Một phương pháp vô hướng hóa giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KIM THANH MỘT PHƯƠNG PHÁP VƠ HƯỚNG HĨA GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KIM THANH MỘT PHƯƠNG PHÁP VƠ HƯỚNG HĨA GIẢI BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn viết hướng dẫn tận tình PGS.TS Tạ Duy Phượng Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy gia đình Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Phòng đào tạo nghiên cứu khoa học quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho học tập tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu bạn đồng nghiệp trường THPT Lưu Nhân Chú - Thái Ngun tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè gia đình hết lịng động viên tơi suốt trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, ngày 19 tháng 10 năm 2011 Học viên Nguyễn Kim Thanh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên i http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Bài tốn tối ưu hóa ngày nghiên cứu ứng dụng rộng rãi vào nhiều lĩnh vực kĩ thuật, kinh tế khoa học Trong thời gian gần đây, toán tối ưu đa mục tiêu quan tâm nhiều mơ hình nhiều tốn thực tế Bài tốn tối ưu có hàm mục tiêu nhận giá trị vectơ đòi hỏi khái niệm nghiệm Việc tính tốn tập nghiệm, chí tìm nghiệm tốn nói chung khó Vì phát triển phương pháp số hữu hiệu giải toán tối ưu đa mục tiêu, quan tâm đặc biệt Khái niệm cực tiểu đưa Edgeworth năm 1881, Pareto năm 1896 Để xây dựng khái niệm này, Pareto sử dụng khái niệm thứ tự theo nón khơng gian ảnh Sau Kuhn Tucker, vào năm 1951 nghiên cứu kĩ chặt chẽ toán học Kể từ tốn tối ưu đa mục tiêu trở thành lĩnh vực nghiên cứu tích cực Đã có nhiều nhà tốn học nghiên cứu giải toán đưa nhiều kết quan trọng, xem [1,2] Ở kỉ trước, mục tiêu nghiên cứu dựa phương pháp lặp để xác định nghiệm đơn trình lặp lặp lại Bằng cách ấy, phép tính số tính tốn liên tiếp với hàm định đưa mục tiêu mong muốn nghiệm tìm thấy Tuy nhiên, với phát triển công nghệ thông tin tốc độ máy tính xác định tập hữu hiệu cách dễ dàng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun ii http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục đích luận văn trình bày phương pháp tìm tập hữu hiệu nhờ phương pháp số dựa theo tài liệu [3] Trong [3] , Gabriele Eichfelder sử dụng phương pháp tiếp cận vô hướng hóa phụ thuộc tham số Pascoletti Serafini Nhiệm vụ luận văn trình bày cách chi tiết, có chứng minh số định lí, nhận xét, trình bày lại thuật tốn giải tốn tối ưu hai mục tiêu Luận văn gồm chương: Chương kiến thức chuẩn bị luận văn Trong phần đầu chương này, nhắc lại khái niệm kết tối ưu đa mục tiêu, chẳng hạn khái niệm cực tiểu tính chất nón thứ tự, đặc biệt nón đa diện Chương dành riêng tìm hiểu kĩ phương pháp vơ hướng hóa giải tốn tối ưu Vơ hướng hóa đưa dựa vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini Đây hai chương luận văn Chương Trong chương chủ yếu sử dụng kết trước để phát triển thuật toán điều khiển việc lựa chọn tham số tiếp cận vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini Và cuối kết