Quan hệ số khuyết cho đường cong chỉnh hình kết hợp với các siêu mặt

đại học thái nguyên Trường đại học sư phạm Nguyễn Thị Phương quan hệ số khuyết cho đường cong chỉnh hình kết hợp với siêu mặt Luận văn thạc sỹ toán học Thái nguyên - 2010 S húa bi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức sở lý thuyết phân bố giá trị cho hàm phân hình 1.1 Công thức Poisson - Jensen 1.2 Các hàm Nevanlinna 1.3 Định lý thứ 1.4 Định lý thø hai 1.5 Quan hƯ sè khut Ch­¬ng 10 10 Quan hệ số khuyết cho đường cong chỉnh hình kết hợp với siêu mặt 15 2.1 Một số kiến thức 2.2 Quan hệ số khuyết cho đường cong chỉnh hình vào 2.3 Quan hệ số khuyết cho đường cong chỉnh hình vào đa tạp tuyến tính 15 Pn (C) 18 34 KÕt luËn 40 Tài liệu tham khảo 41 S húa bi Trung tõm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Më đầu Bài toán nghiên cứu quan hệ số khuyết cho hàm ánh xạ chỉnh hình toán quan trọng, có lịch sử lâu dài thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Trong lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình, ta đà biết kết tiếng: Tổng số khuyết hàm phân hình phức tất điểm nhỏ Năm 1933, H Cartan ([3]) mở rộng kết cho ánh xạ chỉnh hình phức, ¤ng ®· chøng minh: q X δf (Hj ) n + 1, j=1 tính f : C Pn (C) ánh xạ chỉnh hình kh«ng suy biÕn tuyÕn H1 , , Hq siêu phẳng Pn (C) vị trí tổng quát Về sau, nhiều nhà toán học đà xem xét vấn đề tương tự cho trường hợp siêu mặt không tuyến tính: Eremenko Sodin ([7]), Y.- T Siu ([14]), A Biancofiore ([2]), Ru ([10],[11]) vµ nhiều nhà toán học khác Các kết nghiên cứu số khuyết ánh xạ chỉnh hình gắn liền víi hai gi¶ thut quan träng cđa P Griffiths (xem [4], [10]) đặt vào năm 1972 B Shiffman (xem [13], [10]) vào năm 1979 Với ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số siêu mặt bËc f : C −→ Pn (C) d , ë vị trí tổng quát q X f (Dj ) j=1 vµ mét hä D = {D1 , , Dq } Pn (C) , P Griffiths ®Ỉt n+1 d Trong ([13]), B Shiffman cho giả thuyết khó, ông cho q X δf (Dj ) n + j=1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả thuyết B Shiffman M Ru giải năm 2004, giả thuyết P Griffiths đến vấn đề mở Mục tiêu luận văn giới thiệu công trình M Ru vỊ quan hƯ sè khut cho ®­êng cong chØnh hình cho đường cong chỉnh hình f : C Pn (C) f : C −→ X , ®ã H T Phuong X đa tạp tuyến Pn (C) tính , với mục tiêu siêu mặt vị trí tổng quát Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1, luận văn trình bày số kiến thức sở lý thuyết phân bố giá trị cho hàm phân hình: Công thức Poisson-Jensen, hàm Nevanlinna, Nevanlinna hai định lý bổ đề quan hệ số quan hệ số khuyết trường hợp hàm phân hình Trong Chương 2, luận văn trình bày số kết khuyết cho đường cong chỉnh hình trường hợp f : C X , X đa tạp tuyến tính k vÒ f : C −→ Pn (C) k≤n chiÒu ( ), kết hợp với siêu mặt vị trí tổng quát Luận văn hoàn thành nhiệm TS Hà Trần Phương hướng dẫn tận tình đầy trách Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy giúp đỡ điều kiện thuận lợi mà Thầy dành cho tác giả suốt trình thực luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, thầy cô giáo khoa Toán - ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học đà tận tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức giúp đỡ tác giả trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường ĐH Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên, đồng nghiệp môn Toán, cán giảng viên khoa S húa bi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khoa học đà quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực kế hoạch học tập Xin cảm ơn người thân, bạn bè đà cổ vũ động viên tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn S hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng Mét sè kiÕn thøc c¬ sở lý thuyết phân bố giá trị cho hàm phân hình Trong chương trình bày số kiến thức lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna cho hàm phân hình số kiến thức chuẩn bị cho chương 1.1 Công thức Poisson-Jensen Giả z0 D hình f (z) sử hàm chỉnh hình xác gọi không điểm bội h(z) k định f miền D C f Điểm tồn hàm chỉnh không triệt tiêu lân cận cận hàm z0 lân biểu diễn d­íi d¹ng f (z) = (z − z0 )k h(z), nghÜa lµ Hµm D f (z0 ) = f (z0 ) = = f (k−1) (z0 ) = f (z) gọi hàm phân hình vµ D f (k) (z0 ) 6= nÕu trõ số điểm bất thường cực điểm phân hình, f = f1 f2 có không điểm chung Số phức f (z) z0 không điểm bội z0 k f1 , f2 f (z) chỉnh hình Giả sử f hàm hàm chỉnh hình không gọi không điểm bội S húa bi Trung tõm Hc liệu - Đại học Thái Nguyên f1 (z) z0 , k hàm gọi cực điểm bội http://www.lrc-tnu.edu.vn k cđa f (z) nÕu z0 CÊp cđa hµm phân hình k nhỏ cho Định lý 1.1 k không điểm bội f z0 điểm f (z) (z − z0 )k f2 (z) hµm phân hình hình tròn f, Giả sử z0 kĨ c¶ béi, f, kĨ c¶ béi, f (z) 6≡ {|z| ≤ R}, < R < +∞ không điểm cực điểm , số nguyên hàm chỉnh hình, khác (Công thức Poisson - Jensen, [12]) = 1, , M ordz0 f , ký hiệu là Giả sư bν , ν = 1, , N h×nh tròn Khi đó, aà , với z = reiθ (0 ≤ r < R), f (z) 6= 0, +∞ ta cã log |f (z)| = 2π Z2π R2 − r dϕ log |f (Re )| R − 2Rr cos(ϕ − θ) + r2 iϕ M X N R(z − a ) X R(z − b ) z z∈Dr ,z6=0 X ([12]) Hµm Tf (r) = mf (r, ∞) + Nf (r, ∞) gọi hàm đặc trưng f Ký hiÖu (r, ∞) Tf (r, a) = T f a hàm Tf (r, a) gọi hàm đặc tr­ng cđa Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên f t¹i béi a∈C http://www.lrc-tnu.edu.vn NhËn xÐt 1.5 mf (r, a) coi hỵp f Khi f a mf (r, a) hàm đo tập hợp nhận giá trị a f nhận giá trị lớn, nhận giá trị gần Xét mặt đó, hàm a Hàm Tf (r) Nf (r, a) ®o tËp ®èi víi lý thuyết hàm phân hình có vai trò bậc ®a thøc lý thuyÕt ®a thøc Tõ ®Þnh nghÜa hàm đặc trưng ta có Tf (r, a) Nf (r, a) + O(1), O(1) đại lượng bị chặn r Khi công thức Poisson - Jensen (1.1) viết lại sau Tf (r) = Tf (r, a) + log |f (0)| Tiếp theo, ta nghiên cứu số tính chất đơn giản hàm Nevan- linna Dễ thấy, a1 , , ap số phức p p Y X log aµ ≤ log+ |aµ | + µ=1 vµ µ=1 p p X X log aµ