BÀI TẬP LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐỊA VẬT LÝ

Bài Tính hệ số Lamer, véctơ sở cosin phương hệ tọa độ trụ, cầu Hệ số Lamer hệ tọa độ thay đổi khoảng cách theo phương trục tọa độ tọa độ thay đổi đơn vị Cách khác: Hệ số Lamer xác định vận tốc biến thiên bán kính vecto dọc theo đường tọa độ qi r ∂r Hi = ∂qi r r ∂r ei = H i ∂qi r r r r r r ∂r i ( ek i ) = cos ( ek i ) = H ∂q k k Bài Tính hệ số Lamer, véctơ sở cosin phương hệ tọa độ trụ, cầu Cách tính: Dựa vào biểu thức liên hệ tọa độ Descartes hệ tọa độ xét: 2  ∂x   ∂y   ∂z  Hk =  ÷ + ÷ + ÷ ∂ q ∂ q ∂ q  k  k  k r  ∂r r  ∂x r r r r ( ek i ) = cos ( ek i ) = H  ∂q i ÷ = H ∂q k  k k k  r ∂r  r ∂x r ∂y r ∂z  r ek = = +j +k i ÷ H k ∂qk H k  ∂qk ∂qk ∂qk  Hệ tọa độ Descartes: Hệ số Lamer: x = x  y = y z = z  2  ∂x   ∂y   ∂z  Hk =  ÷ + ÷ + ÷ ∂ q ∂ q ∂ q  k  k  k 2 2 2 2  ∂x   ∂y   ∂z  Hx =  ÷ +  ÷ +  ÷  ∂x   ∂x   ∂x   ∂x   ∂y   ∂z  Hy =  ÷ + ÷ + ÷  ∂y   ∂y   ∂y   ∂x   ∂y   ∂z  Hz =  ÷ +  ÷ +  ÷  ∂z   ∂z   ∂z  Hệ tọa độ Descartes: Vecto sở: x = x  y = y z = z  r ∂r  r ∂x r ∂y r ∂z  r ek = = +j +k i ÷ H k ∂qk H k  ∂qk ∂qk ∂qk  r ∂r  r ∂x r ex = = + i H x ∂x H x  ∂x r ∂y r ∂z  j +k ÷ ∂x ∂x  r ∂r  r ∂x r ey = = + i H y ∂y H y  ∂y r ∂y r ∂z  j +k ÷ ∂y ∂y  r ∂r  r ∂x r ez = = + i H z ∂z H z  ∂z r ∂y r ∂z  j +k ÷ ∂z ∂z  Hệ tọa độ Descartes: x = x  y = y z = z  r r r  ∂r r r e i = c os e i = ( k ) H  ∂q Cosin phương: ( k ) k  k r  ∂x i ÷=  H k ∂qk r  ∂r r  ∂x r r r r ( ex i ) = cos ( ex i ) = H  ∂x i ÷ = H ∂x = x x rr r r  ∂r  ∂x r r e i = c os e i = ( y ) ( y ) H  ∂y i ÷ = H ∂y =  y  y rr r r  ∂r  ∂x r r e i = c os e i = ( z ) ( z ) H  ∂z i ÷ = H ∂z = z z Hệ tọa độ trụ:  x = rcosϕ   y = rsinϕ z = z  Hệ số Lamer: 2  ∂x   ∂y   ∂z  Hk =  ÷ + ÷ + ÷ ∂ q ∂ q ∂ q  k  k  k 2  ∂x   ∂y   ∂z  Hr =  ÷ +  ÷ +  ÷  ∂r   ∂r   ∂r  2  ∂x   ∂y   ∂z  Hϕ =  ÷ + ÷ + ÷  ∂ϕ   ∂ϕ   ∂ϕ  2  ∂x   ∂y   ∂z  Hz =  ÷ +  ÷ +  ÷  ∂z   ∂z   ∂z  Hệ tọa độ trụ: Vecto sở:  x = rcosϕ   y = rsinϕ z = z  r ∂r  r ∂x r ∂y r ∂z  r ek = = +j +k i ÷ H k ∂qk H k  ∂qk ∂qk ∂qk  r ∂r r er = = H r ∂r H r  r ∂x + i  ∂r r ∂y r ∂z  j +k ÷ ∂r ∂r  r ∂r  r ∂x r ∂y r ∂z  r eϕ = = +j +k i ÷ Hϕ ∂ϕ H ϕ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ  r ∂r  r ∂x r ez = = + i H z ∂z H z  ∂z r ∂y r ∂z  j +k ÷ ∂z ∂z  Cosin phương: z rr r r  ∂r  ∂x r r e i = c os e i = ( r ) ( r ) H  ∂r i ÷ = H ∂r = cosϕ r r ez r eφ er z r  ∂r r  ∂x r r r r ( eϕ i ) = cos ( eϕ i ) = H  ∂ϕ i ÷ = H ∂ϕ = −r sin ϕ  ϕ  ϕ x r  ∂r r  ∂x r r r r ( ez i ) = cos ( ez i ) = H  ∂z i ÷ = H ∂z = z z O y φ Hệ tọa độ cầu: x = rsinθ cosϕ                 H r = y = rsinθ sinϕ                 H θ = r z = rcosθ                        H ϕ = rsinθ r  ∂U r ∂U r ∂U r  f = − gradU = −  er + eϕ + ez ÷ r ∂ϕ ∂z   ∂r λ ∂ ln r r λ r =er = er 2π ∂r 2π r ur  ∂ (rf ) ∂fϕ ∂f  r div f =  + + z=0 r  ∂r ∂ϕ ∂z  ur er ur ∂ rot f = r ∂r fr uu r r eϕ ur ez ∂ ∂ϕ rfϕ ∂ =0 ∂z fz Khi r=0 trường có nguồn khơng có xốy: Coi V hình trụ có bán kính đáy r: uruu r r 1 λ divf (0) = lim Ò f ds = lim Ò f r ds = lim 2π rh v → v ∫∫ v → v ∫∫ r → hπ r 2π r Stru Stru ( = lim r →0 r rotf (0) = ) λ → ∞ π r2 rr λ Q=Ò ∫∫S fds = Ò ∫∫S f r ds = 2π r 2π rh = λ h Bài Cho hàm vecto: + y2 r erz A= ln 4π r a Nhận xét tính đối xứng b Tìm mật độ nguồn mật độ xốy r r divA, rotA r2 = x2 Bài Cho hàm vô hướng: ∞ u (r ) = ∫ λ dt f (t ) f (t ) = (a + t )(b + t )(c + t ) a Nhận xét tính đối xứng b Tính trường: r f = − gradu Bài Cho hàm vô hướng: ∞ u (r ) = ∫ λ dt f (t ) f (t ) = (a + t )(b + t )(c + t ) a Nhận xét tính đối xứng b Tính trường: r f = − gradu BÀI TẬP CHƯƠNG III A Lý thuyết Phương trình trường  ur q( P) div f ( M ) =  0  r  u r   j ( P)  rot f ( M ) =   0  M ≡ P∈v M ≠ P∈ v M ≡ P∈v M ≠ P∈ v Phương trình Poison – Laplace Trường dạng lớp nguồn gây −q( P) ∆U ( M ) =  0 M≡P M≠P Trường ống xoáy gây phương trình Poisson phương trình Laplace r ur − j ( P ) ∆ A( M ) =  0 M ≡ P∈v M≠P∈v BÀI TẬP CHƯƠNG III A Lý thuyết Hàm - Nghiệm phương trình P-L U (M ) = 4π q( P) dV − ∫∫∫ r 4π ∑Vi P∈V  ∂   ∂U ( P ')  U ( P ')  ÷−  dS Ị ∫∫ ∂ n r ' r ' ∂ n    S [V]  P '∈ S [V ] Nếu miền V không chứa nguồn: U (M ) = − 4π  ∂   ∂U ( P ')  U ( P ') dS  ÷−   Ò ∫∫ ∂r  r '  r ' ∂n  S [V]  P '∈ S [V ] Nếu miền V chứa nguồn, khơng chứa xốy: U (M ) = 4π q( P) ∫∫∫ r dv ∑Vi BÀI TẬP CHƯƠNG III A Lý thuyết Các phương pháp giải tốn LTT Phương pháp tích phân theo phân bố nguồn q( P) U (M ) = dv ∫∫∫ 4π vi r Phương pháp giải phương trình Poisson – Laplace −q( P) ∆U ( M ) =  0 Điều kiện biên: r → ∞, U ( ∞ ) → r → 0,U (0) = U Điều kiện bờ: điều kiện trường bề mặt ranh giới phân chia hai mơi trường có tham số khác cụ thể là: thành phần pháp tuyến trường phải liên tục BÀI TẬP CHƯƠNG III A Lý thuyết Các phương pháp giải toán LTT Phương pháp áp dụng định lý Ostrogradski – Gauss uruu r Ò ∫∫ ( f ds) = Q S [V] Phương pháp ảnh gương Phương pháp dùng hàm Green hàm Neiman BÀI TẬP CHƯƠNG III Bài Tính trường nguồn điểm Q Nguồn có dạng đối xứng cầu nên ta dùng PP Ostrogradki – Gauss PP giải Pt P-L a Dùng phương pháp Ostrogradki – Gauss uruu r Ò ∫∫ ( f ds) = Q S [V] ( f ds ) = Q ⇒ f π r =Q ⇒ f r = r Ò ∫∫ r S [V] ∂U fr = − ∂r r Q Q = π r 4π r ∞ ⇒ U=-∫ Q 4π r BÀI TẬP CHƯƠNG III Bài Tính trường nguồn điểm Q Nguồn có dạng đối xứng cầu: b Dùng phương pháp giải phương trình Poisson – Laplace -Q r = ∂  ∂U  ∆U ( M ) =  ⇒  r2 =0 ÷ r ≠0 r ∂r  ∂r  0 ∂  ∂U  ⇔ r ÷= ∂r  ∂r  ∂U ⇔r = C1 ∂r C ∂U C1 ⇔ = ⇔ U = − + C2 ∂r r r C1  U=Ta có:  r U (∞ ) = ⇒ C = ⇒   f = − ∂U = - C1  r ∂r r2 f r 4π r =Q ⇒ - Vay: C1 Q Q = ⇒ C = − r 4π r 4π r Q r Q fr = hay f= e 2 r 4π r 4π r Q U= 4π r Bài Tính trường nguồn đường thẳng có mật độ dài λ Dùng phương pháp Ostrogradki – Gauss Nguồn đường thẳng đối xứng trụ uruu r Ò ∫∫ ( f ds) = λ h S [V] Ò ∫∫ ( f ds) = λ h r Stru ∂U fr = − ∂r λ ⇒ f r 2π rh=λ h ⇒ f r = 2π r λ λ ⇒ U=- ∫ dr = ln 2π r 2π r ∞ r Bài Tính trường nguồn mặt phẳng với mật độ mặt σ Áp dụng cho điện tích mặt σ đặt mơi trường điện mơi có số điện mơi ε Nguồn mặt phẳng đối xứng gương chẵn f = f z Sử dụng mặt trụ đáy hình trịn Áp dụng cơng thức Ostrogradki – Gauss uruu r Ò ∫∫ ( f ds) = σ Sday S [V] Ò ∫∫ f ds + 2Ò ∫∫ f ds = σ S z S xq ∂U fz = − ∂z z day ⇒ f z S day =σ S day Sday σ σ ⇒ U=- ∫ dz = − z 2 ∞ z Khi đặt mơi trường điện mơi có số điện môi ε σ fz = 2ε σ U= − z 2ε σ ⇒ fz = ±σ ± σ lớp kép phẳng có mật độ mặt Bài Tính trường Áp dụng cho tụ điện phẳng có lõi chất điện mơi có số điện mơi ε HD: Tương tự giáo trình coi lớp kép vô hạn Áp dụng cho tụ điện phẳng đặt điện mơi ta chia cho số điện mơi ε Bài Tính trường nguồn mặt elipsoit có tổng nguồn mặt Q HD: Tương tự giáo trình