Về quan hệ số khuyết và sự phụ thuộc thuộc đại số của ánh xạ phân hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————– Phạm Đức Thoan VỀ QUAN HỆ SỐ KHUYẾT VÀ SỰ PHỤ THUỘC THUỘC ĐẠI SỐ CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH Chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ Mã: 62.46.10.01 LUẬN ÁN TIẾN SỸ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH ĐỖ ĐỨC THÁI Hà Nội, 01-2011 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Nghiên cứu sinh Lời cảm ơn Luận án hoàn thành quan tâm hướng dẫn tận tình GS.TSKH Đỗ Đức Thái Nhân dịp này, xin gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn đến GS.TSKH Hà Huy Khối, PGS.TSKH Trần Văn Tấn TS Sĩ Đức Quang, người bỏ công sức đọc thảo cho nhiều ý kiến chỉnh sửa quý báu để hồn thành tốt luận án Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Tốn Tin, Phịng Sau đại học Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận án Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy Khoa Tốn-Tin thuộc Trường ĐHSP Hà Nội, Khoa Cơng nghệ Thông Tin thuộc Trường ĐH Xây Dựng, Trường THPT Hải Hậu A, thành viên Seminar Hình học phức thuộc Khoa Toán - Tin Trường ĐHSP Hà Nội, bạn đồng nghiệp động viên khích lệ trao đổi hữu ích suốt q trình học tập cơng tác Nghiên cứu sinh: Phạm Đức Thoan Mục lục Danh mục kí hiệu Mở đầu Chương Về lớp hàm phân hình có tổng số khuyết cực đại 14 1.1 Định nghĩa ký hiệu 15 1.2 Một số kết ban đầu 17 1.3 Về lớp hàm có tổng số khuyết cực đại 27 Chương Ánh xạ phân hình có tổng số khuyết cực đại mục tiêu di động 34 2.1 Một số khái niệm lý thuyết Nevanlinna 35 2.2 Các kết ban đầu 39 2.3 Ánh xạ phân hình với tổng số khuyết cực đại 46 Chương Sự phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình ứng dụng 52 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 56 3.2 Sự phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình 59 3.3 Định lý với bội bị chặn ánh xạ phân hình Kết luận kiến nghị 71 75 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo 77 78 Danh mục kí hiệu • Pn (C): khơng gian xạ ảnh phức n− chiều • Bm (r): hình cầu mở bán kính r Cm • Sm (r): mặt cầu bán kính r Cm • d = ∂ + ∂, dc = i 4π (∂ − ∂): toán tử vi phân m−1 (z) νm (z) = • ωm (z) = ddc log ||z||2 , σm (z) = dc log ||z||2 ∧ ωm ddc ||z||2 : dạng vi phân • Mm : trường hàm phân hình Cm • R( aj q ) j=1 ⊂ Mn : trường nhỏ chứa C tất ajk ajl với ajl ≡ • O(1): hàm bị chặn r • O(r): vơ lớn bậc với r r → +∞ • o(r): vơ bé bậc cao r r → +∞ • log+ r = max{log r, 0} • Tf (r): hàm đặc trưng ánh xạ f : Cm → Pn (C) • µf1 ∧f2 ···∧fk : divisor không điểm ánh xạ f1 ∧ f2 · · · ∧ fk • N (r, D) : hàm đếm divisor D • nf (r, a), Nf (r, a): hàm đếm divisor f ∗ a với f : Cm → P1 (C) a ∈ P1 (C) • mf (r, a): hàm xấp xỉ hàm f : Cm → P1 (C) ứng với a ∈ P1 (C) • δ(a, f ), δ [k] (a, f ): số khuyết số khuyết chặn bội k f a • ρf , γf : bậc bậc hàm f • Df (z) = m j=1 zj fzj (z): đạo hàm toàn thể hàm f • mf,H (r), mf,a (r): hàm xấp xỉ f ứng với siêu phẳng H ứng với ánh xạ phân hình a • W (f ): Wronski hàm f • k Cm : tích ngồi bậc k Cm • || P : có nghĩa mệnh đề P với r ∈ [0, +∞) nằm tập Borel E [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞ Mở đầu Lý chọn đề tài Vào cuối năm 20 kỷ trước R Nevanlinna xây dựng lý thuyết phân bố giá trị hàm phân hình biến Trong thập niên nhiều nhà toán học lớn giới H Cartan, W Stoll, P A Griffiths, L Carlson, P Vojta, J Noguchi quan tâm nghiên cứu phát triển lý thuyết Nevanlinna cho lớp đối tượng tổng quát Cho đến nay, lý thuyết Nevanlinna trở thành lý thuyết quan trọng toán học với nhiều định lý đẹp đẽ sâu sắc chứng minh Kết bật bất đẳng thức số khuyết định lý Bởi hấp dẫn mang tính hình học lý thuyết này, chúng tơi lựa chọn đề tài "Về quan hệ số khuyết phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình" Cụ thể, tập trung nghiên cứu đưa kết số khuyết cho hàm phân hình vào P1 (C) ánh xạ phân hình vào Pn (C), đồng thời chúng tơi nghiên cứu phụ thuộc đại số ứng dụng kết vào việc nghiên cứu vấn đề với bội bị chặn ánh xạ phân hình nhiều biến phức Mục đích đối tượng nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu ánh xạ phân hình có tổng số khuyết cực đại phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình nhiều biến Trong luận án, tư tưởng xét xem lớp hàm phân hình tổng số khuyết cực đại Đối tượng nghiên cứu ánh xạ phân hình có tổng số khuyết cực đại ánh xạ phân hình nhiều biến phụ thuộc đại số Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu kỹ thuật truyền thống Giải tích phức nhiều biến, lý thuyết Nevanlinna Đồng thời, sáng tạo kỹ thuật nhằm giải vấn đề đặt luận án Thứ nghiên cứu tổng số khuyết cực đại hàm phân hình, chúng tơi nghĩ cách "nhiễu" chúng hàm "nhỏ" Thứ hai nghiên cứu vấn đề ánh xạ phân hình tác giả thường chứng minh trực tiếp thông qua định lý thứ hai Ở đây, tiếp cận vấn đề lý thuyết "sự phụ thuộc đại số" ánh xạ phân hình nhiều biến W Stoll đề xuất Các kết đạt ý nghĩa đề tài Trong số định lý mà R Nevanlinna chứng minh, định lý quan hệ số khuyết giữ vai trò đặc biệt Cụ thể, định lý phát biểu sau: Định lý A [9] Nếu f hàm phân hình khác C δ(a, f ) ≤ a∈P1 (C) Định lý A chứng minh cho lớp hàm phân hình nhiều biến phức Chẳng hạn, định lý Cartan-Nochka nói f : C → Pn (C) ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính {Hj }q−1 j=0 siêu phẳng vị trí N -tổng quát Pn (C) q−1 [n] i=0 δ (Hi , f ) ≤ 2N − n + Có câu hỏi tự nhiên đặt là: Ta nói lớp hàm f mà tổng số khuyết cực đại? Nói cách khác, ta nói dấu xảy bất đẳng thức số khuyết? Vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thời gian vừa qua Chẳng hạn, năm 2003 N Toda chứng minh định lý sau: Định lý B([21, Theorems 5.1, 6.1] [24, Theorems 3.1, 4.1]) Giả sử f : Cm −→ Pn (C) ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính {Hj }qj=1 siêu phẳng vị trí N -tổng quát Pn (C), ≤ n < N 2N − n + < q ≤ +∞ Giả sử δ(Hj , f ) > (1 ≤ j ≤ q) q [n] j=1 δ (Hj , f ) = 2N − n + Khi đó, hai phát biểu sau đúng: 2N − n + + siêu phẳng Hj số q siêu phẳng n+1 mà f có giá trị số khuyết 1, tức δ(Hj , f ) = 1, (I) Có (II) {Hj }qj=1 có phân bố Borel Tiếp tục hướng nghiên cứu trên, hai chương đầu luận án nghiên cứu lớp ánh xạ phân hình có tổng số khuyết cực đại Cụ thể, chương số tính chất liên quan đến hàm phân hình có tổng số khuyết cực đại, đồng thời lớp hàm phân hình nhỏ Cụ thể, chứng minh định lý sau: Định lý 1.3.1 Giả sử f : C → P1 (C) hàm phân hình với bậc hữu hạn Với n ≥ 1, ta đặt gn (z) = f (z n ), ∀z ∈ C hn (z) = f n (z), ∀z ∈ C Khi đó, λ := ρf ∈ Z+ λ bậc f có hai điều kiện sau: (i) Tồn n0 ≥ cho a∈C δ(a, gn0 ) = + (ii) Tồn dãy {ni }+∞ i=1 ⊂ Z cho a∈C δ(a, hni ) = với i ≥ Định lý 1.3.2 Giả sử f : Cm → P1 (C) hàm phân hình có bậc hữu hạn thỏa mãn λ := ρf ∈ / Z a∈C δ(a, f ) = 67 với z ∈ S Do đó, f˜j1 ∧ · · · ∧ f˜jl ≡ S Điều kéo theo họ {f˜1 , · · · f˜k−1 } vị trí l-đặc biệt S họ {f˜1 , · · · f˜k−1 , V } vị trí (l + 1)-đặc biệt S Sử dụng Định lý thứ hai vị trí tổng quát ([31, Định lý 2.1]), ta có µf˜1 ∧···∧f˜k−1 ∧V (z) ≥ (k − l)vS , ∀z ∈ S Vì vậy, µf˜1 ∧···∧f˜k (z) ≥ vh (z) + (k − l)vS = min{κ, v(ft ,g1 ) (z)} + (k − l)vS , ∀z ∈ (U ∪ S) \ b−1 i1 {0} Theo tính chất divisor, ta có µf˜1 ∧···∧f˜k (z0 ) ≥ min{κ, v(ft ,g1 ) (z0 )} + k − l Từ đó, suy k (min{κ, v(ft ,gi ) (z0 )} + (k − l) min{1, v(ft ,gi ) (z0 )}) i=1 q + (k − l + 1) min{1, v(ft ,gi ) (z0 )} i=k+1 = min{κ, v(ft ,g1 ) (z0 )} + k − l ≤ µf˜1 ∧···∧f˜k (z0 ) + (k(κ + k − l) + (q − k)(k − l + 1))µg1 ∧···∧gk (z0 ) Trường hợp Giả sử z0 ∈ A\(A∪∪ki=1 I(fi )∪{z|g1 ∧· · ·∧gk (z) = 0}) điểm quy A cho z0 không điểm (ft , gi ), i > k Theo giả thiết, ta có họ {f˜1 , · · · , f˜k } vị trí l-đặc biệt tập giải tích bất khả quy có đối chiều A mà chứa z0 Sử dụng lần Định lý thứ hai vị trí tổng qt ([31, Định lý 2.1]), ta có µf˜1 ∧···∧f˜k (z0 ) ≥ k − l + 68 Từ k (min{κ, v(ft ,gi ) (z0 )} + (k − l) min{1, v(ft ,gi ) (z0 )}) i=1 q (k − l + 1) min{1, v(ft ,gi ) (z0 )} + i=k+1 = (k − l + 1) min{1, v(ft ,gi ) (z0 )} = k − l + ≤ µf˜1 ∧···∧f˜k (z0 ) + (k(κ + k − l) + (q − k)(k − l + 1))µg1 ∧···∧gk (z0 )) Trường hợp Giả sử z0 ∈ (g1 ∧ · · · ∧ gk )−1 {0} Khi k (min{κ, v(ft ,gi ) (z0 )} + (k − l) min{1, v(ft ,gi ) (z0 )}) i=1 q (k − l + 1) min{1, v(ft ,gi ) (z0 )} + i=k+1 ≤ k(κ + (k − l)) + (q − k)(k − l + 1) ≤ µf˜1 ∧···∧f˜k (z0 ) + (k(κ + k − l) + (q − k)(k − l + 1))µg1 ∧···∧gk (z0 )) Từ trường hợp tính chất divisor, với z ∈ A ∪ki=1 I(fi ), ta có k (min{κ, v(ft ,gi ) (z)} + (k − l) min{1, v(ft ,gi ) (z)}) i=1 q + (k − l + 1) min{1, v(ft ,gi ) (z)} i=k+1 ≤ µf˜1 ∧···∧f˜k (z) + (k(κ + k − l) + (q − k)(k − l + 1))µg1 ∧···∧gk (z) Khẳng định thứ Mệnh đề 3.2.6 chứng minh Theo giả thiết định nghĩa hàm đặc trưng, với ≤ j ≤ k, ta có Tf˜j (r) ≤ Tfj (r) + o( max {Tfi (r)}) 1≤j≤k 69 Theo Định lý thứ vị trí tổng quát ([31]), ta suy q k [κ] (N(ft ,gi ) (r) + (k − [1] l)N(ft ,gi ) (r)) i=1 [1] (k − l + 1)N(ft ,gi ) (r) + i=k+1 ≤ N (r, µf˜1 ∧···∧f˜k ) + (k(κ + k − l) + (q − k)(k − l + 1))N (r, µg1 ∧···∧gk ) k ≤ k Tf˜i (r) + (k(κ + k − l) + (q − k)(k − l + 1)) i=1 k ≤ Tgi (r) + O(1) i=1 Tfi (r) + o( max {Tfi (r)}) 1≤i≤k i=1 Khẳng định thứ hai Mệnh đề 3.2.6 chứng minh Mệnh đề chứng minh hoàn toàn Với dãy tăng ≤ i1 < · · · < ik−1 ≤ q, ta có k−1 [κ] [1] [1] (N(ft ,gi ) (r) + (k − l)N(ft ,gi ) (r)) + j (k − l + 1)N(ft ,gi ) (r) j j=1 i∈I k ≤ Tfi (r) + o( max {Tfi (r)}), i=1 1≤i≤k I = {1, 2, · · · , q} \ {i1 , · · · , ik−1 } Từ đó, cách lấy tổng tất dãy ≤ i1 < · · · < ik−1 ≤ q, ta có q [κ] [1] ((k − 1)N(ft ,gi ) (r) + ((k − 1)(k − l) + (q − k + 1)(k − l + 1))N(ft ,gi ) (r)) i=1 k ≤q Tfi (r) + o( max {Tfi (r)}) i=1 [n] 1≤i≤k [κ] Vì κNf (r) ≤ nNf (r), ∀κ nên ta có q [n] [n] ((k −1)κN(ft ,gi ) (r)+((k −1)(k −l)+(q −k +1)(k −l +1))N(ft ,gi ) (r)) i=1 70 k ≤ qn Tfi (r) + o( max {Tfi (r)}) 1≤i≤k i=1 Điều kéo theo q [n] ((k − 1)κ + (k − 1)(k − l) + (q − k + 1)(k − l + 1))N(ft ,gi ) (r) i=1 k ≤ qn Tfi (r) + o( max {Tfi (r)}) 1≤i≤k i=1 Do đó, cách lấy tổng tất t, (1 ≤ t ≤ k), ta có q k [n] ((k − 1)κ + (k − 1)(k − l) + (q − k + 1)(k − l + 1))N(ft ,gi ) (r) i=1 t=1 k ≤ qnk Tfi (r) + o( max Tfi (r)) i=1 1≤i≤k (3.4) Bây giờ, ta chứng minh khẳng định Định lý 3.2.4 (i) Bằng cách áp dụng Định lý 3.1.3 ([29, Hệ 1]) vào vế trái (3.4), ta suy q 2n + k ((k − 1)κ + (k − 1)(k − l) + (q − k + 1)(k − l + 1))Tfi (r) i=1 k ≤ qnk Tfi (r) + o( max {Tfi (r)}) i=1 1≤i≤k Cho r −→ +∞, ta có q ≤k−1+ (2n + 1)nk − (k − 1)κ − (k − 1)(k − l) k−l+1 (2n + 1)nk − (k − 1)(κ − 1) k−l+1 Điều mâu thuẫn Vì vậy, ta có f1 ∧ · · · ∧ fk ≡ = 71 (ii) Bằng cách áp dụng Định lý 3.1.2 ([29, Định lý 3.1]) vào vế trái (3.4), ta suy q n+2 k ((k − 1)κ + (k − 1)(k − l) + (q − k + 1)(k − l + 1))Tfi (r) i=1 k ≤ qnk Tfi (r) + o( max {Tfi (r)}) i=1 1≤j≤k Cho r −→ +∞, ta có (n + 2)nk − (k − 1)κ − (k − 1)(k − l) k−l+1 (n + 2)nk − (k − 1)(κ − 1) = k−l+1 Điều mâu thuẫn Từ đó, ta có f1 ∧ · · · ∧ fk ≡ q ≤k−1+ (iii) Bằng cách áp dụng Định lý 3.1.1 ([30, Trang 304]) vào vế trái (3.4), ta suy k (q−n−1) ((k−1)κ+(k−1)(k−l)+(q−k+1)(k−l+1))Tfi (r) i=1 k ≤ qnk Tfi (r) + o( max {Tfi (r)}) i=1 1≤j≤k Cho r −→ +∞, ta có (q − n − 1)((k − 1)(κ − 1) + q(k − l + 1)) ≤ qnk Điều mâu thuẫn Vì vậy, ta có f1 ∧ · · · ∧ fk ≡ Định lý chứng minh 3.3 Định lý với bội bị chặn ánh xạ phân hình Trong mục nghiên cứu vấn đề với bội bị chặn ánh xạ phân hình nhiều biến phức vào khơng gian xạ ảnh phức thơng qua tính "suy biến đại số" ánh xạ 72 Định lý 3.3.1 Giả sử f1 , f2 : Cm → Pn (C) ánh xạ phân hình khác hằng, gj : Cm → Pn (C) mục tiêu di động vị trí tổng quát Tgj (r) = o(max1≤i≤2 {Tfi (r)}) (1 ≤ j ≤ q), đồng thời (fi , gj ) ≡ (1 ≤ i ≤ 2, ≤ j ≤ q) Gọi κ số nguyên dương κ = +∞ κ = min{κ, n} Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) min{κ, v(f1 ,gj ) (z)} = min{κ, v(f2 ,gj ) } với z ∈ Cm , ≤ j ≤ q, (ii) dim{(f1 , gi )−1 {0} ∩ (f1 , gj )−1 (z)} ≤ n − với ≤ i < j ≤ q, (iii) f1 (z) = f2 (z) với z ∈ ∪qj=1 (f1 , gj )−1 {0} Khi đó, q > 2n(2n + 1) − 2(κ − 1) f1 ≡ f2 Chứng minh Giả sử f1 ≡ f2 Bằng cách đổi số cần, ta giả thiết (f1 , gk1 ) (f1 , gk1 +1 ) (f1 , gk2 ) (f1 , g1 ) (f1 , g2 ) ≡ ≡···≡ ≡···≡ ≡ (f2 , g1 ) (f2 , g2 ) (f2 , gk1 ) (f2 , gk1 +1 ) (f2 , gk2 ) nhóm ≡ nhóm (f1 , gks−1 +1 ) (f1 , gk3 ) (f1 , gks ) (f1 , gk2 +1 ) ≡···≡ ≡···≡ , ≡···≡ (f2 , gk2 +1 ) (f2 , gk3 ) (f2 , gks−1 +1 ) (f2 , gks ) nhóm nhóm s ks = q Với ≤ i ≤ q, ta đặt  i + n j= i + n − q i + n ≤ q, i + n > q, Pi = (f1 , gi ) (f2 , gi ) − (f1 , gj ) (f2 , gj ) Vì f1 ≡ f2 nên số phần tử nhóm nhiều n Thật vậy, giả sử ngược lại Không tính tổng qt, ta giả sử số phần tử nhóm lớn n + Với z ∈ Cm , ma trận sau có 73 hạng  (f2 , g1 )(z)  =  (f1 , gn+1 )(z) (f2 , gn+1 )(z)   g10 (z) · · · g1n (z) f10 (z) f20 (z)    ·    gn+10 (z) · · · gn+1n (z) f1n (z) f2n (z)         (f1 , g1 )(z)     Vì họ {gj }pj=1 vị trí tổng quát nên ma trận   f10 (z) · · · f1n (z)       f20 (z) · · · f2n (z) (f1 , gi ) (f2 , gi ) (f1 , gj ) (f1 , gi ) (f1 , gj ) thuộc nhóm phân biệt Suy ≡ Không (f2 , gj ) (f2 , gi ) (f2 , gj ) tính tổng quát, ta giả thiết có hạng Do đó, f1 ≡ f2 Điều mâu thuẫn Vì vậy, Pi = (f1 , gi ) (f2 , gi ) − ≡ (1 ≤ i ≤ q) (f1 , gj ) (f2 , gj ) Với k = l = 2, từ bất đẳng thức (3.2), ta có [κ] [1] N(ft ,gj ) (r) ≤ N(ft ,gj ) (r) + j=i,n+i Tfj (r) + o(max {Tfi (r)}) j=1,2 j=i,n+i 1≤i≤2 với ≤ t ≤ Từ đó, lấy tổng theo i, ta có q [κ] [1] (2N(ft ,gi ) (r) + (q − 2)N(ft ,gi ) (r)) ≤ q i=1 Tfj (r) + o(max {Tfi (r)}) j=1,2 1≤i≤2 Do q [n] Tfj (r) + o(max {Tfi (r)}) (2κ + q − 2)N(ft ,gi ) (r) ≤ qn i=1 j=1,2 1≤i≤2 74 Lấy tổng lần theo t, ta có q [n] (2κ + q − 2)N(ft ,gi ) (r) ≤ 2qn t=1,2 i=1 Tfj (r) + o(max {Tfi (r)}) j=1,2 1≤i≤2 (3.5) Áp dụng Định lý 3.1.3 ([29, Hệ 1]) vào vế trái (3.5), ta nhận q (2κ + q − 2)Tfi (r) ≤ 2qn Tfj (r) + o(max {Tfi (r)}) 1≤i≤2 2n + i=1,2 j=1,2 Cho r → +∞, ta có q ≤ 2n(2n + 1) − 2(κ − 1) Điều mâu thuẫn Do đó, ta có f1 ≡ f2 Định lý chứng minh Kết luận kiến nghị Kết luận Các kết luận án: • Đã số tính chất liên quan đến hàm phân hình có tổng số khuyết cực đại lớp hàm phân hình với tổng số khuyết cực đại "mỏng" theo nghĩa "nhiễu" hàm phân hình với tổng số khuyết cực đại hàm phân hình "nhỏ" chúng khơng cịn hàm phân hình có tổng số khuyết cực đại • Đã chứng minh định lý số khuyết ánh xạ phân hình nhiều biến phức với tổng số khuyết cực đại mục tiêu di động • Đã chứng minh ba định lý phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với mục tiêu di động vị trí tổng quát • Đã chứng minh định lý với bội bị chặn ánh xạ phân hình nhiều biến phức với số mục tiêu q < 4n2 + 2n tình khơng có giả thiết tính khơng suy biến tuyến tính ánh xạ phân hình f : Cm → Pn (C) Kiến nghị nghiên cứu Trong chương 1, nghiên cứu quan hệ số khuyết cho hàm phân hình từ Cm vào P1 (C) mà chưa nhận kết Định lý 1.3.1 Định lý 1.3.2 cho ánh xạ phân 76 hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn (C) với n ≥ Một cách tự nhiên, cần phải đưa định lý tương tự định lý cho trường hợp ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh Pn (C) với n ≥ Trong chương 2, Định lý 3.2.1 tổng số khuyết cực đại ánh xạ phân hình cho mục tiêu di động chưa chặn bội Liệu cải tiến cách chứng minh định lý chương để giảm số mục tiêu di động hay không? Với câu hỏi phân tích trên, hướng nghiên cứu chúng tơi sau: • Nghiên cứu lớp ánh phân hình vào không gian xạ ảnh phức chiều cao với tổng số khuyết cực đại cho mục tiêu cố định mục tiêu di động có tính đến việc chặn bội • Cải tiến chứng minh định lý thứ hai cách đếm bội để giảm số mục tiêu di động gây tính suy biến cho ánh xạ phân hình • Tiếp tục làm vấn đề có tiến định lý thứ hai định lý tính suy biến đại số Do thời gian hạn hẹp nên chúng tơi chưa thể có kết cho vấn đề đặt Chúng hi vọng vấn đề sớm giải thời gian tới Danh mục cơng trình công bố liên quan đến luận án [1] Pham Duc Thoan, Pham Viet Duc and Si Duc Quang, (2010) A unicity theorem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables, Submitted to Bull Math de la Soc des Sciences Math de Roumanie [2] Duc Thoan Pham and Viet Duc Pham, (2010) Algebraic dependences of meromorphic mappings in several complex variables, Ukrainian Math J 62, No 7, p 923-936 [3] Duc Thoan Pham and Viet Duc Pham, On meromorphic mappings in several complex variables with maximal deficiency sum for moving targets, Đã có nhận xét tốt phản biện gửi sửa chữa tới Acta Math Vietnamica [4] Pham Duc Thoan and Le Thanh Tung, (2011) On meromorphic functions with maximal defect sum, Ann Polon Math 100, No 2, p 115-125 Tài liệu tham khảo [1] Y Aihara, Finiteness theorem for meromorphic mappings, Osaka J Math 35 (1998), 593-616 [2] Z Chen and Y Li and Q Yan, Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings for moving targets, Acta Math Sci Ser B Engl Ed 27 (2007), 625–634 [3] G Dethloff and Tran Van Tan, Uniqueness problem for meromorphic mappings with truncated multiplicities and few targets, Ann de la Fac des Sci de Toulouse 15(2006), 217-242 [4] G Dethloff and Tran Van Tan, Uniqueness problem for meromorphic mappings with truncated multiplicities and moving targets, Nagoya J Math 181(2006), 75-101 [5] A Edrei and W H J Fuchs, On the growth of meromorphic functions with deficient values, Trans Amer Math Soc 93(1959), 292-328 [6] H Fujimoto, The uniqueness problem meromorphic maps into the complex projective space multiplicities in value distribution theory, Nagoya Math J 58(1975), 1-23 [7] H Fujimoto, Value Distribution Theory of the Gauss Map of Minimal Surfaces in Rm , Aspects of Math E21, 1993 [8] H Fujimoto, Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, Nagoya Math J 152(1998), 131-152 79 [9] W K Hayman, Meromorphic Functions, Oxford at the Clarendon Press, 1964 [10] Pham Hoang Ha and Si Duc Quang and Do Duc Thai, Unicity theorems with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables sharing small identical sets for moving targets, Intern J Math 21(2010), 1095-1120 [11] J Lu and Y Yasheng, The sum of deficiencies of entire function on Cm , China Ann Math 24B(2003), 221-226 [12] R Nevanlinna, Ueber eine Klasse meromorphe Funktionen, eme Congr Math Scand Oslo 7(1930), 81-83 [13] R Nevanlinna, Analytic Functions, Springer-Verlag, New York, 1970 [14] J Noguchi, A relation between order and defects of meromorphic mappings of Cm into Pn (C), Nagoya Math J 59(1975), 97-106 [15] J Noguchi, A note on entire pseudo-holomorphic curves and the proof of the Cartan-Nochka’s theorem, Kodai Math J 28(2005), 336-346 [16] M Ru, On the generel form of the second main theorem, Trans Amer Math Soc 349(1997), no 12, 5093-5105 [17] M Ru, A uniqueness theorem with moving targets without counting multiplicity, Proc Amer Math Soc 129(2001), 2701-2707 [18] M Ru and W Stoll, The Cartan conjecture for moving targets, Proc Sympos Pure Math 52(1991), 477-508 [19] N Steinmetz, A uniqueness theorem for three meromorphic functions, Annales Acad Sci Fenn 13(1988), 93-110 80 [20] N Toda, On the deficiency of holomorphic curves with maximal deficiency sum, Kodai Math J 24(2001), 134-146 [21] N Toda, A survey of extremal holomorphic curves for the truncated defect relation, Bull Nagoya Inst Techn 55(2003), 1-18 [22] N Toda, On holomorphic curves extremal for the defect relation, Bull Nagoya Inst Techn 55(2003), 121-129 [23] N Toda, On holomorphic curves extremal for the truncated defect relation and some applications, Proc Japan Acad Ser A 81(2005), 99-104 [24] N Toda, On holomorphic curves extremal for the truncated defect relation, Proc Japan Acad Ser A 82(2006), 18-23 [25] N Toda, On holomorphic curves extremal for the µn -defect relation, Kodai Math J 30(2007), 111-130 [26] N Toda, On the truncated defect relation for holomorphic curves, Kodai Math J 32(2009), 352-389 [27] Do Duc Thai and Si Duc Quang, Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Intern J Math 16(2005), 903-942 [28] Do Duc Thai and Si Duc Quang, Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables, Inter J Math 17(2006), 1223-1257 [29] Do Duc Thai and Si Duc Quang, Second main theorem with truncated counting function in several complex variables for moving targets, Forum Mathematicum 20(2008), 145-179 81 [30] W Stoll, Value Distribution on Parabolic Spaces, Lecture Notes in Math 600(1977), Springer-Verlag [31] W Stoll, On the propagation of dependences, Pacific J Math 139(1989), 311-337 [32] Z Ye, A sharp form of Nevanlinna second theorem of several complex variables, Math Z 222(1996), 81-95 ... cứu ánh xạ phân hình có tổng số khuyết cực đại phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình nhiều biến Trong luận án, tư tưởng xét xem lớp hàm phân hình tổng số khuyết cực đại Đối tượng nghiên cứu ánh xạ phân. .. "Về lớp hàm phân hình có tổng số khuyết cực đại" Chương II: "Ánh xạ phân hình có tổng số khuyết cực đại mục tiêu di động" Chương III: "Sự phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình ứng dụng" Chương Về. .. với tổng số khuyết cực đại 46 Chương Sự phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình ứng dụng 52 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 56 3.2 Sự phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình 59 3.3 Định