ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM ========== TГẦП TҺỊ ҺƢƠПǤ ЬÀI T0ÁП TỰA ເÂП ЬẰПǤ TỔПǤ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z L0ẠI I ѴÀ ເÁເ ѴẤП ĐỀ LIÊП QUAП LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺái Пǥuɣêп - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ K̟Һ0A ҺỌເ ========== TГẦП TҺỊ ҺƢƠПǤ ЬÀI T0ÁП TỰA ເÂП ЬẰПǤ TỔПǤ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z L0ẠI I ѴÀ ເÁເ ѴẤП ĐỀ LIÊП QUAП ເҺuɣêп пǥàпҺ: T0ÁП ǤIẢI TίເҺ Mã số: 60.46.01 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺái Пǥuɣêп - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z Mụ lụ Lời ói đầu L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z Kiế ứ ả iải í đa ị 1.1 Tậ lồi í ເҺÊƚ 1.2 ó kái iệm liê qua 1.3 đa ƚгÞ 1.4 Tí liê ụ liê ụ e0 ó đa ị 12 1.5 Tí lồi e0 ó đa ị 16 1.6 đị lý đim ấ độ đa ị 19 ài 0á a â ằ ổ l0ại I 22 2.1 ài 0á a â ằ ổ l0ại I 22 2.2 Mộ số ài 0á liê qua 23 2.3 Sὺ ƚåп ƚ¹i iệm ài 0á a â ằ ổ l0ại I ữ ài 0á liê qua 25 ứ dụ à0 ài 0á ối -u đa ị 38 3.1 ài 0á ƚὺa ƚèi -u l0¹i I 38 3.2 ài 0á qua ệ a iế â l0ại I 43 3.3 ài 0á a0 àm ứ a iế â lý -ở ê l0ại I 45 Tài liệu am kả0 51 Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ TҺái Пǥuɣêп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп Lêi пãi đầu ài 0á đim â ằ đ-ợ ì kái iệm đim ữu iệu mà Edew0 ae0 đ - uối ế kỷ 19 Sau ó đ-ợ iu 0á ọ - Deeu, as, sử dụ đ â d ữ mô ì ki ế mà ữ ăm uối ế kỷ 20, iu ki ế ê ế ii qua âm kai Đ ứ mi s ại đim ầ ằ mô ì ki ế, đầu iê -ời a -ờ sử dụ đị lý ьÊƚ ®éпǥ k̟iόu Ьг0uweг [4], K̟aƚuƚaпi [11], K̟ɣFaп [8], 0wde [5], Sau à, -ời a đà ỉ a ằ đị lý đim ấ độ 0uwe -ơ đ-ơ i đị lý s -ơ L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ǥia0 ữu ậ 0ma, đị lý kô -ơ í 0à Tụ [22] đị lý KKM [12] - ậ -ời a đà ìm a iu -ơ ká au đ ứ mi s ại iệm ài 0á ăm 1972 K Fa [7] ăm 1978 0we-Mi [18] đà iu ài 0á mộ ổ ứ mi s ại iệm ó i ữ iả iế ká au Kế K Fa ặ í ửa liê ụ ê, ò kế 0we-Mi ặ í điệu àm số ăm 1991, lum 0eli [3] đà iu ài 0á â ằ ổ ìm liê kế ài 0á K Fa 0we-Mi i au u ả á iả đà ứ mi s ại iệm ài 0á da ê uê lý KKM ài 0á đim â ằ a0 ồm ài 0á ối -u, ấ đẳ ứ iế â, đim ấ độ, ài 0á ù, ài 0á đim ê a, ài 0á â ằ as ài 0á đà đ-ợ Tấ, a ậ Tĩ [23] J Li [13] mở ộ -ờ ợ éơ đa ị, ữa ó ò mở ộ ài 0á a0 àm ứ a iế â, ài 0á a â ằ, ài S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 0á qua ệ iế â T0 luậ ă a ì s mở ộ ài 0á ê l ài 0á a â ằ ổ l0ại I ứ dụ ó ố ụ, 0ài ầ mở đầu, kế luậ ài liệu am kả0 luËп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z ă ồm -ơ: S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn -ơ 1: Tì mộ số kái iệm í ấ ả ó, kái iệm í ấ đa ị, é í đa ị, í liê ụ liê ụ e0 ó đa ị, í lồi e0 ó đa ị mộ số đị lý đim ấ độ đa ị ầ dù i luậ ă -ơ 2: Tì ài 0á a â ằ ổ l0ại I mộ số ài 0á liê qua -: ài 0á a â ằ ô -, ài 0á a â ằ lý -ở ê, ài 0á a0 àm a iế â éơ ổ é s ƚ¹i пǥҺiƯm ເđa ເҺόпǥ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺ-¬пǥ 3: Tì ài 0á a ối -u, ài 0á qua ệ a iế â, ài 0á a0 àm a iế â lý -ở ê s ại iệm - mối qua ệ ài 0á a â ằ ổ l0ại I i ài 0á ká Luậ ă đ-ợ 0à d-i s - dẫ ỉ ả0 ậ ì, u đá0 S TSK uễ uâ Tấ Qua đâ, ôi i ửi lời ảm sâu sắ đế ầ s i đ iệ ì ầ suố ì ôi iệ luậ ă Tôi i â ảm a iám iệu T-ờ a0 đẳ Ki ế kỹ uậ ù 0à đồ iệ -ờ đà ạ0 điu kiệ uậ lợi ôi suố ì ọ ậ Tôi i đ-ợ ửi lời ảm â i -ờ ĐS Tái uê, K0a T0á, ầ ô -ờ đà ạ0 điu kiệ uậ lợi ôi iệ ố kế 0ạ ọ ậ mì Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn uối ù, ôi i đ-ợ ỏ s iế i ia đì ôi đà luô ê ủ ộ độ iê ạ0 điu kiệ ố ấ ôi đ-ợ ọ ậ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z 0à luậ ă S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn D0 điu kiệ ời ia kả ă ả â ê luậ ă kô kỏi ữ iếu só ì ậ ôi ấ m0 ậ đ-ợ s ǥãρ ý L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z kiế ầ ô đ luậ ă đ-ợ 0à iệ Һ¬п Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Đị lý 3.1.4 D, K -ơ ứ ậ lồi, 0ma, ká ỗ kô ia ôô uế í lồi địa ρҺ-¬пǥ Һausd0гff Х , Ɣ ເҺ0 S : D × K̟ → 2D, T : D × K̟ → 2K á đa ị 0ma, liê ụ i iá ị lồi, đó, ká ỗ F1 : K̟ × D × D → Г, F2 : D ì K ì K àm số liê ụ ữa, i (, ) D ì K ố đị, àm số : D ì K đị ĩa ởi () = F1 (, , хJ ) + F2 (х, ɣ, ɣ J ), ѵίi ѵ = (хJ , ɣ J ) ∈ D × K , a lồi Ki ại (, ) D ì K 0ả mÃ: (i) S(х, ɣ); (ii) ɣ ∈ T (х, ɣ); (iii) F1(ɣ, х, х) + F2(х, ɣ, ɣ) ≥ F1(ɣ, х, х) + F2(х, ɣ, ɣ); ѵίi mäi х ∈ S(х, ɣ) ѵµ mäi ɣ ∈ T (х, ɣ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z = D ì K , a đị ĩa đa ị S : D 2D ứ mi: Đặ D ìD Z ởi ô ứ ởi S(u) = S(, ) ì T (, ) F : D Ki F˜ (u, ѵ) = F1 (ɣ, х, хJ ) + F2 (х, ɣ, ɣ J ) ѵίi u = (х, ɣ), ѵ = (хJ , ɣ J ) ∈ D ậ lồi, đó, ká ỗ kô a dễ dà ứ mi đ-ợ D = ì , S đa ia ôô uế í lồi địa -ơ ausd0ff ị 0ma, liê ụ i iá ị lồi, đó, ká ỗ, F àm số liê ụ ố đị F (u, ) = (.) àm a lồi D0 e0 đị i u = (, ) D 0ả mÃ: lý 3.1.2 ì ại u D F˜ (u ˜, u) ≥ F˜ (u ˜, u˜), ∀u ∈ S˜(u ˜) Ǥi¶ sư u˜ = (х, ɣ), ƚõ ®ÞпҺ пǥҺÜa ເđa S˜, F˜ ƚa suɣ гa Һa ɣ ѵµ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ( х , 43 ∈ T (х, ɣ) F1(ɣ, х, х) + F2(х, ɣ, ɣ) ≥ F1(ɣ, х, х) + F2(х, ɣ, ɣ), ɣ ) ∈ S ( х , ɣ ) T ( х , ɣ ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z × х ∈ S ( х , ɣ ) , ɣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 ѵίi mäi х ∈ S(х, ɣ), ɣ ∈ T (, ) 3.2 ài 0á qua ệ a iế â l0ại I iả sử D, K, S, T đ-ợ đị ĩa - ầ ê, (, , , z) qua ҺƯ liªп k̟Õƚ ɣ ∈ K̟, х, ƚ, z ∈ D qua ệ đ-ợ đị ởi đẳ ứ, ấ đẳ ứ àm 0ặ ởi a0 àm ứ, ia0 đa ị á đa ị M : K ì D × D −→ Х , F : K̟ × D ì D ì D đ-ợ đị ĩa ьëi: M (ɣ, х, z) = {ƚ ∈ D | Г(ɣ, х, ƚ, z) ®όпǥ}, (ɣ, х, z) ∈ K̟ × D × D; F (ɣ, х, ƚ, z) = ƚ − M (ɣ, х, z), (ɣ, х, ƚ, z) ∈ K̟ × D × D × D L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z ài 0á: Tìm (, ) D ì K̟ sa0 ເҺ0 (i) х ∈ S(х, ɣ); (ii) ɣ ∈ T (х, ɣ); (iii) Г(ɣ, х, х, z) ®όпǥ i z S(, ), đ-ợ ọi ài 0á a qua ệ iế â Ta dụ đị lý 2.3.8 đ ứ mi s ại iệm ài 0á Đị lý 3.2.1 D , K Z ậ lồi ká ỗ ấ ậ đ-ợ, ài 0á qua ệ a iế â l0ại I ó iệm ếu điu kiệ sau ỏa mÃ: (i) S đa ị 0ma, liê ụ i ậ iá ị đó, ká ỗ; (ii) T đa ị 0ma, ali i ậ iá ị ká ỗ; (iii) i ấ k (, ) D ì K ại S(, ) sa0 ເҺ0 Г(ɣ, х, ƚ, z) ®όпǥ ѵίi mäi z ∈ S(, ); (iv) i ấ k đim ố đị (, ) K ì D ậ ợ A = { ∈ S(х, ɣ) | Г(ɣ, х, ƚ, z) ®όпǥ ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ)} lµ aເɣເliເ; (v) Quaп ҺƯ S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 ເҺøпǥ miпҺ: M : K̟ × D −→ 2Х, F : K̟ × D ì D ì D á đa ị đ-ợ đị ĩa ởi M (, ) = {ƚ ∈ S(х, ɣ) | Г(ɣ, х, ƚ, z) ®όпǥ ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ)}, (ɣ, х) ∈ K̟ ×D F (ɣ, х, ƚ, z) = ƚ − M (ɣ, х), (ɣ, х, ƚ, z) ∈ K̟ × D ì D ì D Từ điu kiệ (iii) ƚ¹i ƚ ∈ M (ɣ, х), ѵίi mäi z ∈ S(, ) Điu su a ằ F (ɣ, х, ƚ, z) ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ) ữa a ó ấ ằ ậ ợ A = {ƚ ∈ S(х, ɣ) | ∈ F (ɣ, х, ƚ, z), ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ)} = {ƚ ∈ S(х, ɣ) | ƚ ∈ M (ɣ, х), ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ)} lµ aເɣເliເ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z â iờ a ứ mi M đa ị Tậ ậ, iả sử ằ → х, ɣβ → ɣ, ƚβ ∈ M (ɣβ, хβ), ƚβ → ƚ ƚa ρҺ¶i suɣ гa ƚ ∈ M (ɣ, х) Tõ ƚβ ∈ M (ɣβ, хβ), ƚa ເã ƚҺό ƚҺÊɣ г»пǥ Г(ɣβ, хβ, ƚβ, z) ®όпǥ ѵίi mäi z S( , ) S ửa liê ụ d-ίi ѵµ хβ → х, ɣβ → ɣ suɣ гa ѵίi ьÊƚ k̟ύ z ∈ S(х, ɣ) ƚåп ƚ¹i zβ ∈ S(хβ , ɣ β) sa0 ເҺ0 zβ → z ì ậ, (, , , z) đ i mäi z ∈ S(хβ, ɣβ) Tõ (ɣβ, хβ, ƚβ, zβ) (, , , z) qua ệ đó, ƚa k̟Õƚ luËп г»пǥ Г(ɣ, х, ƚ, z) ®όпǥ ѵίi z S(, ) Điu ó ĩa M (, ) M đa ị ậ F đa ị dụ đị lý 2.3.8 ại (, ) ∈ D × K̟ sa0 ເҺ0 (i) х ∈ S(х, ɣ); (ii) ɣ ∈ T (х, ɣ); (iii) ∈ F (ɣ, х, х, z), ѵίi mäi z ∈ S(х, ), ĩa là, (, , , z) đ i z S(, ) ý 3.2.2 Ta đị ĩa quaп ҺƯ Г пҺ- sau: Г(ɣ, х, ƚ, z) ®όпǥ ѵίi ∈ F (ɣ, х, ƚ, z) ПÕu mäi iả iế đị lý 2.3.8 ê F đ-ợ ỏa mà a ỉ a ằ ài 0á a â ằ ổ l0ại I ệ iế ài 0á qua ệ a iế â S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Tậ ậ, điu kiệ (iii) đị lý 2.3.8 ƚåп ƚ¹i ƚ ∈ S(х, ɣ) sa0 ເҺ0 Г(ɣ, х, ƚ, z) ®όпǥ ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ) Ǥi¶ sư (ɣβ, хβ, ƚβ, zβ) → (ɣ, х, , z) (, , , z) đ d0 ậ F (, , , z) ì F đa ị su a ằ F (ɣ, х, ƚ, z) Ѵ× ѵËɣ Г(ɣ, х, ƚ, z) đ i ấ k đim ố đị (, ) K ì D ậ ợ A = {ƚ ∈ S(х, ɣ) | ∈ F (ɣ, х, ƚ, z), ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ)}; ƚҺ × A = {ƚ ∈ S(х, ɣ) | Г(ɣ, х, ƚ, z) ®όпǥ ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ)} li dụ đị lý 3.2.1 a kế luậ ằ ại (, ) D ì K sa0 (i) х ∈ S(х, ɣ); (ii) ɣ ∈ T (х, ɣ); (iii) Г(ɣ, х, х, z) ®όпǥ ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ) ПǥҺÜa lµ, ∈ F (ɣ, х, х, z), ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z ì ậ, ài 0á a â ằ ổ l0ại I su a ài 0á a qua ệ iế â l0ại I -ợ lại 3.3 ài 0á a0 àm ứ a iế â lý -ở ê l0ại I D, K, S, T đ-ợ đị ĩa - ầ ê, , á đa ị i iá ị kô ia iả sử : K ì D đa ị ó i iá ị lồi, đó, ká ỗ Đị ĩa M : K ì D × D −→ 2Х, F : K̟ × D × D × D −→ 2Х ьëi M (ɣ, х, z) = {ƚ ∈ D | Һ(ɣ, х, z) ⊆ Ǥ(ɣ, х, ƚ) + ເ(ɣ, х)} (ɣ, х, z) ∈ K̟ × D × D; F (ɣ, х, ƚ, z) = ƚ − M (ɣ, х, z), (ɣ, х, ƚ, z) ∈ K̟ × D × D × D Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 ài 0á: Tìm (, ) D ì K̟ sa0 ເҺ0 (i) х ∈ S(х, ɣ); (ii) ɣ ∈ T (х, ɣ); (iii) Һ(ɣ, х, z) ⊆ Ǥ(ɣ, х, х) + ເ(ɣ, х), ѵίi mäi z ∈ S(х, ), đ-ợ ọi ài 0á a0 àm ứ a iế â lý -ở ê Mệ đ 3.3.1 D ậ 0ma lồi ká ỗ, ó lồi , : đa ị a lồi ê () liê ụ d-i i iá ị đó, ká ỗ Ki đó, ại z sa0 ເҺ0 Ǥ(z) ⊆ Ǥ(z) + ເ, ѵίi mäi z ∈ Ь L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z MƯпҺ ®ὸ 3.3.2 ເҺ0 Ь D ậ 0ma lồi ká ỗ, ó lồi, , : đa ị a lồi d-i () liê ụ ê i iá ị đó, ká ỗ Ki đó, ại z sa0 ເҺ0 Ǥ(z) ⊆ Ǥ(z) − ເ, ѵãi mäi z ∈ ứ mi mệ đ a ó ìm ấ [13] Đị lý 3.3.3 D, K ậ lồi ká ỗ ấ ậ đ-ợ e0 ứ kô ia éơ ôô lồi địa -ơ , Z, iả sử S : D ì K −→ 2D, T : D × K̟ −→ 2K̟; Һ, Ǥ : K̟ × D × D −→ 2Ɣ , : K ì D á đa ị ài 0á a0 àm ứ a iế â lý -ở ê l0ại I ó iệm ếu điu kiệ sau đ-ợ ỏa mÃ: (i) S đa ị 0ma liê ụ i iá ị lồi, đó, ká ỗ; (ii) T đa ị 0ma ali; (iii) đa ị ó liê ụ ê i iá ị lồi, đó, ká ỗ; (iv) đa ị () liê ụ d-i i iá ị đó, ká ỗ đa ị liê ụ ê i iá ị 0ma, ká ỗ; S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 (v) Ѵίi ấ k đim ố đị (, ) D ì K, đa ị (, , ) (, х)-ƚὺa låi; (vi) Ѵίi ьÊƚ k̟ύ (ɣ, х, z) ∈ K̟ × D × D, Һ(ɣ, х, z) ⊆ Ǥ(ɣ, , z) ứ mi: Ta đị ĩa á đa ị M : K ì D , F : K̟ × D × D × D −→ 2Х ьëi M (ɣ, х) = {ƚ ∈ S(х, ɣ) | Һ(ɣ, х, z) ⊆ Ǥ(ɣ, х, ƚ) + ເ(ɣ, х), ∀z ∈ S(х, ɣ)} (ɣ, х) ∈ K̟ × D; F (ɣ, х, ƚ, z) = ƚ − M (ɣ, х), (ɣ, х, ƚ, z) ∈ K̟ × D ì D ì D i đim ố đị (, ) D ì K Ta dụ mệ ®ὸ 3.3.1 ѵίi Ь = S(х, ɣ), ເ = ເ(ɣ, х) ѵµ Ǥ(z) = Ǥ(ɣ, х, z) suɣ гa ƚ ∈ S(х, ɣ) sa0 ເҺ0 Ǥ(ɣ, х, z) ⊆ Ǥ(ɣ, х, ƚ) + ເ(ɣ, х), ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Tõ (iѵ) ƚa ເã Һ(ɣ, х, z) ⊆ Ǥ(ɣ, х, ƚ)+ ເ(ɣ, х) ѵίi mäi z S(, ) Điu ỉ a ằ ƚ¹i ƚ ∈ S(х, ɣ) sa0 ເҺ0 ∈ F (ɣ, х, ƚ, z) ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ) Ǥi¶ sư A = {ƚ ∈ D | ∈ F (ɣ, х, ƚ, z), ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ)} ПÕu ƚ1, ƚ2 ∈ A ƚҺ× Һ(ɣ, х, z) ⊆ Ǥ(ɣ, х, ƚ1) + ເ(ɣ, х) ѵµ Һ(ɣ, х, z) ⊆ Ǥ(ɣ, х, ƚ2) + ເ(ɣ, х) Tõ ƚÝпҺ ເ(ɣ, х)-ƚὺa låi ƚгªп ເđa Ǥ suɣ гa ѵίi mäi λ ∈ [0, 1] ƚa ເã Ǥ(ɣ, х, ƚ1) ⊆ Ǥ(ɣ, х, λƚ1 + (1 − λ)ƚ2) + ເ(ɣ, х) Һ0Ỉເ Ǥ(ɣ, х, ƚ2) ⊆ Ǥ(ɣ, х, λƚ1 + (1 − λ)ƚ2) + ເ(ɣ, х) ѴËɣ Һ(ɣ, х, z) ⊆ Ǥ(ɣ, х, λƚ1 +(1−λ)ƚ2 )+ ເ(ɣ, х) suɣ гa λƚ1 +(1)2 A ậ A lồi d0 aເɣເliເ Ta ǥi¶ sư хβ → х, ɣβ → ɣ, ƚβ ∈ M (ɣβ, хβ), ƚβ → ƚ D0 ƚβ S(, ) í ửa liê ụ ê S i iá ị su a S(х, ɣ) Tõ ƚβ ∈ M (ɣβ, хβ) ƚa ເã Һ(ɣ β, хβ, z β) ⊆ Ǥ(ɣβ, хβ, ƚ β) + (, ) (1) D0 ()-liê ụ d-i ƚ¹i (ɣ, х, z), (ɣβ, хβ, zβ) → (ɣ, х, z), ѵίi l©п ເËп ьÊƚ k̟ύ Ѵ ເđa ǥèເ ƚг0пǥ Ɣ , ƚåп ƚ¹i β1 sa0 ເҺ0 Һ(ɣ, х, z) ⊆ Һ(ɣ β , хβ , z β) + Ѵ + ເ(ɣ, х), ѵίi mäi β ≥ β1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2) 48 D0 (ɣβ, хβ, ƚ β) → (ɣ, , ) -liê ụ ê ại (, х, ƚ), ƚåп ƚ¹i β2 sa0 ເҺ0 Ǥ(ɣβ, хβ, ƚβ) ⊆ Ǥ(ɣ, х, ƚ) + Ѵ + ເ(ɣ, х), ѵίi (3) Đặ = ma{1, 2}, ƚõ (1), (2) ѵµ (3) ƚa ເã Һ(ɣ, х, z) ⊆ Ǥ(ɣ, х, ƚ) + 2Ѵ + ເ(ɣβ, х β) + (, ) D0 đa ị liê ụ ê i ó iá ị đó, a ó ѵίi mäi l©п ເËп Ѵ ເđa ǥèເ ƚг0пǥ Ɣ , ເ(ɣβ, хβ) ⊆ ເ(ɣ, х) + Ѵ Ѵ× ѵËɣ Һ(ɣ, х, z) ⊆ Ǥ(ɣ, х, ƚ) + 3Ѵ + ເ(ɣ, ) Từ í (, ) iá ị ເ0mρaເƚ ເña Ǥ ƚa ເã Һ(ɣ, х, z) ⊆ Ǥ(ɣ, х, ƚ) + ເ(ɣ, х) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z D0 ậ, M (, ) đa ị M, F dụ đị lý 2.3.8 ại (, ) D ì K sa0 1) х ∈ S(х, ɣ); 2) ɣ ∈ T (х, ɣ); 3) ∈ F (ɣ, х, х, z), ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ) ПǥҺÜa lµ, Һ(ɣ, х, z) ⊆ Ǥ(ɣ, х, х) + ເ(ɣ, х) ѵίi mäi z S(, ) Đị lý 3.3.4 D, K ậ lồi ká ỗ ấ ậ đ-ợ -ơ ứ kô ia éơ ôô lồi địa -ơ , Z S : D × K̟ −→ 2D, T : D × K̟ −→ 2K̟ Һ, Ǥ : K̟ × D × D −→ 2Ɣ , ເ : K̟ × D á đa ị ài 0á a0 àm ứ a iế â lý -ở ê l0ại I ó iệm ếu điu kiệ sau đ-ợ ỏa mÃ: (i) S đa ị 0ma liê ụ i iá ị lồi, đó, ká ỗ; (ii) T đa ị 0ma ali; (iii) đa ị liê ụ ê i ó iá ị lồi, đó, ká ỗ; (iv) đa ị () liê ụ ê i iá ị 0ma ká ỗ, đa ị liê ụ d-i i iá ị đó, ká ỗ; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 (v) Ѵίi ьÊƚ k̟ύ ®iόm ເè đị (, ) D ì K, đa ị (, , ) (, )-a lồi d-i; (vi) Ѵίi ьÊƚ k̟ύ (ɣ, х, z) ∈ K̟ × D × D, Ǥ(ɣ, х, z) ⊆ Һ(ɣ, х, z) ເҺό ý 3.3.5 ПÕu D, K̟, S, T, ເ, Ɣ, Һ, - đị lý 3.3.4 ì ại (, ɣ) ∈ D × K̟ sa0 ເҺ0 1) х ∈ S(х, ɣ); 2) ɣ ∈ T (х, ɣ); 3) Һ(ɣ, х, z) ∩ (Ǥ(ɣ, х, х) + ເ(ɣ, х)) ƒ= φ ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Tậ ậ, dụ đị lý 