Xây dựng đường cong chỉnh hình với một số tập vô hạn số khuyết

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGA XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGA XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VƠ HẠN SỐ KHUYẾT Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TẠ THỊ HỒI AN THÁI NGUN – 2008 Mơc lơc Môc lôc Lời mở đầu KiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 1.2 1.3 Các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình Quan hệ số khuyết cho hàm phân hình 13 Các hàm Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình Đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết 17 20 2.1 Các kết bổ trợ 2.2 Các ví dụ đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết 31 KÕt luËn 20 41 Tài liệu tham khảo 42 Lời mở đầu Lý thuyết Nevanlinna đời vào năm đầu kỷ 20 đà nhận quan tâm nhiều nhà toán học giới Lý thuyết Nevanlinna cổ điển nghiên cứu phân bố giá trị hàm phân hình f thông T (f, a, r) - hàm đo cấp tăng hàm phân hình, hàm đếm N (f, a, r) - đếm số lần hàm f nhận giá trị a đĩa bán kính r, hàm xấp xỉ m(f, a, r) - đo độ gần đến a hàm f (xem Định nghĩa 1.1.3, 1.1.1, qua hàm đặc trưng 1.1.2) Trọng tâm lý thuyết hai định lý Định lý a C {} Định lý thứ hai nói với hầu hết giá trị a, hàm đếm N (f, a, r) trội hẳn hàm xấp xỉ m(f, a, r) Điều dẫn đến định nghĩa số khuyết hàm f giá trị a sau thứ thể độc lập hàm đặc trưng với giá trị N (f, a, r) } T (f, a, r) δ(f, a) := lim inf {1 r Giá trị a gọi giá trị khuyết cho hàm f δ(f, a) > Quan hƯ sè khut lµ mét dạng phát biểu khác Định lý thứ hai Nevanlinna, cụ thể Nevanlinna đà chứng minh X (f, a) aC{} Mặt khác, Định lý thứ cho ta thấy số khuyết hàm phân hình giá trị nằm đoạn [0, 1] Hơn người ta đà chứng minh tập giá trị khuyết đếm Như câu hỏi tự nhiên đặt là: Cho i N , giả sử không âm cho X < δi ≤ 1, i δi ≤ {δi } dÃy số thực , số phân biệt C {} Tồn hay không hàm phân hình f C thỏa mÃn δ(f, ) = δi , vµ δ(f, a) = cho mäi a ∈ / {ai }? Gi¶ sư Câu hỏi biết toán ngược Nevanlinna Đà có nhiều nhà toán học nghiên cứu toán ngược Nevanlinna, cụ thể Nevanlinna [9], Lê Văn Thiêm [11], Hayman [4], đà giải toán cho số trường hợp đặc biệt Đến năm 1976 vấn đề đà giải trọn vẹn D Drasin [3] Trong công trình này, Drasin không xét toán ngược Nevanlinna cho số khuyết mà cho số khuyết rẽ nhánh Vậy, toán tồn hàm phân hình với hữu hạn hay vô hạn giá trị khuyết đà nghiên cứu trọn vẹn Như ta đà biết hàm phân hình xem đường cong chỉnh hình từ C vào P (C) Do ®ã, viƯc më réng lý thut Nevanlinna cỉ ®iĨn n cho đường cong chỉnh hình vào P (C) với n > điều tự nhiên H Cartan [1] đà chứng minh định lý sau (được gọi định lý NevanlinnaCartan cho đường cong chỉnh hình cắt siêu phẳng) f : C Pn (C) Cho H1 , , Hq n siêu phẳng vị trí tổng quát không gian xạ ảnh P (C) Khi Định lý Cho đường cong chØnh h×nh q X δ(Hj , f ) n + j=1 Tương tự với trường hợp hàm phân hình, người ta nghiên cứu tính chất số khuyết đường cong chỉnh hình Với n > 2, ví dụ đường cong chỉnh hình với hữu hạn giá trị khuyết đà đưa nhiều tác giả, đó, việc xây dựng đường cong chỉnh hình có vô hạn giá trị khuyết không dễ chút Năm 2004, N Toda [12] đà nghiên cứu đưa ví dụ cho đường cong chỉnh hình với tập vô hạn giá trị khuyết Mục đích luận văn trình bày lại kết N Toda cách có chọn lọc theo bố cục riêng tác giả nhằm trả lời phần câu hỏi Luận văn chia thành chương Chương1 Kiến thức chuẩn bị Được trình bày với mục đích cung cấp kiến thức cần thiết người đọc dễ theo dõi chứng minh kết chương sau Trong chương này, nhắc lại số tính chất lý thuyết Nevanlinna: Các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình cho đường cong chỉnh hình, quan hệ số khuyết cho hàm phân hình kiến thức liên quan, chứng minh tập hợp giá trị số khuyết hàm phân hình điểm a cho hàm a dương đếm Chương Đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết Đây chương luận văn Trong chương này, xây dựng đường cong chỉnh hình có vô số số khuyết dương Chương chia thành hai phần Phần thứ nhất, đưa kết bổ trợ xây dựng lại khái niệm hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng, số khuyết, giá trị khuyết, cho đường cong chỉnh hình số tính chất bản, dễ thấy tương đối quan trọng sử dụng nhiều chứng minh kết sâu phần sau Phần thứ hai, trình bày ví dụ đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết Kết chương Định lý 2.2.8 Định lý 2.2.9 Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, nghiêm túc TS Tạ Thị Hoài An Dưới hướng dẫn cô, đà bước đầu làm quen say mê nghiên cứu toán Nhân đây, xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới cô Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lÃnh đạo khoa Toán, khoa Sau đại học ĐHSPTN, Viện Toán học Việt Nam, thầy, cô giáo đà trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho thời gian học tập, đặc biệt thầy Hà Trần Phương Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Lương Thế Vinh Thái Nguyên, anh, chị học viên lớp cao học khoá 14 đà giúp đỡ nhiều trình học tập Nhân đây, xin gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Tuấn Long đà giúp đỡ nhiều trình nghiên cứu Cuối cùng, xin bày tỏ biết ơn tới gia đình: bố, mẹ, em gái đà tạo điều kiện tốt cho học tập hoàn thành luận văn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số tính chất lý thuyết Nevanlinna kiến thức liên quan khác nhằm giúp cho người đọc dễ theo dõi Các khái niệm kết chương trích dẫn từ [2], [5], [6], [9], 1.1 Các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình Giả sử f hàm phân hình đĩa bán kính n(f, , r)), số cực điểm tính bội, (tương ứng, không tính bội), hàm f đĩa đóng bán kính r Giả sử a C, ta định nghĩa   , , r , n(f, a, r) = n f −a   n(f, a, r) = n , ∞, r f −a KÝ hiƯu n(f, ∞, r), R vµ r < R (tương ứng, 1.1.1 Định nghĩa Hàm đếm tính bội N (f, a, r), (tương ứng, hàm đếm N (f, a, r)), hàm f giá trị a định nghĩa sau Z r  dt N (f, a, r) = n(f, a, 0) log r + n(f, a, t) − n(f, a, 0) , t không tính bội (tương ứng, N (f, a, r) = n(f, a, 0) log r + Z r n(f, a, t) − n(f, a, 0)  dt t V× thÕ, nÕu ) a = ta cã N (f, 0, r) = (ord+ f ) log r X + (ord+ z f ) log | z∈D(r) r |, z z6=0 ®ã D(r) r đĩa có bán kính + ordz f = max{0, ordz f } bội không điểm 1.1.2 Định nghĩa Hàm xấp xỉ m(f, a, r) hàm f giá trị aC định nghĩa sau 2π Z log + log R − aµ z R − bν z µ=1 ν=1 (1.1) Chøng minh Ta xét trường hợp sau: f (z) Hàm Trường hợp 1: không điểm cực điểm {|z| ≤ R}, z = Khi ®ã ta cÇn chøng minh log |f (0)| = 2π Z2π log f (Reiϕ ) dϕ Do f (z) 6= D log f (z) nên hàm chỉnh hình D Theo Định lý Cauchy, ta có: Z log f (0) = 2πi dz log f (z) = z 2π Z2π log f (Reiϕ )dϕ |z|=R LÊy phÇn thùc hai vÕ ta cã: log |f (0)| = 2π Z2π log f (Reiϕ ) dϕ Tr­êng hỵp 2: {|z| ≤ R}, víi z Hàm tuỳ ý, f (z) không điểm cực điểm z = rei (0 < r < R) Xét ánh xạ bảo giác: {|| R} → {ω 1} z 7→ ξ 6= z 7→ ω = Nh­ vËy R (ξ − z) R2 − zξ |ς| = R t­¬ng øng víi |ω| = 1, v× |ω| = R |ξ − z| |R2 − zξ| vµ |ξ| = R ⇒ ξξ = |ξ|2 = R2 suy R |ξ − z| R |ξ − z|