Lý thuyết trường và bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Thị Lan LÝ THUYẾT TRƯỜNG VÀ BÀI TỐN DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC KẺ VÀ COMPA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Thị Lan LÝ THUYẾT TRƯỜNG VÀ BÀI TỐN DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC KẺ VÀ COMPA Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Thái Nguyên - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Môc lôc Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị mở réng tr­êng 1.1 Tr­êng vµ tr­êng 1.2 Më réng tr­êng 1.3 §a thøc bÊt kh¶ quy 11 1.4 Më réng ®¹i sè 14 Dùng h×nh b»ng thước kẻ compa 17 2.1 Khái niệm điểm dựng thước kẻ compa 17 2.2 Tính dựng toạ độ điểm 31 Một điều kiện cần cho tính dựng ®­ỵc 34 2.4 Mét ®iỊu kiƯn ®đ cho tÝnh dựng 36 2.5 Những toán dựng hình cổ điển 38 PhÇn kÕt luËn 41 42 2.3 Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn giúp đỡ tận tình chu đáo PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Cô vỊ sù tËn t×nh h­íng dÉn st thêi gian làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, thầy cô Viện Toán, đà nhiệt tình giảng dạy suốt năm qua Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu tổ Toán -Tin trường PT Vùng cao Việt Bắc nơi công tác đà giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khoá học Tôi xin gửi lời cảm ơn tới anh chị em lớp cao học K2 trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đà trao đổi kinh nghiệm, động viên, khích lệ giúp đỡ suốt thời gian học tập nghiên cứu làm luận văn Xin cảm ơn gia đình đà thông cảm tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành khoá học Tác giả S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Đối với người Hylạp cổ, phép dựng hình hình học phép dựng hình mà sử dụng thước kẻ compa Trong lịch sử toán học, có ba toán cổ tiếng mà đời chúng có ảnh hưởng lớn tới phát triển toán học, đặc biệt hình học Đó toán dựng hình thước kẻ compa như: '' Cầu phương hình tròn"; '' Gấp đôi hình lập phương"; ''Chia ba góc" Nhiều nhà toán học chuyên không chuyên đà đưa nhiều phương pháp, nhiều tranh luận khác để giải toán trên, trực giác họ thấy thước kẻ compa dựng Đến tận kỷ 19, điều đà nhà toán học P L.Wantzel, Carl Lindemann chứng minh dựa lý thuyết Đại số đại Lý thuyết më réng tr­êng, Lý thut Galois Mơc ®Ých cđa ln văn trình bày lại tính dựng thước kẻ compa đà trình bày sách Lý thuyết Galois Joseph Rotman [Rot] Jean Pierre Escofier [Ese] Luận văn trình bày kiến thức Lý thuyết mở rộng trường Đại số đại, đưa khái niệm điểm dựng thước kẻ compa, điểm lại số toán dựng hình thước kẻ compa, vận dụng lý thuyết mở rộng trường để chứng minh điều kiện cần điều kiện đủ tính dựng thước kẻ compa Phần áp dụng điều kiện để giải số toán dựng hình cổ tiếng ''Cầu phương hình tròn", ''Gấp đôi hình lập phương", ''Chia ba góc", Luận văn chia làm hai chương Chương I: Kiến thức chuẩn bị mở rộng trường Trong Chương I ®Ị cËp ®Õn c¸c kiÕn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thøc lý thuyết mở rộng trường phục vụ cho Chương II khái niệm mở rộng trường, mở rộng hữu hạn, mở rộng đơn, mở rộng đại số, bậc mở rộng, đa thức bất khả quy tiêu chuẩn Eistenstein Chương II: Dựng hình thước kẻ compa Trong Chương II trình bày khái niệm điểm dựng thước kẻ compa, đưa số toán dựng hình thước kẻ compa toán: ''Tìm hình chiếu điểm đường thẳng"; ''Dựng đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước", Nội dung Chương II thông qua kiến thức mở rộng trường Chương I để trình bày điều kiện cần điều kiện đủ tính dựng thước kẻ compa, từ giải toán dựng hình cổ tiếng như: '' Cầu phương hình tròn", ''Gấp đôi hình lập phương", ''Chia ba góc" Để hoàn thành luận văn tác giả đà nỗ lực cố gắng song không tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy cô bạn đọc giúp đỡ Tác giả S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị mở rộng trường Mục đích Chương nhắc lại số kiến thức lí thuyết mở rộng trường Đại số đại khái niệm mở rộng trường, mở rộng hữu hạn, mở rộng đại số, mở rộng siêu việt, bậc mở rộng Đây kiến thức thực cần thiết phục vụ cho chứng minh kết Chương điều kiện cần, điều kiện đủ liên quan đến tính dựng thước kẻ compa Các kiến thức thuật ngữ toàn luận văn tham khảo từ sách lí thuyết trường lí thuyết Galois dành cho học viên sau đại học C R Hadlock 1978 [Had], Joseph Rotman 2001 [Rot], Jean-Pierre Escofier 2004 [Esc], Jean-Pierre Serre 1992 [Ser], Jean-PierreTignol 1987 [Tig] 1.1 Trường trường 1.1.1 Định nghĩa Trường một tập hợp T trang bị hai phép toán cộng nhân thỏa mÃn tính chất sâu đây: (i) T nhóm giao hoán với phép cộng: Phép cộng có tính chất giao hoán, kết hợp; với T có phần tử không (tồn ∈ T cho + a = a a T ); phần tử T có đối xứng (với a T , tồn −a ∈ T cho a + −a = 0) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) T vị nhóm giao hoán với phép nhân: Phép nhân có tính chất giao hoán, kết hợp; T có phần tử đơn vị (tồn T cho 1a = a víi a ∈ T ) (iii) PhÐp nh©n phân phối hai phía phép cộng (iv) Mỗi phần tử khác tồn a1 T có nghịch đảo (với 6= a T , ∈ T cho aa−1 = 1) 1.1.2 VÝ dụ (i) Tập Z số nguyên với phép cộng nhân thông thường không trường Các tập Q, R C (với phép cộng nhân thông thường) ®Ịu lµ tr­êng (ii) TËp Z6 víi phÐp céng vµ nhân số nguyên modunlo không trường Z6 không khả nghịch Tập Z7 với phép cộng nhân số nguyên modunlo trường Một cách tổng quát, Zn trường n số nguyên tố (iii) Tập hỵp Q[ 2] = {a + b | a, b Q} đóng kín với phép cộng nhân thông thường, với hai phép toán này, Q[ 2] lµ mét tr­êng √ √ √ a b Chó ý r»ng nÕu 6= a + b Q[ 2] nghịch a 2b2 a2 2b2 đảo a + b 1.1.3 Định nghĩa Cho trường T lµ mét tr­êng Mét tËp L cđa T gọi T phép toán cộng nhân đóng kín L với hai phép toán Rõ ràng trường L làm thành trường Z không trường trường Q Trường Q lµ tr­êng R vµ tr­êng C Chó ý r»ng giao cđa mét hä t ý nh÷ng tr­êng cđa mét tr­êng lµ tr­êng cđa tr­êng cđa T T Vì thế, T trường giao tất T trường bé T Trường gọi trường nguyên tố T Vì Q trường thực nào, nên Q S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lµ trường nguyên tố trường 1.2 Q Rõ ràng Q trường nguyên tố trường R C Mở rộng trường 1.2.1 Định nghĩa Cho K trường Trường L gọi mở rộng trường K nÕu K lµ tr­êng cđa L Trong tr­êng hợp ta kí hiệu L/K ta gọi mở rộng trường Sau số ví dụ đơn giản mở rộng trường (i) Tr­êng R vµ C lµ hai më réng cđa tr­êng Q √ √ (ii) Tr­êng Q[ 2] = {a + b | a, b ∈ Q} lµ më réng Q 1.2.2 Định nghĩa Cho cộng ánh xạ K trường Một tập V có trang bị phép K ì V V (gọi tích vô hướng) gọi không gian véc tơ trường K hay K -không gian vec tơ (V, +) nhóm giao hoán tích vô hướng thoả mÃn tính chất sau đây: (i) Phân phối: (ii) Kết hợp: (iii) Unita: với (x + y)α = xα + yα vµ x(α + β) = xα + xβ; x(yα) = (xy)α; 1α = α x, y ∈ K vµ mäi α, β ∈ V Mét sè vÝ dơ vỊ kh«ng gian vÐc tơ thường gặp là: (i) Tập tỉ R số thực với phép cộng phép nhân số thực với số hữu Q-không gian véc tơ (ii) Tập sè phøc mét C víi phÐp céng sè phøc vµ phép nhân số phức C-không gian véc tơ Trong C với phép cộng số phức nhân số phức với số thực Chú ý R-không gian véc tơ K trường L L có cấu trúc tự nhiên không gian véc tơ K Việc nghiên cứu chiều không gian véc tơ cần thiết cho việc trình bày kết phần sau cđa ln Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn văn Trước trình bày kết chiều, nhắc lại số khái niệm tính chất không gian véc tơ 1.2.3 Định nghĩa Giả sử (i) Một hệ véc tơ phần tử V K -không gian véc tơ {vi }iI V gäi lµ mét hƯ sinh cđa V nÕu x ∈ V biểu thị tuyến tính theo hệ đó, tức tồn hữu hạn phần tử vi1 , , vik cđa hƯ cđa K cho x = tử {vi }iI hữu hạn phần tử ai1 , , aik Pk j=1 aij vij NÕu V cã mét hÖ sinh gồm hữu hạn phần V gọi K -không gian hữu hạn sinh {vi }iI V gọi hệ độc lập tuyến Pk tính từ ràng buộc tuyến tính hệ j=1 aij vij = ta ®Ịu cã (ii) Mét hƯ vÐc t¬ aij = víi mäi j = 1, , k (iii) Mét hƯ vÐc t¬ V gọi sở V hệ sinh độc lập tuyến tính Chó ý r»ng mét hƯ vÐc t¬ cđa vÐc t¬ V biểu thị tuyến tính cách qua hệ Ta sở sở K -không gian véc tơ V 6= có V có lực lượng Lực lượng chung gọi số chiều sở gồm V sở V V kí hiệu dimK V Đặc biệt, V có n phần tử sở khác V có n phần tử ta có dimK V = n 1.2.4 Định nghĩa Cho (i) Số chiều L më cđa tr­êng K L, xÐt nh­ lµ mét K -không gian véc tơ, gọi bậc L K kí hiệu [L : K] (ii) Mở rộng L/K mở rộng hữu hạn [L : K] hữu hạn (iii) Mở rộng có bậc gọi mở rộng bậc Sau số ví dụ bậc më réng tr­êng (i) C lµ më réng bËc R với sở {1, i}; S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Hình vẽ 2.1.15 2.1.16 Bài toán : Cho trước đoạn thẳng có độ dài cho thêm đoạn thẳng khác có độ dài x y HÃy dựng đoạn thẳng có độ dài x.y Cách dựng: Cho đường thẳng d, lÊy ®iĨm t ý A, B ∈ d cho AB = Dựng đoạn thẳng có độ dài x.y , xuất phát từ tập ®iĨm A, B víi x, y lµ ®é dµi cđa đoạn thẳng Bước 1: Dựng tam giác ABC vuông B với AB = 1, BC = x (áp dụng Bài toán 2.1.14) Bước 2: Kéo dài đoạn thẳng AB dựng điểm D cho AD Bước 3: Dựng đường thẳng d0 vuông góc với Bước 4: Kéo dài đường thẳng = y d điểm D AC cắt d0 điểm E B­íc 4: TÝnh to¸n ta cã: 4ABC ∼ 4ADE ⇔ DE y DE AD = ⇔ = ⇔ DE = x.y AB BC x Nh­ vËy ta ®· dùng đoạn thẳng DE = x.y thoả mÃn yêu cầu toán 2.1.17 Bài toán : Cho trước đoạn thẳng có độ dài đoạn thẳng S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Hình vẽ 2.1.16 có độ dài z HÃy dựng đoạn thẳng có độ dài 1/z Cách dựng: Cho đường thẳng d, lấy điểm tuú ý A, B ∈ d cho AB = Dựng đoạn thẳng có độ dài 1/z , xuất phát từ tập điểm A, B với z độ dài đoạn thẳng Bài toán dựng ngược lại với Bài toán 2.1.16 Bước 1: Dựng tam giác ABC vuông B với AB = 1, BC = z (áp dụng Bài toán 2.1.14) Bước 2: Tìm điểm D BC cho CD = Bước 3: Dựng đường thẳng điểm d0 vuông góc với BC điểm D cắt AC E Bước 4: Kéo dài đường thẳng AC cắt d0 điểm E Bước 4: Tính toán ta cã CD ED ED = ⇔ = ⇔ ED = 1/z AB BC z Như đoạn thẳng ED = 1/z thoả mÃn yêu cầu toán 4ABC 4EDC 2.1.18 : Cho trước đoạn thẳng có độ dài HÃy dựng đoạn Bài toán thẳng có độ dài m/n với m, n số nguyên dương tuỳ ý Cách dựng: Cho đường thẳng d, lÊy ®iĨm t ý A, B ∈ d cho AB = B­íc 1: Dùng hai đoạn thẳng có độ dài m n (¸p Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 H×nh vÏ 2.1.17 dơng Bài toán 2.1.11) Bước 2: Sử dụng kết Bài toán 2.1.16 Bài toán 2.1.17, dựng đoạn thẳng có độ dài Bước 3: Cho x/y với x, y lµ sè cho tr­íc x = m y = n ta có kết toán 2.1.19 Bài toán : Dựng đa giác 12 cạnh Cách dựng: Bước 1: Lấy điểm A tuỳ ý mặt phẳng Bước 2: Dựng đường tròn (C) tâm A bán kính R tuỳ ý Bước 3: Lấy ngẫu nhiên điểm Bước 4: Dựng đường tròn B (C) C(B, AB) cắt đường tròn (C) điểm Bước 5: Tiếp tục dựng Bước hai điểm này, cuối ta thu điểm khác đường tròn (C) có khoảng cách Bước 6: Tìm trung điểm cạnh kề dựng đường thẳng qua trung điểm tâm A cắt đường tròn (C) điểm Như ta có 12 điểm (C) có khoảng cách Ta có đa giác 12 cạnh S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Hình vẽ 2.1.19 2.2 Tính dựng toạ độ điểm 2.2.1 Bổ đề Cho E tập hợp điểm mặt phẳng gồm điểm O A Cho B điểm thoả mÃn R = OAB hệ toạ độ trực chuÈn Cho K = Q(F ) lµ më réng tr­êng cđa Q sinh sëi tËp F , ®ã F R tập số thực hoành độ tung độ điểm tập E với hệ toạ độ R Khi i) Mọi đường thẳng LE có phương trình hệ toạ độ R d¹ng ax + by + c = víi a, b, c K; ii) Mọi đường tròn tập CE có phương trình hệ toạ độ R dạng x2 + y + ax + by + c = víi a, b, c ∈ K Chøng minh (i) Giả sử d LE Khi có điểm phân biệt M, N E cho d = L(M, N ) Gọi toạ độ R M N (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) Khi ®ã L(M, N ) có phương trình (x x1 )(y2 y1 ) − (y − y1 )(x2 − x1 ) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Do d có phương tr×nh (y2 − y1 )x + (x1 − x2 )y + (x2 − x1 )y1 + (y1 − y2 )x1 = Chó ý r»ng x1 , x2 , y1 , y2 với F Vì phương trình d lµ ax + by + c = a = (y2 − y1 ), b = (x1 − x2 ), c = (x2 − x1 )y1 + (y1 − y2 )x1 phần tử thuộc K ii) Xét đường tròn Hơn nữa, C(I, M N ) ∈ CE Gi¶ sư M, N, I cã toạ độ R (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x0 , y0 ) Khi ®ã xi , yi ∈ F víi mäi i = 0, 1, C(I, M N ) có phương trình (x x0 )2 + (y − y0 )2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 Tõ ®ã ta biến đổi phương trình 2.2.2 Mệnh đề C(I, M N ) dạng cần tìm. Giữ nguyên giả thiết kí hiệu Bổ đề 2.2.1 Giả sử P điểm mặt phẳng với toạ độ (p, q) R dựng qua mét b­íc tõ tËp E Khi ®ã tr­êng më réng K(p, q) cđa K hc b»ng víi K mở rộng bậc K Chứng minh Vì P dựng qua môt bước từ tập E nên có khả năng: 1) P giao hai đường thẳng LE Theo Bổ đề 2.2.1 ta giả thiết đường thẳng có phương trình: ax + by + c = 0, a0 x + b0 y + c0 = 0, víi a, a0 , b, b0 , c, c0 K Do hai đường thẳng cắt nên áp dụng định thức Cramer ta có ab0 a0 b 6= nghiệm hệ hai phương trình toạ độ P Từ công thức nghiệm hệ phương trình tuyến tính ta có ac0 − a0 c cb − c0 b vµ q = Do p, q K Vì K(p, q) = K p= ab − a0 b ab0 − a0 b 2) P lµ giao cđa mét đường thẳng LE đường tròn CE Theo Bổ đề 2.2.1 ta giả thiết đường thẳng đường tròn S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 có phương trình: ax + by + c = 0, x2 + y + a0 x + b0 y + c0 = 0, víi a, a0 , b, b0 , c, c0 ∈ K Chó ý nghiệm hệ hai phương trình toạ độ P Vì ta có hệ ap + bq + c = 0, p2 + q + a0 p + b0 q + c0 = Nếu a 6= từ đẳng thức thứ nhÊt ta cã p = −(bq + c)/a Do ®ã p ∈ K(q), víi K(q) lµ më réng cđa K cách ghép thêm phần tử q Thay p = (bq + c)/a vào đẳng thức thứ hai ta có ( bq + c bq + c ) + q − a0 + b0 q + c0 = a a Biến đổi ta  b2 a2  +1 q +  2bc − a0 ab + b0 a2  a2 c2 − a0 ac + c0 a2 q+ = a2 b2 2bc − a0 ab + b0 a2 V× a, b, c, a , b , c ∈ K vµ K lµ tr­êng nªn + 1, , a a2 c2 − a0 ac + c0 a2 ®Ịu thc K Chøng tá q nghiệm đa thức a2 bậc hai thuộc K[X] Nếu đa thức bậc hai có nghiệm K 0 nghiệm lại thuộc K , trường hợp ta có q ∈ K Do ®ã K(p, q) = K NÕu đa thức bậc hai nghiệm K bất khả quy bậc K , ®ã theo MƯnh ®Ị 1.3.6 ta suy K(q) lµ më réng K NÕu a = b 6= lập luận tương tự ta có kết 3) P giao hai đường tròn (CE ) Theo Bổ đề 2.2.1 ta cã thĨ Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 giả thiết phương trình hai đường tròn x2 + y + ax + by + c = 0, x2 + y + a0 x + b0 y + c0 = 0, víi a, a0 , b, b0 , c, c0 K Bằng cách trừ phương trình thứ cho phương trình thứ hai, ta suy toạ độ P nghiệm hệ phương trình sau x2 + y + ax + by + c = 0, (a − a0 )x + (b − b0 )y + c − c0 = Như ta áp dụng Trường hợp ®Ĩ suy r»ng K(p, q) = K hc K(p, q)/K lµ më réng bËc 2.2.3 VÝ dơ Cho tËp E = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)} Khi tập hoành độ tung độ điểm E F = {0, 1} Vì thÕ K = Q(F ) = Q √ XÐt ®iĨm P (1, 2) Hoµnh ®é cđa P lµ p = 1, tung độ P q = √ Ta cã √ √ 3 K(p, q) = Q(1, 2) = Q( 2) √ ®a thøc bất khả quy x3 Do ®ã ¸p dơng MƯnh ®Ị 1.3.6 ta suy [K(p, q) : K] = Bây áp dụng tiêu chuẩn Mệnh đề 2.2.2 ta suy P dựng qua bước từ E Mặc dù điểm P (1, 2) không dựng qua mét b­íc tõ E , nh­ng liƯu √ ®iĨm P (1, 2) cã thĨ dùng ®­ỵc (qua nhiỊu bước) từ tập E hay không? Để trả lời cho câu hỏi xem xét điều kiện sau tính dựng 2.3 Một điều kiện cần cho tính dựng 2.3.1 Mệnh đề Giữ nguyên kí hiệu Bổ đề 2.2.1 Với ®iĨm P (p, q) dùng ®­ỵc tõ tËp E , phát biểu sau S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 (i) Có dÃy hữu hạn trường (Ki )0im , trường Ki mở rộng bậc cđa mét tr­êng Ki−1 , víi K0 = K vµ Km ⊂ R vµ p, q ∈ Km ; (ii) p q phần tử đại số K ; bậc chúng K luỹ thõa cđa Chøng minh Chóng ta chøng minh (i), (ii) cách sử dụng phương pháp quy nạp theo Nếu n, n số bước để dựng ®iĨm P n = th× p, q ∈ K nên (i), (ii) hiển nhiên Giả thiết rằng, điểm Q dựng qua n bước từ tập E qua dÃy điểm mà (Qj )1jn có dÃy hữu hạn tăng trường (Ks )0sr , K0 = K Kr R, trường mở rộng bậc trường đứng trước toạ độ chứng minh Qj , ≤ j ≤ n, n»m Kr Ta P điểm dựng qua n + bước từ tập E (i) (ii) thoả mÃn Thật vậy, tồn dÃy điểm Pi , ≤ i ≤ n + mµ Pn+1 = P vµ víi i = 0, , n, Pi+1 điểm dựng qua bước từ tập E{Pj ; j i}.Vì Pn điểm dựng qua n bước nên theo giả thiết quy nạp, tồn dÃy hữu hạn tăng trường (Ks )0sr mà K0 = K Kr R, trường mét më réng bËc cđa tr­êng ®øng ë trước toạ độ Pi , i ≤ n, ®Ịu n»m Kr Ta cã ®iĨm P điểm dựng qua bước từ tập E ∪{Pi ; i ≤ n} Do ®ã theo MƯnh ®Ị 2.2.2, Kr (p, q) = Kr hcKr (p, q) lµ më réng bËc cđa cã d·y Kr Do Kr (p, q) = Kr ta K = K0 ⊂ K1 ⊂ ⊂ Kr tho¶ m·n (i), nÕu Kr (p, q) lµ më réng bËc cđa Kr th× ta cã d·y K = K0 ⊂ K1 ⊂ ⊂ Kr ⊂ Kr+1 = Kr (p, q) dÃy thoả mÃn (i) Vì ta có [Ki : Ki−1 ] = víi mäi i nªn ¸p dơng MƯnh ®Ị 1.2.5 suy [Ki : K] = 2i Công thức chứng tỏ bậc p q K phải S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 ­íc cđa 2i víi mét vµ i Vì bậc p q K luỹ thừa p q đại sè trªn K  2.3.2 VÝ dơ XÐt tËp E = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}, ta cã tập F = {0, 1} tập hoành độ, tung độ điểm tập E K = Q(F ) = Q √ √ P (1, 2) víi hoành độ p = tung độ q = 2, ta cã √ √ √ K(p, q) = Q(1, 2) = Q( 2) Đa thức bất khả quy x2 1) Xét điểm Do ¸p dơng MƯnh ®Ị 1.3.6 ta cã [K(p, q) : K] = 2, áp dụng tiêu chuẩn Mệnh ®Ị 2.2.2 ta cã ®iĨm P (1, 2) dùng ®­ỵc qua mét b­íc tõ tËp E √ √ √ √ √ Q( 2, 3) Ta cã K = Q ⊂ Q( 2) ⊂ Q( 2, 3) vµ √ √ √ √ [Q( 2) : Q] = 2, [Q( 2, 3) : Q( 2)] = dÃy trường 2) Xét điểm trường mở rộng bậc trường đứng trước thoả mÃn √ √ √ √ √ 2, ∈ Q( 2, 3) Dễ thấy số đại số K bậc chúng luỹ thừa Theo Mệnh đề 2.3.1, điểm Q( 2, 3) dựng từ E 3) Theo tiêu chuẩn Mệnh đề 2.3.1 ta có điểm L(1, (qua nhiỊu b­íc) tõ tËp 2.4 √ 2) kh«ng thĨ dùng E Mét ®iỊu kiƯn ®đ cho tÝnh dùng 2.4.1 Mệnh đề Giữ nguyên kí hiệu Bổ đề 2.2.1 (i) Mọi điểm với toạ độ K = Q(F ) điểm dựng từ tập E (ii) Mọi điểm mà toạ độ chóng n»m mét më réng bËc cđa K điểm dựng từ tập E (iii) Mỗi điểm P có toạ độ (p, q) mà có dÃy hữu hạn tăng trường (Ki )0im trường mở rộng bậc trường đứng tr­íc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 víi K0 = K, Km R p, q Km , điểm P điểm dựng từ E Chứng minh (i) Cho ®iĨm P (p, q) víi p, q ∈ K Ta sÏ chøng tá r»ng ®iĨm P (p, q) điểm dựng từ tập E Để chứng minh P (p, q) dựng trước hết ta chứng tỏ điểm (p, 0) (0, q) dựng từ E Vì p K K = Q(F ) nên theo ý sau Định nghĩa 1.2.9, p phần tử có dạng f (a1 , , ak )/g(a1 , , ak ), víi k N , f g đa thức Q[X1 , , Xk ], g(a1 , , ak ) 6= vµ a1 , , ak ∈ F Để dựng điểm P (p, 0), ta ý r»ng a1 , , ak ∈ F nªn a1 , , ak phần tử dựng từ E , f, g đa thức có hệ số Q nên hệ số dựng tõ E , ta cã f (a1 , , ak ) g(a1 , , ak ) biểu thức gồm tổ hợp phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai bậc hai hệ số Q a1 , , ak nên áp dụng toán từ Bài toán 2.1.11 đến Bài toán 2.1.18, f (a1 , , ak ), g(a1 , , ak ) vµ f (a1 , , ak )/g(a1 , , ak ) dựng từ E Chứng tỏ p phần tử dựng điểm P (p, 0) dựng từ E Tương tự điểm (0, q) dựng (ii) Cho p phần tử đại số có bậc K Khi p nghiệm đa thức bất khả quy bËc hai víi f víi hƯ sè trªn K NÕu f (X) = X + aX + b a, b ∈ K th× √ a2 − 4b ; p= Đặt c = a2 4b, để dựng điểm (p, 0) ta phải dựng ®iĨm √ (1, c) víi ®iĨm (c, 0) ®· biÕt −a ± Tr­íc hÕt ta dùng ®iĨm C(c + 1, 0) trung điểm M OC Dựng điểm D giao đường tròn tâm M bán kính M O với đường thẳng vuông góc với OA A Khi ta có D(1, c). iii) Dễ dàng suy từ kết 2.4.2 VÝ dô XÐt tËp  E = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}, ®ã F = {0, 1} lµ tËp Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Hình 2.4.1 hoành ®é, tung ®é c¸c ®iĨm cđa i) Ta thÊy E K = Q(F ) = Q(0, 1) = Q Râ ràng điểm có toạ độ hữu tỷ dựng ®­ỵc tõ tËp E (theo MƯnh ®Ị 2.4.1 (i)) √ ii) DƠ thÊy Q( 2) lµ mét më réng bËc Q nên điểm có toạ độ Q( 2) dựng từ E (theo Mệnh đề 2.4.1 (ii)) 2.5 Những toán dựng hình cổ điển Có toán cổ dựng hình thước kẻ compa tiếng lịch sử toán học Hy Lạp quan trọng phát triển hình học Đó toán "Cầu phương hình tròn", "Gấp đôi hình lập phương", "Chia ba góc" Ngoài nhiều toán khác Nhiều nhà toán học tên tuổi đà nghiên cứu cách để giải toán Cho ®Õn thÕ kû 19 víi quan ®iĨm cđa ®¹i sè đại lý thuyết trường lý thuyết mở rộng trường, nhà toán học thu chứng minh xác cho toán Sau số toán dựng hình cổ điển tiếng lịch sử toán học S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 2.5.1 Bài toán (Cầu phương hình tròn.) Dùng thước kẻ compa, dựng hình vuông có diện tích với hình tròn có bán kính Phép cầu phương hinh tròn hay thường gọi "Cầu phương hình tròn", toán cổ Hy Lạp tiếng toán học, đặc biệt hình học Bài toán đà ghi lại niên hiệu phát minh hình học nan giải chiếm giữ ngành toán học nhiều kỷ Nhiều nhà toán học đà cố gắng nghiên cứu đưa giải pháp để giải toán Cho đến tận năm 1882 có chứng minh xác toán dựng thước kẻ compa Bởi toán đòi hỏi phải có giải pháp để dựng số tế số số siêu việt mà thực Q (trong [Had], p.47), số đại số dựng thước kẻ compa Số số siêu việt đà nhà toán học C Lindemann chứng minh vào năm 1882 Vì số siêu việt Q không nằm mở rộng hữu hạn Q : Không thể "Cầu phương hình tròn" thước kẻ compa Kết luận 2.5.2 Bài toán (Gấp đôi hình lập phương) Dùng thước kẻ compa, dựng hình lập phương tích lần thể tích hình lập phương với cạnh Để giải toán này, ta cần dựng đoạn thẳng có độ dµi lµ √ vµ chØ sư dơng th­íc kẻ compa Điều tương đương với việc dựng ( 2, 0) hệ toạ độ trực chuẩn R Đa thức bất khả quy 3 x3 2, ¸p dơng MƯnh ®Ị 1.3.6 ta suy [Q[ 2] : Q] = 3, điểm có toạ độ S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 là l thõa cđa Sư dơng tiªu chn cđa √ Mệnh đề 2.2.2 điểm ( 2, 0) dựng thước kẻ bậc compa (Đây kết đà P L Wantzel chứng minh vào năm 1837.) Kết luận : Không thể "Gấp đôi hình lập phương" thước kẻ compa 2.5.3 Bài toán: (Chia ba góc tuỳ ý) Cho trước góc, dùng thước kẻ compa để chia ba góc đà cho Để giải toán này, ta cần dựng góc biết trước góc Điều tương đương với việc dựng điểm có toạ độ (cos , sin ) đường tròn đơn vị mặt phẳng toạ độ có toạ độ (cos 3, sin 3) Ta có công thøc: cđa ®a thøc cos 3θ = cos3 θ cos , cos nghiƯm 4X − 3X − cos 3θ Nh×n chung đa thức bất khả quy dựng ®iĨm VÝ dơ R ®· biÕt tr­íc ®iĨm Q[cos 3] Vì (cos , sin ) Không thÓ chia ba gãc 1200 ThËt vËy, tr­êng hợp ta có = 400 4X −3X −cos 1200 = 4X − 3X − 1/2 DƠ thÊy r»ng ®a thøc 8X − 6X + bất khả quy Q (vì nghiệm hữu tỉ) Vì [Q(cos ) : Q] = 3, bậc cos luỹ thừa nên cos dựng Suy (cos , sin ) dựng Kết P L Wantzel chứng minh vào năm 1837 : Không thể "Chia ba góc tuỳ ý" thước kẻ compa Kết luận S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Phần kết luận Trong luận văn đà hoàn thành công việc sau: - Nhắc l¹i mét sè kiÕn thøc lý thuyÕt tr­êng, lý thuyết mở rộng trường Đại số đại khái niệm mở rộng trường, mở rộng đơn, mở rộng đại số, khái niệm phần tử đại số, siêu việt Nhắc lại kiến thức đa thức bất khả quy, - Trình bày khái niệm điểm dựng thước kẻ compa, đưa ví dụ minh hoạ cho khái niệm toán dựng "Tìm hình chiếu điểm đường thẳng, dựng đường phân giác góc, dựng đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác, - Trình bày điều kiện cần điều kiện đủ tính dựng thước kẻ compa - Trình bày ứng dụng điều kiện vào toán dựng hình cổ điển như: "Cầu phương đường tròn", "gấp đôi hình lập phương", "Chia ba mét gãc", Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Tµi liƯu tham kh¶o [1] Robert Ash, Abstract Algebra - The Basic Graduate Year, Dover, New York 2002 [2] Jean-Pierre Escofier, Galois Theory, Springer-Verlag New York (2004), Third Edition [3] C R Hadlock, Field Theory and its Classical Problems, Math Assn Amer., 1978 [4] Joseph Rotman, Galois Theory, Springer-Verlag New York (2001), Second Edition [5] Jean-Pierre Serre, Topics in Galois Theory, Jones and Bartlett, Boston Londres, 1992 [6] Jean-PierreTignol, Galois's Theory of Algebraic Equations, Longman Scientific and Technical, 1987 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn