Luận án Tiến sĩ Phương pháp giải một số lớp bài toán tối ưu đa mục tiêu và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI —————————- TRẦN NGỌC THĂNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI —————————- TRẦN NGỌC THĂNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62460112 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim GS TSKH Đinh Thế Lục HÀ NỘI - 2017 LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Viện Toán ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim GS TSKH Đinh Thế Lục Các kết trình bày luận án chưa cơng bố cơng trình khác Các kết công bố chung với PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim GS TSKH Đinh Thế Lục đồng ý đồng tác giả đưa vào luận án Thay mặt tập thể hướng dẫn PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim Tác giả Trần Ngọc Thăng Lời cảm ơn Luận án thực hướng dẫn tận tình nghiêm khắc PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim GS TSKH Đinh Thế Lục Trong suốt trình nghiên cứu thực luận án, thầy cô bước dẫn dắt, truyền cho tác giả niềm đam mê nghiên cứu nhiều kinh nghiệm, kỹ năng, kiến thức quý báu, đồng thời ln động viên khích lệ để tác giả vượt qua thử thách bước đường làm khoa học Tác giả xin chân thành gửi tới thầy cô kính trọng lịng biết ơn sâu sắc Trong trình học tập, nghiên cứu thực luận án, tác giả nhận quan tâm, giúp đỡ với lời khuyên thiết thực quý báu GS Lê Dũng Mưu, GS Trần Vũ Thiệu, PGS Nguyễn Văn Châu, PGS TSKH Huỳnh Văn Ngãi, PGS TS Phan Nhật Tĩnh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Tổ chức cán bộ, Viện Đào tạo sau Đại học - Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt q trình hồn thành luận án Tác giả chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo tồn thể cán Viện Tốn ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, động viên, giúp đỡ hỗ trợ nhiều mặt để tác giả yên tâm học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Quỹ Phát triển Khoa học Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) hỗ trợ kinh phí nghiên cứu thực luận án Xin chân thành cảm ơn TS Lê Quang Thủy, TS Nguyễn Cảnh Nam, TS Nguyễn Thị Toàn, TS Nguyễn Thị Thanh Huyền, TS Nguyễn Quang Thuận, TS Vũ Thành Nam, TS Tạ Anh Sơn, ThS Lê Quang Hòa, TS Trần Minh Hoàng, ThS Đỗ Xuân Hưng, ThS Phạm Thị Hoài, KS Bùi Văn Chung anh chị em nghiên cứu sinh bạn bè đồng nghiệp xa gần động viên khích lệ trao đổi hữu ích q trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới phản biện độc lập dành nhiều thời gian để đọc đưa góp ý, nhận xét quý báu để tác giả chỉnh sửa luận án hồn thiện Cuối cùng, cảm thơng, động viên chia sẻ người thân gia đình động lực để tác giả bước hồn thành luận án Vì vậy, tác giả xin dành tặng luận án cho gia đình thân yêu q tinh thần để bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc Mục lục Một số ký hiệu chữ viết tắt iii Danh mục hình vẽ danh mục bảng vi Lời mở đầu viii Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng 1.1 Hàm lồi suy rộng 1.2 Điểm hữu hiệu hướng pháp tuyến 1.3 Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng 17 Thuật toán hướng pháp tuyến giải toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng 21 2.1 2.2 Xác định điểm ảnh hữu hiệu yếu hướng pháp tuyến Thuật toán hướng pháp tuyến không gian ảnh 23 27 2.3 Sự hội tụ thuật toán 33 2.4 Tính tốn thử nghiệm 41 Thuật toán giải số tốn quy hoạch tích mở rộng 55 3.1 Thuật tốn giải tốn quy hoạch tích lồi suy rộng (GMP) 56 3.2 Thuật tốn giải tốn quy hoạch tích lõm mở rộng (GIMP) 3.2.1 Các thao tác lược đồ nhánh cận 64 69 3.2.2 Thuật toán nhánh cận không gian ảnh 74 3.2.3 Tính tốn thử nghiệm 78 i Thuật toán giải toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu 4.1 4.2 83 Thuật toán giải toán (QP) với ϕ hàm tựa lõm 4.1.1 Phân hoạch toán 85 86 4.1.2 Thuật tốn nhánh cận khơng gian ảnh 90 4.1.3 Tính tốn thử nghiệm 94 Thuật toán giải toán (DP) với ϕ hàm đơn điệu tăng 4.2.1 Đơn hình xấp xỉ lược đồ rẽ nhánh 98 99 4.2.2 Thuật toán nhánh cận - xấp xỉ 101 4.2.3 Tính toán thử nghiệm 106 Kết luận chung 111 Danh mục cơng trình cơng bố 114 Danh mục tài liệu tham khảo 115 Danh mục thuật ngữ 124 ii Một số ký hiệu chữ viết tắt Rn không gian Euclide n chiều Rn+ tập véc tơ không âm Rn kxk chuẩn Euclide véc tơ x ∈ Rn |x|  i x giá trị tuyệt đối x ∈ R dãy điểm Rn hx, yi tích vơ hướng x y [x, y] đoạn thẳng nối hai điểm x, y ∈ Rn , tức [x, y] = {q ∈ Rn | q = λ x + (1 − λ )y, ≤ λ ≤ 1} B [x, y] Hộp chữ nhật tạo hai đỉnh x, y ∈ Rn , tức B [x, y] = {q ∈ Rn | x ≤ q ≤ y} VolP Thể tích đa diện P ⊂ Rn  conv x1 , x2 , , xk bao lồi điểm x1 , x2 , , xk tập  x = ∑ki=1 λi xi : λi ≥ 0, ∑ki=1 λi = intX phần tương đối tập X ∂X biên tập X NX (x0 ) nón pháp tuyến X x0 ∈ X A+B tổng véc tơ hai tập A B A−B hiệu véc tơ hai tập A B t.ư viết tắt cụm từ "tương ứng" v.đ.k viết tắt cụm từ "với điều kiện" iii (LMOP) Bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính (CMOP) Bài tốn quy hoạch đa mục tiêu lồi (CBOP) Bài toán quy hoạch hai mục tiêu lồi (GMOP) Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (QP) Bài toán (P) với hàm ϕ tựa lõm (DP) Bài toán (P) với hàm ϕ đơn điệu (MP) Bài tốn quy hoạch tích (LMP) Bài tốn quy hoạch tích tuyến tính (CMP) Bài tốn quy hoạch tích lồi (GMP) Bài tốn quy hoạch tích tựa lồi suy rộng (GIMP) Bài tốn quy hoạch tích lõm mở rộng XE Tập nghiệm hữu hiệu toán quy hoạch đa mục tiêu (MOP) theo nghĩa cực tiểu XW E Tập nghiệm hữu hiệu yếu toán quy hoạch đa mục tiêu (MOP) theo nghĩa cực tiểu MinQ Tập điểm hữu hiệu tập Q theo nghĩa cực tiểu WMinQ Tập điểm hữu hiệu yếu tập Q theo nghĩa cực tiểu MaxQ Tập điểm hữu hiệu tập Q theo nghĩa cực đại WMaxQ Tập điểm hữu hiệu yếu tập Q theo nghĩa cực đại Min(Q, θ ) Tập điểm hữu hiệu θ - xấp xỉ tập Q theo nghĩa cực tiểu WMin(Q, θ ) Tập điểm hữu hiệu yếu θ - xấp xỉ tập Q theo nghĩa cực tiểu iv Danh mục hình vẽ 1.1 Minh họa tập S 1.2 q1 ∈ WMinQ, q2 6∈ WMinQ q3 ∈ MinQ 10 1.3 1.4 Hai nón pháp tuyến NQ (q1 ) NQ (q2 ) Hướng pháp tuyến dương (t.ư., không âm) Q điểm hữu hiệu 11 q3 (t.ư hữu hiệu yếu q1 ) 12 1.5 Minh họa tập Q Q+ 14 1.6 Cách xác định điểm hữu hiệu yếu tập Q+ 15 2.1 Minh họa Ví dụ 2.1 43 2.2 Hình bên trái bao gồm đường thẳng biểu diễn siêu phẳng cắt chứa diện Y out , cịn hình bên phải biểu diễn điểm hữu hiệu yếu tập ảnh Y Ví dụ 2.4 46 2.3 Tập xấp xỉ Y out Y ⋄ điểm hữu hiệu yếu tập ảnh Y Ví dụ 2.5 2.4 Bên trái tập xấp xỉ Y out ; bên phải tập đỉnh tập 47 xấp xỉ Y in Ví dụ 2.6 48 2.5 Tập ảnh hữu hiệu yếu WMinY phân phối điểm ảnh hữu hiệu yếu sinh ba phương pháp Trường hợp Ví dụ 2.6 2.6 49 Tập ảnh hữu hiệu yếu WMinY phân phối điểm ảnh hữu hiệu yếu sinh ba phương pháp Trường hợp Ví dụ 2.6 50 3.1 Đường cong hữu hiệu MaxY − 67 3.2 Sinh điểm hữu hiệu phép chiếu 68 v new (3.3) If αk > ϕ (ynew k ) Then αk+1 = ϕ (yk ) (cận tốt tại) ybest = ynew (nghiệm chấp nhận tốt tại) k k xkbest = xknew (xkbest ∈ XE tương ứng với ybest k ) Else Đặt αk+1 := αk ; (3.4) If (αk+1 − βk ) ≤ ε (|αk+1 | + 1) Then Đặt G = 0, / chuyển sang Bước
k2 Else Đặt G := G \ {Γk } ∪ {Γk1 , Γk2 }, Γk1 = Γ(yL , ynew k ) Γ = R Γ(ynew k , y ) Bước (Loại bỏ) (4.1) Xác định nghiệm tối ưu yopt toán (SP(yL , yR )) với yR = ynew k ; (4.2) If ϕ (yO ) = ϕ (yopt ) Then Đặt β (Γk1 ) = ϕ (yopt ) Else G := G \ {Γk1 }; (4.3) Xác định nghiệm tối ưu yopt toán (SP(yL , yR )) với yL = ynew k ; (4.4) If ϕ (yO ) = ϕ (yopt ) Then Đặt β (Γk2 ) = ϕ (yopt ) Else G := G \ {Γk2 }; best (4.5) If G = 0/ Then Thuật toán dừng (ybest k ∈ Argmin(QPY + ) xk ∈ Argmin(QP)) Else Đặt G = {Γ ∈ G | (αk+1 − β (Γ)) > ε (|αk+1 | + 1)}; (4.6) Đặt k := k + quay lại Bước Giả sử thuật tốn dừng Bước lặp k Nếu dừng Bước dừng Bước 4, ta nhận nghiệm tối ưu ybest toán (QPY + ), nghiệm k nghiệm tối ưu xkbest tốn (QP) Nếu dừng Bước y∗ = ybest k tối ưu ε −xấp xỉ toán (QPY + ), x∗ = xkbest nghiệm ε −xấp xỉ tốn (QP) Nếu thuật tốn khơng dừng hội tụ khẳng định kết sau Định lý 4.1 Nếu thuật tốn khơng dừng dãy {ϕ (ybest k )} hội tụ tới giá trị tối ưu + toán (QPY + ) dãy {ybest k } ∈ MinY có điểm tụ nghiệm tồn cục tốn (QPY + ) 92 + Chứng minh Nếu thuật tốn khơng dừng sinh dãy {ybest k } ∈ MinY Bên cạnh đó, thuật tốn sinh dãy đa diện {Sk } thỏa mãn S0 ⊃ S1 ⊃ S2 ⊃ · · · ⊃ MinY + , S0 = S(yˆ1 , yˆ2 ) new new Sk+1 = {y ∈ Sk |hvnew k , yi ≥ hvk , yk i}, k = 0, 1, 2, điểm chia đôi xác định Bước vnew véc tơ pháp tuyến với ynew k k tương ứng với ynew (xem Hình 4.4) Phần lại định lý suy trực tiếp k từ Định lý 3.1 [46] Hình 4.4: Minh họa cách sinh dãy đa diện {Sk } Nhận xét 4.1 Thuật tốn đề xuất dùng để giải tốn cực tiểu tích hai hàm lồi tập lồi (CBMP) tương ứng với toán (CBOP), tức f1 (x) f2 (x) v.đ.k x ∈ X, (CBMP) hàm f j , j = 1, tập chấp nhận X cho toán (CBOP) Dạng khơng gian ảnh tốn (CBMP) viết sau ϕ (y) = y1 y2 v.đ.k y ∈ Y (CBMPY ) Như biết, y∗ nghiệm tối ưu tốn (CBMPY ) x∗ ∈ X thỏa 93 mãn f (x∗ ) ≤ y∗ nghiệm tối ưu toán (CBMP) Từ định nghĩa, dễ dàng chứng minh nghiệm tối toán (CBMPY ) phải thuộc tập ảnh hữu hiệu MinY Khi đó, tốn (CBMPY ) tương đương với toán ϕ (y) = y1 y2 v.đ.k y ∈ MinY Vì ϕ (y) = y1 y2 hàm tựa lồi intR2+ nên trường hợp riêng tốn (QPY ) Nói cách khác, tốn (CBMP) giải thơng qua việc giải toán (QP) với ϕ (y) = y1 y2 4.1.3 Tính tốn thử nghiệm Tất ví dụ mục thử nghiệm với thuật tốn cài đặt ngơn ngữ Matlab máy laptop Pavilon 1.8Ghz, RAM 2GB Ví dụ 4.1 Xét tốn (QP) cho Benson H.P Boger G.M [18], 1 f1 (x) = x1 + x3 , f2 (x) = x2 + x3 , ϕ (y1 , y2 ) = y1 y2 9 11 X = {x ∈ R |Ax = b, x ≥ 0} với    81 9 0 0 0     72 8 0 0 0     72 1 8 0 0 0 0         1 0 −1 0 0  , b =  A=   0 0 −1 0          1 0 0 −1 0      1 0 0 0 0 0    0 0 0 0                 Cho ε = 0.00001 Thuật toán dừng bước lặp Nghiệm tối ưu ε −xấp xỉ toán (QPY + ) ybest = (0.1111, 8.1111), nghiệm tối ưu xấp xỉ tương ứng toán (QP) xbest = (0, 8, 1, 7, 56, 0, 0, 48, 6, 8, 0)T giá trị tối ưu ε −xấp xỉ toán (QP) h(xbest ) = 0.9012 Kết tính tốn giống với kết thuật tốn [18], thuật tốn dừng sau bước lặp 94 Ví dụ 4.2 Xét toán (QP) với f1 (x) = (x1 − 2)2 + 1, f2 (x) = (x2 − 4)2 + 1, X = {x ∈ R2 | 25x12 + 4x22 − 100 ≤ 0, x1 + 2x2 − ≤ 0} ϕ (y1 , y2 ) dạng sau (xem [90]) với tham số α1 , α2 , α1 j , α2 j , k j > với j = 1, 2, , s, ϕ0 (y1 , y2 ) = y1 y2 ϕ1 (y1 , y2 ) = yα1 y2α2 α α ϕ2 (y1 , y2 ) = ∑sj=1 k j y1 j y2 j ϕ3 (y1 , y2 ) = α1 ey1 + α2 ey2 ϕ4 (y1 , y2 ) = yα1 /(K − yα2 ) với K > maxy∈Y y2α2 ϕ5 (y1 , y2 ) = α1 log y1 + α2 log y2 Đầu tiên, ta xét trường hợp h(x) = ϕ0 ( f (x)), Theo Nhận xét 4.1, việc giải toán (QP) trường hợp tương đương với việc giải toán quy hoạch tích hai hàm lồi (CMP) Chọn ε = 0.01 Bảng 4.1 liệt kê nghiệm chấp nhận tốt new ybest k , điểm chia đôi yk , cận tốt αk , cận tốt βk Gapk = (αk − βk )/(|αk+1 | + 1) bước Sau bước lặp, Gap3 = 0.0094 < ε G = 0/ nên thuật thoán dừng Nghiệm tối ưu ε -xấp xỉ toán (QPY + ) ybest = (1.0178, 9.6040) nghiệm tối ưu xấp xỉ toán (QP) xbest = (1.8665, 1.0667)T Giá trị tối ưu ε -xấp xỉ tốn (QP) h(xbest ) = 9.7751 Kết tính toán giống với kết [12], [30] [46] Kết tính tốn trường hợp cịn lại hàm ϕ nêu Bảng 4.2, #Iter số bước lặp, yε nghiệm tối ưu ε -xấp xỉ toán (QPY + ), ϕopt giá trị tối ưu ε -xấp xỉ tốn (QP) Time thời gian tính tốn theo đơn vị giây Kết thuật toán làm việc hiệu với nhiều dạng khác hàm mục tiêu 95 Bước lặp ybest k ynew k αk βk Gapk k=0 (2.4131, 6.7871) (2.4131, 6.7871) 16.3778 2.3804 0.8055 k=1 (1.0505, 9.3381) (1.0505, 9.3381) k=2 (1.0505, 9.3381) (1.0018, 9.8740) 10.0999 9.6628 0.0394 k=3 (1.0178, 9.6040) (1.0178, 9.6040) 9.8102 9.7751 8.2168 0.1474 9.6743 0.0094 Bảng 4.1: Kết tính tốn Ví dụ 4.2 trường hợp ϕ = ϕ0 ϕ (y) #Iter yε ϕopt Time y0.5 y2 (21.3477, 1.5544) 17.3524 0.6240 0.4y10.5 y32 + 0.9y21 y0.25 (6.0127, 4.5365) 139.0545 0.9516 2.5ey1 + 0.75ey2 (3.7922, 5.6851) 331.7185 0.7176 0.5 y0.25 /(10 − y2 ) (1.0000, 10.0999) 0.1466 0.8424 0.3 log y1 + 1.5 log y2 (21.3477, 1.5544) 1.5799 0.6708 Bảng 4.2: Kết tính tốn Ví dụ 4.2 trường hợp ϕ Ví dụ 4.3 Để so sánh thuật toán đề xuất với thuật toán N.V Thoại [87], ta xét dạng khác ví dụ [87, tr 65], cho dạng tốn (QP), f (x) = ( f1 (x), f2 (x)) , X = {x ∈ R2 | Ax ≤ b, x ≥ 0, g(x) ≤ 0} với     1.0 1.0 −2.0      1.0   −1.0 1.0       , b =  4.0 , A= 2.0 1.0          10.0   2.0 5.0  −1.5 −1.0 −1.0 96 g(x) = 0.5(x1 − 1)2 + 1.4(x2 − 0.5)2 − 1.1, f1 (x) = x12 + x22 + 0.4x1 − 4x2 , f2 (x) = max {−(0.5x1 + 0.25x2 + 0.2); −2x1 + 4.6x2 − 5.8} , ϕ (y) = {0.1(y1 − 7); 0.9(y2 − 1)}} Chọn ε = 0.00001 Thuật toán dừng bước khởi tạo Ta thu nghiệm tối ưu ε -xấp xỉ ybest = (−1.3365, −1.2000) toán (QPY + ), nghiệm tối ưu xấp xỉ xbest = (1.3170, 1.3659)T toán (QP), giá trị tối ưu ε −xấp xỉ toán (QP) h(xbest ) = −1.9800 Trong [87], thuật toán giải toán dừng sau bước lặp với nghiệm tối ưu xấp xỉ x∗ = (1.3170, 1.3659)T Ví dụ 4.4 Xét tốn (QP) ϕ (y) = (y1 − β1 )α1 (y2 − β2 )α2 fi (x) = xT ci + xT Di x, i = 1, 2,   !2   n xj n X = x ∈ R −2 + ∑ ≤ 100, Ax ≤ b, x ≥   j j=1 Các tham số cho sau (xem [41]): ci ∈ Rn , với i = 1, 2, véc tơ với thành phần sinh ngẫu nhiên [0, 1] Di = (di j ) ∈ Rn×n ma trận đường chéo với phần tử đường chéo dii sinh ngẫu nhiên [0, 1] A = (ai j ) ∈ Rm×n ma trận với phần tử sinh ngẫu nhiên [−1, 1] b = (b1 , b2 , , bm )T véc tơ có thành phần n bi = ∑ j + 2b0, j=1 với b0 số ngẫu nhiên [0, 1] 97 i = 1, 2, , m, αi , với i = 1, 2, số ngẫu nhiên [0, 1] βi = min{ fi (x) | x ∈ X}, với i = 1, Với ε = 0.005, tham số n, m, ta giải 10 toán Kết tính tốn thu Bảng 4.3, #Iter số bước lặp trung bình, UB = αK LB = βK cận cận Bước lặp K cuối cùng, Gap cho UB−LB |UB|+1 Time thời gian tính trung bình theo giây n m #Iter UB LB Gap Time 60 40 5.2 4.8458 4.8312 0.0025 0.88 70 50 6.4 6.1537 6.1458 0.0011 1.31 80 80 5.8 2.3188 2.3135 0.0016 1.77 100 60 4.4 5.3968 5.3917 0.0008 2.45 100 80 5.1 1.5828 1.5707 0.0047 3.94 120 120 4.7 3.8471 3.8331 0.0029 6.12 150 100 4.9 6.6608 6.6340 0.0035 7.34 150 120 6.2 8.7834 8.7580 0.0026 9.21 Bảng 4.3: Kết tính tốn với tốn sinh ngẫu nhiên Ví dụ 4.4 4.2 Thuật toán giải toán (DP) với ϕ hàm đơn điệu tăng Xét toán max ϕ (y) v.đ.k y ∈ MinY + , (DPY + ) ϕ : Y → R hàm đơn điệu tăng Y Mục đề xuất thuật toán giải toán (DPY + ) theo lược đồ nhánh cận kết hợp kỹ thuật xấp xỉ 98 Nhắc lại rằng, hàm k gọi đơn điệu tăng S k(y1 ) > k(y2 ) với y1 , y2 ∈ S cho y1 ≥ y2 , y1 6= y2 4.2.1 Đơn hình xấp xỉ lược đồ rẽ nhánh Xét hai điểm yL , yR ∈ MinY + thỏa mãn (4.3) Ta ký hiệu Γ(yL , yR ) đường cong nằm MinY + nối hai điểm yL yR O Đặt yO = (yO , y2 ) L O R yO = y1 > 0, y2 = y2 > (4.6) Hiển nhiên yL , yO , yR không thẳng hàng nên conv{yL , yO , yR } 2-đơn hình Ký hiệu S(yL , yR ) := conv{yL , yO , yR } Dễ thấy, đơn hình S(yL , yR ) nằm nón lồi (yO + R2+ ) Hơn nữa, S(yL , yR ) chứa đường cong hữu hiệu nối yL yR (xem Hình 4.5) hay Γ(yL , yR ) ⊂ S(yL , yR ) Để thuận tiện, ta gọi đơn hình S(yL , yR ) đơn hình sinh yL yR Đồng thời, yO gọi gốc đơn hình Hình 4.5: Đơn hình S(yL , yR ) Theo định nghĩa, dễ thấy tia xuất phát từ gốc O không gian ảnh R2 qua đỉnh yO đơn hình S(yL , yR ) giao với biên ∂ Y + tập Y + điểm yω ∈ Γ(yL , yR ) ⊆ MinY + (xem minh họa Hình 4.6) Kết đóng vai trị then chốt thuật tốn giải tốn (DPY + ) 99 Hình 4.6: Đường cong Γ(yL , yR ) Mệnh đề 4.1 Cho hai điểm yL , yR ∈ MinY + thỏa mãn (4.3) cho 2−đơn hình S(yL , yR ) = conv{yL , yO , yR }, yO thỏa mãn (4.6) Khi tia nối gốc O khơng gian ảnh R2 gốc yO đơn hình S(yL , yR ) cắt ∂ Y + điểm yω ∈ MinY + Hơn nữa, R R ω L yL1 < yω < y1 y2 < y2 < y2 (4.7) Chứng minh Vì yL , yR ∈ MinY + yO thỏa mãn (4.6) nên yO 6∈ Y + Do đó, theo Mệnh đề 1.9, tia nối gốc O với yO cắt ∂ Y + điểm yω ∈ Y Vì MinY + = ∂ Y + ∩Y (Mệnh đề 1.7) nên yω ∈ MinY + Hơn nữa, yL , yR ∈ MinY + thỏa mãn (4.3) nên yω phải thỏa mãn (4.7) Gọi (x∗ , λ ∗ ) nghiệm tối ưu toán quy hoạch lồi với hàm mục tiêu tuyến tính λ (T (yO )) v.đ.k f (x) − λ yO ≤ 0, gi (x) ≤ 0, i = 1, · · · , m Khi x∗ nghiệm hữu hiệu tương ứng với yω = λ ∗ yO (Xem Mệnh đề 1.9) Nhận xét 4.2 Giả sử yL , yR ∈ MinY + thỏa mãn (4.3) Γ(yL , yR ) ⊆ MinY + đường cong hữu hiệu nối yL yR Xét 2−đơn hình S(yL , yR ) sinh yL yR 100 Ký hiệu yω điểm xác định mô tả Mệnh đề 4.1 Theo (4.7), ký hiệu S(yL , yω ) đơn hình sinh yL yω , S(yω , yR ) đơn hình sinh yω yR (xem Hình 4.7) Khi đó, ta có
Γ(yL , yR ) ⊂ S(yL , yω ) ∪ S(yω , yR ) ⊂ S(yL , yR ) Điểm yω xem điểm chia đơi đơn hình S(yL , yR ) Việc chia đơn hình S(yL , yR ) gọi lược đồ rẽ nhánh áp dụng cho đơn hình S(yL , yR ) Tính chất sử dụng để xây dựng thuật tốn giải tốn (DPY + ) Hình 4.7: Lược đồ rẽ nhánh áp dụng cho đơn hình S(yL , yR ) Hiển nhiên (4.3) thỏa mãn với hai điểm yL = yˆ1 , yR = yˆ2 , yˆ1 yˆ2 xác định (4.2) Đặt S(yˆ1 , yˆ2 ) đơn hình sinh hai điểm yˆ1 yˆ2 Ta có MinY + ⊂ S(yˆ1 , yˆ2 ), S(yˆ1 , yˆ2 ) chọn làm đơn hình xuất phát thuật tốn xấp xỉ ngồi giải tốn (DPY + ) 4.2.2 Thuật tốn nhánh cận - xấp xỉ ngồi Đặt T = {S0,1 }, S0,1 = S(yˆ1 , yˆ2 ) U0 = [ S = S0,1 ⊃ MinY + S∈T Xuất phát từ hai tập T U , thuật toán trình lặp sinh hai dãy 101