Lý thuyết nevanlinna cho hàm phân hình và mốt số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN KHẮC HIẾU LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÀM PHÂN HÌNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN KHẮC HIẾU LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÀM PHÂN HÌNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TSKH TRẦN VĂN TẤN Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 i Mục lục MỞ ĐẦU 1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình 1.1 1.2 1.3 Một số khái niệm 1.1.1 Divisor mặt phẳng phức 1.1.2 Các hàm Nevanlinna hàm phân hình Định lý thứ 1.2.1 Một số kí hiệu 1.2.2 Công thức Jenssen 1.2.3 Định lí thứ 1.2.4 Một số ví dụ 14 Định lí thứ hai 13 15 1.3.1 Bổ đề Borel bổ đề đạo hàm Logarit 15 1.3.2 Định lí thứ hai 19 Một số ứng dụng lý thuyết Nevanlinna toán xác định hàm phân hình 23 2.1 Định lý Picard 23 2.2 Định lý điểm Nevanlinna 23 2.3 Định lý điểm Nevanlinna 25 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 MỞ ĐẦU Lý chọn luận văn Lí thuyết Nevanlinna, hay thường gọi lí thuyết phân bố giá trị, xây dựng R.Nevanlinna vào năm 1925 cho trường hợp biến phức Sau báo ơng cơng bố, lí thuyết mở rộng nghiên cứu sâu sắc nhiều nhà tốn học Đầu tiên lí thuyết Nevanlinna tổng qt lên cho trường hợp ánh xạ phân hình nhiều biến tác giả A Bloch, H Cartan, H J Weyles L Ahlfors.Sau W Stoll phát triển lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ không gian parabolic vào đa tạp xạ ảnh Đồng thời, lí thuyết Nevanlinna cịn xây dựng cho trường hợp hàm cơng trình D Masson, J F Voloch, J Noguchi J Wang Đây xem công cụ hữu hiệu để nghiên cứu giả thiết ABC xấp xỉ Diophantine Sự phát triển lí thuyết Nevanlinna mang đến công cụ vô hữu hiệu để nghiên cứu nhiều vấn đề khác hình học giải tích phức vấn đề hay hữu hạn ánh xạ phân hình, tính chuẩn tắc thác triển ánh xạ phân hình Đặc biệt số ứng dụng toán xác định hàm phân hình Vì thế, lựa chọn luận văn muốn tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí tốn học nước quốc tế liên quan đến lý thuyết Nevanlinna Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Mục đích luận văn Mục đích luận văn học tập giới thiệu kết bật Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình số ứng dụng tốn xác định hàm phân hình Nội dung Luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương nội dung chính, kết luận tài liệu tham khảo Chương Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình Chương Một số ứng dụng lý thuyết Nevanlinna toán xác định hàm phân hình Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo PGS.TSKH Trần Văn Tấn Em xin bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán-trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K18B ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập q trình làm luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Nguyên, ngày 19 tháng 08 năm 2012 Tác Giả Nguyễn Khắc Hiếu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 Chương Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình 1.1 1.1.1 Một số khái niệm Divisor mặt phẳng phức Định nghĩa 1.1 Một divisor D miền U ⊂ C tổng hình thức có dạng D= ∞ X λν zν , λν ∈ Z, {zν } rời rạc U ν=1 Định nghĩa 1.2 Một hàm f xác định tập mở U ⊂ C với giá trị phức gọi hàm phân hình với a ∈ U tồn lân cận mở liên thông V ⊂ U chứa a tồn hàm chỉnh hình g, h V, h 6≡ 0, g cho f = V h Giả sử f hàm phân hình U Khi đó, với a ∈ U ta có f (z) = (z − a)m g(z), m ∈ Z, g(z) hàm chỉnh hình U g(a) 6= +) Nếu m > ta nói a không điểm bậc m f +) Nếu m < ta nói a cực điểm bậc m f ∞ Định nghĩa 1.3 Giả sử f hàm phân hình U, {aν }∞ ν=1 , {bν }ν=1 không điểm, cực điểm f U , aν có bậc λν , bν có bậc −µν với µν < Ta định nghĩa divisor không điểm, divisor cực điểm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 divisor sinh hàm f sau: X X λν aν , (f )∞ = −µν bν , (f ) = (f )0 − (f )∞ (f )0 = µν 0 1.1.2 Các hàm Nevanlinna hàm phân hình Định nghĩa 1.4 (Hàm đếm) Giả sử D = P µν zν divisor C Với số tự nhiên k ( k = ∞), ta xác định hàm đếm D chặn bội đến bậc k sau: Z r nk (t, D) Nk (r, D) = dt, t > t P nk (t, D) = min{k, µν } |zν | ta đặt ∆(a, r) = {z ∈ C; |z − a| < r}, ∆(r) = {z ∈ C; |z = r|} Với ϕ = ϕ(x, y) hàm khả vi, ϕ = u + iv , ta định nghĩa toán tử đạo hàm riêng ∂ϕ ∂u ∂v = +i , ∂x ∂x ∂x ∂ϕ ∂u ∂v = +i ∂y ∂y ∂y   ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , = −i ∂z ∂x ∂y   ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = +i ∂z ∂x ∂y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9 Ta định nghĩa toán tử ∂ϕ, ∂ϕ, dϕ, dc ϕ sau: ∂ϕ ∂ϕ dz, ∂ϕ = dz, ∂z ∂z i dϕ = ∂ϕ + ∂ϕ, dc ϕ = (∂ϕ − ∂ϕ) 4π ∂ϕ = Từ ta có:   ∂ϕ i ∂ϕ dz − dz dϕ= 4π ∂z ∂z   ∂ϕ ∂ϕ dy − dx = 4π ∂x ∂y c i (∂ + ∂)(∂ − ∂)ϕ 4π i ∂ 2ϕ i ∂∂ϕ = dz ∧ dz = 2π 2π ∂z∂z ddc = Trong hệ tọa độ cực z = r.eiθ , z = r.e−iθ Ta có r2 = z.z = x2 + y , r.cosθ = x, r.sinθ = y , cho nên: ∂r ∂r = cosθ, = sinθ, ∂x ∂y ∂θ sinθ ∂θ cosθ =− , =− ∂x r ∂y r Từ ta có:   ∂ϕ ∂ϕ dc ϕ = dy − dx 4π ∂x ∂y 
∂ϕ ∂r ∂ϕ ∂θ
= + sinθdr + rcosθdθ − 4π ∂r ∂x ∂θ ∂x 
∂ϕ ∂r ∂ϕ ∂θ
− + cosθdr − rsinθdθ ∂r ∂y ∂θ ∂y  ∂ϕ ∂ϕ sinθ
= cosθ − (sinθ + rcosθdθ)− 4π ∂r ∂θ r  ∂ϕ ∂ϕ cosθ − ( sinθ + )(cosθdr − rsinθdθ) ∂r ∂θ r   ∂ϕ 1 ∂ϕ = r dθ − dr 4π ∂r r ∂θ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10 + log + |a| + log2 2π T (r, |z|=1 Chứng minh Áp dụng công thức Jenssen cho hàm ϕ(z) = log |f (z) − a| điểm z cho ϕ(z) = ±∞ , ∂∂ϕ(z) ≡ ta có :     N r, (f − a)0 − N r, (f − a)∞ Z Z 1 log|f (z) − a|dθ − log|f (z) − a|dθ = 2π |z|=r 2π |z|=1 Vì (f − a)∞ = (f )∞ nên:   Z 1 N r, (f − a)0 + log + dθ 2π |z|=r |f (z) − a|   Z Z 1 + log |f (z) − a|dθ − log|f (z) − a|dθ = N r, (f )∞ + 2π |z|=r 2π |z|=1 Từ bất đẳng thức |log + |f (z) − a| − log + |f (z)|| ≤ log+ |a| + log2,ta có điều phải chứng minh Hệ 1.11 (Bất đẳng thức Nevanlinna) Giả sử f hàm phân hình C a ∈ C đó: N (r, (f − a)0 ) ≤ T (r, f ) + O(1) N (r, (f )∞ ) ≤ T (r, f ) + O(1) N (r, (f )) ≤ T (r, f ) + O(1) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn16 14 Chứng minh       1 1./N (r, (f − a)0 ) = N r, ( )∞ = T r, ( ) − m r, ( ) f −a f −a f −a   ) = T (r, f ) + O(1) ≤ T r, ( f −a 2./N (r, (f )∞ ) = T (r, f ) − m(r, f ) + O(1) ≤ T (r, f ) + O(1) 3./N (r, (f )) = N (r, (f )0 ) − N (r, (f )∞ ) ≤ N (r, (f )0 ) ≤ T (r, f ) + O(1) 1.2.4 Một số ví dụ Ví dụ 1: P (z) hàm phân thức C, với P (z) Q(z) Q(z) đa thức biến C khơng có điểm chung có bậc tương ứng p q Khi ta có kết luận sau: Rr n(t, (f )∞ ) 1/ n(t, (f )∞ ) = q nên N (r, (f )∞ ) = dt = qlogr + O(1) t 2/ m(r, f ) = max{0, p − q}logr + O(1) 3/ T (r, f ) = N (r, (f )∞ ) + m(r, f ) = max{p, q}logr + O(1) Ví dụ 2: Xét P (z) = az p + · · · + ap đa thức f (z) = eP (z) Khi Xét hàm hữu tỉ f (z) = f (z) = eP (z) = eaz p +···+ap Như T (r, f ) ≤ T (r, az p ) + · · · + T (r, ap ) ∼ p.T (az p ) + log + eap = p p p.T (r, eaz ) + O(1) Bây ta tính T (reaz ) Đặt g = eaz p T (r, g) = m(r, g) + N (r, g) Do g chỉnh hình nên |a|rp |a| p suy T (r, f ) = r + O(1) T (r, g) = πp π Ví dụ 3: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn17 15 Giả sử f (z) hàm phân hình |z| < R, g(z) = af + b cf + d a, b, c, d số thỏa mãn ad − bc 6= f (0) 6= 0, g(0) 6= ∞ T (r, f ) = T (r, g) + O(1), với < r < R Thật vậy, ta xét hàm số sau : d (bc − ad)f3 f0 = f ; f1 = f0 + ; f2 = c.f1 ; f3 = ; f4 = c f2 c a g = f5 = f4 + c Theo tính chất số hạng T (r, f ) ta có T (r, f + c) ≤ T (r, f ) + T (r, c) + log2 = T (r, f ) + log + |c| + log2 Nên T (r, f + c) = T (r, f ) + O(1) T (r, cf ) ≤ T (r, f ) + T (r, c) = T (r, f ) + log + |c| T (r, cf ) = T (r, f ) + O(1) với f (z) hàm phân hình |z| < R, c số Từ thu được, c 6= T (r, fv+1 ) = T (r, fv ) + O(1), (v = 1, , 4) Như T (r, f ) = T (r, f0 ) = T (r, f1 ) + O(1) = T (r, f2 ) + O(1) = T (r, f3 ) + O(1) = T (r, f4 ) + O(1) = T (r, f5 ) + O(1) = T (r, g) + O(1) Ta điều phải chứng minh 1.3 1.3.1 Định lí thứ hai Bổ đề Borel bổ đề đạo hàm Logarit Ta dùng kí hiệu ||P để nói kết luận P ngồi tập E ⊂ [0; +∞} có độ đo Lebesgue hữu hạn Bổ đề 1.12 (Bổ đề Borel) Giả sử hàm Φ(r) ≥ 0(r ≥ 1) đơn điệu  1+δ d tăng Khi với δ > ta có :|| Φ(r) ≤ Φ(r) dr Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn18 16 d Φ(r) tồn dr hầu khắp nơi Ta giả sử Φ(r) ≡ Lấy r1 ≥ r0 cho d Φ(r1 ) > Đặt E(δ) = {r ≥ r1 ; Φ(r) > Φ(r)1+δ } Trên E(δ) dr có dΦ(r) b > dr Φ(r)1+δ Chứng minh Vì Φ(r) hàm đơn điệu tăng đạo hàm Do dΦ(r) ≤ dr ≤ 1+δ E(δ) E(δ) Φ(r) Z Z ∞ Z r1 dΦ(r) ≤ Φ(r)1+δ δΦ(r1 )δ Ta có điều phải chứng minh Bổ đề 1.13 (Bổ đề đạo hàm logarit) Giả sử f hàm phân hình Khi với δ > ta có :  2 (1 + δ) δ f + m(r, ) ≤ + log T (r, f ) + logr + O(1) f 2 Chứng minh Trên C xét (1, 1)−dạng Φ = 1 dω ∧ dθ , (1 + log |ω|)|ω|2 4π Z 1 dr ∧ dθ 2 C (1 + log r)r 2π Z ∞ 1 = dr = arctanlogr|∞ = π(1 + log r)r π Z Φ= b C Đặt: Z µ(r) = r dt t Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Z f ∗Φ ∆(0,t) http://www.lrc-tnu.edu.vn19 17 Khi ta có: r Z µ(r) = dt t Z ∆(0,t) r Z = Zω∈C = ≤ |f |2 Z  i  dz ∧ dz 4π + log |f | |f |2 dt n(t, (f − ω)0 )Φ(ω) t N (r, (f − ω)0 )Φ(ω) Zω∈C (T (r, f ) + O(1))Φ(ω) = T (r, f ) + O(1) ω∈C (Do áp dụng bất đẳng thức Nevanlinna) Z