Lý thuyết nevaninna cho đường cong chỉnh hình và tập duy nhất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN VĂN TUYÊN LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO ĐƢỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀ TẬP DUY NHẤT Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên-Năm 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn NGUYỄN VĂN TUYÊN LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO ĐƢỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀ TẬP DUY NHẤT Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS HÀ TRẦN PHƢƠNG Thái Nguyên, 2013 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƢỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỤC TIÊU LÀ SIÊU MẶT 1.1 Một số khái niệm 1.2 Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đƣờng cong chỉnh hình 1.3 Quan hệ số khuyết cho đƣờng cong chỉnh hình vào đa tạp tuyến tính 23 Chƣơng XÁC ĐỊNH DUY NHẤT ĐƢỜNG CONG CHỈNH HÌNH BỞI MỘT HỌ SIÊU MẶT 29 2.1 Một số khái niệm tập xác định 29 2.2 Trƣờng hợp họ siêu mặt vị trí tổng quát 35 2.3 Trƣờng hợp họ siêu mặt vị trí tổng quát phép nhúng Veronese 39 KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 MỞ ĐẦU Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna đánh thành tựu sâu sắc đẹp đẽ tốn học kỷ XX Được hình thành từ năm đầu kỷ XX, lý thuyết bắt đầu cơng trình Hadamard, Borel ngày có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học Trung tâm lý thuyết hai định lý Định lý thứ nhất, cách viết khác công thức Poisson-Jensen, cho thấy quan hệ hàm đặc trưng T (r ) hàm phân hình f với hàm đặc f trưng T (r , a) Định lý thứ hai thể kết sâu sắc đẹp đẽ f lý thuyết, phát biểu nhiều dạng khác nhau: quan hệ hàm đặc trưng với hàm đếm, hàm đếm bội cắt cụt, hàm xấp xỉ, … Cho đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f : £ ® Rn (£ ) q siêu phẳng H , , Hq vị trí tổng quát Rn (£ ) Năm 1933, H Cartan ([9]) chứng minh: với e > ,  q  n    T  r    N  r , H   O 1 , q f j 1 n f j với r > đủ lớn, nằm ngồi tập có độ đo Lebesgue hữu hạn Kết H Cartan dạng Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình từ £ vào Rn (£ ) khơng suy biến tuyến tính kết hợp với siêu phẳng vị trí tổng qt Cơng trình ông đánh giá quan trọng, mở hướng nghiên cứu việc phát triển lý thuyết phân bố giá trị- nghiên cứu phân bố giá trị ánh xạ phân chỉnh hình, mà ngày gọi “ Lý thuyết Nevanlinna-Cartan” Các kết nghiên cứu tác giả thời gian gần tập trung vào hai vấn đề: Xây dựng dạng Định lý thứ hai với mục tiêu siêu mặt cố định (hoặc di động), cách thiết lập quan hệ hàm đặc trưng Nevanlinna-Cartan với hàm xấp xỉ, hàm đếm hay hàm đếm bội cắt cụt Từ suy kết quan hệ số khuyết Nghiên cứu ứng dụng Lý thuyết Nevanlinna - Cartan vấn đề khác toán học, đặc biệt nghiên cứu xác định ánh xạ phân chỉnh hình… Với mục đích tìm hiểu Lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình nghiên cứu ứng dụng lý thuyết tập em chọn đề tài: “ Lý thuyết Nevanlinna cho đƣờng cong chỉnh