luận tài liệu tham khảo Thái Nguyên, năm 2011 Học viên Nguyễn Kim Thanh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyêniii http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức sở 1.1.1 Quan hệ thứ tự 1.1.2 Nghiệm cực tiểu 1.1.3 Nghiệm cực tiểu yếu 1.2 Nón đa diện thứ tự 11 Phương pháp vơ hướng hóa 16 2.1 Tối ưu hóa Pascoletti-Serafini 17 2.2 Tính chất vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini 19 2.3 Thiết lập thơng số hạn chế cho vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini 24 2.3.1 Trường hợp với hàm hai mục tiêu 26 2.3.2 Trường hợp tổng quát 33 Điều khiển tham số 41 3.1 Điều khiển tham số trường hợp hai mục tiêu 42 3.2 Thuật toán cho tối ưu hóa Pascoletti-Serafini 49 Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iv 53 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị Giả sử f : Rn → Rm , g : Rn → Rp , h : Rn → Rq (p, q ∈ N) hàm liên tục Ta đặt f (x) = (f1(x), , fm(x)) với fi : Rm → R , i = 1, , m Cho S ⊂ Rn tập lồi đóng C ⊂ Rp nón lồi đóng Nhắc lại tập C ⊂ Rp nón lồi đóng λ(x + y) ∈ C với λ ≥ 0, x, y ∈ C Xét toán tối ưu đa mục tiêu (MOP): f (x) với hạn chế g(x) ∈ C, h(x) = 0q , x ∈ S Với m = toán (MOP) trở thành toán tối ưu hàm mục tiêu quen thuộc Trong luận văn ta chủ yếu quan tâm tới hàm đa mục tiêu (m ≥ ) Tập Ω := {x ∈ S | g(x) ∈ C, h(x) = 0q } gọi tập ràng buộc hay Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tập hạn chế toán (MOP) Ta giả sử Ω 6= ∅ định nghĩa f (Ω) := {f (x) ∈ Rm | x ∈ Ω} 1.1 1.1.1 Kiến thức sở Quan hệ thứ tự Định nghĩa 1.1.1 Một tập khác rỗng < ∈ Rm × Rm gọi quan hệ hai < Rm Ta viết x b f (¯ x) − β t¯ = a = f (¯ x) − t¯r b> r cho (t¯, x¯) nghiệm cực tiểu tốn (SP(a,r)) Từ có tham số a nằm đoạn thẳng điểm a¯1 a¯2 , nói cách khác a = λ¯a1 + (1 − λ)¯a2 với λ ∈ [0, 1] Từ cách xác định a, a¯1 a¯2 , phương trình a = λ¯a1 + (1 − λ)¯a2 tương đương với f (¯ x) − t¯r = λ(f (¯ x1) − t¯1 r) + (1 − λ)(f (¯ x2) − t¯2 r) (2.10) Nếu tập hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu gồm điểm f (¯ x1) f (¯ x2) nhất, (2.10) thỏa mãn cho λ = λ = tương ứng Mặt khác ta có theo bổ đề 2.3.5 l1>f (¯ x1) < l1>f (¯ x2), (2.11) l2>f (¯ x2) < l2>f (¯ x1) (2.12) Ta đưa công thức (2.10) sau: f (¯ x) = λf (¯ x1) + (1 − λ)f (¯ x2) + (t¯ − λt¯1 − (1 − λ)t¯2 )r (2.13) Ta thực phép đạo hàm: x) − λf (¯ x1) − (1 − λ)f (¯ x2)) ≥ t¯ − λt¯1 − (1 − λ)t¯2 = > (b>(f (¯ b r t¯− λt¯1 − (1 − λ)t¯2 < tương ứng Với trường hợp t¯− λt¯1 − (1 − λ)t¯2 ≥ ta bắt đầu giả sử (2.13) thỏa mãn với λ < Khi ta có: l1>f (¯ x) = λl1>f (¯ x1) + (1 − λ)l1>f (¯ x2) + (t¯ − λt¯1 − (1 − λ)t¯2 )l1>r Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên31 http://www.lrc-tnu.edu.vn ≥ λl1>f (¯ x1) + (1 − λ)l1>f (¯ x2 ) > λl1>f (¯ x2) + (1 − λ)l1>f (¯ x2 ) = l1>f (¯ x1 ) mâu thuẫn với Bổ đề 2.3.4 Bây ta giả sử (2.13) thỏa mãn với λ > Ta có l2>f (¯ x) ≥ λl2>f (¯ x1) + (1 − λ)l2>f (¯ x2 ) > l2>f (¯ x1 ) mâu thuẫn với bổ đề (2.3.4) Vậy vừa trường hợp t¯ − λt¯1 − (1 − λ)t¯2 ≥ λ ∈ [0, 1] Một cách tương tự cho trường hợp t¯− λt¯1 − (1 − λ)t¯2 < λ ∈ [0, 1] Tiếp theo ta tới trường hợp nón thứ tự K có phần rỗng, nói cách khác K cho K = {λk |λ ≥ 0} với k ∈ R2 \{02} Khi tốn vơ hướng hóa (SP(a,r)) cho r ∈ K\{02} nói cách khác r = λr k với λr > phát biểu: t điều kiện ràng buộc (2.14) a + (tλr − λ)k = f (x) t ∈ R, x ∈ Ω, λ ≥ ¯ nghiệm cực với số biến thiên λ ∈ R Nếu điểm (t¯, x¯, λ) ¯ = 0: giả sử (t¯, x¯, λ) ¯ nghiệm tiểu (2.14) ln có λ ¯ > Khi điểm (t¯ − λ¯r , x¯, 0) chấp nhận (2.14) cho λ λ ¯ λ ¯ nghiệm cực tiểu (2.14) cho t¯ − r < t¯ mâu thuẫn với (t¯, x ¯, λ) λ Vì ta xét tốn t điều kiện ràng buộc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên32 (2.15) http://www.lrc-tnu.edu.vn a + tr = f (x), t ∈ R, x ∈ Ω, λ ≥ 0, thay cho (2.14) Để xác định tập H α tập H Chỉ cần chiếu tập f (Ω) theo hướng r siêu phẳng H đủ Nếu ta có l ∈ R2 \{02} cho l>r = ta xác định tập H α mơ tả định lí 2.3.6 cách giải tốn (2.5) (2.6) cho l1 := l l2 := −l 2.3.2 Trường hợp tổng quát So sánh với trường hợp hàm có hai mục tiêu, khó để hạn chế tập tham số trường hợp ba hay nhiều tiêu chuẩn Ví dụ với nón lồi nhọn khơng đóng Rm , m ≥ đa diện không giống trường hợp m = Nón biểu diễn quan hệ thứ tự Lowner (xem [3]) khơng nón đa diện khơng hữu hạn sinh Tuy nhiên trường hợp nón đa diện kết phần 2.3.1 khơng thể tổng quát tới R3 Một nón K ⊂ R3 cho  K = y ∈ R3 | li>y ≤ 0, i = 1, , s cho li ∈ R3 \ {03} , i = 1, , s, s ∈ N không thiết sinh ba vector li Thậm chí nón thứ tự K hữu hạn sinh ba vector trường hợp nón thứ tự K = R3+ với quan hệ thứ tự tự nhiên, ta tổng quát kết thu phần trước để xác định tập H α Dưới ví dụ minh họa Ví dụ 2.3.7 Xét tốn với hàm mục tiêu f : R3 → R3 cho f(x):=x với x ∈ R3 tập ràng buộc Ω ⊂ R3 định nghĩa Ω := {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 x21 + x22 + x23 ≤ 1} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên33 http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta giả sử nón thứ tự hạn chế nón K = R3+ , hữu hạn sinh bởi: l1 := (1, 0, 0)>, l2 := (0, 1, 0)>, l3 := (0, 0, 1)> Vì K = {y ∈ R3 li>y ≥ 0, i = 1, 2, 3} Bài toán ba mục tiêu f (x) x∈Ω có tập nghiệm  M(f (Ω, R3+)) = x ∈ R3 | x21 + x22 + x23 = 1, xi ≤ 0, i = 1, 2, Bằng việc giải toán tối ưu vô hướng li>f (x) x∈Ω (i = 1, 2, 3) tương ứng với toán (2.5) (2.6) ta nhận ba nghiệm: x¯1 = (−1, 0, 0)>, x¯2 = (0, −1, 0)> , x ¯3 = (0, 0, −1)> Hơn ta xác định siêu phẳng H := {y ∈ R3 (−1, −1, −1)>y = 1} với b = (−1, −1, −1)>, β = Khi f (¯ xi) = x¯i ∈ H với i = 1, 2, Tương tự điểm điểm (2.8) a¯1 = (−1, 0, 0)> , a ¯2 = (0, −1, 0)>, a ¯3 = (0, 0, −1)> Ta xác định tập 3 X X α i H := {y ∈ R y = λi a ¯ , λ1 ≥ 0, i = 1, 2, 3, λi = 1} i=1 i=1 Khi khơng cịn với điểm K-cực tiểu x¯ tốn tối ưu đa mục tiêu có tham số a ¯ ∈ H α t¯ ∈ R cho (t¯, x¯) > nghiệm cực tiểu (SP(¯a,r)) Ví dụ điểm x¯ = (−1√2 , −1√2 , 0) EPcực tiểu khơng có tham số a ¯ ∈ H α cho ta nhận điểm x¯ √ ¯ = (1− 2)3 √ √ √ > t cách giải (SP(¯a,r)) Cho a¯ = −1 √ (3 2)(1+ 2,1+ 2, 2−2) Điểm (t¯, x¯) nghiệm cực tiểu (SP(¯a,r)), a ¯∈ / H α Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên34 http://www.lrc-tnu.edu.vn