Về dạng định lý cơ bản thứ hai kiểu cartan cho các đường cong chỉnh hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TRƯỜNG GIANG VỀ DẠNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TRƯỜNG GIANG VỀ DẠNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TẠ THỊ HỒI AN THÁI NGUN – 2008 Mưc lưc Mð ¦u Lỵ thuyát Nevanlinna cho hm phƠn hẳnh 1.1 Hm phƠn hẳnh 1.2 Lỵ thuyát Nevanlinna cho hm phƠn hẳnh CĂc hm Nevanlinna cho hm phƠn hẳnh 1.2.1 1.2.2 Mët sè v½ dư v· c¡c h m Nevanlinna 10 1.2.3 Mët sè tẵnh chĐt cừa cĂc hm Nevanlinna 13 1.2.4 nh lỵ cỡ bÊn thự nhĐt cừa Nevanlinna 14 1.2.5 nh lỵ cỡ bÊn thự hai 15 nh lỵ cỡ bÊn thự hai kiu Nevanlinna-Cartan cho cĂc ữớng cong chnh hẳnh 23 2.1 CĂc hm Nevanlinna-Cartan cho ữớng cong chnh hẳnh 23 2.2 nh lỵ cỡ bÊn thự hai cho ữớng cong chnh hẳnh cưt cĂc siảu mt 26 2.2.1 Mët sè bê · quan trång 26 2.2.2 nh lỵ cỡ bÊn thự hai cho cĂc ữớng cong ch¿nh h¼nh 29 M Ưu Lỵ thuyát phƠn bố gi¡ trà cõa Nevanlinna ÷đc ¡nh gi¡ l  mët nhỳng thnh tỹu àp  v sƠu sưc cừa toĂn hồc thá k hai mữỡi ữủc hẳnh thnh tứ nhỳng nôm Ưu cừa cừa thá k, lỵ thuyát Nevanlinna cõ nguỗn gốc tứ nhỳng cổng trẳnh cừa Hadamard, Borel v  ng y c ng câ nhi·u ùng dưng c¡c l¾nh vỹc khĂc cừa toĂn hồc Lỵ thuyát phƠn bố gi¡ trà cê iºn l  sü têng qu¡t hâa ành lỵ cỡ bÊn cừa Ôi số, chẵnh xĂc hỡn, lỵ thuyát nghiản cựu sỹ phƠn bố giĂ tr cừa cĂc hm phƠn hẳnh tứ C vo C{} Trung tƠm cừa lỵ thuyát ny gỗm hai nh lỵ cỡ bÊn cừa Nevanlinna nh lỵ cỡ bÊn thự nhĐt l mởt cĂch viát khĂc cừa cổng thực Poisson - Jensen, nh lỵ ny nõi rơng hm c trững T (r, a, f ) khổng phử thuởc vo a náu tẵnh sai khĂc mởt Ôi lữủng b chn, õ a l mởt số phực tũy ỵ nh lỵ cỡ bÊn thự hai th hiằn nhỳng kát quÊ àp nhĐt, sƠu sưc nhĐt cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr, nh lỵ ny ÷a mèi quan h» giúa h m °c tr÷ng v  hm xĐp x Nôm 1933, H Cartan [3]  chựng minh nh lỵ sau Ơy: Cho f : C Pn(C) l ữớng cong chnh hẳnh khổng suy bián tuyán tẵnh, Hi, i = 1, , q, l cĂc siảu phng v trẵ tờng quĂt Vợi mội > ta câ q X m(r, Hj , f ) ≤ (n + + ε)T (r, f ), j=1 õ bĐt ng thực úng vợi mồi r > nơm ngoi mởt têp cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn Kát quÊ trản cừa H Cartan l cổng trẳnh Ưu tiản và m rởng lỵ thuyát Nevanlinna cho ữớng cong chnh hẳnh Sỷ dửng kát quÊ õ  ữa cĂc ữợc lữủng số khuyát cho cĂc ữớng cong chnh hẳnh giao vợi cĂc siảu phng v trẵ tờng quĂt Cổng trẳnh ny cừa  ữủc Ănh giĂ l hát sực quan trồng v m mởt hữợng nghiản cựu mợi cho viằc phĂt trin lỵ thuyát Nevanlinna Bi vêy, lỵ thuyát Nevanlinna cho cĂc ữớng cong chnh hẳnh sau ny ữủc mang tản hai nh  to¡n håc nêi ti¸ng cõa th¸ k 20, â l Lỵ thuyát Nevanlinna - Cartan" Nhỳng nôm gƯn Ơy, viằc m rởng kát quÊ cừa Cartan cho trữớng hủp cĂc siảu mt thu hút ữủc sỹ ỵ cừa nhiÃu nh toĂn hồc Nôm 2004, M Ru [12]  chùng minh gi£ thuy¸t cõa B Shiffman [14] °t Cho f : C → Pn(C) l  ÷íng cong ch¿nh hẳnh khổng suy bián Ôi số, Dj , j = 1, , q, l cĂc siảu mt bêc dj v trẵ tờng quĂt Khi õ vo nôm 1979 Cử th,  chựng minh rơng: (q (n + 1) − ε)T (r, f ) ≤ q X d−1 j N (r, Dj , f ) + o(T (r, f )), j=1 õ bĐt ng thực trản úng vợi mồi r ừ lợn nơm ngoi mởt têp cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn Kát quÊ trản  ữủc Q Yan v  Z Chen [4] mð rëng cho trữớng hủp hm ám tẵnh án chn (hay cỏn gồi l hm ám cửt) Kát quÊ ữủc phĂt biu nh÷ sau: Gi£ sû f : C → Pn(C) l  mởt Ănh xÔ chnh hẳnh khổng suy bián Ôi số v  Dj , ≤ j ≤ q l  q siảu mt Pn(C) cõ bêc dj tữỡng ựng, v trẵ tờng quĂt Khi õ vợi mội > 0, tỗn tÔi mởt số nguyản dữỡng M cho q − (n + 1) − ε)T (r, f ) ≤ q X M d−1 j N (r, Dj , f ) + o (T (r, f )) , j=1 õ bĐt ng thực trản úng vợi mồi r ừ lợn nơm ngoi mởt têp cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn Cho án nay, nghiản cựu sỹ tỗn tÔi cừa cĂc Ănh xÔ chnh hẳnh thổng qua Ênh ngữủc cừa cĂc siảu mt, ngữới ta thữớng sỷ dửng nh lỵ cỡ bÊn thự hai kiu Nevanlinna - Cartan thổng qua hm ám tẵnh án chn Ngoi nh lỵ Nevanlinna - Cartan cỏn cho ta hiu thảm và tẵnh suy bián cừa ữớng cong chnh hẳnh Mửc tiảu chẵnh cừa luên vôn l trẳnh by lÔi cĂc kát quÊ  ữủc ữa cừa Q Yan v Z Chen vợi cổng cử nghiản cựu chừ yáu l Lỵ thuyát Nevanlinna - Cartan cho cĂc Ănh xÔ chnh hẳnh tứ C vo Pn (C) Luên vôn ữủc chia thnh chữỡng vợi phƯn m Ưu, kát luên v danh mửc ti liằu tham khÊo Chữỡng trẳnh by mởt số kián thực cỡ s và hm phƠn hẳnh, cĂc nh nghắa v tẵnh chĐt cừa cĂc hm Nevanlinna Trẳnh by chựng minh nh lỵ cỡ bÊn thự hai cừa Nevanlinna cho hm phƠn hẳnh Chữỡng trẳnh by chựng minh mởt dÔng nh lỵ cỡ bÊn thự hai cho Ănh xÔ chnh hẳnh cưt cĂc siảu mt v trẵ tờng quĂt Chữỡng ny ữủc viát dỹa trản cổng trẳnh cừa Q Yan, Z Chen [4] Luên vôn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa TS TÔ Th Hoi An TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh án TS v· sü gióp ï khoa håc m  TS ¢ d nh cho tĂc giÊ v  tÔo nhỳng iÃu kiằn thuên lủi nhĐt  tĂc giÊ hon thnh luên vôn TĂc giÊ xin trƠn trồng cÊm ỡn cĂc thƯy cổ giĂo trữớng Ôi hồc Sữ phÔm thuởc Ôi hồc ThĂi Nguyản, c biằt l Thy Phữỡng H TrƯn v cĂc thƯy cổ giĂo trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi v cĂc thƯy cổ giĂo Viằn ToĂn hồc  giÊng dÔy v  gióp ï t¡c gi£ ho n th nh khâa håc v  luên vôn TĂc giÊ cụng xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban Gi¡m hi»u tr÷íng Cao ¯ng Cỉng ngh» v  Kinh tá Cổng nghiằp, gia ẳnh, bÔn b  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi nhĐt cho tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp Chữỡng Lỵ thuyát Nevanlinna cho hm phƠn hẳnh Trong chữỡng ny chúng tổi nhưc lÔi mởt số kián thực cỡ bÊn s ữủc sỷ dửng cĂc phƯn sau CĂc kián thực cừa chữỡng ny ữủc trẵch dăn tứ [1], [5], [7], [9], 1.1 Hm phƠn hẳnh 1.1.1 nh nghắa Cho D l mởt mi·n m°t ph¯ng phùc C, f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ữủc gồi l C-khÊ vi tÔi z0 C náu tỗn f (z0 + h) f (z0 ) tÔi giợi hÔn hỳu hÔn lim h0 h GiĂ tr õ ữủc gồi l Ôo hm phực cừa hm f (z) tÔi z0 hm Hm f (z) ữủc gồi l C-khÊ vi D náu nõ C - khÊ vi tÔi mồi z0 D 1.1.2 nh nghắa nõ C Hm Hm f (z) ữủc gồi l chnh hẳnh tÔi z0 C náu - khÊ vi mởt lƠn cên no õ cừa f (z) ữủc gồi l z0 chnh hẳnh trản D náu nõ chnh hẳnh tÔi mồi im z thuởc D Têp cĂc hm chnh hẳnh trản miÃn 1.1.3 nh nghắa phực C ữủc gồi l f (z) Hm D, kẵ hiằu l H(D) chnh hẳnh ton mt phng hm nguyản 1.1.4 nh lỵ Hm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) chnh hẳnh trản D náu cĂc h m u(x, y) v  v(x, y) l  R2 - kh£ vi tr¶n D v  tr¶n â c¡c h m u(x, y), v(x, y) thäa m¢n i·u ki»n Cauchy - Riemann, tùc l  ∂u ∂v ∂u ∂v = , = − , ∀ (x, y) ∈ D ∂x ∂y ∂y ∂x 1.1.5 nh lỵ GiÊ sỷ f (z) l mởt hm chnh hẳnh miÃn hỳu hÔn D C Khi õ mội lƠn cên cừa mội im z D, h m f (z) ÷đc khai triºn th nh chi (z − z0 ) (z − z0 )2 00 f (z) = f (z0 ) + f (z0 ) + f (z0 ) + 1! 2! Hìn núa, chuội trản hởi tử Ãu án hm |z z0 | tũy ỵ nơm D Chuội (1.1) ữủc gồi l cừa im im (hay khổng-im cĐp n = 1, , m − chuéi Taylo cõa h m f (z) lƠn cên náu f= g h z0 ∈ C m > 0) v  1.1.7 ành ngh¾a D⊂C hẳnh trỏn z0 1.1.6 nh nghắa mồi f (z) (1.1) ÷đc gåi l  cõa h m f (z) khỉng im bêc m > náu f (n) (z0 ) = 0, cho f (m) (z0 ) 6= H m â f (z) g, h ÷đc gåi l  h m phƠn hẳnh l cĂc hm chnh hẳnh trong D Náu l D = C thẳ ta nõi f (z) phƠn hẳnh trản C hay ỡn giÊn l f (z) hm phƠn hẳnh 1.1.8 nh nghắa im z0 ữủc gồi cỹc im cĐp l h(z), (z z0 )m z0 v  h(z0 ) 6= m > cừa hm f (z) náu lƠn cên cừa z0 h m f (z) = â h(z) l  h m chnh hẳnh lƠn cên cừa 1.1.9 nh lỵ (Cổng thùc Poiison - Jensen) Gi£ sû f (z) 6≡ l mởt hm phƠn hẳnh hẳnh trỏn {|z| R} vợi < R < GiÊ sỷ aà, µ = 1, , M, l  c¡c khæng iºm kº c£ bëi, bν , ν = 1, 2, , N, l  c¡c cüc iºm cõa f h¼nh trán â, cơng kº c£ bëi Khi â, n¸u z = reiθ (0 < r < R), f (z) 6= 0, f (z) 6= ∞ th¼ log |f (z)| = 2π Z2π  n(r, a, f ) = n r, , f a  1.2.1 nh nghắa Hm ám t½nh c£ bëi N (r, a, f ), khỉng t½nh N (r, a, f )), cừa hm f tÔi giĂ tr a (tữỡng ựng, ữủc nh nghắa nhữ sau Z r N (r, a, f ) = n(0, a, f ) log r +  dt n(t, a, f ) − n(0, a, f ) , t (t÷ìng ùng, N (r, a, f ) = n(0, a, f ) log r + Z r Vẳ thá, náu a=0 N (r, 0, f ) =  dt n(t, a, f ) − n(0, a, f ) ) t ta câ (ord+ f ) log r X + (ord+ z f ) log | z∈D(r) r |, z z6=0 õ D(r) l ắa bĂn kẵnh + r v  ordz f = max{0, ordz f } l  bëi cừa khổng im 1.2.2 nh nghắa Hm xĐp x aC m(r, a, f ) cừa hm f tÔi giĂ tr ữủc nh nghắa nhữ sau Z log + m(r, a, f ) = dθ , f (reiθ ) − a 2π v  Z 2π m(r, ∞, f ) = log+ | f (reiθ ) | â H m dθ , 2π + log x = max{0, log x} mf (r, ∞) o ë lỵn trung bẳnh cừa |z| = r log |f | trản ữớng trỏn 1.2.3 nh nghắa Hm c trững T (r, a, f ) aC cừa hm f tÔi giĂ tr ữủc nh nghắa nhữ sau T (r, a, f ) = m(r, a, f ) + Nf (r, a, f ), T (r, f ) = m(r, ∞, f ) + N (r, ∞, f ) (1.3) X²t v· m°t no õ, hm c trững Nevanlinna ối vợi lỵ thuyát hm phƠn hẳnh cõ vai trỏ tữỡng tỹ nhữ bêc cừa a thực lỵ thuyát a thực Tứ nh nghắa hm c trững ta cõ T (r, a, f ) ≥ N (r, a, f ) + O(1), õ O(1) l Ôi lữủng b chn r Vợi cĂch nh nghắa ny thẳ cổng thực Poiison-Jensen (nh lỵ 1.1.9) ữủc viát lÔi nhữ sau T (r, f ) = T (r, a, f ) + log |f (0)| (1.4) 1.2.2 Mët sè v½ dư v· c¡c h m Nevanlinna 1.2.4 V½ dư X²t h m húu t¿ f (z) = c õ c 6= Ưu tiản giÊ sû m(r, a, f ) = 0(1) câ p z p + + ap , z q + + bp p > q Khi â z→∞ cho f (z) , a z Nhữ vêy hỳu hÔn Phữỡng trẳnh f (z) = a nghiằm t½nh c£ bëi, â Zr N (r, a, f ) = n(t, a) a 10 dt = p log r + O(1) t r Nhữ vêy, T (r, f ) = p log r + O(1), v  N (r, a, f ) = p log r + O(1), m(r, a) = O(1) tr¼nh f (z) = q cõ vợi a 6= Phữỡng nghiằm, vẳ th¸ N (r, ∞, f ) = q log r + O(1), v bi nh lỵ cỡ bÊn thự nhĐt m(r, ∞, f ) = (p − q) log r + O(1) Náu p < q, thẳ tữỡng tỹ ta câ T (r, f ) = q log r + O(1), m(r, a, f ) = O(1), Khi vỵi N (r, a, f ) = q log r + O(1), a 6= a = 0, N (r, 0, f ) = p log r + O(1), Ci cịng, n¸u m(r, a, f ) = (q − p) log r + O(1) p = q, T (r, f ) = q log r + O(1), v  N (r, a) = q log r + O(1), tri»t ti¶u cõa f −c tÔi , vợi a 6= c Hỡn nỳa, náu kỵ hi»u l  bªc â m(r, c, f ) = k log r + O(1), N (r, c, f ) = (q − k) log r + O(1) Vªy måi tr÷íng hđp T (r, f ) = d log r + O(1), â k d = max(p, q) 11 1.2.5 V½ dư f (z) = ez X²t h m Trong tr÷íng hđp n y, Z2π m(r, f ) = π iθ dθ Z2 dθ r = r cos θ = log+ ere