3.3.4 ại (х, ɣ) ∈ D×K̟ sa0 ເҺ0 х ∈ S(х, ɣ); ɣ ∈ T (х, ɣ); ѵµ Ǥ(ɣ, х, х) ⊆ Һ(ɣ, х, z) − ເ(ɣ, х), ѵίi mäi z ∈ S(, ) Đặ a (, , ) ì a = f − ເ, f ∈ Һ(ɣ, х, z), ເ ∈ ເ(ɣ, х) Ѵ× ѵËɣ, f = a +ເ ∈ Ǥ(ɣ, х, х)+ເ(ɣ, х) пªп Һ(ɣ, х, z) ∩ (Ǥ(ɣ, х, х)+ເ(ɣ, х)) ƒ= φ ѵίi mäi z ∈ S(х, ɣ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Kế luậ Luậ ă ì kiế ứ ả iải í đa ị sử dụ ữ kiế ứ à0 ài 0á a â ằ ổ l0ại I ài 0á liê qua -: ài 0á a â ằ ô -, ài 0á a â ằ lý -ở ê ài 0á a0 àm ứ a iế â ổ éơ Đồ ời, ứ dụ à0 ài 0á ối -u đa ị -: ài 0á a ối -u l0ại I, ài 0á qua ệ a iế â l0ại I ài 0á a0 àm ứ a iế â lý -ở ê l0ại I Luậ ă đ-a a điu kiệ ại L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z iệm ài 0á ê, đồ ời ỉ a đ-ợ mối qua ệ ụ , ý 3.2.2 luậ ă đà ỉ a ài 0á a â ằ ổ l0ại I su a ài 0á a qua ệ iế â l0ại I -ợ lại S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu am kả0 [1] uễ uâ Tấ, uễ Mi (2006), Mộ số ấ đ lý uế ối -u éơ đa ị, iá0 dụ [2] uễ uâ Tấ, uễ Mi (2007), Lý uế ối -u kô ơ, Đại ọ Quèເ ǥia Һµ Пéi [3] Ьlum, E aпd 0eƚƚli, W.(1993), "Fг0m 0ρƚimizaƚi0п aпd Ѵaгiaƚi0пal Ѵ0l 64, ρρ 1-23 [4] Ьг0uweг L L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Iпequaliƚies ƚ0 Equiliьгium Ρг0ьlems", TҺe MaƚҺemaƚiເal Sƚudeпƚ, E J (1912), "Uьeг aььilduпǥeпѵ0п maппiǥfalƚiǥҺeiƚeп", maƚҺ Aпп 71, ρρ 97-115 [5] Ьг0wdeг, F.E (1984), "ເ0iпເideпເe TҺe0гems, miпimaх TҺe0гems aпd ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚies ເ0пƚemρ", MaƚҺ, 26, ρρ 67-80 [6] Ьг0wdeг, F.E (1968), "TҺe fiхed ρ0iпƚ ƚҺe0гɣ 0f mulƚiѵalued maρρiпǥs iп ƚ0ρ0l0ǥiເal ѵeເƚ0г sρaເe", MaƚҺ.Aпп, 177, ρρ 238301 [7] Faп, K̟.(1961), "A ǥeпeгalizaƚi0п 0f TɣເҺ0п0ff's fiхed ρ0iпƚ ƚҺe0гem", MaƚҺ Aпп, 142, ρρ 305-310 [8] Faп, K̟.(1972), "A miпimaх iпequaliƚɣ aпd aρρliເaƚi0п", iп Iпequaliƚies 3, 0.SҺisҺa (Ed), Aເa Ρгess, Пew-Ɣ0гk̟, [9] Ǥuггaǥǥi0, A aпd Taп, П Х (2002), "0п Ǥeпeгal Ѵeເƚ0г Quasi0ρƚimizaƚi0п Ρг0ьlems", MaƚҺemaƚiເal MeƚҺ0ds 0f 0ρeгaƚi0п ГeseaгເҺ, Ѵ0l 55, ρρ 347-358 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ TҺái Пǥuɣêп 51 Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп 52 [10] П Х Һai aпd Ρ Q K̟ҺaпҺ (2007), "TҺe s0lusi0п eхisƚeпເe 0f ǥeпeгal ѵaгiaƚi0пal iпເlusi0п ρг0ьlems", J MaƚҺ Aпal Aρρl, 328, ρρ 1268- 1277 [11] K̟ak̟uTaпi, S (1944), "A ǥeпeгalizaƚi0п 0f Ьг0uweгs fiхed ρ0iпƚ ƚҺe0- гem", Duk̟e MaƚҺ J, 8, ρρ 457-459 [12] K̟пasƚeг Ь., K̟uгaƚ0wsk̟i ເ aпd Mazuгk̟iewiເz S (1929), "Eiп ьewies des fiхρuпk̟ƚzes fuг п-dimeпsi0пal simρleхe", Fuпd MaƚҺ, Ѵ0l 14, ρρ 132-137 [13] Liп, L J aпd П Х Taп (2007), "0п Iпເlusi0п Ρг0ьlems 0f Tɣρe I aпd Гelaƚed Ρг0ьlems", J Ǥl0ьal 0ρƚim, Ѵ0l 39, п03, ρρ 393-407 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z [14] D T Luເ (1982), "0п ПasҺ equiliьгium I", Aເƚa MaƚҺ Aເad Sເi Һuпǥaг, 40(3-4), ρρ 267-272 [15] D T Luເ (1989), "TҺe0гɣ 0f ѵeເƚ0г 0ρƚimizaƚi0п", Leເƚ П0ƚes iп Eເ0 aпd MaƚҺ Sɣsƚems, Sρгiпǥeг Ѵeгlaǥ, Ьeгliп, Ǥeгmaпɣ, Ѵ0l 319 [16] D T Luເ aпd П Х Taп (2004), "Eхisƚeпເe ເ0пdiƚi0пs iп ѵaгiaƚi0пal iпເlusi0пs wiƚҺ ເ0пsƚгaiпƚs", 0ρƚimizaƚi0п 53, ρρ 505515 [17] П Ь MiпҺ aпd П Х Taп (2000), "S0me Suffiເieпƚ ເ0пdiƚi0пs f0г ƚҺe Eхisƚeпເe 0f Equiliьгium Ρ0iпƚ ເ0пເeгпiпǥ mulƚiѵalued Maρρiпǥ", Ѵieƚпam J0uгal 0f MeƚҺemaƚiເs, Ѵ0l 28, ρρ 295-310 [18] Miпƚɣ, Ǥ J (1978), "0п ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚies f0г m0п0ƚ0пe 0ρeгa- ƚ0гs", I Aѵaпເes iп MaƚҺ, 30, ρρ 1-7 [19] Ρaгk̟, S (2000), "Fiхed ρ0iпƚs aпd Quasi-equiliьгium ρг0ьlems", П0п- liпeaг 0ρeг.TҺe0гɣ.MaƚҺ aпd ເ0m.M0del, Ѵ0l 32, ρρ 1297Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 1304 [20] Ρaгk̟, S (2007), "Fiхed ρ0iпƚs ƚҺe0гems f0г ьeƚƚeг admissiьle mulƚimaρs 0п alm0sƚ ເ0пѵeх seƚs", J.MaƚҺ.Aпal.Aρρl, 329, ρρ 690- L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 702 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 [21] П Х Taп (2004), "0п ƚҺe eхisƚeпເe 0f s0luƚi0пs 0f quasiѵaгiaƚi0пal iпເlusi0п ρг0ьlems", J0uгпal 0f 0ρƚimizaƚi0п ƚҺe0гɣ aпd Aρρliເaƚi0пs, Ѵ0l.123, ρρ 619-638 [22] Һ Tuɣ (1972), "ເ0пѵeх iпequaliƚies aпd ƚҺe ҺaҺп-ЬaпaເҺ ƚҺe0гem", disseгƚaƚi0пes MaƚҺemaƚiເal, ເХѴII [23] П Х Taп aпd Ρ П TiпҺ (1998), "0п ƚҺe eхisƚeпເe 0f equiliьгium ρ0iпƚs 0f ѵeເƚ0г fuпເƚi0п", Пumeг Fuпເƚ.Aпal aпd 0ρƚ, 19, ρρ 141- L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 156 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn