ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ TҺỊ ҺỒПǤ ПǤA sỹ y c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ХÂƔ DỰПǤ ĐƢỜПǤ ເ0ПǤ ເҺỈПҺ ҺὶПҺ ѴỚI MỘT TẬΡ ѴÔ ҺẠП SỐ K̟ҺUƔẾT LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ TҺỊ ҺỒПǤ ПǤA ХÂƔ DỰПǤ ĐƢỜПǤ ເ0ПǤ ເҺỈПҺ ҺὶПҺ ѴỚI MỘT TẬΡ ѴÔ ҺẠП SỐ K̟ҺUƔẾT sỹ y c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: ǤIẢI TίເҺ Mã số: 60.46.01 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ Пǥƣời Һƣớпǥ dẫп k̟Һ0a Һọເ: TS TẠ TҺỊ Һ0ÀI AП TҺÁI ПǤUƔÊП – 2008 Môເ lôເ Môເ lôເ Lời mở đầu K̟iÕп ƚҺøເ ເҺuÈп ьÞ y s c z â ì 1.1 àm ealia tcàm h oc 1.2 hc,ọ c 23d hoọ ọi hc ọ n a c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Quaп ҺÖ số kuế àm â ì 13 1.3 àm ealia đ-ờ ỉ ì 17 Đ-ờ ỉ ì i ô số iá ị kuế 2.1 20 kế ổ ƚгỵ 20 2.2 í dụ đ-ờ ỉ ì i ô số iá ị kuế 31 Kế luậ 41 Tài liệu am kả0 42 Lời mở đầu Lý uế ealia a đời à0 ữ ăm đầu ế kỷ 20 đà ậ đ-ợ s qua âm iu 0á ọ ê ế ii Lý uế ealia ổ iê ứu s â ố iá ị àm â ì f ô qua àm đặ - T (f, a, ) - àm đ0 ấ ă àm â ì, àm đếm (f, a, ) - đếm số lầ àm f ậ iá ị a đĩa kí , àm ấ ỉ m(f, a, ) - đ0 độ ầ đế a àm f (em y Đị ĩa 1.1.3, 1.1.1, 1.1.2).sTọ âm lý uế c z c h iệ s độ lậ àm đặ ,tc ấ đị lý ả Đị lý ь¶п ƚҺø ọhc hc ọc 123 o h a ƚг-пǥ i iá ị a {} nvcnaocnihindovczn nv ,1lu2 Đị lý ả ứ ói ằ Lnu nuvn ỏni ầu ế iá ị a, àm đếm (f, a, ) u L v n ội ẳ àm ấ ỉL Lum(f, a, ) Điu dẫ đế đị ĩa số lu kuế àm f ại iá ị a - sau (f, a) := lim iпf 1{ − г→∞ П (f, a, ) } T (f, a, ) iá ị a đ-ợ ọi iá ị kuế àm f ếu (f, a) > Qua ệ số kuế mộ iu ká Đị lý ả ứ ealia, ụ ealia đà ứ mi ằ (f, a) a {} Mặ ká, Đị lý ả ứ ấ a ấ ằ số kuế àm â ì ại mộ iá ị à0 ằm đ0ạ [0, 1] ữa -ời a đà ứ mi đ-ợ ằ ậ iá ị kuế ®Õm ®-ỵເ ПҺ- ѵËɣ ≤ ≤ ∞ i П{ }, iả sử i dà mộ âu ỏi iê đ-ợ đặ a là:0 số kô âm sa0 ເҺ0 Σ < δi ≤ 1, δi ≤ i iả sử ai, số â iệ {} Tồ ại a kô àm â ì f ê ỏa mà (f, ) = δi , ѵµ δ(f, a) = ເҺ0 a / {ai }? âu ỏi ê ò đ-ợ iế - ài 0á -ợ ealia Đà ó iu 0á ọ iê ứu ài 0á -ợ ealia, ụ ealia [9], Lê ă Tiêm [11], ama [4], đà iải quế ài 0á mộ số -ờ ợ đặ iệ Đế ăm 1976 ấ đ ê đà đ-ợ iải quế ọ ẹ ởi D Dasi [3] T0 ô ì à, Dasi kô ỉ é ài 0á -ợ ealia số kuế mà ò số kuế ẽ ậ, ài 0á s ại àm â ì i ữu a ô iá ị kuế đà đ-ợ iê ứu ká ọ ẹ - a đà iế àm â ì ó đ-ợ em đ-ờ ỉ ì à0 1() D0 đó, iệ mở ộ lý uế ealia y ổ đ-ờ ỉ ì à0 () i mộ điu s ƚὺ пҺiªп c z hạ oc c t ,ọ c lý3dsau (đ-ợ ọi đị lý ealia aa [1] đà ứ mi đị c h ho ca ọi hc zn naoạiđhạ ovcă c ă ເaгƚaп ເҺ0 ®-êпǥ ỉ ắ siêu ẳ) nd nv nì nvă u2ậ3 ậ ă ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nvỏ L lu Đị lý đ-ờ ỉ Һ×пҺ f : ເ → Ρп(ເ) ເҺ0 Һ1, , q siêu ẳ ị í ổ kô ia ả () Ki q Σ δ(Һ j, f ) ™ п + j=1 T-ơ i -ờ ợ àm â ì, -ời ƚa ເὸпǥ пǥҺiªп ເøu ƚÝпҺ ເҺÊƚ ເđa sè k̟ҺuɣÕƚ ເđa đ-ờ ỉ ì i 2, í dụ đ-ờ ỉ ì i ữu iá ị kuế đà đ-ợ đ-a a ởi iu iả, ki đó, iệ â d đ-ờ ỉ ì ó ô iá ị kuế kô dễ à0 ăm 2004, T0da [12] đà iê ứu đ-a a í dụ đ-ờ ỉ ì i mộ ậ ô iá ị kuế Mụ đí í luậ ă ì lại ữ kế ®ã ເđa П T0da méƚ ເ¸ເҺ ເã ເҺäп läເ ƚҺe0 ố ụ iê iả ằm ả lời mộ ầ âu ỏi ê Luậ ă đ-ợ ia -ơ -ơ1 Kiế ứ uẩ ị Đ-ợ ì i mụ đí u ấ kiế ứ ầ iế đ -ời đọ dễ e0 dõi ứ mi kế -ơ sau T0 -ơ à, ôi ắ lại mộ số í ấ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu ả lý uế ealia: àm ealia àm â ì đ-ờ ỉ ì, qua ệ số kuế àm â ì ữ kiế ứ liê qua, ứ mi ằ ậ ợ iá ị a sa0 àm số kuế mộ àm â ì ại đim a d-ơ đếm đ-ợ -ơ Đ-ờ ỉ ì i ô số iá ị kuế Đâ -ơ í luậ ă T0 -ơ à, ôi â d đ-ờ ỉ ì ó ô số số kuế d-ơ -ơ đ-ợ ia ầ ầ ứ ấ, ôi đ-a a kế ổ ợ - â d lại kái iệm àm đếm, àm ấ ỉ, àm đặ -, số kuế, iá ị kuế, đ-ờ ỉ ì mộ số í ấ ả, dễ ấ - -ơ đối qua ọ ì ó đ-ợ sử dụ iu ki ứ mi ữ kế y sâu ữ ầ sau s c cz ch t ầ ứ ai, ì í dụ đ-ờ ỉ ì i ô sè ǥi¸ , c h c hoọ ọi hc ọ n a c z o cna iđhạ ndovc ị kuế Kế ínủa Đị lý 2.2.8 Đị lý v n 3-ơ n v u v ăn ,1l ậ ậLnu ậvn n 2.2.9 Lu Lnu vỏ Lu n lu Luậ ă đ-ợ 0à d-i s - dẫ ậ ì, iêm TS Tạ Tị 0ài A D-i s - dẫ ô, ôi đà - đầu làm que sa mê iê ứu 0á â đâ, ôi i ỏ lò kí ọ iế sâu sắ i ô Tôi i â ọ ảm a là đạ0 k0a T0á, k0a Sau đại ọ ĐST, iệ T0á ọ iệ am, ầ, ô iá0 đà a ị kiế ứ, ạ0 điu kiệ ôi ời ia ọ ậ, đặ iệ ầ Tầ -ơ Tôi i đ-ợ ửi lời ảm đế a iám iệu đồ iệ ôi -ờ TT L-ơ Tế i Tái uê, a, ị ọ iê l a0 ọ k0á 14 đà i đ ôi ấ iu ì ọ ậ â đâ, ôi i ửi lời ảm i uễ Tuấ L0 đà i đ ôi ấ iu ì iê ứu uối ù, ôi i đ-ợ ỏ s iế i ia đì: ố, mẹ, em đà ạ0 điu kiệ ố ấ ôi đ-ợ ọ ậ 0à luậ ă -ơ Kiế ứ uẩ ị T0 -ơ à, ôi ắ lại mộ số í ấ ả y lý uế ealia ữ kiế ứ liê qua ká ằm i sỹ ạc cz tch пǥ-êi ọ , c h c ọ ho hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu đọ dễ e0 dõi kái iệm kế -ơ đ-ợ í dẫ [2], [5], [6], [9], 1.1 àm ealia àm â ì iả sử f àm â ì đĩa kí < Kí iệu (f, , ), (-ơ ứ, (f, , )), số đim í ả ội, (-ơ ứ, kô í ội), àm f đĩa kí iả sử a , a đị ĩa (f, a, г) = п , −a , −a , гΣ, f ∞ п(f, a, г) = , f 1.1.1 Đị ĩa àm đếm í ả ội (f, a, ), (-ơ ứ, àm đếm kô í ội (f, a, )), àm f ại iá ị a đ-ợ đị ĩa sau П (f, a, г) = п(f, a, 0)l0ǥ г + ∫ г п(f, a, ƚ) − п(f, a, 0) dƚ , ƚ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu (ƚ-¬пǥ øпǥ, ∫ П (f, a, г) = п(f, a, 0) l0ǥ г + г Σ dƚ п(f, a, ƚ) − п(f, a, 0) ) ƚ Ѵ× ƚҺÕ, пÕu a = ƚa ເã Σ П (f, 0, г) = (0гd+f ) l0ǥ г + (0гd+f )l0ǥ z z∈D(г) | z , | z=0 D() đĩa ó k í 0dz+ f = ma{0, 0dz f } ội kô đim 1.1.2 Đị ĩa àm ấ ỉ m(f, a, ) àm f ại iá ị a đ-ợ đị ĩa пҺ- sau ∫ 2π m(f, a, г) = ѵµ l0ǥ+y sỹ c cz hạ ,ọtc2π c h c hoọ hc ọ oca ọi zn + cna ạiđhạ ndovcă ă nv ăđn ậ3 ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ∫ m(f, ∞, г) = dθ , iθ f (гe ) − a 2π dθ l0ǥ | f (гe iθ) | , 2π ƚг0пǥ ®ã l0ǥ+ х = maх{0, l0ǥ х} àm m(f, , ) đ0 độ l u ì l0 |f | ê đ-ờ ò |z| = 1.1.3 Đị ĩa àm đặ - T (f, a, ) àm f ại iá ị a đ-ợ ®ÞпҺ пǥҺÜa пҺ- sau T (f, a, г) = m(f, a, г) + П (f, a, г), T (f, г) = m(f, ∞, г) + П (f, ∞, г) ХÐƚ mặ à0 đó, àm đặ - ealia đối i lý uế àm â ì ó ò -ơ пҺ- ьËເ ເđa ®a ƚҺøເ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣÕƚ ®a ƚҺøເ Từ đị ĩa àm đặ - a ó T (f, a, г) ≥ П (f, a, г) + 0(1), ƚг0пǥ 0(1) mộ đại l-ợ ị ặ ki → ∞ 48 Tõ (1) ѵµ (2) ƚa ເã δ(a, f ◦ Ρ ) = lim iпf m(г, a, f ◦ Ρ ) T (г, f ◦ Ρ ) m(гρ, a, f ) = lim iпf T (гρ , f ) = δ(a, f ), г→∞ г→∞ suɣ гa (3) ứ mi 2.2 í dụ đ-ờ ỉ ì i ô số iá ị kuế - a đà iế, ài 0á àm â ì i ữu a ô y iá ị kuế đà đ-ợ iê ứu kc czọ ẹ ô ì h ,tc hc hc c 123 [4], T0 ầ a iê o Le T [11], D Dгasiп [3], Һaɣmaп h oca ạọi zn sỹ cna iđh ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n ậv ănv ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u L uậL nồv L lu ứu ài 0á đ-ờ ỉ ì Ta iả iế {}à {k} dà sa0 {} mộ dà iảm ѵίi ηѵ > 0, ∞ Σ ηѵ = 1, η0 = η , ѵ=1 ѵµ {θk̟} lµ méƚ d·ɣ ă ặ i = 0, k = k1 Σ ηѵ, (k̟ = 1, 2, ) ѵ=0 ເҺ0 Ɣ = {ak̟ = (a1k̟ , , aпk̟ , 1) +1 } ị í ổ {jk }∞ k̟ =1 , (j = 1, , п) lµ ữ dà số d-ơ 0ả mÃ: de (jk ) = 0, (j, k̟ = 1, , п), ເ1k̟ = ເ2k̟ = = ເпk̟ = ເk̟, (k̟ = п, п + 1, ), 49 ѵµ ∞ Σ Sj = ເjk̟ < ∞ , (j = 1, , п), k̟=1 ∞ Sп+1 п Σ Σ = ( ເjk̟ |ajk̟ |) < k=1 j=1 Đặ j(z) = jk eze k̟=1 −iθk̟ ∞ , (j = 1, , п) п Σ Σ ( ເjk̟ ϕп+1 (z) = − k̟=1 ψ1(z) = ∞ Σ ajk̟ )e ze−iθk̟ , j=1 ze−iθk̟ ເk̟ e , k̟=п ϕj − ψ = Һ j , п−1 ƚг0пǥ ®ã (z) = Һj Σ k̟=1 ເjk̟ e sỹ y ạc cz tch ọ , c h c ze−iθk̟ ocahoọ ọi hc ọ zn cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n ậv ănv ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u L uậL nồv L ậĐ п lu , (j = 1, , п) ý ằ, ếu a đặ ak = j=1 ajk̟ , (k̟ = 1, 2, ), ƚҺ× d0 Ɣ ị í ổ quá, ê dà {ak} 0ả mà điu kiệ dà {ak} đà ƚг-ίເ MƯпҺ ®ὸ 2.1.11 Ta ເã mƯпҺ ®ὸ sau 2.2.1 MƯпҺ ®ὸ ເҺ0 |z| = г K̟Һi ®ã |ϕj(z)| < S je r, (j = 1, 2, , п + 1) ເҺøпǥ miпҺ Ѵίi sè k̟ ьÊƚ k̟ύ ѵµ z = гeiθ, ƚa ເã: k̟ i(θ−θ k) ze−iθk e ™ ere = er cos(θ−θ ) ™ er K̟Һi ®ã: Σ∞ |ϕ j(z)| = ເ k=1 ze−iθk̟ г ™ Sj e , (j = 1, , п), jk e 50 ѵµ Σ Σ п ∞ ze−iθk̟ ( |ϕп+1(z)| = − ເjk̟ ajk̟ )e k̟ =1 j=1 ∞ −iθ n = Σ (Σ ເ jk̟ |ajk̟ |) eze k̟ ™ S k̟=1 j=1 п+1 e г ѴËɣ |ϕj(z)| < Sje ,r (j = 1, 2, , + 1) 2.2.2 Mệ đ àm 1, , +1 kô ó kô đim u ứ mi a ỉ ải ứ mi 1, , kô ó kô đim ay u iả sử ằ ó kô hđim u ại z = z0, ì s c z hạ oc c t ,ọ c 3d −iθ c h k̟ zeoọ ọ jk̟ naocah hạọi hc căzn c ạiđ ndov ă k̟=1 ậvnănv nvăđn1lu2ậ3 ă , ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ п−1 lu ϕj(z) = ƚa ເã п−1 Σ Σ 0= ເ e ເjk̟ ez0e + ψ (z), (j = 1, , п), −iθk̟ + ψ (z0 ), (j = 1, , ) k=1 i j = 1, , − п−1 Σ 0= (ເjk̟ − ເпk̟ )ez0e −iθk̟ k=1 D0 đó, ởi ọ {jk}, a ó ƒ= deƚ(ເjk̟), (j, k̟ = 1, , п) = ເпп deƚ(ເjk̟ − ເпk̟), (j, k̟ = 1, , п − 1) d0 ເпп ѵËɣ пªп ƚõ (2.9) ƚa ເã ez0e −iθk̟ = 0, (k̟ = 1, , п 1) Đâ điu ô lý ậ 1, , +1 kô ó kô đim u (2.9) 51 2.2.3 Mệ đ àm 1, , +1 độ lậ uế í ê ứ mi iả sử -ợ lại, ại số i kô đồ ời ằ kô sa0 ເҺ0 α1ϕ1 + + αп+1ϕп+1 = K̟Һi ®ã α1(Һ1 + ψ1) + + αп(Һп + ψ1) + αп+1ϕп+1 = 0, mµ k̟Ð0 ƚҺe0 α1Һ1 + + αпҺп + αп+1ϕп+1 + (α1 + + αп)ψ1 = (2.10) Kô mấ í ổ quá, a ó iả sử +1 = 0, ki -ơ ì (2.10) -ơ đ-ơ i +1 ( s y c cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn п п cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 п+1 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu α1Һ1 + + α Һ +ϕ αп+1 ) + (α1 + + αп )ψ1 = (2.11) Từ đị ĩa +1 , 1, , Һп ƚa ເã ƚҺό хem m = п ѵµ u = ϕп+1 , wm−1 = α1Һ1 + + αпҺп ,ѵ = ψ1 п αп+1 TҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.1.13 ƚa ó u(z) + wm1(z) m(z) độ lậ uế í ê D0 11+ + n+1 + +1 độ lậ uế í ê Từ ệ ứ (2.11) +1 = 0, điu ô lý ѴËɣ αп+1 = Tõ (2.9) ƚa ເã α1Һ1 + + αпҺп + (α1 + + αп)ψ1 = Ǥi¶ sư α1 + + αп ƒ= ki (2.12) -ơ đ-ơ i 11 + + αпҺп + ψ1 = α1 + + (2.12) 52 Te0 ấ đẳ ứ (2.8) i m = п , ѵп = ψ1 , wm−1 = α1Һ1+···+α α +···+α n Ta ເã α1Һ1 + · · · + αпҺп + ψ1 = 0, α1 + · · · + αп suɣ гa m©u ƚҺuÉп, ѵËɣ α1 + · · · + αп = suɣ гa αп = −α1 − · · · − αп−1 Tõ (2.12) ƚa ເã α1(Һ1 − Һп) + · · · + αп−1 (Һп−1 − Һп) = 0, п−1 ƚг0пǥ ®ã (z) − Һп (z) = Һj Σ k̟=1 (ເjk̟ − ເпk̟ )eze ເпk̟ ) ƒ= ѵµ d0 < θ1 < · · · < θ п−1 −iθk̟ (2.13) , (j = 1, , п − 1), deƚ(ເ < 2π пªп eze −iθ1 , , eze −iθп−1 jk độ lậ uế í ê Từ (2.13) ƚa ເã α1 = · · · = αп−1 = ѵµ αп = ѴËɣ ay ϕ1, , +1 độ lậ uế í ê h s c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Từ Mệ đ 2.2.2 2.2.3, a ấ ằ пÕu ϕ := [ϕ , , ϕп+1] ì đ-ờ ỉ ì kô su iế uế í à0 () 2.2.4 Mệ đ Ta ເã T (г, ϕ) < г + 0(1) ເҺøпǥ miпҺ Tõ MƯпҺ ®ὸ 2.2.1 ƚa ເã |ϕj(z)| < S jeг, (j = 1, 2, , п+1) пªп iθ iθ 2 iθ ϕ1(гe ) + Σ+ ϕ (гe ) п+1 ϕ(гe )г = ™ (S1 e )2 + + (S п+1e г ) п+1 ™ Σ j=1 Σ1 Σ1 Sj e 53 Te0 đị ĩa àm đặ - T (г, ϕ)ƚa ເã 2π ∫ 2π п+1 Σ l0ǥ ϕ(гeiθ) ∫ dθ l0ǥ Sj 2π 2π j=1 ™ 0 Σ 12 Σ 12 п+1 п+1 Σ Σ = l0ǥ eг = l0ǥ + l0ǥeг Sj Sj T (г, ϕ) = j=1 Σ 12 eгdθ j=1 Σ п+1 Σ = г + l0ǥ = г +0(1) Sj j=1 2.2.5 Mệ đ 0ả mà (2.2), |z| = г K̟Һi ®ã ϕп+1 (z) + s c z hạ oc −iθ c t ,ọjk̟c 3d ze k̟ c h ọ jkaho hc ọ j=1 ăcnaoc̟ iđhạọi ovcăzn d ănv ăđn ậ3n ậvn nănv ,1lu2 u n v ậ n L ậ Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu п Σ ϕj(z) − ເjk̟ eze Ѵίi г ®đ lίп Σỹ hay ເ −iθk̟ a e ™ Sj eг ເ0s |ϕj(z)| “ ເ jk̟ e г ເ0s 2πηk̟ ™ S п+1 e πηk̟ 3 , (j = 1, , п) (2.14) (2.15) г ເ0s 1πηk̟ , (j =1, , п) (2.16) 54 ເҺøпǥ mi Kẳ đị (1)su a d0 jk ajk̟ −iθ ϕ п+1(z) + eze k̟ ∞ n n Σ Σ j=1 Σ ΣΣ Σ j=1 ເjk̟ ajk̟ Σ k̟ =1 j=1 ເjk̟ ajk̟ = − п п k̟ ze−iθ ze−iθk̟ e + Σ Σ ເ jѵ jѵ ae −iθѵ Σ Σ ເjѵ ajѵ ze−iθ ѵ ze ∞ e = e = k j=1 Σ .Σ v п n+1 Σ ™ ເ |a | −iθѵ vƒ= г ເ0s πηk̟ v=1 j=1 jv ej=1 jv eze ™k S Kẳ đị (2) đ-ợ ké0 e0 j(z) − ເjk̟ e ze Σ = ເ ѵƒ=k̟ −iθk̟ = Σ ∞ ເjk̟ eze−iθk̟ − ເ ay h jk e sỹ c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h ∞ hoọ hc ọ oca ọi zn k̟ =1 cna ạiđhạ ndovcă ă ăđn ậ3 ănv n−iθѵ ậvnze ă v ,1lu2 n u n v ậ n j L jѵ ậ ѵ=1 Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu jv Σ ເ e ze−iθѵ e ™ ∞ Σ ເ e ™ S ze−iθk̟ г ເ0s πηk̟ , (j = 1, , п) .Σ ເjk̟ “ 21 ເjk̟ D0 |ϕj (z)| = k=1 −iθ ∞ eг ເ0s πηk̟ , ze k̟ e (j = 1, , n) (theo bất đẳng thức (2.6)) định (3) đ-ợc chứng minh Khẳng k=m jk zeik e 2.2.6 Mệ đ 0ả mà (2.2), z = ei đủ l i ak (re ) “ |(ak̟, ϕ(гeiθ))| г ເ0s 1πηk̟ ǁa ǁ (max1™j™n cjk) e k Σ п Σ 2 S п+1 + j=1 |ajk̟ | S j eг ເ0s 3πηk̟ ເҺøпǥ miпҺ D0 MƯпҺ ®ὸ 2.2.3, (ak̟, ϕ(гeiθ)) ƒ= ѵίi ьÊƚ k̟ύ ak̟ ∈ Ɣ Ѵίi θ ƚҺ0¶ mà (2.2), i đủ l, e0 ấ đẳ ứ (2.16) ເđa MƯпҺ ®ὸ 2.2.5 ƚa ເã 55 Σ ǁak̟ǁ ϕ(гeiθ) “ ǁak̟ǁ maх ϕj(гeiθ) 1™j™n ǁak̟ǁ “ maх ເ 1™j™п jk Σ eг ເ0s k (2.17) Te0 ấ đẳ ứ (2.14) (2.15) ເđa MƯпҺ ®ὸ 2.2.5 ƚa ເã |(ak̟, ϕ(z))| = |a1k̟ϕ1(z) + + aпk̟ϕп(z) + ϕп+1(z)| Σ n (z) = ϕп+1 (z) + a ϕ jk̟ j j=1 Σ Σ ze−iθk̟ n = ϕ п+1 (z) + п ເjk̟ a (z) − п ເjk̟ a e Σ Σ jk̟ jk ̟ Σ ajk̟ϕj ze−iθk̟ e + j=1 j=1 j=1 п п Σ y a п ỹ h Σ Σ ze−iθk Σ Σ e ze−iθk ạc s cz (z) + ϕ c a jk jk (z) − n+1 j jk jk jk ™.ϕ e h c a a o tc+ d ọ , hc c 23 j=1 hoọ ọ ca hạọi hc căzn j=1 j=1 o a cn ạiđ ndov п ă Σ ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 r cos πη u k n L ™ Sп+1 + jk̟Lu|ậSậLnujậvồvăánг ເ0s 2πηk̟ 23 e e u n Đ L ậ j=1 |a Σ lu n Σ = S п+1 + |ajk̟ | S j eг ເ0s 23πηk̟ (2.18) j=1 Tõ (2.17) ѵµ (2.18) ƚa ó điu ải ứ mi 2.2.7 Mệ đ i ®ñ lίп , ϕ) “ гη + 0(1) m(, a k k ứ mi Từ đị ĩa ເđa m(г, ak̟, ϕ), ѵίi βk̟ =3 1πηk̟ ѵµ ƚҺe0 MƯпҺ 56 ®ὸ 2.2.6 ƚa ເã ∫2π ǁak̟ , ϕ)= ǁ ϕ(гeiθ) l0ǥ m(г, a d k̟ 2π |(ak̟, ϕ(гeiθ))| θ ǁa ǁ ϕ(гeiθ) ∫θk̟+βk̟ “ 2π l0ǥ k̟ |(ak̟, ϕ(гeiθ))| dθ θk̟−βk̟ θk̟+βk̟ г ∫ “ 2π ເ0s πη − ເ0s πη Σ k̟ k̟ 3 dθ + 0(1) θk̟−βk̟ Σ г π π 2π = siп ηk̟ siп ηk̟ η + 0(1) k̟ 2π 2г π π “ η k̟ ηk̟ ηk̟ + 0(1) π6 π2 = гη + 0(1), y k̟ ỹ s ạc cz tch ọ , (ƚa ເã siп х “ х ѵίi ™ х ™ π o) c h c ọ ọ 2ocah ọi hc zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Đị lý sau đâ a mộ â d đ-ờ ỉ ì ó ậ i ô số iá ị kuế 2.2.8 Đị lý iả sử , = {ak} k - đà â d ầ ê I ậ II (ak , ϕ) “ η3, (k̟ = 1, 2, 3, ) k ứ mi I Từ Mệ đ 2.2.4 2.2.7 ƚa ເã: гη + 0(1) ™ T (г, ϕ) < г + 0(1) II Tõ Mệ đ 2.2.4 2.2.7 a ó: (a , ) = lim iпf k̟ г→∞ m(г, ak̟ , ϕ) T (, ) k 57 Đị lý sau đâ a mộ â d đ-ờ ỉ ì ó ậ , i số uê d-ơ à0 đó, i ô số iá ị kuế 2.2.9 Đị lý iả sử , = {ak} k - đà â d ầ ê i số uê d-ơ ấ k đặ (z) = z Ǥi¶ sư ϕ ◦ Ρ = [ϕ1 ◦ Ρ, , ϕп+1 ◦ Ρ ] K̟Һi ®ã ƚa ເã: I ϕ ◦ Ρ lµ ьËເ ρ II δ(ak̟, ϕ ◦ Ρ ) “ η9 3,k (k̟ = 1, 2, 3, ) ứ mi đị lý ê su a iế Đị lý 2.2.8 ổ y ®ὸ 2.1.14 sỹ ạc cz tch ọ , c h c 1ahoọ hc ọ oc ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă v n ă ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uLnu nvỏ L lu Đặ = {ьm = (m + 1)a |1 ™ m ™ П m} i mộ số uê d-ơ l 2.2.10 ệ i đ-ợ đ-a a Đị lý 2.2.8, a ó: (a , ϕ ◦ Ρ ) “ k̟ η , (k̟ = 1, 2, 3, ), k̟ ѵµ δ(ьm , ϕ ◦ Ρ ) “ η13 , (m = 1, , П − m) ПҺ- ƚг0пǥ ƚг-êпǥ ợ àm â ì a ó ệ sau: 2.2.11 ҺƯ qu¶ ເҺ0 < ε < ,3 ƚåп ại mộ đ-ờ ỉ ì ấ ρ ѵµ d·ɣ {ak̟} , (k̟ = 1, 2, ) ị í ổ 0ả mà k=1 δ(ak̟ , ϕ ◦ Ρ ) −ε = (2.19) Kế luậ - ậ, luậ ă đà ì lại kái iệm, í ấ đị lý lý uế ealia àm â ì đ-ờ ỉ ì mộ ó ệ ố â í ứ mi lại mộ ỉ mỉ, ụ ổ đ, mệ đ kế ài á0 T0da [12] â d đ-ờ ỉ ì i ô số iá ị ay h s c z h oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu k̟ҺuɣÕƚ K̟Õƚ qu¶ ເҺÝпҺ ເđa luậ ă đà â d đ-ờ ỉ ì i ữu a ô iá ị kuế đà đ-ợ ì luậ ă 41 s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu Tài liệu am kả0 [1] aa, Su les zeг0s des ເ0mьiпaisi0пs liпeaгiгes de ρ f0пເƚi0пs Һ0l0m0гρes d0ппees, MaƚҺemaƚiເa (ເluj) (1933), 80-103 [2] W ເҺeггɣ aпd Z Ɣe, Пeѵaпliппa's TҺe0гɣ 0f Ѵalue Disƚгiьuƚi0п TҺe Seເ0пd Maiп TҺe0гem aпd iƚs Eгг0г Teгms, Sρгiпǥeг y M0п0ǥгaρҺs iп MaƚҺemaƚiເs, Sρгiпǥeг-Ѵeгlaǥ, 2001 sỹ ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu [3] D Dгasiп, TҺe iпѵeгse ρг0ьlem 0f ƚҺe Пeѵaпliппa ƚҺe0гɣ, Aເƚa MaƚҺ 138 (1976), 83 151 [4] W K̟ Һaɣmaп, Meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs, ເlaгeпd0 Ρгess, 0хf0гd, 1964 [5] Г ҺaгƚsҺ0гпe, Alǥeьгaiເ Ǥe0meƚгɣ, Ǥгad Teхƚs iп MaƚҺ ѵ0l 52, Sie-ela, ew 0k, 1997 [6] u K0ái, iá0 ì iải í ứ, iệ T0á ọ, 2000 [7] uễ ă Kuê, Lê Mậu ải, àm iế ứ, Đại ọ Quèເ ǥia, Һµ Пéi (1997) [8] S K̟0ьaɣasҺi, Һɣρeгь0liເ maпif0lds aпd Һ0l0m0ρҺiເ maρρiпǥs, Maгເel Dek̟k̟eг, 1970 [9] Г Пeѵaпliппa, Eiпiǥe Eiпdeuƚiǥk̟eiƚssaƚze iп deг TҺe0гie deг meг0m0г- ρҺeп Fuпເƚi0п, Aເƚa MaƚҺ 48 (1926), 367-391 [10] E I П0ເҺk̟a, 0п ƚҺe ƚҺe0гɣ 0f meг0m0гρҺiເ ເuгѵes, S0ѵieƚ MaƚҺ D0k̟l 27 (1983), п0 2, 377 381 42 sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 43 [11] Le Ѵaп TҺiem, Uьeг das Umk̟eҺгρг0ьlem deг WeгƚѵeгƚeiluпǥsleҺгe, (Ǥeгmaп) ເ0mmeпƚ MaƚҺ Һelѵ 23, (1949) 26 49 [12] П T0da, Һ0l0m0гρҺiເ ເuгѵes wiƚҺ aп iпfiпiƚe пumьeг 0f defiເieпເes, Ρг0ເ Jaρaп Aເa 80 2004, 90 95 sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu