Về quan hệ số khuyết và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————– Phạm Đức Thoan VỀ QUAN HỆ SỐ KHUYẾT VÀ SỰ PHỤ THUỘC THUỘC ĐẠI SỐ CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH Chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ Mã: 62.46.10.01 LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH ĐỖ ĐỨC THÁI Hà Nội, 01-2011 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Nghiên cứu sinh Lời cảm ơn Luận án hoàn thành quan tâm hướng dẫn tận tình GS.TSKH Đỗ Đức Thái Nhân dịp này, xin gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến GS.TSKH Hà Huy Khoái, PGS.TSKH Trần Văn Tấn TS Sĩ Đức Quang, người bỏ công sức đọc thảo cho nhiều ý kiến chỉnh sửa quý báu để hoàn thành tốt luận án Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán Tin, Phòng Sau đại học Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận án Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô Khoa Toán-Tin thuộc Trường ĐHSP Hà Nội, Khoa Công nghệ Thông Tin thuộc Trường ĐH Xây Dựng, Trường THPT Hải Hậu A, thành viên Seminar Hình học phức thuộc Khoa Toán - Tin Trường ĐHSP Hà Nội, bạn đồng nghiệp động viên khích lệ trao đổi hữu ích suốt trình học tập công tác Nghiên cứu sinh: Phạm Đức Thoan Mục lục Danh mục kí hiệu Mở đầu Chương Về lớp hàm phân hình có tổng số khuyết cực đại 14 1.1 Định nghĩa ký hiệu 15 1.2 Một số kết ban đầu 17 1.3 Về lớp hàm có tổng số khuyết cực đại 27 Chương Ánh xạ phân hình có tổng số khuyết cực đại mục tiêu di động 34 2.1 Một số khái niệm lý thuyết Nevanlinna 35 2.2 Các kết ban đầu 39 2.3 Ánh xạ phân hình với tổng số khuyết cực đại 46 Chương Sự phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình ứng dụng 52 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 56 3.2 Sự phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình 59 3.3 Định lý với bội bị chặn ánh xạ phân hình Kết luận kiến nghị 71 75 Danh mục công trình công bố liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo 77 78 Danh mục kí hiệu • Pn (C): không gian xạ ảnh phức n− chiều • Bm (r): hình cầu mở bán kính r Cm • Sm (r): mặt cầu bán kính r Cm • d = ∂ + ∂, dc = i 4π (∂ − ∂): toán tử vi phân m−1 (z) νm (z) = • ωm (z) = ddc log ||z||2 , σm (z) = dc log ||z||2 ∧ ωm ddc ||z||2 : dạng vi phân • Mm : trường hàm phân hình Cm • R( aj q ) j=1 ⊂ Mn : trường nhỏ chứa C tất ajk ajl với ajl ≡ • O(1): hàm bị chặn r • O(r): vô lớn bậc với r r → +∞ • o(r): vô bé bậc cao r r → +∞ • log+ r = max{log r, 0} • Tf (r): hàm đặc trưng ánh xạ f : Cm → Pn (C) • µf1 ∧f2 ···∧fk : divisor không điểm ánh xạ f1 ∧ f2 · · · ∧ fk • N (r, D) : hàm đếm divisor D • nf (r, a), Nf (r, a): hàm đếm divisor f ∗ a với f : Cm → P1 (C) a ∈ P1 (C) • mf (r, a): hàm xấp xỉ hàm f : Cm → P1 (C) ứng với a ∈ P1 (C) • δ(a, f ), δ [k] (a, f ): số khuyết số khuyết chặn bội k f a • ρf , γf : bậc bậc hàm f • Df (z) = m j=1 zj fzj (z): đạo hàm toàn thể hàm f • mf,H (r), mf,a (r): hàm xấp xỉ f ứng với siêu phẳng H ứng với ánh xạ phân hình a • W (f ): Wronski hàm f • k Cm : tích bậc k Cm • || P : có nghĩa mệnh đề P với r ∈ [0, +∞) nằm tập Borel E [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞ Mở đầu Lý chọn đề tài Vào cuối năm 20 kỷ trước R Nevanlinna xây dựng lý thuyết phân bố giá trị hàm phân hình biến Trong thập niên nhiều nhà toán học lớn giới H Cartan, W Stoll, P A Griffiths, L Carlson, P Vojta, J Noguchi quan tâm nghiên cứu phát triển lý thuyết Nevanlinna cho lớp đối tượng tổng quát Cho đến nay, lý thuyết Nevanlinna trở thành lý thuyết quan trọng toán học với nhiều định lý đẹp đẽ sâu sắc chứng minh Kết bật bất đẳng thức số khuyết định lý Bởi hấp dẫn mang tính hình học lý thuyết này, lựa chọn đề tài "Về quan hệ số khuyết phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình" Cụ thể, tập trung nghiên cứu đưa kết số khuyết cho hàm phân hình vào P1 (C) ánh xạ phân hình vào Pn (C), đồng thời nghiên cứu phụ thuộc đại số ứng dụng kết vào việc nghiên cứu vấn đề với bội bị chặn ánh xạ phân hình nhiều biến phức Mục đích đối tượng nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu ánh xạ phân hình có tổng số khuyết cực đại phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình nhiều biến Trong luận án, tư tưởng xét xem lớp hàm phân hình tổng số khuyết cực đại Đối tượng nghiên cứu ánh xạ phân hình có tổng số khuyết cực đại ánh xạ phân hình nhiều biến phụ thuộc đại số Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu kỹ thuật truyền thống Giải tích phức nhiều biến, lý thuyết Nevanlinna Đồng thời, sáng tạo kỹ thuật nhằm giải vấn đề đặt luận án Thứ nghiên cứu tổng số khuyết cực đại hàm phân hình, nghĩ cách "nhiễu" chúng hàm "nhỏ" Thứ hai nghiên cứu vấn đề ánh xạ phân hình tác giả thường chứng minh trực tiếp thông qua định lý thứ hai Ở đây, tiếp cận vấn đề lý thuyết "sự phụ thuộc đại số" ánh xạ phân hình nhiều biến W Stoll đề xuất Các kết đạt ý nghĩa đề tài Trong số định lý mà R Nevanlinna chứng minh, định lý quan hệ số khuyết giữ vai trò đặc biệt Cụ thể, định lý phát biểu sau: Định lý A [9] Nếu f hàm phân hình khác C δ(a, f ) ≤ a∈P1 (C) Định lý A chứng minh cho lớp hàm phân hình nhiều biến phức Chẳng hạn, định lý Cartan-Nochka nói f : C → Pn (C) ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính {Hj }q−1 j=0 siêu phẳng vị trí N -tổng quát Pn (C) q−1 [n] i=0 δ (Hi , f ) ≤ 2N − n + Có câu hỏi tự nhiên đặt là: Ta nói lớp hàm f mà tổng số khuyết cực đại? Nói cách khác, ta nói dấu xảy bất đẳng thức số khuyết? Vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thời gian vừa qua Chẳng hạn, năm 2003 N Toda chứng minh định lý sau: Định lý B([21, Theorems 5.1, 6.1] [24, Theorems 3.1, 4.1]) Giả sử f : Cm −→ Pn (C) ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính {Hj }qj=1 siêu phẳng vị trí N -tổng quát Pn (C), ≤ n < N 2N − n + < q ≤ +∞ Giả sử δ(Hj , f ) > (1 ≤ j ≤ q) q [n] j=1 δ (Hj , f ) = 2N − n + Khi đó, hai phát biểu sau đúng: 2N − n + + siêu phẳng Hj số q siêu phẳng n+1 mà f có giá trị số khuyết 1, tức δ(Hj , f ) = 1, (I) Có (II) {Hj }qj=1 có phân bố Borel Tiếp tục hướng nghiên cứu trên, hai chương đầu luận án nghiên cứu lớp ánh xạ phân hình có tổng số khuyết cực đại Cụ thể, chương số tính chất liên quan đến hàm phân hình có tổng số khuyết cực đại, đồng thời lớp hàm phân hình nhỏ Cụ thể, chứng minh định lý sau: Định lý 1.3.1 Giả sử f : C → P1 (C) hàm phân hình với bậc hữu hạn Với n ≥ 1, ta đặt gn (z) = f (z n ), ∀z ∈ C hn (z) = f n (z), ∀z ∈ C Khi đó, λ := ρf ∈ Z+ λ bậc f có hai điều kiện sau: (i) Tồn n0 ≥ cho a∈C δ(a, gn0 ) = + (ii) Tồn dãy {ni }+∞ i=1 ⊂ Z cho a∈C δ(a, hni ) = với i ≥ Định lý 1.3.2 Giả sử f : Cm → P1 (C) hàm phân hình có bậc hữu hạn thỏa mãn λ := ρf ∈ / Z a∈C δ(a, f ) = data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình" Cụ thể, tập trung nghiên cứu đưa kết số khuyết cho hàm phân hình vào P1 (C) ánh xạ phân hình vào Pn (C), đồng thời nghiên cứu phụ thuộc đại số ứng dụng kết vào... với tổng số khuyết cực đại 46 Chương Sự phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình ứng dụng 52 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 56 3.2 Sự phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình 59 3.3 Định... án, tư tưởng xét xem lớp hàm phân hình tổng số khuyết cực đại Đối tượng nghiên cứu ánh xạ phân hình có tổng số khuyết cực đại ánh xạ phân hình nhiều biến phụ thuộc đại số Phương pháp nghiên cứu