƣ sau:

Or[bt 1, bt 2, …] hoặc (bt 1|| bt 2|| …): Cho kết quả True nếu một trong các biểu thức có True, False nếu tất cả các biểu thức đều False

And[bt 1, bt 2, …] hoặc (bt 1&&bt 2&&…): Cho kết quả True nếu tất cả các biểu thức đều True, cho kết quả False nếu một trong các biểu thức là False

Xor[bt 1, bt 2,…]: Cho kết quả True nếu có một số lẻ các biểu thức True, False nếu có một số chẵn các biểu thức True

If[test,t,f]: Cho giá trị là t nếu test nhận giá trị True, ngược lại cho giá trị f LogicalExpand[btL]: Khai triển biểu thức Logic

Khi làm việc với số nguyên, Mathematica luôn hiển thị kết quả chính xác và đầy

đủ trên màn hình, ngay cả khi tính toán với những số lớn

Ví dụ:

In[1]:=

Out[1]:=

Đối với phép toán thực hiện với số hữu tỷ thì thông thường khi sử dụng máy tính hay các phần mềm khác ta chỉ nhận được kết quả xấp xỉ,chẳng hạn khi tính 11/3 ta nhận được kết quả là 3.6666666666666666….Đối với Mathematica, khi nói

Vì vậy , chúng ta sử dụng lệnh N[…] hay //N trong những trường hợp

Mathematica cho ta kết quả mà trong các phần mềm khác không thể tính được 1.2.2 Tính toán với biểu thức

Một điểm mạnh của Mathematica là thực hiện biểu diễn các phép tính đại số đối với một biểu thức, chẳng hạn như: khai triển, phân tích, …

1.2.2.1 Các phép tính đại số trên các biểu thức

/ hoặc // : Thay thế giá trị

ExpandAll[biểu thức] : Khai triển tất cả các biểu thức con trong biểu thức

Out[5]:=

1.2.2.2 Đặt tên và tính toán các biểu thức

Trong Mathematica, để đơn giản hoá các đối tƣợng toán học trong quá trình lập

trình, ta có thể đặt tên cho các đối tƣợng đó nhằm tránh tình trạng nhắc đi, nhắc lại

nhiều lần một biểu thức toán học, mà chi cần nhắc tên của nó là đƣợc

Thực hiện:

Bài làm Chúng ta sử dụng lệnh:

Đƣợc kết quả:

Out[7]:=

- Tiếp theo chúng ta thực hiện đơn giản biểu thức:

Để đƣa ra đƣợc kết quả nhƣ trên Mathematica thực hiện nhƣ sau:

Đầu tiên ta đƣa vào một biểu thức đại số, Mathematica tự động thay đổi vị trí 2

số hạng theo cách riêng của nó Lệnh Expand khai triển biểu thức mới nhập vào,

hay nói đúng hơn là phá ngoặc Chúng ta có thể đếm số hang của một biểu thức

quả kề ngay trước nó Nếu muốn phân tích thành nhân tử của một biểu thức ta dùng

vào đó chúng ra có lệnh PowerExpand

Các hàm trong Mathematica đều bắt đầu bằng chữ hoa, còn các hàm hoặc các biểu thức có thể đặt tên bắt đầu bằng chữ thường Để tránh tình trạng tên hàm đã được dùng định nghĩa trước đó mà ta đã dùng thì phải dùng lệnh Clear[…] để xoá

Bài làm Nhập lệnh :

h[x_,y_,z_] = (x^2)*Cot[y+2z]- E^(x*y*z)

Bài làm Chúng ta sử dụng lệnh:

1.2.3.4 Định nghĩa hàm nhiều biến

sin(x+y).Lnx

Tính F(1,0)

Bài làm Thực hiện nhập lệnh sau:

Bài làm Thực hiện nhập lệnh:

1.2.3.6 Các hàm số phức tạp

Sin, Cos, Tan, Cotan, hay các hàm ArcSin, …, trở nên phức tạp, tuy nhiên Mathematica giải quyết đƣợc các vấn đề đó một cách rất khoa học

Hay muốn vẽ đồ thị hàm trị tuyệt đối y = trong khoảng [ 5,5] ta dùng lệnh sau:

2 1 1

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số Cosx trong khoảng (-2π, 2π)

In[7]:=

Out[7]:=

0.5 1.0

1 1

Khi đó để biểu diễn phương trình đường tròn trên Mathematica ta làm như sau: In[13]:=

1 2 3 4

Với c = const

Ví dụ: Vẽ đường đồng mức hàm g(x,y) = xsiny + ysinx trong hình chữ nhật

In[22]:= Clear[g]

g[x_,y_]=x Sin[y]+y Sin[x];

Vẽ đồ thị hàm h và các đồng mức của h trong hình chữ nhật [-2,2]x[-2,2] với

Show[GraphicsArray[{ploth,cph}]]

0 2.5 5 7.5 10 12.5 0

2.5 5 7.5 10 12.5 15

Out[28]:=

Từ một bài toán vẽ đồ thị thông thường ta đưa về dạng tham số

Phương trình tham số của ellipsoid:

Khi đó dòng lệnh biểu diễn trên Mathematica là:

-Phương trình tham số của hypebol:

Dòng lệnh biểu diễn trên Mathematica:

-5

0

5

+ 1

Định nghĩa hàm 2:

Tương tự đố ớ i v i hàm nhi u bi n ề ế

Cách 2:

Plot[f,{x,xmin,xmax}] : V hàm s ẽ đồthị ố trên đoạn [xmin, xmax]

f1, f2, … trên đoạn [xmin, xmax]

Để ết đƣợ bi c danh sách các tham s ố đƣợc dùng kèm v i hàm plot, ta dùng l nh ớ ệ

Giải thích:

Plot[f[x],{x,xmin,xmax},PlotStyle ->GrayLevel[w]] trong đó w là 0 hoặc 1

Muố n v nhi ẽ ều màu hơn nữ a, có th dùng l nh ể ệ

Plot[f[x],{x,xmin,xmax},PlotStyle ->RGBColor[r, g, b]]: trong đó r, g, b

RGBColor[0, 1, 0] cho màu xanh lá cây

100 200 300 400

f[x_]=x^2+1

g[x_]=x^3+3x^2+2

h[x_]=x+1

Out[39]:=

- Nếu các điểm không đƣợc hi n th ể ị đầy đủ, c n b sung thêm tham s ầ ổ ốPlotRange → All.

1.7 L nh Ifệ

Out[15]:=

2 1 1 2

Out[2]:=

Đố ới tích phân cũng vậi v y, ta có các cú pháp sau:

Giải phương trình vi phân: Dsolve và NDSolve

RegionPlot3D[pred,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}]: đối với

In[4]:=

CHƯƠNG 2 : ỨNG DỤNG CỦA MATHEMATICA TRONG BÀI TOÁN

- Mỗi phương án x thỏa mãn (1) nghĩa là tại đó hàm mục tiêu đạt giá tr nh ị ỏ

toán

Ta thấy bài toán trên có d ng chính tạ ắc, hơn nữa

toán

2.4 Dạng chuẩn tắc của bài toán qui hoạch tuyến tính

V y min = -ậ 90 đạt tại x1 = 0 , x2 = 50 , x3 30 =

ConstrainedMax[zx,ineqsx,{x[1],x[2]}]

Ví dụ 3:

Bài toán đối ng u: Tìm Min Y = y b vẫ ới điều ki n y.A < 0 và y> 0 ệ

yvec = Array[y,4]{ y[1] , y[2] , y[3] , y[4] }

yvec.b10 y[1] + 30y[2] -5 y[3] -10 y[4]

yvec.matrixa

{2 y[1] + 6y[2] -3 y[3] - y[4], 3y[1] + 5y[2] -3 y[3] - y[4], 3y[1] + 4y[2] -3 y[3] , 2y[1] + y[2] - 4 y[3] - y[4], 2y[1] + 4y[2] }

Các y u t ế ố Bàn Ghế T ủ

CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG MATHEMATICA TRONG M T S BÀI TOÁN Ộ Ố

THỰC TẾ 3.1 Bài toán vận tải

Để ả gi i bài toán qui ho ch tuy n tính này, hàm m c tiêu (hàm tính t ng chi phí), ạ ế ụ ổ

z=xvec.c

constraints={x[1]+x[3]+x[5]<=

1000,x[2]+x[4]+x[6]<=400,x[7]+x[9]+x[11]<=

800,x[8]+x[10]+x[12]<=900,x[1]+x[7]>= 500,x[3]+x[9]>= 300,x[5]+x[11]>=700,x[2]+x[8]>=400,x[4]+x[10]>=

500,x[6]+x[12]>=300};

values=ConstrainedMin[z,constraints,xvec]

Ta có kết quả:

T ng chi phí c c tiổ ự ểu để chuyên ch các s n phở ả ẩm P1, P2 đến các trung tâm

x[1]+x[7]/.values[[2]] cho tổng s s n phố ả ẩm P1 t i kho D1 là 500 ạ

x[2]+x[8]/.values[[2]] cho tổng s s n ph m P2 t i kho D1 ố ả ẩ ạ là 400

x[4]+x[10]/.values[[2]] cho tổng s s n ph m P2 t i kho D2 là 500 ố ả ẩ ạ

x[5]+x[11]/.values[[2]] cho tổng s s n ph m P1 t i kho D3 là 700 ố ả ẩ ạ

x[6]+x[12]/.values[[2]] cho tổng s s n ph m P1 t i kho D3 là 300 ố ả ẩ ạ

siêu thị

Kí hiệu :

A: Trang trại Bình Minh A

G i xọ 3 là s ố con cá được ch t trang trở ừ ại Bình Minh A đến thành ph Hố ải Dương

Long

Long

Gọi x18là số con cá đƣợc chở ừ t trang trại Bình Minh B đến thành ph H ố ạLong

Clear[xvec,z,constraints,vars,c]

c={2,0.4,0.1,2.5,0.45,0.15,3,0.5,0.15,4,0.6,0.5,2.5,0.4,0.2,3.5,0.5,0.5};

xvec=Array[x,18]

{x[1],x[2],x[3],x[4],x[5],x[6],x[7],x[8],x[9],x[10],x[11],x[12],x[13],x[14],x[15],x[16],x[17],x[18]}

z=xvec.c

constraints={x[1]+x[7]+x[13]<=500,x[2]+x[8]+x[14]<=1500,x[3]+x[9]+x[15]<=2500,x[4]+x[10]+x[16]<=600,x[5]+x[11]+x[17]<=2000,x[6]+x[12]+x[18]<=2000,x[1]+x[4]>=100,x[2]+x[5]>=500,x[3]+x[6]>=600,x[7]+x[10]>=150,

Nhƣ vậy :

S con l n xuố ợ ất đi từ trang tr i Bình Minh ạ

T ng s xu t cho siêu th t Hà N là ổ ố cá ấ ị ại ội

S ốcon lợn đƣợc chở ừ trang trại Bình Minh B đế t n thành ph Hà N i là 600 ố ộ

S con cá xuố ất đi từ ang tr i Btr ạ

KẾT LUẬN

Hướng phát triển đề tài

viên

Kiến nghị

trình độ

TÀI LIỆU THAM KH O Ả

Media, Cambrige Univerity Press, Third Edition

3 Brown, Donald T, David, Bill, Porta, Horacio, and Uhl Jerry: Calculus and