Xây dựng đường cong chỉnh hình với một số tập vô hạn số khuyết

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGA XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGA XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VƠ HẠN SỐ KHUYẾT Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TẠ THỊ HOÀI AN THÁI NGUYÊN – 2008 ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ô❝ ❧ô❝ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ▲ê✐ ♠ë ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✺ ✶✳✶ ✺ ✶✳✷ ✶✳✸ ✷ ❈➳❝ ❤➭♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ◗✉❛♥ ❤Ư sè ❦❤✉②Õt ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ❈➳❝ ❤➭♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤✳ ➜➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ✈í✐ ✈➠ sè ❣✐➳ trÞ ❦❤✉②Õt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✷✵ ✷✳✶ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ❜ỉ trỵ ✷✳✷ ❈➳❝ ✈Ý ❞ơ ✈Ị ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ✈í✐ ✈➠ sè ❣✐➳ trÞ ❦❤✉②Õt✳ ✳ ✸✶ ❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✹✷ ✶ ▲ê✐ ♠ë ➤➬✉ ▲ý t❤✉②Õt ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ r❛ ➤ê✐ ✈➭♦ ♥❤÷♥❣ ♥➝♠ ➤➬✉ ❝đ❛ t❤Õ ❦û ✷✵ ✈➭ ➤➲ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sù q✉❛♥ t➞♠ ❝đ❛ ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ tr➟♥ t❤Õ ❣✐í✐✳ ▲ý t❤✉②Õt ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù ♣❤➞♥ ❜è trị ủ ì f t T (f, a, r) ✲ ❤➭♠ ➤♦ ❝✃♣ t➝♥❣ ❝ñ❛ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✱ ❤➭♠ ➤Õ♠ N (f, a, r) ✲ ➤Õ♠ sè ❧➬♥ ❤➭♠ f ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ a tr♦♥❣ ➤Ü❛ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ r✱ ✈➭ ❤➭♠ ①✃♣ ①Ø m(f, a, r) ✲ ➤♦ ➤é ❣➬♥ ➤Õ♥ a ❝đ❛ ❤➭♠ f ✭①❡♠ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✸✱ ✶✳✶✳✶✱ q✉❛ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ✈➭ ✶✳✶✳✷✮✳ ❚rä♥❣ t➞♠ ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt ♥➭② ❧➭ ❤❛✐ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ a ∈ C ∪ {∞}✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ❤❛✐ ♥ã✐ r➺♥❣ ✈í✐ ❤➬✉ ❤Õt ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ a✱ ❤➭♠ ➤Õ♠ N (f, a, r) tré✐ ❤➡♥ ❤➻♥ ❤➭♠ ①✃♣ ①Ø m(f, a, r)✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ❞➱♥ ➤Õ♥ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ sè ❦❤✉②Õt ❝đ❛ ❤➭♠ f t➵✐ ❣✐➳ trÞ a ♥❤➢ s❛✉ t❤ø ♥❤✃t t❤Ĩ ❤✐Ư♥ sù ➤é❝ ❧❐♣ ❝đ❛ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ❣✐➳ trÞ N (f, a, r) } T (f, a, r) δ(f, a) := lim inf {1 − r→∞ ●✐➳ trị a ợ ọ trị ết f ♥Õ✉ δ(f, a) > 0✳ ◗✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt ❧➭ ♠ét ❞➵♥❣ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ ❦❤➳❝ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ❤❛✐ ❝đ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✱ ❝ơ t❤Ĩ ❧➭ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ δ(f, a) a∈C∪{∞} ▼➷t ❦❤➳❝✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t ❝❤♦ t❛ t❤✃② r➺♥❣ sè ết ủ ì t ột trị ➤ã ♥➺♠ tr♦♥❣ ➤♦➵♥ [0, 1] ❍➡♥ ♥÷❛ ♥❣➢ê✐ t❛ ứ ợ r t trị ết ❧➭ ➤Õ♠ ➤➢ỵ❝✳ ◆❤➢ ✈❐② ♠ét ❝➞✉ ❤á✐ tù ♥❤✐➟♥ ➤➢ỵ❝ ➤➷t r❛ ❧➭✿ ❈❤♦ ≤ i ≤ N ≤ ∞, ❣✐➯ sö ❦❤➠♥❣ ➞♠ s❛♦ ❝❤♦ < δi ≤ 1, δi ≤ i ✷ {δi } ❧➭ ❞➲② ❝➳❝ sè t❤ù❝ ✸ , ❧➭ ❝➳❝ sè ♣❤➞♥ ❜✐Öt tr♦♥❣ C ∪ {∞} ❚å♥ t➵✐ ❤❛② ❦❤➠♥❣ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ f tr➟♥ C t❤á❛ ♠➲♥ δ(f, ) = δi , ✈➭ δ(f, a) = ❝❤♦ ♠ä✐ a ∈ / {ai }? ●✐➯ sö ❈➞✉ ỏ tr ò ợ ết t ợ ❝đ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳ ➜➲ ❝ã ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥❣➢ỵ❝ ❝đ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✱ ❝ơ t❤Ĩ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❬✾❪✱ ▲➟ ❱➝♥ ❚❤✐➟♠ ❬✶✶❪✱ ❍❛②♠❛♥ ❬✹❪✱✳✳✳ ➤➲ ❣✐➯✐ q✉②Õt ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭② ❝❤♦ ♠ét sè tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt✳ ➜Õ♥ ♥➝♠ ✶✾✼✻ ✈✃♥ ➤Ị tr➟♥ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❣✐➯✐ q✉②Õt trä♥ ✈Đ♥ ❜ë✐ ❉✳ ❉r❛s✐♥ tr♦♥❣ ❬✸❪✳ ❚r♦♥❣ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ♥➭②✱ ❉r❛s✐♥ ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø ①Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ♥❣➢ỵ❝ ❝đ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ sè ❦❤✉②Õt ♠➭ ❝ß♥ ❝❤♦ sè ❦❤✉②Õt rÏ ♥❤➳♥❤✳ ❱❐②✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈Ị sù tå♥ t➵✐ ❝đ❛ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ✈í✐ ữ trị ết ợ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❦❤➳ trä♥ ✈Ñ♥✳ ◆❤➢ t❛ ➤➲ ❜✐Õt ❤➭♠ ì ó tể ợ ỉ ❤×♥❤ tõ C ✈➭♦ P (C)✳ ❉♦ ➤ã✱ ✈✐Ư❝ ♠ë ré♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ n ❝❤♦ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ✈➭♦ P (C) ✈í✐ n ❧➭ ♠ét ➤✐Ò✉ tù ♥❤✐➟♥✳ ❍✳ ❈❛rt❛♥ ❬✶❪ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ị ý s ợ ọ ị ý ❈❛rt❛♥ ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❝➽t ❝➳❝ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✮ f : C → Pn (C)✳ ❈❤♦ H1 , , Hq ❧➭ n ❝➳❝ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣ q✉➳t tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➵ ➯♥❤ P (C) ó ị ý ỉ ì q δ(Hj , f ) n + j=1 ❚➢➡♥❣ tự trờ ợ ì t ũ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ sè ❦❤✉②Õt ❝ñ❛ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤✳ ❱í✐ n 2✱ ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ ✈Ị ➤➢ê♥❣ ỉ ì ữ trị ết ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ r❛ ❜ë✐ ♥❤✐Ị✉ t➳❝ ❣✐➯✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ➤ã✱ ✈✐Ư❝ ①➞② ❞ù♥❣ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❝ã ✈➠ ❤➵♥ ❣✐➳ trÞ ❦❤✉②Õt ❦❤➠♥❣ ❞Ơ ❝❤ót ♥➭♦✳ ◆➝♠ ✷✵✵✹✱ ◆✳ ❚♦❞❛ ❬✶✷❪ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ✈í✐ ♠ét t❐♣ ✈➠ ❤➵♥ ❣✐➳ trÞ ❦❤✉②Õt✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ trì ữ ết q ó ủ ❚♦❞❛ ♠ét ❝➳❝❤ ❝ã ❝❤ä♥ ❧ä❝ t❤❡♦ ❜è ❝ô❝ r✐➟♥❣ ❝ñ❛ t➳❝ ❣✐➯ ♥❤➺♠ tr➯ ❧ê✐ ♠ét ♣❤➬♥ ❝➳❝ ❝➞✉ ❤á✐ tr➟♥✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ t❤➭♥❤ ✷ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣✶✳ ế tứ ị ợ trì ụ í ❝✉♥❣ ❝✃♣ ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➬♥ t❤✐Õt ➤Ó ❝❤♦ ♥❣➢ê✐ ➤ä❝ ❞Ơ t❤❡♦ ❞â✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sÏ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ✹ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❧ý t❤✉②Õt ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✿ ❈➳❝ ❤➭♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ✈➭ ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤✱ q✉❛♥ ❤Ư sè ❦❤✉②Õt ❝❤♦ ❤➭♠ ì ữ ế tứ q ứ r t ợ trị số ết ủ ♠ét ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ t➵✐ ➤✐Ĩ♠ a s❛♦ ❝❤♦ ❤➭♠ a ❞➢➡♥❣ ❧➭ ➤Õ♠ ➤➢ỵ❝✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ➜➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ì số trị ết ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sÏ ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❝ã ✈➠ sè sè ❦❤✉②Õt ❞➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ t❤➭♥❤ ❤❛✐ ♣❤➬♥✳ P❤➬♥ t❤ø ♥❤✃t✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❜ỉ trỵ ♥❤➢ ①➞② ❞ù♥❣ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❤➭♠ ➤Õ♠✱ ❤➭♠ ①✃♣ ①Ø✱ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣✱ sè ❦❤✉②Õt✱ ❣✐➳ trÞ ❦❤✉②Õt✱✳✳✳ ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥✱ ❞Ô t❤✃② ♥❤➢♥❣ t➢➡♥❣ ➤è✐ q✉❛♥ trä♥❣ ì ó ợ sử ụ ề ứ ữ ❦Õt q✉➯ s➞✉ ❤➡♥ ë ♥❤÷♥❣ ♣❤➬♥ s❛✉✳ P❤➬♥ t❤ø ❤❛✐✱ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ ✈Ị ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ì số trị ết ết q í ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❧➭ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✽ ✈➭ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✾✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t tì tú ủ ị ❉➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❝đ❛ ❝➠✱ t➠✐ ➤➲ ❜➢í❝ ➤➬✉ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈➭ s❛② ♠➟ ❤➡♥ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t♦➳♥✳ ◆❤➞♥ ➤➞②✱ t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❦Ý♥❤ trä♥❣ ✈➭ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❝➠✳ ❚➠✐ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ❜❛♥ ❧➲♥❤ ➤➵♦ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥✱ ❦❤♦❛ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝ ➜❍❙P❚◆✱ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ❱✐Öt ◆❛♠✱ ❝➳❝ t❤➬②✱ ❝➠ ❣✐➳♦ ➤➲ tr❛♥❣ ❜Þ ❦✐Õ♥ t❤ø❝✱ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤♦ t➠✐ tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣✱ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ t❤➬② ❍➭ ❚r➬♥ P❤➢➡♥❣✳ ❚➠✐ ①✐♥ ➤➢ỵ❝ ❣ư✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ➤Õ♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ư✉ ✈➭ ❝➳❝ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣ ❝đ❛ t➠✐ ë tr➢ê♥❣ ❚❍P❚ ▲➢➡♥❣ ❚❤Õ ❱✐♥❤ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❝➳❝ ❛♥❤✱ ❝❤Þ ❤ä❝ ✈✐➟♥ ❧í♣ ❝❛♦ ❤ä❝ ❦❤♦➳ ✶✹ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ r✃t ♥❤✐Ị✉ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣✳ ◆❤➞♥ ➤➞②✱ t➠✐ ❝ị♥❣ ①✐♥ ❣ư✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ tí✐ ❜➵♥ ◆❣✉②Ơ♥ ❚✉✃♥ ▲♦♥❣ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ r✃t ♥❤✐Ị✉ tr♦♥❣ q trì ứ ố ù t ợ tá sù ❜✐Õt ➡♥ tí✐ ❣✐❛ ➤×♥❤✿ ❜è✱ ♠Đ✱ ✈➭ ❡♠ ❣➳✐ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tèt ♥❤✃t ❝❤♦ t➠✐ ➤➢ỵ❝ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sÏ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❧ý t❤✉②Õt ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✈➭ ♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ❦❤➳❝ ♥❤➺♠ ❣✐ó♣ ❝❤♦ ♥❣➢ê✐ ➤ä❝ ❞Ơ t❤❡♦ ❞â✐✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➢ỵ❝ trÝ❝❤ ❞➱♥ tõ ❬✷❪✱ ❬✺❪✱ ❬✻❪✱ ❬✾❪✱ ✳✳✳ ✶✳✶ ❈➳❝ ❤➭♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✳ ●✐➯ sư f ❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr♦♥❣ ➤Ü❛ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ n(f, ∞, r)), ❧➭ sè ❝➳❝ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tÝ♥❤ ❝➯ ❜é✐✱ ✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ ❦❤➠♥❣ tÝ♥❤ ❜é✐✮✱ ❝ñ❛ ❤➭♠ f tr♦♥❣ ➤Ü❛ ➤ã♥❣ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ r ●✐➯ sư a ∈ C✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❑Ý ❤✐Ư✉ n(f, ∞, r), R ✈➭ r < R✳ ✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ n(f, a, r) = n , ∞, r , f −a n(f, a, r) = n , ∞, r f −a ✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❍➭♠ ➤Õ♠ tÝ♥❤ ❝➯ ❜é✐ ❦❤➠♥❣ tÝ♥❤ ❜é✐ N (f, a, r)✮✱ ❝ñ❛ ❤➭♠ f N (f, a, r), t➵✐ ❣✐➳ trÞ ✭t➢➡♥❣ ứ ế a ợ ị ĩ s r n(f, a, t) − n(f, a, 0) N (f, a, r) = n(f, a, 0) log r + ✺ dt , t ✻ ✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ r dt ) t n(f, a, t) − n(f, a, 0) N (f, a, r) = n(f, a, 0) log r + ❱× t❤Õ✱ ♥Õ✉ a = t❛ ❝ã N (f, 0, r) = (♦r❞+ f ) log r + (♦r❞+ z f ) log | z∈D(r) r |, z z=0 tr♦♥❣ ➤ã D(r) ❧➭ ➤Ü❛ ❝ã ❜➳♥ ❦Ý♥❤ r + ✈➭ ♦r❞z f = max{0, ♦r❞z f } ❧➭ ❜é✐ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠✳ ✶✳✶✳✷ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❍➭♠ ①✃♣ ①Ø m(f, a, r) ủ f t trị aC ợ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉ 2π log+ m(f, a, r) = dθ , f (reiθ ) − a 2π ✈➭ 2π log+ | f (reiθ ) | m(f, ∞, r) = tr♦♥❣ ➤ã ❍➭♠ dθ , 2π + log x = max{0, log x} m(f, ∞, r) ➤♦ ➤é ❧í♥ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝đ❛ log |f | tr➟♥ ➤➢ê♥❣ trò |z| = r ị ĩ tr T (f, a, r) ❝đ❛ ❤➭♠ f t➵✐ ❣✐➳ trÞ a C ợ ị ĩ s T (f, a, r) = m(f, a, r) + N (f, a, r), T (f, r) = m(f, ∞, r) + N (f, ∞, r) ❳Ðt ✈Ò ♠➷t ♥➭♦ ➤ã✱ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ➤è✐ ✈í✐ ❧ý t❤✉②Õt ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ❝ã ✈❛✐ trß t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❜❐❝ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ➤❛ t❤ø❝✳ ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ t❛ ❝ã T (f, a, r) ≥ N (f, a, r) + O(1), tr♦♥❣ ➤ã O(1) ❧➭ ♠ét ➤➵✐ ❧➢ỵ♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ ❦❤✐ r → ∞✳ ✼ ✶✳✶✳✹ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈✃♣ ❝đ❛ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ρ(f ) = lim sup r→∞ ◆Õ✉ ρ(f ) = ∞ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝ã sử f tì ợ ọ ó ❤➵♥✱ ♥Õ✉ < ρ(f ) < ∞ t❤× f ❝✃♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ < ρ(f ) < ∞✱ ➤➷t r ó ợ ị ĩ tứ log T (r, f ) log r C = lim sup ❚❛ ♥ã✐ f f ❝ã ❞➵♥❣ tè✐ ➤➵✐ ✶✳✶✳✺ ❱Ý ❞ơ✳ ◆Õ✉ ❝ã ❝✃♣ ✵✳ ◆Õ✉ f ❧➭ ❤➭♠ ❤÷✉ tû t❤× f = ez tr✉♥❣ ❜×♥❤✳ ❍➭♠ ee C = ∞✱ z ❝ã ❞➵♥❣ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ♥Õ✉ < C < ∞, C = ♥Õ✉ ❞➵♥❣ tè✐ t✐Ó✉ ♥Õ✉ T (r, f ) rρ t❤× T (f, r) = O(log r), ❞♦ ➤ã ❤➭♠ ❤÷✉ tû T (f, r) = r/π + O(1)✱ ❞♦ ➤ã ez ❝ã ❝✃♣ ✶✱ ❞➵♥❣ ❧➭ ❤➭♠ ❝ã ❝✃♣ ✈➠ ❤➵♥✳ ❈➠♥❣ t❤ø❝ P♦✐ss♦♥ ✲ ❏❡♥s❡♥ f (z) ≡ 0, ∞ ✶✳✶✳✻ ị ý sử ột ì tr ì trò D = {|z| R} < R < ∞✳ ●✐➯ sư aµ , µ = 1, , M ❝đ❛ f tr♦♥❣ ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ D, ỗ ể ợ ể ột số ộ ❝ñ❛ ♥ã✳ bν , (ν = 1, 2, , N ) ❧➭ ❝➳❝ ❝ù❝ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ f tr♦♥❣ tr♦♥❣ D, ỗ ự ể ợ ể ột số ộ ủ ó ó ỗ z = rei D 2π log |f (z)| = 2π s❛♦ ❝❤♦ f (z) = 0, f (z) = ∞ t❛ ❝ã R2 − r log f (Re ) dφ+ R − 2Rr cos(θ − φ) + r2 iφ M N R(z − aµ ) R(z − bν ) + log − log 2−a z 2−b z R R µ ν µ=1 ν=1 ✭✶✳✶✮ ✽ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ①Ðt ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ s❛✉✿ f (z) ❍➭♠ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✶✿ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ {|z| ≤ R}✱ z = 0✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ 2π log |f (0)| = 2π log f (Reiϕ ) dϕ ❉♦ f (z) = tr♦♥❣ D log f (z) ♥➟♥ ❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr♦♥❣ D ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ❈❛✉❝❤②✱ t❛ ❝ã✿ 2π log f (0) = 2πi dz log f (z) = z 2π log f (Reiϕ )dϕ |z|=R ▲✃② ♣❤➬♥ t❤ù❝ ❤❛✐ ✈Õ t❛ ❝ã✿ 2π log |f (0)| = 2π log f (Reiϕ ) dϕ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✷✿ {|z| ≤ R}✱ ✈í✐ z ❍➭♠ t✉ú ý✱ f (z) ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ z = reiθ (0 < r < R) ✳ ❳Ðt ➳♥❤ ①➵ ❜➯♦ ❣✐➳❝✿ {|ξ| R} → {ω 1} z→0 ξ=z→ω= ◆❤➢ ✈❐② R (ξ − z) R2 − zξ |ς| = R t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ |ω| = 1✱ ✈× |ω| = R |ξ − z| |R2 − zξ| ✷✾ = |a − ak | = u(z) + wm−1 (z) − ak vm (z) vm (z) −iθ −iθk u(z) + wm−1 (z) − bk ak eze k − ak vm (z) + bk ak eze = vm (z) u(z) + wm−1 (z) − bk ak eze −iθk −iθk + ak vm (z) − bk ak eze |vm (z)| (S1 + Am−1 + |ak | S2 )er cos πηk r cos 13 πηk b e k S1 + Am−1 + |ak | S2 r(cos πηk −cos πηk ) 3 e bk S1 + Am−1 + |ak | S2 −2r sin π ηk sin π ηk =2 e bk S1 + Am−1 + |ak | S2 r→∞ −−−→ 0, =2 π π bk e2r sin ηk sin ηk =2 ✭❞♦ sin π6 ηk sin π2 ηk > 0.✮ ➜✐Ò✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ❱❐② ➤✐Ị✉ ❣✐➯ sư ❦❤➠♥❣✱ tø❝ ❧➭ ➤é❝ ❧❐♣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥ ❈❤♦ u(z) + wm−1 (z) ✈➭ vm (z) C✳ f := (f1 : : fn+1 ) ❧➭ ♠ét ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ s✐➟✉ ✈✐Ưt❀ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ t✉ú ý✱ ➤➷t P (z) = z p ✱ p ❧➭ ❝❤ó♥❣ t❛ ①Ðt ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ f ◦ P = (f1 ◦ P, , fn+1 ◦ P ) ❈❤ó ý r➺♥❣ tÝ♥❤ tr➟♥ f1 ◦ P, , fn+1 ◦ P ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ❝❤✉♥❣ ✈➭ ➤é❝ ❧❐♣ t✉②Õ♥ C ✷✳✶✳✶✹ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈❤♦ a ∈ Cn+1 − {0}✳ ❑❤✐ ➤ã T (r, f ◦ P ) = T (rp , f ), ✈➭ m(r, a, f ◦ P ) = m(rp , a, f ), δ(a, f ◦ P ) = δ(a, f ) ρ(f ◦ P ) = pρ(f ), ✸✵ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇ë✐ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ✈➭ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt f ◦ P (z) = f (z p ) = f (rp eipθ ) , t❛ ❝ã 2π T (r, f ◦ P ) = 2π log f (rp eipθ ) dθ − log f (0) 2pπ = 2pπ log f (rp eiφ ) dφ − log f (0) 2π = 2π log f (rp eiφ ) dφ − log f (0) = T (rp , f ) ▼➷t ❦❤➳❝ log T (r, f ◦ P ) log T (rp , f ) ρ(f ◦ P ) = lim sup = lim sup p log r r→∞ r→∞ p log r log T (rp , f ) = p lim sup = p ρ(f ) log rp r→∞ ❑❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ợ ứ ứ ị ✭✷✮✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ 2π m(r, a, f ◦ P ) = 2π a f (rp eipθ ) log dθ |(a, f (rp eipθ ))| 2pπ a f (rp eiφ ) log dφ |(a, f (rp eiφ ))| = 2pπ 2π = 2π a f (rp eiφ ) log dφ = m(rp , a, f ) p iφ |(a, f (r e ))| ✸✶ ❚õ ✭✶✮ ✈➭ ✭✷✮ t❛ ❝ã m(r, a, f ◦ P ) r→∞ T (r, f ◦ P ) m(rp , a, f ) = lim inf = δ(a, f ), r→∞ T (rp , f ) δ(a, f ◦ P ) = lim inf s✉② r❛ ✭✸✮ ➤ù➡❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷✳✷ ❈➳❝ ✈Ý ❞ơ ✈Ị ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ✈í✐ ✈➠ sè ❣✐➳ trÞ ❦❤✉②Õt✳ ◆❤➢ t❛ ➤➲ ❜✐Õt✱ ❜➭✐ t ề ì ữ trị ết ợ ứ trọ ✈Đ♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝đ❛ ▲❡ ❱✳ ❚✳ ❬✶✶❪✱ ❉✳ ❉r❛s✐♥ ❬✸❪✱ ❍❛②♠❛♥ ❬✹❪✱✳✳✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭② t❛ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭② ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤✳ ❚❛ ❣✐➯ t❤✐Õt ❈❤♦ n 2✳ {ηv }✈➭ {θk } ❧➭ ❝➳❝ ❞➲② s❛♦ ❝❤♦ {ηv } ❧➭ ♠ét ❞➲② ❣✐➯♠ ✈í✐ ∞ ηv > 0, ηv = 1, η0 = η1 , v=1 ✈➭ {θk } ❧➭ ♠ét ❞➲② t➝♥❣ ♥❣➷t ✈í✐ k−1 θ0 = 0, θk = π ηv , (k = 1, 2, ) v=0 Y = {ak = (a1k , , ank , 1) ∈ Cn+1 } ị (j = 1, , n) ữ ❞➲② sè ❞➢➡♥❣ t❤♦➯ ♠➲♥✿ ❈❤♦ trÝ tæ♥❣ q✉➳t ✈➭ det (cjk ) = 0, (j, k = 1, , n), c1k = c2k = = cnk = ck , (k = n, n + 1, ), {cjk }∞ k=1 , ✸✷ ✈➭ ∞ cjk < ∞, (j = 1, , n), Sj = k=1 ∞ n cjk |ajk |) < ∞ ( Sn+1 = j=1 k=1 ➜➷t ∞ −iθk cjk eze ϕj (z) = , (j = 1, , n) k=1 ∞ n ϕn+1 (z) = − −iθk cjk ajk )eze ( , j=1 k=1 ∞ ck eze ψ1 (z) = −iθk , k=n ϕj − ψ1 = hj , n−1 tr♦♥❣ ➤ã hj (z) = −iθk cjk eze , (j = 1, , n) k=1 n j=1 ajk , (k = 1, 2, ), t❤× ❞♦ Y ❧➭ ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣ q✉➳t✱ ♥➟♥ ❞➲② {ak } t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝đ❛ ❞➲② {ak } ➤➲ ♥➟✉ ë tr➢í❝ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ ♥Õ✉ t❛ ➤➷t ak = ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✶✳✶✶✳ ❚❛ ❝ã ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉✳ ✷✳✷✳✶ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ❈❤♦ |z| = r ❑❤✐ ➤ã |ϕj (z)| < Sj er , ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱í✐ sè k z = reiθ ✱ t❛ ❝ã✿ ❜✃t ❦ú ✈➭ i(θ−θk) −iθk eze ❑❤✐ ➤ã✿ (j = 1, 2, , n + 1) ere = er cos(θ−θk ) er ∞ −iθk cjk eze |ϕj (z)| = k=1 Sj er , (j = 1, , n), ✸✸ ✈➭ ∞ n |ϕn+1 (z)| = − −iθk cjk ajk )eze ( k=1 j=1 n ∞ −iθk cjk |ajk |) eze ( = k=1 Sn+1 er j=1 ❱❐② |ϕj (z)| < Sj er , (j = 1, 2, , n + 1) ✷✳✷✳✷ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳ ❈➳❝ ❤➭♠ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ϕ1 , , ϕn+1 ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝❤✉♥❣ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝❤Ø ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ϕ1 , , ϕn ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ❝❤✉♥❣✳ ●✐➯ sư r➺♥❣ ❝❤ó♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝❤✉♥❣ t➵✐ z = z0 ✱ t❤× tõ n−1 −iθk cjk eze ϕj (z) = + ψ1 (z), (j = 1, , n), k=1 t❛ ❝ã n−1 cjk ez0 e 0= −iθk + ψ1 (z0 ), (j = 1, , n) k=1 ❱í✐ ỗ j = 1, , n n1 (cjk − cnk )ez0 e 0= −iθk k=1 ❉♦ ➤ã✱ ❜ë✐ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ {cjk }✱ t❛ ❝ã = det(cjk ), (j, k = 1, , n) = cnn det(cjk − cnk ), (j, k = 1, , n − 1) ❞♦ cnn = ✈❐② ♥➟♥ tõ ✭✷✳✾✮ t❛ ❝ã ez0 e ➜➞② ❧➭ ➤✐Ò✉ ✈➠ ❧ý✳ ❱❐② −iθk = 0, (k = 1, , n − 1) ϕ1 , , ϕn+1 ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ❝❤✉♥❣✳ ✭✷✳✾✮ ✸✹ ✷✳✷✳✸ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ❈➳❝ ❤➭♠ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ϕ1 , , ϕn+1 ❧➭ ➤é❝ ❧❐♣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥ ●✐➯ sư ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ sè C αi ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❜➺♥❣ ❦❤➠♥❣ s❛♦ ❝❤♦ α1 ϕ1 + + αn+1 ϕn+1 = ❑❤✐ ➤ã α1 (h1 + ψ1 ) + + αn (hn + ψ1 ) + αn+1 ϕn+1 = 0, ♠➭ ❦Ð♦ t❤❡♦ α1 h1 + + αn hn + αn+1 ϕn+1 + (α1 + + αn )ψ1 = ❑❤➠♥❣ ♠✃t tÝ♥❤ tæ♥❣ q✉➳t✱ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❣✐➯ sư αn+1 = 0, ✭✷✳✶✵✮ ❦❤✐ ➤ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✷✳✶✵✮ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ αn+1 ( α1 h1 + + αn hn + ϕn+1 ) + (α1 + + αn )ψ1 = αn+1 ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ ϕn+1 ✱ ψ1 ✈➭ h1 , , hn u = ϕn+1 , wm−1 = ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✶✸ t❛ ❝ã C ❉♦ ➤ã α1 h1 + +αn hn αn+1 ❚õ ❤Ư t❤ø❝ ✭✷✳✶✶✮ ✈➭ t❛ ❝ã t❤Ĩ ①❡♠ ✭✷✳✶✶✮ m = n ✈➭ α1 h1 + + αn hn , = ψ1 αn+1 u(z) + wm−1 (z) ✈➭ vm (z) ❧➭ ➤é❝ ❧❐♣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥ + ϕn+1 ✈➭ ψ1 ❧➭ ➤é❝ ❧❐♣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥ C✳ αn+1 = 0✱ ➤✐Ò✉ ♥➭② ✈➠ ❧ý✳ ❱❐② αn+1 = 0✳ ❚õ ✭✷✳✾✮ t❛ ❝ã α1 h1 + + αn hn + (α1 + + αn )ψ1 = ●✐➯ sö α1 + + αn = ❦❤✐ ➤ã ✭✷✳✶✷✮ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ α1 h1 + + αn hn + ψ1 = α1 + + αn ✭✷✳✶✷✮ ✸✺ ❚❤❡♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✽✮ ✈í✐ m = n ✱ = ψ1 ✱ wm−1 = α1 h1 +···+αn hn α1 +···+αn ❚❛ ❝ã α1 h1 + · · · + αn hn + ψ1 = 0, α1 + · · · + αn s✉② r❛ ♠➞✉ t❤✉➱♥✱ ✈❐② α1 + · · · + αn = s✉② r❛ αn = −α1 − · · · − αn−1 ❚õ ✭✷✳✶✷✮ t❛ ❝ã α1 (h1 − hn ) + · · · + αn−1 (hn−1 − hn ) = 0, n−1 tr♦♥❣ ➤ã hj (z) − hn (z) = −iθk (cjk − cnk )eze ✭✷✳✶✸✮ , (j = 1, , n − 1), det(cjk − k=1 cnk ) = ✈➭ ❞♦ < θ1 < · · · < θn−1 < 2π t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥ ❱❐② ♥➟♥ −iθ1 eze −iθn−1 , , eze ❧➭ ➤é❝ ❧❐♣ C ❚õ ✭✷✳✶✸✮ t❛ ❝ã α1 = · · · = αn−1 = ✈➭ αn = 0✳ ϕ1 , , ϕn+1 ➤é❝ ❧❐♣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥ C ❚õ ❝➳❝ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✷ ✈➭ ✷✳✷✳✸✱ t❛ t❤✃② r➺♥❣ ♥Õ✉ ϕ := [ϕ1 , , ϕn+1 ] t❤× ϕ ❧➭ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tõ C ✈➭♦ Pn (C)✳ ✷✳✷✳✹ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ❚❛ ❝ã T (r, ϕ) < r + O(1) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚õ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✶ t❛ ❝ã iθ ϕ(re ) = iθ |ϕj (z)| < Sj er , (j = 1, 2, , n+1) ♥➟♥ iθ ϕ1 (re ) + + ϕn+1 (re ) (S1 er )2 + + (Sn+1 er )2 2 n+1 Sj2 j=1 er ✸✻ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ T (r, ϕ) t❛ ❝ã 2π T (r, ϕ) = 2π 2π 2π log ϕ(reiθ ) dθ Sj2 = log Sj2 j=1 er dθ j=1 n+1 er = log Sj2 log n+1 n+1 + log er j=1 n+1 Sj2 = r + log = r + O(1) j=1 ✷✳✷✳✺ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ❈❤♦ θ t❤♦➯ ♠➲♥ ✭✷✳✷✮✱ ❝❤♦ ✶✳ |z| = r✳ ❑❤✐ ➤ã n ϕn+1 (z) + cjk ajk −iθk eze Sn+1 er cos πηk ✭✷✳✶✹✮ j=1 ✷✳ −iθk ϕj (z) − cjk eze ✸✳ ❱í✐ r Sj er cos πηk , (j = 1, , n) ✭✷✳✶✺✮ ➤đ ❧í♥ |ϕj (z)| 1 cjk er cos πηk , (j = 1, , n) ✭✷✳✶✻✮ ✸✼ ❑❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✭✶✮ s✉② r❛ ❞♦ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ n ϕn+1 (z) + −iθk eze cjk ajk j=1 n ∞ = − n cjk ajk e ze−iθk + j=1 k=1 j=1 n n ze−iθv cjv ajv = v=k j=1 ∞ n e −iθv −iθv eze cjv ajv = j=1 v=k Sn+1 er cos πηk eze cjv |ajv | v=1 −iθk eze cjk ajk j=1 ị ợ é t từ i zeik = cjk eze k ϕj (z) − cjk e −iθk − cjk eze k=1 ∞ = cjv e ze−iθv −iθv cjv eze v=1 v=k ∞ ❉♦ Sj er cos πηk , (j = 1, , n) |ϕj (z)| = (j = 1, , n) cjk e ze−iθk ∞ cjk eze −iθk r cos 13 πηk c e , jk k=m k=1 ✭t❤❡♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✻✮✮✳ ị ợ ứ ệ ề θ t❤♦➯ ♠➲♥ ✭✷✳✷✮✱ ❝❤♦ ak ϕ(reiθ ) |(ak , ϕ(reiθ ))| z = reiθ ak (max1 r ➤đ ❧í♥ r cos 31 πηk j n cjk ) e n |ajk | Sj Sn+1 + ✈➭ er cos πηk j=1 ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱í✐ θ ❉♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✸✱ t❤♦➯ ♠➲♥ ✭✷✳✷✮✱ ✈í✐ ➤Ị ✷✳✷✳✺ t❛ ❝ã r (ak , ϕ(reiθ )) = ✈í✐ ❜✃t ❦ú ak ∈ Y ➤đ ❧í♥✱ t❤❡♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✶✻✮ ❝đ❛ ▼Ư♥❤ ✸✽ ϕ(reiθ ) ak max ϕj (reiθ ) ak j n ak max cjk er cos πηk ✭✷✳✶✼✮ j n ❚❤❡♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✶✹✮ ✈➭ ✭✷✳✶✺✮ ❝đ❛ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✺ t❛ ❝ã |(ak , ϕ(z))| = |a1k ϕ1 (z) + + ank ϕn (z) + ϕn+1 (z)| n = ϕn+1 (z) + ajk ϕj (z) j=1 n n = ϕn+1 (z) + cjk ajk e ze−iθk ajk ϕj (z) − + j=1 n j=1 n ϕn+1 (z) + n cjk ajk −iθk eze −iθk eze j=1 n ajk ϕj (z) − + j=1 cjk ajk j=1 cjk ajk −iθk eze j=1 n 2 Sn+1 er cos πηk + |ajk | Sj er cos πηk j=1 n = |ajk | Sj Sn+1 + er cos πηk ✭✷✳✶✽✮ j=1 ❚õ ✭✷✳✶✼✮ ✈➭ ✭✷✳✶✽✮ t❛ ❝ã ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✷✳✷✳✼ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ❱í✐ r ➤đ ❧í♥ m(r, ak , ϕ) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ rη + O(1) k m(r, ak , ϕ)✱ ✈í✐ βk = 31 πηk ✈➭ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ✸✾ ➤Ò ✷✳✷✳✻ t❛ ❝ã 2π m(r, ak , ϕ) = 2π ak ϕ(reiθ ) dθ log |(ak , ϕ(reiθ ))| θk +βk ak ϕ(reiθ ) dθ log |(ak , ϕ(reiθ ))| 2π θk −βk θk +βk r 2π cos πηk − cos πηk dθ + O(1) 3 θk −βk π π 2π r sin ηk sin ηk ηk + O(1) 2π 2r π π ηk ηk ηk + O(1) π6 π2 = rηk3 + O(1), x π2 ✮✳ π x ✈í✐ = ✭t❛ ❝ã sin x ➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ t❛ ♠ét ❝➳❝❤ ①➞② ❞ù♥❣ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❝ã ❜❐❝ ✶ ✈í✐ ✈➠ sè ❣✐➳ trÞ ❦❤✉②Õt✳ ✷✳✷✳✽ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ●✐➯ sö ■✳ ■■✳ ϕ✱ Y = {ak } ✈➭ ηk ♥❤➢ ➤➲ ①➞② ❞ù♥❣ ë ♣❤➬♥ tr➟♥✳ ϕ ❧➭ ❜❐❝ ✶✳ δ(ak , ϕ) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ηk , (k = 1, 2, 3, ) ■✳ ❚õ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✹ ✈➭ ✷✳✷✳✼ t❛ ❝ã✿ rη + O(1) T (r, ϕ) < r + O(1) ■■✳ ❚õ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✹ ✈➭ ✷✳✷✳✼ t❛ ❝ã✿ δ(ak , ϕ) = lim inf r→∞ m(r, ak , ϕ) T (r, ϕ) η k ✹✵ ➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ t❛ ♠ét ❝➳❝❤ ①➞② ❞ù♥❣ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❝ã ❜❐❝ p✱ ✈í✐ p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ♥➭♦ ➤ã✱ ✈í✐ ✈➠ sè ❣✐➳ trÞ ❦❤✉②Õt✳ ✷✳✷✳✾ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ●✐➯ sư ϕ✱ Y = {ak } k ỗ số p ❜✃t ❦ú ➤➷t P (z) = z p ●✐➯ sư ♥❤➢ ➤➲ ①➞② ❞ù♥❣ ë ♣❤➬♥ tr➟♥✳ ❱í✐ ϕ ◦ P = [ϕ1 ◦ P, , ϕn+1 ◦ P ] ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã✿ ϕ◦P ■✳ ❧➭ ❜❐❝ ♣✳ ηk , (k δ(ak , ϕ ◦ P ) ■■✳ = 1, 2, 3, ) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý tr➟♥ s✉② r❛ trù❝ t✐Õ♣ tõ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✽ ✈➭ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✶✹✳ Y1 = Y ∪ {bm = (m + 1)a1 |1 ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❧í♥ ❤➡♥ n m ➜➷t ✷✳✷✳✶✵ ❍Ư q✉➯✳ ❱í✐ ϕ◦P N − m} ✈í✐ N ❧➭ ♠ét sè ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ r❛ ë ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✽✱ t❛ ❝ã✿ δ(ak , ϕ ◦ P ) η , (k = 1, 2, 3, ), k ✈➭ η , (m = 1, , N − m) δ(bm , ϕ ◦ P ) ◆❤➢ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ t❛ ❝ã ❤Ư q✉➯ s❛✉✿ ✷✳✷✳✶✶ ❍Ư q✉➯✳ ❈❤♦ ❝✃♣ 0