hình tập nhất” Trong luận văn em nghiên cứu vấn đề sau: Trình bày số dạng Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình kết hợp với siêu mặt cố định với hai trường hợp f : £ ® Rn (£ ) f : £ ® X với X đa tạp Trình bày lại chứng minh số điều kiện đại số tập xác định không kể bội cho đường cong chỉnh hình trường hợp siêu mặt Luận văn chia thành hai chương với phần Mở đầu, phần Kết luận danh mục Tài liệu tham khảo Chương 1, luận văn trình bày số dạng định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh phức Trong Chương 2, luận văn trình bày số ứng dụng Định lý thứ hai với bội cắt cụt vấn đề tập xác định cho đường cong chỉnh hình phức Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Hà Trần Phương, tới thầy cô giáo bạn đồng nghiệp giúp đỡ suốt thời gian qua Cảm ơn trường ĐHSP, khoa Tốn thầy giáo giảng dạy em trình em học tập trường Luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn Tác giả Nguyễn Văn Tuyên Chƣơng ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƢỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỤC TIÊU LÀ SIÊU MẶT Trong chương em trình bày số kết nghiên cứu dạng Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh phức đa tạp tuyến tính kết hợp với siêu mặt Nội dung chương dựa báo [2], [6] số tài liệu khác Trước hết, em trình bày số kết lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna-Cartan 1.1 Một số khái niệm Cho hàm chỉnh hình f : Ê đ Rn (Ê ), z0 ẻ Ê c gi không điểm bội k hàm f tồn hàm chỉnh hình h khơng triệt tiêu lân cận U z0 cho lân cận U hàm f (z) biểu diễn dạng f (z) = ( z- z0 )k h( z) Nghĩa f ( z0 ) = f '( z0 ) = = f (k- 1) ( z0 ) = f (k) ( z0 ) ¹ Với z  , ta ký hiệu ord ( z) = f ớùù k nếuz làkhôngiểmbội k ỡ ùùợ nÕu f ( z) ¹ Giả sử f hàm phân hình, f = f1 , f1, f2 hàm f2 chỉnh hình khơng có khơng điểm chung Số phức z0 gọi không điểm bội k f z0 không điểm bội k f1 , z0 gọi cực điểm bội k f z0 không điểm bội k f2 Định nghĩa 1.1 Một ánh xạ chỉnh hình từ £ vào Rn (£ ), hay cịn gọi đường cong chỉnh hình khơng gian xạ ảnh Rn (£ ) định nghĩa ánh xạ f = ( f0 : : fn ): £ ® R n (£ ) za ( f0 ( z) : : fn ( z)), f j ,0 £ j £ n , hàm nguyên £ Nếu f j , j = 0, , n đa thức f gọi đường cong đại số Nếu hàm f0 , , fn khơng có khơng điểm chung £ , ta gọi ánh xạ ( f0, , fn ): £ ® £ n+ \ {0} biểu diễn tối giản f Định nghĩa 1.2 Đường cong chỉnh hình f : £ ® Rn (£ ) gọi suy biến tuyến tính ảnh f chứa đa tạp tuyến tính thực không gian xạ ảnh Rn (£ ) Đường cong f gọi suy biến đại số ảnh f chứa đa tạp đại số thực Rn (£ ) Tiếp theo ta định nghĩa hàm đặc trưng, hàm xấp xỉ, hàm đếm đường cong kết hợp với siêu mặt cố định Cho đường cong chỉnh hình f : £ ® Rn (£ ) biểu diễn tối giản ( f0, , fn ) f Định nghĩa 1.3 Hàm 2p Tf (r ) = log f (reiq ) dq ò 2p gọi hàm đặc trưng Nevanlinan-Cartan (hay hàm độ cao Cartan) f , f  z   max  f  z  , , f n  z   Giả sử D siêu mặt (cố định) bậc d Rn (£ ), xác định đa thức Q Định nghĩa 1.4 Hàm d f (reiq ) 2p mf (r , D) = mf (r ,Q) := ò log Q( f )(reiq ) dq 2p gọi hàm xấp xỉ f kết hợp với siêu mặt D Ký hiệu nf (r , D) số không điểm Q o f đĩa z < r , kể bội, nMf (r , D) số không điểm Q o f đĩa z < r , bội chặn số nguyên dương M Nghĩa nf (r , D) = nMf (r , D)= å zỴ £ , z < r å ordQo f ( z) ; zỴ £ ,|z|< r min{M,ordQo f ( z)} Ta ký hiệu nf (0, D) = ordQo f (0); nMf (0, D) = min{M,ordQo f (0)} Định nghĩa 1.5 Hàm r N f (r , D) = N f (r ,Q):= nf (t, D)- nf (0, D) dt + nf (0, D)log r ò t gọi hàm đếm kể bội hàm nMf (t, D)- nMf (0, D) N (r , D) = N (r ,Q) = ò dt + nMf (0, D)log r t r M f M f gọi hàm đếm bội chặn M ánh xạ f kết hợp với siêu mặt D Số M ký hiệu nMf (r , D) gọi số bội cắt cụt Trường hợp đặc biệt, M = ta viết n f (r , D) thay cho n1f (r , D) gọi hàm đếm không kể bội Giả sử f : £ ® Rn (£ ) D siêu mặt bậc Rn (£ ) xác định đa thức Q Định lý 1.1 (Định lý thứ nhất, [8]) Giả sử f : £ ® Rn (£ ) đường cong chỉnh hình D siêu mặt bậc d Rn (£ ) Nếu f (£ )Ë D với số thực dương r , ta có mf (r , D)+ N f (r , D)= dTf (r )+ O(1), O(1) số độc lập với r Ký hiệu (z0 : : zn ) hệ tọa độ trong Rn (£ ) Cho đa tạp đại số xạ ảnh X có số chiều k , k  n họ gồm q siêu mặt D = {D1, , Dq } Rn (£ ), Dj xác định đa thức Qj £ [z0 , , zn ], j = 0, , q Với số nguyên dương N ³ k , ta định nghĩa khái niệm họ siêu mặt vị trí tổng quát sau: Định nghĩa 1.6 Họ D siêu mặt Rn (£ ) gọi vị trí N -tổng quát đa tạp X q ³ N + với cách chọn N + siêu mặt Dj , , Dj N+ họ D ta ln có {z Ỵ X | Qj (z) = = Qj N+ (z) = 0}= Ỉ Đặc biệt, N = k , ta nói D vị trí tổng qt X Nếu N  k  n , ta nói họ D vị trí tổng qt (đối với Rn (£ )) Nhận xét Họ siêu phẳng {H j , j = 0, , q} vị trí tổng quát Rn (£ ) q > n n + 1siêu phẳng chúng độc lập tuyến tính 1.2 Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đƣờng cong chỉnh hình Trước hết em trình bày số kết cần thiết cho việc chứng minh định lý phần Cho a số nguyên dương, ký hiệu Va không gian đa thức bậc a £ [z0 , , zn ] Bổ đề 1.2 ([1]) Giả sử g1, , gn đa thức £ [z0 , , zn ], xác định đa tạp R (£ ) có số chiều Khi với a ³ n n å j= dim Va = deg g1 deg gn (g1, , gn )Ç Va deg gj , Ta gọi m số tự nhiên (i1, ,i m ) m-bộ số tự nhiên Cho hai mbộ số tự nhiên ( j1, , j m ) (i1, ,i m ), ta nói ( j1, , j m)> (i1, ,im) tồn b Ỵ {1, , m} cho j l = il với l < b j b > ib Với định nghĩa trên, xây dựng quan hệ thứ tự N m , thứ tự gọi thứ tự từ điển m-bộ số tự nhiên Với m-bộ m (i )= (i1, ,im) số tự nhiên, ký hiệu s (i ) := å i j j= Giả sử g1, , gn Ỵ £ [z0 , , zn ] đa thức bậc d , định nghĩa đa tạp Rn (£ ) có số chiều 0, ta xây dựng lọc Va (a ³ nd) dựa đa thức g1, , gn sau: Ký hiệu I a ,d = {(i ) = {i , ,i }ẻ Ơ n | s (i ) Ê a / d} n thứ tự từ điển Với (i )Ỵ I a ,d , gọi S( i ) = Sa ,( i ) không gian Va định nghĩa S( i ) = å g1e gne Va - ds ( e) ( e)Ỵ I a ,d ,( e)³ ( i ) n Khi S(0) = Va , S( i ') Ì S( i ) (i ')> (i ) Như {S( i ) | (i Ỵ I a ,d )} cho ta lọc Va Bổ đề sau cho ta tính chất hai không gian thương liên tiếp lọc Bổ đề 1.3 ([2],[8]) Giả sử (i ')> (i ) hai phần tử liên thứ tự từ điển I a ,d Khi tồn đẳng cấu S( i ) Va - ds ( i ) @ S( i ') (g1, , gn )Ç Va - ds ( i ) Ngồi ta chọn sở S( i ) từ tập hợp tất lớp S( i ') tương đương có dạng g1i gni h modulo S( i ') , h đơn thức bậc m a - ds (i ) biến z0 , , zn Chứng minh Trước tiên ta xây dựng đồng cấu f không gian véc tơ 10 Mệnh đề 2.4 Cho f : £ ® Rn (£ ) ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến đại số, D = {D1, , Dq } họ gồm q siêu mặt vị trí tổng quát phép nhúng Veronese Rn (£ ) Khi đó, với e > ta có q n å N f (r , Dj )+ Sf (r ) , d j= (q - nd - 1- e)Tf (r )£ d với r đủ lớn nằm ngồi tập có độ đo Lebesgue hữu hạn 2.2 Trƣờng hợp họ siêu mặt vị trí tổng quát Để chứng minh kết tập xác định cho đường cong chỉnh hình trường hợp siêu mặt, trước hết ta chứng minh mệnh đề sau: Mệnh đề 2.5 ([7]) Cho f : £ ® Rn (£ ) đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số D1, , Dq q siêu mặt bậc dj tương ứng vị trí tổng quát Rn (£ ) Kí hiệu mD bội số chung nhỏ dj D = D (e)= 2mD éë2n (n + 1)n(mD + 1)e- ù û Khi với số nguyên dương k n < e < tùy ý, ta có (q(k + 1- D )- (n + 1+ e)(k + 1))Tf (r ) £ k D N f ,£ k (r , Dj )+ O(1), j = dj q å (2.1) với r đủ lớn, nằm tập có độ đo Lebesgue hữu hạn Chứng minh Kí hiệu D = {D1, , Dq } Khi với siêu mặt Dj Ỵ D , theo Bổ đề 2.2 Định lý thứ ta có N Df (r , Dj ) = N Df ,£ k + N Df ,> k (r , Dj ) k N Df ,£ k (r , Dj )+ k+ k £ N Df ,£ k (r , Dj ) + k+ k £ N Df ,£ k (r , Dj )+ k+ = N Df ,£ k (r , Dj )+ N Df ,> k (r , Dj ) k+ D N f (r , Dj ) k+ D dj Tf (r )+ O(1) k+ 35 Suy D k D N f (r , Dj )£ N Df ,£ k (r , Dj ) + Tf (r ) + O(1) dj dj (k + 1) k+ Kéo theo D k q D qD N r , D £ åj = d f ( j ) k + åj = d N f ,£ k (r , Dj )+ k + Tf (r )+ O(1) j j q (2.2) Mặt khác, theo Định lý 1.7, ta có D N f (r , Dj ) j = dj q (q - n - 1- e)Tf (r )£ å (2.3) Kết hợp công thức (2.2) (2.3) ta q k q     n    Tf  r    N f ,k  r , D j   O 1 q  k 1 k  j 1 d j   Suy q(k + 1- D )- (n + 1+ e)(k + 1) Tf (r )£ k D N f ,£ k (r , Dj ) + O(1) j = dj q å Mệnh đề chứng minh Với họ siêu mặt D = {D1, , Dq }, Dj có bậc dj , gọi mD bội số chung nhỏ dj , j = 1, , q Ta định nghĩa số bậc tối thiểu họ D dD := min{d1, , dq } kí hiệu D = 2n+ mD éë2n (n + 1)n(mD + 1)ù û n Năm 2009, H T Phuong ([6]) chứng minh hai Định lý 2.6 2.7 cho điều kiện đại số URSIM cho họ đường cong chỉnh hình F (D, f ) F* (D, f ) trường hợp siêu mặt vị trí tổng quát 36 Định lý 2.6 ([7]) Cho f : £ ® Rn (£ ) đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số D = {D1, , Dn } học siêu mặt vị trí tổng quát Rn (£ ) Nếu q³ n+ 2+ 2nD , dD D URSIM cho họ đường cong F (D, f ) Chứng minh Ta chứng minh g º h với cặp đường cong g, h Ỵ F (D, f ) thỏa mãn Eg (D) = Eh (D) phương pháp phản chứng Thật vậy, giả sử tồn hai đường cong chỉnh hình khác g, h Ỵ F (D, f ) thỏa mãn Eg (D) = Eh (D) g ¹ h Khi tồn hai số a ,b Ỵ {0, ,n}, a ¹ b cho ga hb ¹ gb Giả sử siêu mặt Dj có bậc dj với j = 1, , q Gọi k số nguyên dương (ta chọn sau), e số thực tùy ý cho < e < D = D (e)= 2mD éë2n (n + 1)n(mD + 1)e- ù û Với giả thiết n Định lý 2.6 theo Mệnh đề 2.5, ta có (q(k + 1- D )- (n + 1+ e)(k + 1))Tg (r ) D N g,£ k (r , D )+ O(1) j = dj q £ kå j 1 N g,£ k (r , Dj )+ O(1) j = dj q £ D kå £ Dk q 1 å Ng,£ k (r , Dj )+ O(1) dD j = dj (2.4) Giả sử z0 Ỵ £ khơng điểm Dj o g với bội nhỏ k , z0 Ỵ Eg (D) = q Vì g Ỵ F (D, f ) nên g(z0 )= f (z0 ) Từ UE (D ) g j j= Eg (D) = Eh (D) ta có z0 Ỵ Eh (D) = q UE (D ) kéo theo h(z )= f (z ) Như h j 0 j= g(z0 )= h(z0 ), suy ga (z0 ) (z0 ) = , tức z0 không điểm hàm gb (z0 ) hb (z0 ) 37 ga Chú ý họ D vị trí tổng qt nên tồn khơng q n siêu mặt gb hb Dj họ D cho Dj o g(z0 ) = Điều kéo theo q å N gD,£ k (r , Dj ) £ nN g a j= N g h - a gb hb a gb - hb (r ,0), (r ,0) hàm đếm không điểm hàm ga Theo Bổ gb hb đề 2.3, ta có Ng a gb - hb (r , D )£ T (r )+ T (r )+ O(1) j g h Thật vậy, ta có Ng  g  h h  r ,0   N g h  g  h  r ,0  g h  g  h  g h  g  h  g h  g  h  2max g i max hi i  0, , n i  0, ,n Suy Ng a gb - hb (r , Dj )£ T(r , ga hb - gb )+ O(1) = £ 2p log (ga hb - gb )(reiq ) dq + O(1) ò 2p 2p log 2max g (reiq ) max h (reiq ) dq + O(1) ò i = 0, ,n i i = 0, ,n i 2p ( ) 2p 2p iq iq = logmax g re d q + logmax h re ( ) ( ) dq + O(1) ò ò i i i = 0, ,n i = 0, ,n 2p 2p = Tg (r ) + Th (r )+ O(1) Bởi (2.4) trở thành (q(k + 1- D )- (n + 1+ e)(k + 1))Tg (r ) £ (2.5) D nk (Tg (r )+ Th (r ))+ O(1) dD Tương tự cho đường cong chỉnh hình h ta có (q(k + 1- D )- (n + 1+ e)(k + 1))Th (r ) £ D nk (Tg (r )+ Th (r ))+ O(1) dD Cộng hai bất đẳng thức (2.5) (2.6) ta có 38 (2.6) (q(k + 1- D )- (n + 1+ e)(k + 1))(Tg (r )+ Th (r )) £ 2D nk (Tg (r )+ Th (r ))+ O(1) dD Điều kéo theo q(k + 1- D )- (n + 1+ e)(k + 1)- O(1) 2D nk £ , dD Tf (r ) + Tg (r ) với số thực dương r ln Cho r đ Ơ ta cú q(k + 1- D )- (n + 1+ e)(k + 1)- 2D nk £ dD Điều tương đương với k(qdD - (n + 1+ e)dD - 2D n)+ (q - qD - (n + 1+ e))dD £ (2.7) Tuy nhiên, ta chọn e = æ ỗỗqD - q + n + 3ữ d ữ çè øD 2÷ k> , ỉ 3÷ qdD - ççn + ÷ d - 2nD çè øD 2÷ kết hợp với giả thiết q ³ n + + 2nD (2.7) khơng cịn Như dD điều giả sử sai, hay nói cách khác g º h Định lý chứng minh Định lý 2.7 ([7]) Cho f : £ ® Rn (£ ) đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số D = {D1, , Dn } họ siêu mặt vị trí tổng quát Rn (£ ) Nếu q³ n+ 2+ 2D , dD D URSIM cho họ đường cong F* (D, f ) Chứng minh Ta chứng minh Định lý 2.7 phản chứng Giả sử tồn hai đường cong g, h Ỵ F* (D, f ) cho Eg (D) = Eh (D) g ¹ h Khi tồn hai số a ,b Ỵ {0, ,n}, a ¹ b cho ga hb ¹ gb Giả sử siêu mặt Dj có bậc 39 dj , j = 1, , q Ký hiệu mD bội số chung nhỏ dj Gọi k số nguyên dương (ta chọn sau), e số thực tùy ý cho < e < D = D (e)= 2mD éë2n (n + 1)n(mD + 1)e- ù û Với giả thiết Định lý 2.7, lập n luận chứng minh Định lý 2.6 ,ta có (q(k + 1- D )- (n + 1+ e)(k + 1))Tg (r ) (2.8) D N g,£ k (r , D ) + O(1) j = dj q £ kå j 1 N g,£ k (r , Dj ) + O(1) j = dj q £ D kå £ Dk q å Ng,£ k (r , Dj )+ O(1) dD j = Giả sử z0 không điểm Dj o g với bội nhỏ k , z0 Ỵ Eg (D) = q UE (D ) Vì g Ỵ g j F* (D, f )Ì F (D, f ) nên g(z0 )= f (z0 ) j= Từ Eg (D) = Eh (D) ta có z0 Ỵ Eh (D) = q UE (D ), kéo theo h(z )= f (z ) Như h j 0 j= g(z0 )= h(z0 ), suy ga (z0 ) (z0 ) = , tức z0 không điểm hàm gb (z0 ) hb (z0 ) ga gb hb Từ giả thiết g Ỵ F* (D, f ) nờn Eg (Di ) ầ Eg (Dj ) = ặ vi mi cp i j ẻ {1, , q}, suy z0 không điểm Di o g z0 khơng khơng điểm Dj o g với j ¹ i Do đó, ta có q å j= N g1,£ k (r , Dj ) £ N g a gb - hb (r ,0)£ Tg (r )+ Th (r )+ O(1) Kéo theo 40 (q(k + 1- D )- (n + 1+ e)(k + 1))Tg (r ) (2.9) Dk (Tg (r )+ Th (r ))+ O(1) dD £ Tương tự cho đường cong h ta có (q(k + 1- D )- (n + 1+ e)(k + 1))Th (r ) £ (2.10) Dk (Tg (r )+ Th (r ))+ O(1) dD Kết hợp hai bất đẳng thức (2.9) (2.10) ta (q(k + 1- D )- (n + 1+ e)(k + 1))(Tg (r )+ Th (r )) £ 2D k (Tg (r )+ Th (r ))+ O(1) dD Suy q(k + 1- D )- (n + 1+ e)(k + 1)- O(1) 2D k £ , dD Tg (r )+ Th (r ) với số thực r đủ lớn Cho r ® ¥ ta có k(qdD - (n + 1+ e)dD - 2D )+ (q - qD - (n + 1+ e))dD £ 0, mâu thuẫn chọn e = (2.11) v ổ ỗỗqD - q + n + 3ữ d ữ ỗố ứD 2ữ , k> ổ 3ữ qdD - ỗỗn + ữ ữdD - 2D çè 2ø kết hợp với giả thiết q ³ n + + 2D Như gh º gj hi với cặp i j dD i ¹ j Î {0, , n}, tức g º h Định lý chứng minh 2.3 Trƣờng hợp họ siêu mặt vị trí tổng quát phép nhúng Veronese 41 Hai kết sau URSIM cho họ ánh xạ chỉnh hình F (D, f ) F* (D, f ) trường hợp siêu mặt bậc d vị trí tổng quát phép nhúng Veronese Rn (£ ) Định lý 2.8 Cho f : £ ® Rn (£ ) ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến đại số D = {D1, , Dq } họ siêu mặt bậc d vị trí tổng quát phép nhúng Veronese Rn (£ ) Nếu 2nd2 , q ³ nd + + d D URSIM cho họ ánh xạ F (D, f ) Chứng minh Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử tồn hai ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến đại số g, h Ỵ F (D, f ) thỏa mãn Eg (D) = Eh (D) g ¹ h , tồn hai số a ,b Î {0, , n},a ¹ b cho ga hb ¹ gb Gọi k số nguyên dương, ta chọn sau e số thực cho < e < Với siêu mặt Dj Ỵ D , với r đủ lớn nằm ngồi tập có độ đo Lebesgue hữu hạn, theo Bổ đề 2.2 Định lý thứ ta có N gn (r , Dj ) = N gn,£ k (r , Dj ) + N gn,> k (r , Dj ) d d d k N gn,£ k (r , Dj )+ k+ k £ N gn,£ k (r , Dj )+ k+ k £ N gn,£ k (r , Dj )+ k+ = d d d N gn,£ k (r , Dj )+ N gn,> k (r , Dj ) k+ nd N g (r , Dj ) k+ dnd Tg (r )+ O(1) k+ d d Suy n k n N g (r , Dj ) £ N gn,£ k (r , Dj ) + d Tg (r ) + O(1) d d(k + 1) k+ d d Kéo theo q q n k qnd N r , D £ N gn,£ k (r , Dj ) + Tg (r ) + O(1) ( ) å å g j d j= d(k + 1) j = k+ d d Từ Mệnh đề 2.4, bất đẳng thức (2.12) trở thành 42 (2.12) (q - nd - 1- e)Tg (r )£ q k qnd N gn,£ k (r , Dj ) + Tg (r ) + Sg (r ), å d(k + 1) j = k+ (2.13) d Tương đương với q ổ k ỗỗq - qnd - nd - 1- e÷ T r £ Ngn,£ k (r , Dj )+ Sg (r ) ữ g( ) ữ ỗố ø k+ d(k + 1) j = d Suy k q n (q(k + 1- nd )- (nd + 1+ e)(k + 1))Tg (r )£ å Ng,£ k (r , Dj )+ Sg (r ) d j= kn q £ d å Ng1,£ k (r , Dj )+ Sg (r ) (2.14) d j= d Giả sử z0 Ỵ £ khơng điểm Dj o g với bội nhỏ k , z0 Ỵ Eg (D) = Eh (D) Từ giả thiết g, h Ỵ F (D, f ) ta có g(z0 )= f (z0 )= h(z0 ) Suy hàm ga (z0 ) (z0 ) = , tức z0 không điểm gb (z0 ) hb (z0 ) ga Chú ý rằng, theo giả thiết họ D vị trí tổng quát phép gb hb nhúng Veronese nên họ D vị trí nd -tổng quát Rn (£ ), tức tồn không nd siêu mặt Dj D cho Dj o g(z0 ) = Kéo theo q å N g1,£ k (r , Dj ) £ ndN g a j= gb - hb (r ,0) Từ bất đẳng thức (2.14) trở thành (q(k + 1- nd )- (nd + 1+ e)(k + 1))Tg (r )£ £ nd2k N g h (r ,0)+ Sg (r ) d g-h a a b b nd2k (Tg (r )+ Th (r ))+ Sg (r ) d (2.15) Tương tự cho ánh xạ h ta có (q(k + 1- nd )- (nd + 1+ e)(k + 1))Th (r ) £ nd2k (Tg (r )+ Th (r ))+ Sh (r ) d Cộng bất đẳng thức (2.15) (2.16) , ta có 43 (2.16) (q(k + 1- nd )- (nd + 1+ e)(k + 1))(Tg (r )+ Th (r )) 2nd2k £ (Tg (r )+ Th (r ))+ Sg (r )+ Sh (r ) d Kéo theo 2nd2k Sg (r )+ Sh (r ) , q(k + 1- nd )- (nd + 1+ e)(k + 1)£ d Tg (r )+ Th (r ) với số thực r > đủ lớn Cho r ® + ¥ ta q(k + 1- nd )- (nd + 1+ e)(k + 1)- 2nd2k £ d Tương đương với k(qd - (nd + e + 1)d - 2nd2 )+ (q - qnd - (nd + 1+ e))d £ (2.17) Tuy nhiên, ta chọn k> (qnd - q + nd + 1+ e)d , qd - (nd + 1+ e)d - 2nd2 2nd2 từ giả thiết q ³ nd + + (2.17) khơng Như d gh = gj hi với cặp số phân biệt i , j Î {0, , n}.Tức g º h Định lý i j chứng minh Định lý 2.9 Cho f : £ ® Rn (£ ) ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến đại số D = {D1, , Dq } họ siêu mặt bậc d vị trí tổng quát phép nhúng Veronese Rn (£ ) Nếu q ³ nd + + 2nd , d D URSIM cho họ ánh xạ F* (D, f ) Chứng minh.Ta chứng minh Định lý 2.9 phản chứng Giả sử tồn hai ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến đại số g, h Ỵ F (D, f ) thỏa mãn Eg (D) = Eh (D) g ¹ h , tồn hai số a ,b ẻ {0, , n},a b cho ga hb ¹ gb Gọi k số nguyên dương, ta chọn sau e số thực 44 cho < e < Với giả thiết Định lý 2.9, lập luận giống chứng minh Định lý 2.8, ta có (q(k + 1- nd )- (nd + 1+ e)(k + 1))Tg (r ) nd k q £ å Ng,£ k (r , Dj )+ Sg (r ), d j= (2.18) Ta biết rằng, với z0 Ỵ £ khơng điểm Dj o g với bội nhỏ k z0 khơng điểm hàm ga Từ giả thiết g Ỵ F* (D, f ) ta có gb hb Eg (Di ) Ç Eh (Dj ) = ặ, vi mi cp i j ẻ {1, , q}, suy z0 không điểm Dj o g z0 khơng khơng điểm Di o g với i ¹ j Từ ta có q å N g1,£ k (r , Dj ) £ N g a j= gb - hb (r ,0)£ Tg (r )+ Th (r )+ O(1) Kết hợp với (2.18) ta (q(k + 1- nd )- (nd + 1+ e)(k + 1))Tg (r ) £ nd k (Tg (r )+ Th (r ))+ Sg (r ) d (2.19) Tương tự cho ánh xạ h ta có (q(k + 1- nd )- (nd + 1+ e)(k + 1))Th (r ) £ nd k (Tg (r )+ Th (r ))+ Sh (r ) d (2.20) Kết hợp bất đẳng thức (2.19) (2.20) , ta có (q(k + 1- nd )- (nd + 1+ e)(k + 1))(Th (r )+ Th (r )) £ 2nd k (Tg (r )+ Th (r ))+ Sh (r )+ Sh (r ) d Kéo theo qd(k + 1- nd )- (nd + 1+ e)(k + 1)d - 2ndk £ với số thực r đủ lớn Cho r ® + ¥ ta có 45 Sg (r )+ Sh (r ) , Tg (r )+ Th (r ) qd(k + 1- nd )- (nd + 1+ e)(k + 1)d - 2ndk £ Điều tương đương với k(qd - (nd + 1+ e)d - 2nd )+ (q - qnd - (nd + 1+ e))d £ (2.21) Nếu ta chọn k> từ giả thiết q ³ nd + + (qnd - q + nd + 1+ e)d , qd - (nd + 1+ e)d - 2nd 2nd (2.21) khơng cịn Như d gh = gj hi với cặp số i , j Ỵ {0, , n} Tức g º h Định lý chứng i j minh 46 Kết luận Chƣơng Trong chương 2, luận văn trình bày kết sau: - Phát biểu chứng minh Định lý 2.6 Định lý 2.7 điều kiện đại số tập xác định không kể bội cho họ đường cong chỉnh hình F  D, f  F *  D, f  trường hợp siêu mặt vị trí tổng quát - Phát biểu chứng minh Định lý 2.8 Định lý 2.9 điều kiện đại số tập xác định không kể bội cho họ đường cong chỉnh hình F  D, f  F *  D, f  trường hợp siêu mặt bậc d vị trí tổng quát phép nhúng Veronese 47 KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN Mục đích luận văn trình bày số kiến thức lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna-Cartan nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Cụ thể, luận văn trình bày số nội dung sau đây: Trình bày lại số kết nghiên cứu số dạng Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh cách thiết lập quan hệ hàm đặc trưng với hàm đếm bội cắt cụt ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh phức kết hợp với siêu mặt cố định Quan hệ số khuyết số khuyết bội chặn cho ánh xạ chỉnh hình phức vào đa tạp tuyến tính kết hợp với siêu mặt cố định Trình bày lại bốn điều kiện đại số tập xác định khơng kể bội cho họ chỉnh hình dạng F (D, f ) F* (D, f ) trường hợp họ siêu mặt vị trí tổng quát, họ siêu mặt bậc d vị trí tổng quát phép nhúng Veronese 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] T T H An, A defect relation for non-Archimedean analytic curves in arbitrary projective varieties, Proc Amer Math Soc 135, no 5, 12551261, 2007 [2] T T H An and H T Phương, An explicit estimate on multiplicity truncation in the second main theorem for holomorphic curves encountering hypersurfaces in general position in projective space, Houston Journal of Mathematics, Volume 35, N 3,p 774-786, 2009 [3] H Cartan, Sur les zeros des combinaisions linearires de fonctins holomorpes donnees, Mathematica ( Cluj) 7, 80-103, 1993 [4] J Carlson anh Ph Griffiths, A defect relation for equidimensional holomorphic mappings between algebraic varieties, Ann of Math (2) 95, 557-584, 1972 [5] S Lang, Introduction to Complex Hyperbolic spaces, Springer-Verlag, New York, Berlin-Heidelberg, 1987 [6] H T Phương and M V Tư, On defect and truncated defect relations for holomorphic curves into linear subspace, East-West J of Mathematics, Vol 9, no 1, 39-46, 2007 [7] H T Phương, On unique range sets for holomorphic maps sharing hypersurfaces without counting multiplicity, Acta Math Vietnamica, Volume 34, N 3, 351-360, 2009 [8] M Ru, A defect relation for holomorphic curves intersecting hypersurfaces, Amer J Math 126, no 1,215-226, 2004 [9] M Ru, On a general form of the second main theorem, Trans Amer Math Soc 349, no 12, 5093-5105, 1997 [10] B Shiffman, On holomorphic curves and meromorphic maps in projective space, Indiana Univ Math J 28, no 4, 627-641, 1979 [11] Q M Yan anh Z H Chen, Weak Cartan-Type Second Main Theorem for Holomorphic Curves, Acta Mathematica Sinia 24, no 3, 455-462, 2008 49