Định lý kkm và các vấn đề liên quan trong lý thuyết tối ưu vectơ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THANH TRÀ ĐỊNH LÝ KKM VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƯU VECTƠ LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Thái Ngun - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THANH TRÀ ĐỊNH LÝ KKM VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƯU VECTƠ Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục MỞ ĐẦU 1 Kiến thức 1.1 1.2 Các không gian cần dùng 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Ánh xạ đa trị 10 1.2.1 Tính liên tục ánh xạ đa trị 10 1.2.2 Tính lồi ánh xạ đa trị 25 Ánh xạ KKM 29 2.1 Định nghĩa tính chất 29 2.2 Các định lý điểm bất động 34 2.3 Các ứng dụng 42 Bài toán tựa cân tổng quát loại II 48 3.1 Đặt toán 48 3.2 Sự tồn nghiệm toán (GEP )II 51 3.3 Một số vấn đề liên quan 55 KẾT LUẬN 64 Tài liệu tham khảo 65 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Một định lý tiếng toán học kỉ trước Nguyên lý điểm bất động Brouwer Đó định lý trung tâm lý thuyết điểm bất động nguyên lý giải tích phi tuyến Định lý Brouwer chứng minh năm 1912, dựa vào công cụ sâu sắc tôpô lý thuyết bậc ánh xạ liên tục nên phức tạp Vì thế, nhiều nhà tốn học tìm cách chứng minh Nguyên lý điểm bất động Brouwer công cụ đơn giản Năm 1929, ba nhà toán học Ba Lan Knaster, Kuratowski Mazurkiewicz chứng minh kết quan trọng mang tên ”Bổ đề KKM” phương pháp tương đối sơ cấp mà từ suy Nguyên lý điểm bất động Brouwer Bổ đề KKM chứng minh dựa kết Sperner năm 1928 phép tam giác phân đơn hình, thuộc lĩnh vực tốn tổ hợp, lĩnh vực tưởng chừng không liên quan đến lý thuyết điểm bất động Một điều thú vị từ Nguyên lý điểm bất động Brouwer ta chứng minh Bổ đề KKM, từ Nguyên lý điểm bất động Brouwer Bổ đề KKM tương đương Từ Bổ đề KKM đặt tảng tạo bước ngoặt lớn cho phát triển ”Lý thuyết KKM” Mặc dù Bổ đề KKM quan trọng, cho ta chứng minh đơn giản Nguyên lý điểm bất động Brouwer lại hạn chế áp dụng cho không gian vectơ hữu hạn chiều Để khắc phục điều này, năm 1961, nhà toán học tiếng Ky Fan mở rộng bổ đề KKM cho trường hợp không gian vectơ tôpô Định lý Ky Fan ngày gọi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ”Nguyên lý ánh xạ KKM” Nguyên lý ánh xạ KKM.Giả sử E khơng gian vectơ tơpơ bất kì, X tập khác rỗng E F : X → 2E ánh xạ thỏa mãn F(x) tập đóng với x ∈ X; co {x1 , x2 , , xn } ⊂ n S F (xi ) với {x1 , x2 , , xn } ⊂ X; i=1 F (x0 ) tập compact với x0 thuộc X Khi T F (x) 6= ∅ x∈X Năm 1972, dựa vào Nguyên lý ánh xạ KKM năm 1961, Ky Fan chứng minh kết quan trọng mà sau người ta gọi ”Bất đẳng thức Ky Fan” Bất đẳng thức Ky Fan Giả sử E không gian vectơ tơpơ bất kì, X tập lồi, compact, khác rỗng E f : X × X → R hàm số thỏa mãn f (x, x) ≤ với x ∈ X ; f (x, y) tựa lõm theo x với y cố định; f (x, y) nửa liên tục theo y với x cố định Khi đó, tồn y ∗ ∈ X cho f (x, y ∗ ) ≤ với x ∈ X Từ đây, Bất đẳng thức Ky Fan trở thành công cụ quan trọng để nghiên cứu toán như: Tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động, điểm cân Nash, điểm yên ngựa, Đến năm 1984, Ky Fan tiếp tục mở rộng Nguyên lý ánh xạ KKM chứng minh số kết quan trọng như: Các định lý ghép đôi (matching) cho phủ đóng hay phủ mở tập lồi, định lý điểm trùng định lý tương giao cho tập với thiết diện lồi Có thể nói, từ Nguyên lý ánh xạ KKM thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm, nghiên cứu suy nhiều kết Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Những kết nhiều dạng mở rộng tương đương tập hợp lại tên: Lý thuyết KKM Lý thuyết sử dụng rộng rãi công cụ hữu ích lĩnh vực như: Lý thuyết điểm bất động, lý thuyết minimax, toán kinh tế, tối ưu hóa, Mục đích luận văn trình bày số kết định lí KKM vấn đề liên quan lý thuyết tối ưu vectơ áp dụng vào tìm nghiệm tốn tựa cân tổng qt loại II Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương Chương 1: Trình bày số kiến thức số không gian vectơ ánh xạ đa trị để tiện cho việc theo dõi luận văn Chương 2: Trình bày số kiến thức ánh xạ KKM ứng dụng Chương 3: Đề cập đến tốn tựa cân tổng quát loại II, định lý tồn nghiệm số vấn đề liên quan Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn - Viện toán học Việt Nam Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ kính trọng, lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Xin trân trọng cám ơn thầy, giáo thuộc viện tốn học thầy, cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Xin thành kính cám ơn bố mẹ sinh thành nuôi dưỡng, cám ơn người thân yêu gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ln bên cạnh ủng hộ, động viên giúp tơi hồn thành luận văn Do trình độ cịn hạn chế, nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót nội dung cách trình bày, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Thái Nguyên, tháng năm 2011 Tác giả Đỗ Thanh Trà Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức Trong chương này, trình bày số kiến thức không gian cần dùng không gian Banach, không gian Hilbert, không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương số tính chất ánh xạ đa trị tính liên tục, tính lồi theo nón ánh xạ đa trị, điều kiện cần đủ để ánh xạ đa trị liên tục liên tục theo nón Ta mối quan hệ tính chất tổng quát hóa số kết quen biết giải tích hàm, ví dụ hàm lồi nửa liên tục liên tục yếu, 1.1 Các không gian cần dùng Ta biết, xét tốn, trước tiên phải nói đến khơng gian, sau nghiên cứu đến hàm số Cùng với phát triển toán học, người ta mở rộng việc xét tốn từ khơng gian gồm số lên khơng gian mang tính trừu tượng như: không gian Banach, không gian Hilbert, không gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương, Sau đây, ta tóm tắt số kiến thức số không gian để tiện cho việc theo dõi luận văn 1.1.1 Khơng gian Banach Tốn học đại xây dựng sở lý thuyết tập hợp với hệ tiên đề Người ta khơng có định nghĩa xác, cụ thể tập hợp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mà coi chúng họ đối tượng có tính chất Ví dụ họ số nguyên dương tập hợp số tự nhiên, họ hàm số định nghĩa đoạn [a, b] tạo thành tập hợp hàm số đoạn thẳng ấy, họ học sinh học lớp học tập hợp học sinh lớp ấy, Các tập hợp thường kí hiệu chữ in hoa như: A, X, Y, phần tử chúng thường kí hiệu chữ: a, x, y, Nếu x phần tử tập hợp X, ta kí hiệu x ∈ X Ta có: Định nghĩa 1.1.1 a) Với cặp phần tử x, y tập hợp X (gọi tắt tập X), xác định qui tắc đó, số thực ρ(x, y), gọi khoảng cách x y b) Qui tắc nói thỏa mãn điều kiện sau: i) ρ(x, y) > x 6= y ; suy ρ(x, y) = x = y; ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), với x, y (tính đối xứng); iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), với x, y, z (bất đẳng thức tam giác); Hàm số ρ(x, y) gọi metric không gian X cặp (X, ρ) gọi khơng gian metric Ví dụ 1.1 a) Tập M tập số thực R với khoảng cách thông thường ρ(x, y) = |x − y| không gian metric b) Không gian n chiều Rn với khoảng cách ρ(x, y) = n P (xi − yi )2 (với i=1 n x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ R ), không gian metric Nhận xét: Trên tập hợp, chọn metric khác để có khơng gian metric khác Định nghĩa 1.1.2 Ta nói dãy điểm x1 , , xn , không gian metric X hội tụ tới điểm x khơng gian đó, lim ρ(xn , x) = Ta n→∞ kí hiệu xn → x hay limxn = x, điểm x gọi giới hạn dãy {xn } Nhận xét: Dãy dãy hội tụ dãy hội tụ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ định nghĩa dãy hội tụ, ta có tính chất sau: 1) Nếu xn → x xn → x0 x = x’; 2) Nếu xn → x yn → y ρ(xn , yn ) → ρ(x, y) Định nghĩa 1.1.3 Cho X tập hợp Nếu X có hai phép tính: phép cộng hai phần tử X phép nhân số (thực phức) với phần tử X thỏa mãn điều kiện 1) x, y ∈ X x + y ∈ X , với x, y ∈ X ; 2) (x + y) + z = x + (y + z), với x, y, z ∈ X ; 3) x + y = y + x, với x, y ∈ X ; 4) Tồn ∈ X có tính chất: với x ∈ X x + = + x = x gọi phần tử gốc phần tử trung hịa; 5) Với x ∈ X tồn (- x) cho x + (−x) = 0; 6) 1.x = x, với x ∈ X ; 7) l.(k.x) = (l.k).x, với l, k ∈ K, x ∈ X ; 8) (l + k).x = l.x + k.x, với l, k ∈ K, x ∈ X ; 9) l.(x + y) = l.x + l.y , với l ∈ K, x, y ∈ X Khi đó, X gọi khơng gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.4 Cho X khơng gian tuyến tính Hàm số k.k : X → R+ thỏa mãn điều kiện: i) kxk ≥ 0, với x ∈ X kxk = ⇔ x = 0; ii) kλxk = |λ| kxk, với λ ∈ K, x ∈ X ; iii) kx + yk ≤ kxk + kyk, với x, y ∈ X ; gọi chuẩn cặp (X, k.k) khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.5 Giả sử (X, k.k) khơng gian tuyến tính định chuẩn Dễ thấy, hàm ρ : X × X → R (x, y) 7→ ρ (x, y) = kx − yk metric Như vậy, không gian tuyến tính định chuẩn khơng gian metric Do đó, tính chất khơng gian metric cho khơng gian tuyến Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.6 Khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) đầy đủ với metric xác định gọi không gian Banach s n P (xi )2 , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Ví dụ 1.2 a)Cho X = Rn với chuẩn kxk = i=1 n R X khơng gian Banach b) Cho X = C[a,b] với chuẩn kf k = max |f (x)| , f ∈ X X không x∈[a,b] gian Banach Định nghĩa 1.1.7 Cho dãy {xn } ⊆ (X, k.k), lập tổng riêng Sn = Nếu Sn → S ∈ X , ta nói chuỗi chuỗi Nếu chuỗi ∞ P ∞ P xi hội tụ S = i=1 kxi k hội tụ ta nói chuỗi i=1 ∞ P ∞ P n P xi i=1 xi tổng i=1 xi hội tụ tuyệt đối i=1 Định lý 1.1.8 Trong không gian Banach X, chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ Chứng minh Ta cần chứng minh {Sn } dãy cauchy Thật vậy, với m P m > n, kSm − Sn k = kxn+1 + + xm k ≤ kxi k → n → ∞.Vì i=n+1 ∞ P X đầy đủ, nên dãy {Sn } hội tụ Do đó, chuỗi xi hội tụ Hơn nữa, i=1 n n ∞ ∞ P P P P xk ≤ xk kx k , nên kS k ≤ kx k Do đó, kSk ≤ k n k k=1 k=1 k=1 k=1 Chú ý 1.1 Điều ngược lại định lý đúng, tức khơng gian tuyến tính định chuẩn X, chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ X khơng gian Banach 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.9 Cho X không gian tuyến tính Nếu X có dạng song tuyến tính h., i : X × X → R (x, y) 7→ hx, yi thỏa mãn: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Chương Bài toán tựa cân tổng quát loại II Trong thực tế sống, lĩnh vực kinh tế, người ta đặt mục tiêu cho chi phí thấp lại đạt lãi suất cao Ví dụ như: sở sản xuất có hai ban lãnh đạo, gọi ban ban Khi sản xuất loại hàng hóa đó, họ sử dụng phương án sản xuất x ∈ D (trong đó, D tập phương án sản xuất) Khi đó, ban lãnh đạo chọn P1 (x) phương án ban lãnh đạo chọn P2 (x) phương án Trong trình sản xuất, họ phải trả thuế Q(x, t) Yêu cầu đặt phải chọn phương án sản xuất x ∈ D, cho x ∈ P1 (x), mọi định ban lãnh đâọ thứ thuế phải ổn định Để giải vấn đề đó, nhà tốn học vận dụng đưa toán sau: 3.1 Đặt toán Giả sử X, Y, Z W khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z E ⊂ W tập khác rỗng Xác định ánh xạ đa trị P1 : D → 2D , P2 : D → 2E , Q : K × D → 2Z F : K × D × E → 2Y Ta xét tốn sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Tìm x ∈ D cho: x ∈ P1 (x); ∈ F (y, x, t), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Bài toán gọi toán tựa cân tổng quát loại II, kí hiệu (GEP )II Trong đó, ánh xạ đa trị P1 , P2 , Q gọi ánh xạ ràng buộc, F gọi ánh xạ mục tiêu xác định đẳng thức bất đẳng thức, bao hàm thức, bao hàm thức phủ định giao ánh xạ đa trị khác, số quan hệ khơng gian tích Trước tiên, ta xét tốn điển hình quy dạng tốn tựa cân tổng quát loại II sau: i) Bài tốn tựa cân vơ hướng: Cho D, K, Pi , i = 1, 2, Q W = X, E = D Cho R không gian số thực với tập số không âm R+ hàm Φ : K ×D ×D → R, xác định Φ(y, x, x) = 0, với y ∈ K, x ∈ D Bài toán tựa cân vơ hướng phát biểu: Tìm x ∈ D cho x ∈ P1 (x) Φ(y, x, t) ≥ 0, với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Khi đó, tốn tựa cân vơ hướng quy dạng tốn tựa cân tổng quát loại II sau: Tìm x ∈ D cho x ∈ P1 (x) ∈ F (y, x, t) = Φ(y, x, t) − R+ , với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) ii) Bài toán tựa biến phân Minty: Cho h., i : X × Z → R hàm song tuyến tính liên tục Ta xét tốn tựa biến phân Minty sau đây: ¯i ≥ 0, với t ∈ P2 (x) Tìm x ∈ D cho x ∈ P1 (x) hy, t − x y ∈ Q(x, t) Đặt F (y, x, t) = hy, t − xi − R+ , tốn quy toán tựa cân tổng quát loại II sau: Tìm x ∈ D cho x ∈ P1 (x) ∈ F (y, x, t), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 iii) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lí tưởng loại II: Cho D, K, Y, Pi , i=1, Q xác định phần đầu Hơn nữa, giả thiết C : K×D → 2Y ánh xạ nón đa trị (với (y, x) ∈ K×D, C(y, x) nón Y) G, H hai ánh xạ đa trị K × D × D lấy giá trị không gian Y thỏa mãn: G (y, x, t) ⊆ H (y, x, x) + C (y, x), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) gọi Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lí tưởng loại II Ta đặt ánh xạ đa trị M : K × D → 2X , F : K × D × D → 2Y bởi: M (y, x) = {t ∈ D |G (y, x, t) ⊆ H (y, x, x) + C (y, x)}, với (y, x) ∈ K × D; F (y, x, t) = t − M (y, x); (y, x, t) ∈ K × D × D Khi đó, tốn (GEP )II biểu thị sau: Tìm x ∈ D cho x ∈ P1 (x) ∈ F (y, x, t), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) iv) Bài toán quan hệ tựa biến phân loại II: Cho D, K, Pi , i = 1, 2, Q W = X, E = D Cho R(y, x, t) hàm biểu thị quan hệ y ∈ K, x ∈ D t ∈ E Khi đó, tốn quan hệ tựa biến phân loại II phát biểu sau: Tìm x ∈ D cho x ∈ P1 (x) R(y, x, t) xác định với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : K × D → 2X F : K × D × D → 2Y cho bởi: M (y, x) = {t ∈ D |R(y, x, t) xác định }; F (y, x, t) = t − M (y, x) , (y, x, t) ∈ K × D × D Thì tốn (GEP )II biểu thị sau: Tìm x ∈ D cho x ∈ P1 (x) ∈ F (y, x, t), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) v) Bao hàm thức vi phân Cho D ⊂ C [a, b] tập khác rỗng C [a, b] C [a, b] khơng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 gian liên tục không gian hàm khả vi liên tục [a, b] Cho P1 , P2 xác định Cho Ω tập khác rỗng U : D × D → 2Ω ánh xạ đa trị Cho tập K = Ω × R Q : D × D → 2Y cho Q(x, t) = U (x, t) × [a, b] Xác định ánh xạ đa trị G : K × D × D → 2C[a,b] Bài toán bao hàm thức vi phân phát biểu sau: Tìm x ∈ D cho x ∈ P1 (x) x0 ∈ G (y, ξ, x, t), vói t ∈ P2 (x) (y, ξ) ∈ Q(x, t) Khi đó, tốn tựa cân tổng quát loại II sau: Tìm x ∈ D cho x ∈ P1 (x) ∈ F (y, ξ, x, t), với t ∈ P2 (x) (y, ξ) ∈ Q(x, t) Trong F (y, ξ, x, t) = x0 − G (y, ξ, x, t) x’ kí hiệu đạo hàm x Trước tiên, ta xét tồn nghiệm toán sau: 3.2 Sự tồn nghiệm toán (GEP )II Trước hết, ta đưa số khái niệm tính liên tục, tính lồi ánh xạ đa trị hàm nhiều biến Định nghĩa 3.2.1 Cho F : K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị C : K × D → 2Y ánh xạ nón đa trị i) F gọi C - liên tục (dưới) (y, x, t) ∈ domF với lân cận V điểm gốc Y, có lân cận U (y, x, t) cho: F (y, x, t) ⊆ F (y, x, t) + V + C(y, x); (tương tự F (y, x, t) ⊆ F (y, x, t) + V − C(y, x)) với (y, x, t) ∈ U ∩ domF ii) Nếu F đồng thời C - liên tục C - liên tục (y, x, t) F C - liên tục (y, x, t) iii) Nếu F trên, dưới, , C - liên tục điểm domF, ta nói trên, dưới, , C - liên tục D iv) trường hợp C = {0} tập tầm thường Y, ta nói F trên, liên tục thay cho trên, - liên tục Và F liên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 tục đồng thời trên, liên tục Định nghĩa 3.2.2 Cho G : D → 2Y ánh xạ đa trị C nón Y Ta nói rằng: i) G C - tựa lồi trên D với x1 , x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] G(x1 ) ⊆ G(tx1 + (1 − t)x2 ) + C ; G(x2 ) ⊆ G(tx1 + (1 − t)x2 ) + C ii) G C - tựa lồi D với x1 , x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] G(tx1 + (1 − t)x2 ) ⊆ G(x1 ) − C ; G(tx1 + (1 − t)x2 ) ⊆ G(x2 ) − C Định nghĩa 3.2.3 Cho F : K × D × D → 2Y , Q : D × D → 2K ánh xạ đa trị Cho C : K × D → 2Y ánh xạ nón đa trị Ta nói rằng: i) F (Q, C) - tựa lồi theo đường chéo ba biến, với tập hữu hạn {x1 , x2 , , xn } ⊆ D, x ∈ co {x1 , x2 , , xn }, có số j ∈ {1, 2, , n} cho: F (y, x, xj ) ⊆ F (y, x, x) + C(y, x), với y ∈ Q(x, xj ) ii) F (Q, C) - tựa lồi theo đường chéo ba biến, với tập hữu hạn {x1 , x2 , , xn } ⊆ D, x ∈ co {x1 , x2 , , xn }, có số j ∈ {1, 2, , n} cho: F (y, x, x) ⊆ F (y, x, xj ) − C(y, x), với y ∈ Q(x, xj ) Định nghĩa 3.2.4 Cho F : K × D × D → 2X , Q : D × D → 2K ánh xạ đa trị Ta nói F Q - KKM với tập hữu hạn {t1 , t2 , , tn } ⊂ D x ∈ co {t1 , t2 , , tn }, có tj ∈ {t1 , t2 , , tn } cho ∈ F (y, x, tj ), với y ∈ Q(x, tj ) Định nghĩa 3.2.5 Cho R quan hệ hai K × D Ta nói R đóng với lưới (yα , xα ) → (y, x) R ((yα , xα )) xảy với α R(y, x) xảy Định nghĩa 3.2.6 Cho R quan hệ K × D × D Ta nói R Q - KKM với tập hữu hạn {t1 , t2 , , tn } ⊂ D x ∈ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 co {t1 , t2 , , tn }, có tj ∈ {t1 , t2 , , tn } cho R(y, x, tj ) xảy với y ∈ Q(x, tj ) Sau đây, ta xét số điều kiện cần đủ cho tính C - liên tục trên, Mệnh đề 3.2.7 Cho F : K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị C : K × D → 2Y ánh xạ nón đa trị, liên tục với giá trị đóng, lồi, khác rỗng 1) Nếu F C - liên tục (y0 , x0 , t0 ) ∈ domF F (y0 , x0 , t0 ) + C(y0 , x0 ) đóng, với lưới (yβ , xβ , tβ ) → (y0 , x0 , t0 ) , vβ ∈ F (yβ , xβ , tβ )+ C (yβ , xβ ) , vβ → v0 , kéo theo v0 ∈ F (y0 , x0 , t0 ) + C (y0 , x0 ) Ngược lại, F compact với lưới (yβ , xβ , tβ ) → (y0 , x0 , t0 ) , vβ ∈ F (yβ , xβ , tβ ) + C (yβ , xβ ) , vβ → v0 kéo theo v0 ∈ F (y0 , x0 , t0 ) + C (y0 , x0 ) F C - liên tục (y0 , x0 , t0 ) 2)Nếu F compact C - liên tục tai (y0 , x0 , t0 ) ∈ domF với lưới (yβ , xβ , tβ ) → (y0 , x0 , t0 ) , v0 ∈ F (y0 , x0 , t0 ) + C (y0 , x0 ), có  lưới {vβ } , vβ ∈ F (yβ , xβ , tβ ) mà có lưới hội tụ vβγ , vβγ − v0 → c ∈ C (y0 , x0 ) (tức vβγ − v0 + c ∈ v0 + C (y0 , x0 )) Đảo lại, F (y0 , x0 , t0 ) compact với lưới (yβ , xβ , tβ ) → (y0 , x0 , t0 ) , v0 ∈ F (y0 , x0 , t0 )+C (y0 , x0 ), có lưới {vβ } , vβ ∈ F (yβ , xβ , tβ )  mà có lưới hội tụ vβγ , vβγ − v0 → c ∈ C (y0 , x0 ), F C - liên tục (y0 , x0 , t0 ) Chứng minh Chứng minh tương tự Mệnh đề 2.3 ([15]), ta điều phải chứng minh Kết chứng minh sở Định lý sau ([21]) Định lý 3.2.8 Cho D tập compact, lồi, khác rỗng X F : D → 2D ánh xạ đa trị thỏa mãn điều kiện sau: i) Với x ∈ D, x ∈ / F (x) F(x) lồi; ii) Với y ∈ D, F −1 (y) mở D Khi ấy, tồn x ∈ D cho F (x) = ∅ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Như hệ định lý trên, ta có định lý sau Định lý 3.2.9 Cho F : D → 2D ánh xạ đa trị có F −1 (y) mở S D, với y ∈ D D = intF −1 (x); tồn x ∈ D cho x∈D x ∈ coF (x) Cho X, Y, Z không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, D ⊆ X, K ⊆ Z tập khác rỗng Các ánh xạ đa trị Pi , i = 1, 2, Q F phần đầu Ta xét định lý sau: Định lý 3.2.10 Điều kiện đủ để toán (GEP )II có nghiệm là: i) D tập lồi, compact, khác rỗng; ii) P1 : D → 2D ánh xạ đa trị với tập điểm bất động đóng khác rỗng D0 = {x ∈ X |x ∈ P1 (x)}; iii) P2 : D → 2D ánh xạ đa trị với P2−1 (x) mở bao lồi coP2 (x) P2 (x) chứa P1 (x), với x ∈ D; iv) Q : D × D → 2K ánh xạ đa trị cho với t cố định thuộc D, ánh xạ đa trị Q(., t) : D → 2K l.s.c; v) Với t cố định thuộc D, tập B = {x ∈ D |0 ∈ / F (y, x, t) với y ∈ Q(x, t)} mở D; vi) F : K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị Q - KKM Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : D → 2D bởi: M (x) = {t ∈ D |0 ∈ / F (y, x, t) , với y ∈ Q (x, t)} Chú ý rằng, cho x ∈ D, x ∈ P1 (x), xác định M (x) ∩ P2 (x) = ∅ ∈ F (y, x, t), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Do đó, định lý chứng minh đầy đủ Vì mục đích ta chứng tỏ tồn điểm x Thật vậy, ngược lại, giả sử với x ∈ P1 (x) M (x) ∩ P2 (x) 6= ∅ Xét ánh xạ đa trị H : D→ 2D định nghĩa bởi: co (M (x) ∩ P2 (x)) , x ∈ P1 (x) ; H (x) = P2 (x) , x ∈ / P1 (x) Ta chứng tỏ H thỏa mãn giả thiết Định lý 3.2.8 Thật vậy, Vì Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 H(x) 6= ∅, ta có D = S H −1 (x) Hơn x∈D
H (x) = (coM )−1 (x) ∩ (coP2 )−1 (x) ∪ P2 −1 (x) \D0 đó, D0 = {x ∈ D : x ∈ P1 (x)} tập đóng D Do đó, H −1 (x) tập mở D, với x ∈ D Hơn nữa, có x ∈ D cho x ∈ H(x) = coM (x) ∩ coP2 (x), tìm t1 , , tn ∈ M (x) n n P P αi ti ,αi ≥ 0, αi = Do định nghĩa M, ta có: cho x = −1 i=1 i=1 0∈ / F (y, x, ti ), với y ∈ Q(x, ti ), với i = 1, ,n Mặt khác, ánh xạ đa trị F Q - KKM, nên có số j = 1, , n cho: ∈ F (y, x, tj ), với y ∈ Q(x, tj ) Như vậy, ta có mâu thuẫn Vì vậy, ta kết luận rằng: với x ∈ D, x ∈ / H(x) Theo Định lý 3.2.8, suy tồn x ∈ D với H(x) = ∅ Nếu x ∈ / P1 (x), H(x) = P2 (x) = ∅, điều khơng xảy Vì thế, ta kết luận x ∈ P1 (x) H(x) = coM (x) ∩ coP2 (x) = ∅ Suy ra, ta có mâu thuẫn định lý chứng minh đầy đủ Ta nghiên cứu vài ứng dụng định lý tồn nghiệm toán tựa cân bằng, toán bao hàm thức biến phân, Chúng thể qua hệ sau: 3.3 Một số vấn đề liên quan Bài toán tựa cân vô hướng Hệ 3.3.1 Cho D, K, P1 , P2 , Q Định lý 3.2.10 Cho Φ : K × D × D → R hàm (Q, R+ ) - tựa lồi thực theo đường chéo với Φ(y, x, x) = 0, với y ∈ K, x ∈ D Trong phép cộng, giả sử với số t ∈ D, hàm Φ(., , t) : K × D → R nửa liên tục Thì tồn x ∈ D cho x ∈ P1 (x) Φ(y, x, t) ≥ 0, với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Chứng minh Đặt F (y, x, t) = Φ(y, x, t) − R+ , với (y, x, t) ∈ K × D × D Ta có, với số t ∈ D, tập B = {x ∈ D |0 ∈ / F (y, x, t) , với y ∈ Q (x, t)} = {x ∈ D |Φ (y, x, t) < 0} mở D Vì Φ (Q, R+ ) - tựa lồi theo đường chéo ba biến, nên với tập hữu hạn {t1 , t2 , , tn } ⊆ D, x ∈ co {t1 , t2 , , tn }, có số j ∈ {1, 2, , n} cho: Φ(y, x, tj ) ∈ Φ(y, x, x) + R+ , với y ∈ Q(x, tj ) Điều kéo theo Φ(y, x, tj ) ≥ đó, ∈ F (y, x, tj ), với y ∈ Q(x, tj ) Điều cho thấy F ánh xạ đa trị Q - KKM từ K × D × D 2R Vì thế, P1 , P2 , Q F thỏa mãn tất điều kiện định lý 3.2.10 Suy ra, có x ∈ D cho: x ∈ P1 (x); ∈ F (y, x, t), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Điều tương đương với Φ(y, x, t) ≥ 0, với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Bài toán quan hệ biến phân lý tưởng Trong hệ sau, giả sử C : K × D → 2Y ánh xạ nón đa trị, liên tục với giá trị lồi, đóng Hệ 3.3.2 Cho D, K, P1 , P2 Q định lý 3.2.10 Cho G, H : K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị compact G(y, x, x) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), với (y, x) ∈ K × D Cho C : K × D → 2Y ánh xạ nón đa trị với giá trị lồi, đóng, khác rỗng Trong phép cộng, giả sử: i) Với số t ∈ D, ánh xạ đa trị G(., , t) : K × D → 2Y (-C) -liên tục ánh xạ đa trị N : K × D → 2Y định nghĩa N (y, x) = H(y, x, x) C - liên tục trên; ii) G (Q, C) - tựa lồi theo đường chéo ba biến Thì tồn x ∈ D cho : x ∈ P1 (x) G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x)+C(y, x), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : K × D → 2X F : K × D × D → 2D M (y, x) = {t ∈ D |G (y, x, t) ⊆ H (y, x, x) + C (y, x)} , (y, x) ∈ K × D; F (y, x, t) = t − M (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D Với số t ∈ D, đặt A = {x ∈ D |0 ∈ F (y, x, t) , với y ∈ Q (x, t)} = {x ∈ D |t ∈ M (y, x) , với y ∈ Q (x, t)} = {x ∈ D |G (y, x, t) ⊆ H (y, x, x) + C (y, x) , với y ∈ Q (x, t)} Ta chứng minh A đóng D Thật vậy, giả sử lưới {xα } ⊂ A xα → x Lấy y ∈ Q(x, t) tùy ý Vì Q(., t) ánh xạ nửa liên tục xα → x, nên tồn lưới {yα }, yα ∈ Q(xα , t) cho yα → y Với lân cận V điểm gốc Y, có số α0 cho với α ≤ α0 , bao hàm thức sau xác định: G(y, x, t) ⊆ G(yα , xα , t) + V + C(yα , xα ) ⊆ H(yα , xα , xα ) + V + C(yα , xα ) ⊆ H(y, x, x) + 2V + C(y, x) Từ điều kết hợp với giá trị compact H, suy G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x) Vì vậy, x ∈ A, đó, A đóng D tập B = D\A = {x ∈ D |0 ∈ / F (y, x, t) , với y ∈ Q(x, t) } mở D Hơn nữa, G(y, x, x) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), với (y, x) ∈ K × D G (Q, C) - tựa lồi theo đường chéo ba biến, nên ta kết luận rằng, với tập hữu hạn {t1 , , tn } ⊆ D, x ∈ co {t1 , , tn }, có số j ∈ {1, , n} cho G(y, x, tj ) ⊆ G(y, x, x) + C(y, x) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), với y ∈ Q(x, tj ) Điều ∈ F (y, x, tj ) F ánh xạ đa trị Q - KKM Suy ra, hệ chứng minh đầy đủ Áp dụng định lý 3.2.10, ta kết luận rằng, có x ∈ D cho x ∈ P1 (x) ∈ F (y, x, t), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Điều tương đương với G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Tương tự, ta có hệ sau Bài toán quan hệ biến phân lý tưởng Hệ 3.3.3 Cho D, K, P1 , P2 Q định lý 3.2.10 Cho G, H : K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị compact H(y, x, x) ⊆ G(y, x, x) − C(y, x), với (y, x) ∈ K × D Cho C : K × D → 2Y ánh xạ nón đa trị với giá trị lồi, đóng, khác rỗng Ta giả thiết: i) Với t ∈ D, ánh xạ đa trị G(., , t) : K × D → 2Y (-C) liên tục ánh xạ đa trị N : K × D → 2Y định nghĩa N (y, x) = H(y, x, x) C - liên tục dưới; ii) G (Q, C) - tựa lồi theo đường chéo ba biến Thì tồn x ∈ D cho x ∈ P1 (x) H(y, x, x) ⊆ G(y, x, t) − C(y, x), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Chứng minh Chứng minh tương tự Hệ 3.3.2 Bài toán tựa cân yếu Hệ 3.3.4 Cho D, K, P1 , P2 Q Định lý 3.2.10 Cho G, H : K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị compact Cho C : K × D → 2Y ánh xạ nón đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng Ta giả thiết: i) Với t ∈ D, ánh xạ đa trị G(., , t) : K × D → 2Y (-C) - liên tục Ánh xạ đa trị N : K × D → 2Y định nghĩa N (y, x) = H(y, x, x), với (y, x) ∈ K × D C - liên tục ii) Với tập hữu hạn {t1 , , tn } ⊂ D x ∈ co {t1 , , tn }, có số j ∈ {1, , n} cho: G (y, x, tj ) 6⊆ H (y, x, x) + intC (y, x), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Thì tồn x ∈ D cho x ∈ P1 (x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 G (y, x, t) 6⊆ H (y, x, x) + intC (y, x), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : K × D → 2X F : K × D × D → 2D M (y, x) = {t ∈ D |G (y, x, t) 6⊆ H (y, x, x) + intC (y, x)} , (y, x) ∈ K×D ; F (y, x, t) = t − M (y, x) , (y, x, t) ∈ K × D × D Với số t ∈ D, ta đặt A = {x ∈ D |0 ∈ F (y, x, t) , với y ∈ Q (x, t)} = {x ∈ D |t ∈ M (y, x) , với y ∈ Q (x, t)} = {x ∈ D |G (y, x, t) 6⊆ H (y, x, x) +intC (y, x), với y ∈ Q (x, t)} Ta chứng minh tập đóng D Thật vậy, giả sử có lưới {xα } ⊂ D xα → x Lấy tùy ý y ∈ Q(x, t) Vì Q(., t) ánh xạ nửa liên tục xα → x, nên tồn lưới {yα } , yα ∈ Q(xα , t) cho yα → y Với lân cận V điểm gốc Y, có số α0 cho với α ≤ α0 , bao hàm thức sau không đổi: G(yα , xα , t) ⊆ G(y, x, t) + V − C(y, x); H(y, x, x) ⊆ H(yα , xα , xα ) + V + C(yα , xα ) Cho xα ∈ A, ta có: G(yα , xα , t) 6⊆ H(yα , xα , xα ) + intC(yα , xα ); G(y, x, t)+V −C(y, x) 6⊆ H(yα , xα , xα )+C(yα , xα )+intC(yα , xα ) Vì vậy, ta kết luận: G(y, x, t) + V − C(y, x) 6⊆ H(y, x, x) + V + intC(y, x) nên G(y, x, t) + V 6⊆ H(y, x, x) + intC(y, x), với lân cận V tùy ý điểm gốc Y Bây giờ, giả sử G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + intC(y, x) Với lân cận Vα tùy ý điểm gốc Y, tồn aα ∈ G(y, x, t), vα ∈ Vα aα + vα ∈ / H(y, x, t) + intC(y, x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 Khơng tính tổng qt, ta giả sử aα → a vα → aα + vα → a ∈ G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + intC(y, x) Nhưng, H(y, x, x) + intC(y, x) tập mở, nên tồn α0 cho với α ≤ α0 , aα + vα ∈ H(y, x, t) + intC(y, x), suy ta có mâu thuẫn Vì vậy, ta kết luận rằng: G(y, x, t) 6⊆ H(y, x, x) + intC(y, x) Điều chứng tỏ x ∈ A A tập đóng D Do đó, với số t ∈ D, tập B = D\A = {x ∈ D |0 ∈ / F (y, x, t) , với y ∈ Q (x, t)} mở Hơn nữa, điều kiện ii) suy ánh xạ đa trị F Q - KKM Vì vậy, hệ chứng minh đầy đủ Áp dụng định lý 3.2.10, kết luận rằng: có x ∈ D cho x ∈ P1 (x) ∈ F (y, x, t), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Điều tương đương với G(y, x, t) 6⊆ H(y, x, x) + intC(y, x), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Tương tự, ta thu hệ sau: Bài toán tựa cân yếu Hệ 3.3.5 Cho D, K, P1 , P2 Q định lý 3.2.10 Cho G, H : K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị Cho C : K × D → 2Y ánh xạ nón đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng Trong phép cộng, giả sử: i) Với t ∈ D, ánh xạ đa trị G(., , t) : K × D → 2Y C liên tục ánh xạ đa trị N : K × D → 2Y định nghĩa N (y, x) = H(y, x, x) (-C) - liên tục có giá trị compact; ii) Với tập hữu hạn {t1 , , tn } ⊂ D x ∈ co {t1 , , tn }, có số j ∈ {1, , n} cho: H (y, x, x) 6⊆ G (y, x, tj ) − intC (y, x) xác định,với t ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(x, t) Thì tồn x ∈ D cho x ∈ P1 (x) H (y, x¯, x¯) 6⊆ G (y, x¯, t) −intC (y, x¯), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 Chứng minh chứng minh tương tự Hệ 3.3.4 Bài toán tựa quan hệ biến phân Hệ 3.3.6 Cho D, K, P1 , P2 Q Định lý 3.2.10 Cho R quan hệ y ∈ K, x ∈ D, t ∈ D Giả thiết: i) Với số t ∈ D, quan hệ R(., , t)liên kết phần tử y ∈ K, x ∈ D đóng; ii) R Q - KKM; tồn x ∈ D cho x ∈ P1 (x) R(y, x, t) xác định, với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : K × D → 2X F : K × D × D → 2D bởi: M (y, x) = {t ∈ D |R (y, x, t) xác định }; F (y, x, t) = t − M (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D Với số t ∈ D, ta đặt: A = {x ∈ D |R (y, x, t) xác định, với y ∈ Q(x, t) } = {x ∈ D |0 ∈ F (y, x, t) , với y ∈ Q(x, t) } Lí luận tương tự chứng minh hệ 3.3.2, ta kêt luận tập đóng D., tập B = D\A = {x ∈ D |0 ∈ / F (y, x, t) , với y ∈ Q(x, t) } mở D Hơn nữa, dễ dàng kiểm tra R Q - KKM, nên ánh xạ đa trị F ánh xạ Q - KKM Vì vậy, hệ chứng minh đầy đủ Áp dụng Định lý 3.2.10, kết luận có x ∈ D cho x ∈ P1 (x) R(y, x, t) không đổi, với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Bài toán tương giao Hệ 3.3.7 Cho D, K, P1 , P2 Q định lý 3.2.10 Cho G : K × D → 2Y ánh xạ đa trị Trong phép cộng, giả sử: i) Với số t ∈ D, ánh xạ đa trị G(., t) : K → 2Y đóng; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 ii) Với tập hữu hạn {t1 , t2 , , tn } ⊂ D x ∈ co {t1 , t2 , , tn }, có số j ∈ {1, 2, , n} cho: x ∈ G(y, tj ) xác định, với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t); tồn x ∈ D cho: ( ) T T x ∈ P1 (x) ∩ G (y, t) t∈P2 (x) y∈Q(x,t) Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị F : K × D × D → 2X F (y, x, t) = x − G(y, t), (y, x, t) ∈ K × D × D Với số t ∈ D, ta chứng tỏ tập A = {x ∈ D |0 ∈ F (y, x, t) , với y ∈ Q(x, t) } = {x ∈ D |x ∈ G (y, t) , với y ∈ Q(x, t) } đóng D Thật vậy, giả sử có lưới {xα } ⊂ A xα → x Lấy tùy ý y ∈ Q(x, t) Vì Q(., t) ánh xạ nửa liên tục xα → x nên tồn lưới {yα }, yα ∈ Q(xα , t) cho yα → y Vì thế, xα ∈ G(yα , t), xα → x, yα → y Từ tính xác G(., t), suy x ∈ G(y, t) Điều có nghĩa x ∈ A A đóng Do đó, tập B = D\A = {x ∈ D |0 ∈ / x − G (y, t) = F (y, x, t) , với y ∈ Q (x, t)} mở D Hơn nữa, điều kiện ii) kéo theo với tập hữu hạn {t1 , t2 , , tn } ⊂ D x ∈ co {t1 , t2 , , tn }, có số j ∈ {1, 2, , n} cho: ∈ F (y, x, tj ) xác định, với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Điều cho thấy F Q - KKM Vì vậy, hệ chứng minh đầy đủ Áp dụng Định lý 3.2.10, kết luận rằng, có x ∈ D cho x ∈ P1 (x) ∈ F (y, x, t) xác định, với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Điều mang lại kết ( ) T T x ∈ P1 (x) ∩ G (y, t) t∈P2 (x) y∈Q(x,t) Trường hợp đặc biệt hệ trên, ta có hệ sau Hệ 3.3.8 Cho D tập lồi, compact X Với ánh xạ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn