Bao hàm thức tựa biến phân pareto loại i và những vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––– PHẠM ĐỨC CHÍNH BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO LOẠI I VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://lrc.tnu.edu.vn i Lời cam đoan Dưới hướng dẫn bảo tận tình GS.TSKH NguyễnXuân Tấn, ln văn thạc sĩ chun ngành tốn giải tíchvới đề tài: “Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I vấn đề liên quan” hoàn thành từ nhân thức thân, khơng trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biêt ơn sâu sắc Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013 Phạm Đức Chính Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn ii Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người tận tình hướng dẫn tơi để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành thầy cô trường ĐHSP Thái nguyên giúp đỡ suốt trình học tập hồn thành luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013 Phạm Đức Chính Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Những đóng góp đề tài CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian thường dùng 1.2 Nón khái niệm liên quan 11 1.3 Ánh xạ đa trị 13 1.4 Tính liên tục ánh xạ đa trị 14 1.5 Tính lồi ánh xạ đa trị 16 1.6 Điểm bất động ánh xạ đa trị 17 CHƢƠNG 2: BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO LOẠI I 19 2.1 Tổng quan loại bao hàm thức tựa biến phân 19 2.2 Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I 20 2.3 Sự tồn nghiệm 21 2.4 Nhận xét 27 2.5 Một số ví dụ 27 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn iv Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn CHƢƠNG 3: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 28 3.1 Sự tồn nghiệm toán bao hàm thức tựa biến phân yếu 28 3.2 Sự tồn nghiệm toán tựa cân Pareto 31 3.3 Sự tồn nghiệm toán tựa cân yếu 33 3.4 Sự tồn nghiệm toán tối ưu tựa cân Pareto 34 3.5 Bài toán tối ưu tựa cân yếu 36 3.6 Một số ví dụ 37 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Lí thuyết tối ưu hình thành từ ý tưởng cân kinh tế, lí thuyết giá trị Edgeworth Pareto từ cuối kỉ 19 đầu kỉ 20.Trong phát triển lý thuyết có nhiều cơng trình nghiên cứu ứng dụng nhiều lĩnh vực khác ngành khoa học,đời sống….như: Borel(1921), Von Neuman (1926) xây dựng lý thuyết trò chơi dựa khái niệm kết toán học, Koopman (1947) đưa lý thuyết lưu thơng hàng hóa, Hồng Tụy - Reiner Horst đưa lý thuyết tối ưu toàn cục … Lý thuyết tối ưu véctơ phận quan trọng lý thuyết tối ưu Sau công trình H.W Kuhn A.W.Tucker điều kiện cần đủ cho véctơ thoả mãn ràng buộc nghiệm hữu hiệu thỡ tối ưu véctơ trở thành ngành tốn học độc lập có nhiều ứng dụng thực tế đời sống Các toán lý thuyết tối ưu véctơ bao gồm: toán tối ưu, toán cân Nash, toán bù, toán bất đẳng thức biến phân,bài toán điểm yên ngựa, Bài toán điểm cân biết đến cơng trình Arrow-Debreu, Nash Sau cơng trình nhiều nhà tốn học sử dụng để xây dựng mơ hình kinh tế từ nửa sau kỷ 20 Ky Fan (1972) Browder-Minty (1978) phát biểu chứng minh tồn nghiệm toán cân dựa định lý điểm bất động Năm 1991, Blum Oettli phát biểu toán cân cách tổng qt tìm cách liên kết tốn Ky Fan Browder - Minty với thành dạng chung cho hai Bài toán phát biểu ngắn gọn là: tìm ∈ K cho f( , x) ≥ với x ∈K, K tập cho Trước khơng gian, f : K× K→ R hàm số thực thỏa mãn f(x, x) ≥ Đây dạng suy rộng trực tiếp toán cổ điển lý thuyết tối ưu véctơ Khởi đầu người Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn ta nghiên cứu toán liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự đưa nón orthant dương Sau mở rộng sang khơng gian có số chiều vơ hạn với nón Khái niệm ánh xạ đa trị xây dựng phát triển nhu cầu phát triển thân toán học lĩnh vực khoa học khác mà ỏnh xạ đơn trị chưa đáp ứng Những định nghĩa, tínhchất, phân lớp ánh xạ đơn trị dần mở rộng cho ánh xạ đa trị Từ người ta tìm cách chứng minh kết thu từ đơn trị sang đa trị Xuất phát từ vấn đề thực tế kinh tế đời sống số nhà tốn học mơ hình hóa vấn đề thành tốn tựa cân tổng qt loại I sau: Cho X, Y, Z không gian tuyến tính, tập D X, K ⊆ Z Cho ánh xạ đa trị S: D× K→ , T: D×K→ , F: K×D×D→ với giá trị khác rỗng Bài tốn: tìm ( , ) ∈ D× K cho 1) ∈ S( , ); 2) ∈ T( , ); 3) ∈F ( , ,x, z) với z ∈ S( , ) Các ánh xạ S, T gọi ánh xạ ràng buộc, F gọi ánh xạ mục tiêu, F đẳng thức, bất đẳng thức, bao hàm thức hay tương giao ánh xạ đa trị Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I trường hợp mở rộng toán tựa cân tổng quát loại I Việc nghiên cứu toán mở rộng số toán liên quan cho thấy rõ ràng tồn nghiệm toán Với lí hướng dẫn định hướng GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, chọn đề tài “Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I vấn đề liên quan” Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 2.Mục đích nghiên cứu Đưa mơ hình tốn số tốn liên quan nghiên cứu tồn nghiệm chúng 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I số toán liên quan, tồn nghiệm chúng Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tồn nghiệm bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I số toán liên quan lý thuyết tối ưu Phƣơng pháp nghiên cứu Để chứng minh tồn nghiệm toán đặt ta sử dụng định lý điểm bất động Ky Fan, Fan-Browder, bổ đề Fan-KKM Những đóng góp đề tài Trình bày kiến thức bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I số toán liên quan Nghiên cứu số ứng dụng định lý tồn nghiệm tốn tối ưu Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong thực tế, nhiều toán liên quan đến phép chuyển điểm tập thành tập tập Những khái niệm cổ điển hàm số, toán tử hay ánh xạ khơng cịn thích hợp.Việc mở rộng ánh xạ đa trị tất yếu nhằm đáp ứng vấn đề nảy sinh từ tự nhiên sống Vỡ mà mơn giải tích đa trị hình thành trở thành công cụ đắc lực để nghiên cứu toán liên quan đến ánh xạ đa trị Ta dành chương để nhắc lại số kiến thức giải tích cổ điển giải tích đa trị Các kiến thức quan trọng việc nghiên cứu toán chương sau 1.1 Các không gian thƣờng dùng Trong mục nhắc lại số kiến thức quan trọng không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, khơng gian tuyến tính lồi địa phương Hausdorff để phục vụ cho việc nghiên cứu chương sau Định nghĩa 1.1.1.Tập M khác rỗng với ánh xạ d: M × M → ℝ khơng gian metric tiên đề sau thỏa mãn: i) (∀x, y ∈M) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = x = y; ii) (∀x, y ∈M) d(x, y) = d(y, x); iii) (∀x, y, z ∈M) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) Không gian metric kí hiệu (M, d), (hoặc viết tắt M) Ánh xạ d gọi metric M; d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Ví dụ 1.1.2.i) Cho M⊆ℝ, với khoảng cách d(x, y) = , M khơng gian metric Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 27 Nghĩa Điều mâu thuẫn (2.5) Do )⊈ F( ∈T( , ) S ( , ), C∖{0}, với x S ( , ) Định lí chứng minh 2.4 Nhận xét i) Nếu Y khơng gian lồi địa phương Hausdorff C có sở lồi yếu compact, + ≠ ∅ Thật vậy, giả sử B sở lồi yếu compact C theo kết định lý tách có vector với b Y' cho (b) > + B quan hệ nghĩa ii) Trong Định lý 2.1 bỏ giả thiết F compact 2.5 Một số ví dụ Ví dụ 2.1 Cho X = Y = Z = ℝ , C = ( = [0, 1] F(y, x, ], D= K= [0, 1] S(x, y) = T(x, y) ) = (0,1), với (y, x, ) K D D Chúng ta dễ dàng kiểm tra giả thiết i), ii), iii), iv), vi) Định lý 2.1 thỏa mãn F C – liên tục C – liên tục Nếu F có giá trị khơng compact tốn (UPQVIP) vơ nghiệm Ví dụ 2.2 Cho X = Y = Z = ℝ , C = ( y) = F(y,x, ) = [0, 1], với (y, x, ], D = K = [0, 1] S(x, y) = T(x, ) K D D Chúng ta dễ dàng kiểm tra xem giả thiết định lý 2.1 thỏa mãn [0; 1] [0; 1] tập nghiệm (UPQVIP) Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 28 CHƢƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Trong chương này, áp dụng kết biết chương trước để nghiên cứu tồn nghiệm cho toán sau: toán bao hàm thức tựa biến phân (dưới) yếu, toán tựa cân Pareto (dưới), toán tựa cân yếu (dưới), toán tối ưu tựa cân Pareto, toán tối ưu tựa cân yếu Lin and Tan [7] phát biểu nghiên cứu Những tốn đóng vai trị quan trọng lí thuyết tối ưu véctơ đa trị Ta nghiên cứu chi tiết tốn cơng trình [8],…, [20] Sau ta xét toán nêu tồn nghiệm chúng: 3.1 Sự tồn nghiệm toán bao hàm thức tựa biến phân yếu Cho X, Y, Z không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff D ⊆ X, K ⊆ Z tập khác rỗng, ánh xạ đa trị: S:D× K→ T:D×K→ ; ; F:K×D×D→ ; Ta xét toán sau: (UWQVIP) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân yếu: Tìm( , ) ∈D× KSao cho ∈ S( , ) , ∈T( , ) − intC , với x ∈ S( , ) F( , , x) (LWQVIP) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân yếu dưới: Tìm( , ) ∈ D×K cho: F( , ,x) Số hóa Trung tâm Học liệu ∈ S( , ) , ∈ T( , ) + intC, với x ∈ S( , ) http://lrc.tnu.edu.vn 29 Định lý 3.1 Chúng ta giả sử D, K, C, S, T, F đáp ứng điều kiện ii), iii), iv); v); vi) định lý 2.1 C nón Yvới đó, tồn ( , ) D K Sao cho S( , ), )⊈ F( T( , ) − intC với x −cố định Cho Chứng minh Lấy − khác rỗng Khi S( , ) > tùy ý Từ liên tục , tồn lân cận V Y cho ξ(V) ⊆ ( ) Chúng ta xác ánh xạ định đa trị P:D K H: D K : P(x, y) = { Và < }, với t S(x, y)}, H(x, y) = P(x, y )×T(x, y) Chúng ta tiến hành tương tự giống định lí 2.1, thấy tồn ( , ) D K cho S ( , ), ∈T( , ) ≤ , với x S( , ) )⊈ Ta thấy : F( Giả sử rằng, tồn F( − intC với x S ( , ) S( , ) cho –intC; ) Nghĩa : > Điều mâu thuẫn (3.1.1).Do đó, F( với x (3.1.1) )⊈ S ( , ), T( , ) − intC , S( , ) Định lý chứng minh Định lý 3.2 Chúng ta giả sử D, K, C, S, T, F thỏa mãn điều kiện ii), iii), iv); v); vi) định lý 2 C nón Y với tồn ( , ) D K cho Số hóa Trung tâm Học liệu −khác rỗng; Thì S( , ), ∈ T( , ) http://lrc.tnu.edu.vn 30 )⊈ F( + intC, với x −cố định Cho Chứng minh Lấy > tùy ý Từ liên tục , tồn lân cận V Y cho ξ(V) ⊆ ( đa trị P :D K H: D K S( , ) ) Chúng ta xác ánh xạ định : ≤ P(x, y) = { , với t S }, H(x, y) = P(x, y ) T(x, y) Chúng ta tiến hành tương tự giống định lí 2.2 thấy tồn ( , ) D K S( , ), ∈T( , ) cho ≤ , với x S( , ) (3.1.2) Chúng ta thấy : F( )⊈ Giả sử rằng, tồn + intC với x S ( , ) cho F( S ( , ) ) intC Nghĩa : > Điều mâu thuẫn (3.1.2) Do đó, F( S ( , ), T( , ) )⊈ + intC với x S ( , ) Định lý chứng minh Nhận xét NếuC nón nhọn C ∅ cho +tùy ý Ta có Số hóa Trung tâm Học liệu − Thật vậy, > với c C ∖{0} Từ C nón nhọn C ≠ ∅, intC ⊆C ∖{0} Do đó, +⊆ −và intC Điều có nghĩa +⊆ http://lrc.tnu.edu.vn 31 3.2 Sự tồn nghiệm toán tựa cân Pareto Cho X, Y, Z không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff D⊆ X, K ⊆ Z tập khác rỗng, ánh xạ đa trị: S: D× K→ T: D×K→ ; ; F: K×D×D→ ; Ta xét tốn sau (UPQEP) Bài tốn tựa cân Pareto trên: Tìm ( , ) ∈D× K cho ∈ S( , ), ∈ T( , ) F ( , , x) − C ∖{0}, với x ∈ S( , ) (LPQEP) Bài tốn tựa cân Pareto dưới: Tìm ( , ) ∈ D×K cho ∈ S( , ), ∈T( , ) F( , , x) ∩ (−C ∖{0}) = ∅, với x ∈S( , ) Hệ 3.1.Chúng ta giả sử D, K, C, S, T F thỏa mãn điều kiện định lý 2.1 F (y, x, x) ∩ C ≠ ∅, với ( , ) D K cho S ( , ), T( , ) ) ⊈ − C ∖{0}, với x F( Chứng minh Từ định lí 2.1, tồn ≥ Từ F( ) D K Thì tồn S( , ) S ( , ), T( , ) , với x S( , ) C≠∅ , ≥ Nghĩa ≥ 0, với x Chúng ta thấy rằng: F( Giả sử tồn S( , ) ) ⊈ − C ∖{0}, với x S( , ) cho F( (3.2.1) S( , ) ) ⊆ − C ∖{0}, ta có < Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 32 Điều mâu thuẫn (3.2.1) Do đó, S( , ), ) ⊈ − C∖{0}, với x F( T( , ) S( , ) Hệ chứng minh Hệ Chúng ta giả sử D, K, C, S, T F thỏa mãn điều kiện định lý 2.2 F (y, x; x) ⊆ C, với cho S( , ), D K T( , ) ) ∩ (− C∖{0}) = ∅, với x F( Chứng minh Theo định lí 2.2 tồn ≤ Từ F( D K, tồn ( , ) S( , ) S( , ), T( , ) , với x S( , ) ) C , ≥ Nghĩa ≥ 0, với x S( , ) (3.2.2) Chúng ta thấy rằng: F( Giả sử tồn F( Ta có ) ∩ (− C ∖{0}) = ∅ , với x S( , ) S( , ) cho ) ∩ (− C ∖{0}) ≠ ∅, ) ∩ (− C ∖{0}) Khi ta có F( ≤ < Điều mâu thuẫn (3.2.2) Do đó, F( S ( , ), T( , ) ) ∩ (− C ∖{0}) = ∅ , với x S( , ) Hệ chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 33 3.3 Sự tồn nghiệm toán tựa cân yếu Cho X, Y, Z không gian vector tôpô lồi địa phương Hausdorff D⊆X, K⊆Z tập khác rỗng, ánh xạ đa trị: S: D× K→ T: D×K→ ; ; F: K×D×D→ ; Ta xét toán sau (UWQEP) Bài toán tựa cân yếu trên: Tìm ( , )∈D ×K cho ∈ S( , ), ∈T( , )và F ( , , x) −intC, với x ∈ S( , ) (LWQEP) Bài tốn tựa cân yếu dưới: Tìm ( , ) ∈D × K cho ∈ S( , ) , ∈ T( , ) F( , , x) ∩ (−intC) = ∅, với x ∈S( , ) hệ 3.3 Giả sử D, K, C, S, T F thỏa mãn điều kiện định lý 3.1 F(y, x, x) ∩ C ≠ ∅, với (x, y) cho S ( , ), F( D K Thì tồn ( , ) D K T( , ) ) ⊈ intC , với x S( , ) Chứng minh Theo định lí 3.1 chứng minh tương tự giống hệ 3.1, tồn S( , ), T( , ) ≥ 0, với x Ta thấy F( Giả sử tồn F( S( , ) (3.3.1) ) ⊈ − intC, với x S( , ) S( , ) cho ) ⊆ − intC Ta có < Điều mâu thuẫn (3.3.1) Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 34 Do S ( , ), T( , ) ) ⊈ intC, với x F( S( , ) Hệ chứng minh Hệ 3.4 Giả sử D, K, C, S, T F thỏa mãn điều kiện định lý 3.2 F(y, x, x) ⊆ C, với (x, y) S( , ), D K Thì tồn ( , ) D K cho T( , ) )∩( F( intC ) = ∅, với x S( , ) Chứng minh Theo định lí 3.2 chứng minh tương tự giống hệ tồn S( , ), T( , ) ≥ với x S( , ) (3.3.2) Ta thấy ) ∩ (− int C) = ∅, với x F( Giả sử tồn S( , ) cho F( Thì có S( , ) cho ) ∩ (− int C) ≠ ∅ ) ∩ (− int C) Khi ta có F( ≤ < Điều mâu thuẫn (3.3.2) Do đó, F( S( , ), T( , ) ) ∩ (− int C) = ∅, với x S( , ) Hệ chứng minh 3.4 Sự tồn nghiệm toán tối ƣu tựa cân Pareto Cho X, Y, Z không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff D ⊆ X, K ⊆ Z tập khác rỗng, ánh xạ đa trị: S: D× K→ T: D×K→ ; ; F: K×D×D→ Số hóa Trung tâm Học liệu ; http://lrc.tnu.edu.vn 35 i) C nón nhọn Y với +khác khác rỗng ; ii) D K tập lồi, compact khác rỗng ; iii) S: D×K → ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng; iv) T : D×K → ánh xạ đa trị nửa liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng; v) F ánh xạ đa trị C − liên tục C − liên tục với giá trị compact khác rỗng ; Ta xét toán sau (PQOP) Bài toán tối ưu tựa cân Pareto: Tìm ( , ) S( , ), T( , ) F( ) ∩ PMin (F( D K cho )│C) ≠ ∅ Hệ 3.5 Nếu D, K,C, S, T F Định lý 2.2, tồn ( , ) D K cho S( , ), T( , ) )│C) ≠ ∅ ) ∩ PMin (F( F( Chứng minh Theo Định lý 2.2, tồn ( , ) S( , ), Khi tồn T( , ) )⊈ F( ∈ ∉ D K cho C ∖{0}, với x S( , ) cho C∖{0}, với x S( , ) Nghĩa PMin (F( )│C) Do đó, F( ) ∩ PMin (F( )│C) ≠ ∅ Hệ chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 36 3.5 Bài toán tối ƣu tựa cân yếu Cho ánh xạ đa trị: S: D× K→2D ; T: D×K→2K; F: K×D×D→2Y; i) C nón nhọn Y với +khác khác rỗng ; ii) D K tập lồi,compact khác rỗng ; iii) S: D×K → ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng; iv) T : D×K → ánh xạ đa trị nửa liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng; v) Flà ánh xạ đa trị C − liên tục C − liên tục với giá trị compact khác rỗng ; Ta xét toán sau (WQOP) Bài toán tối ưu tựa cân yếu : Tìm ( , ) D K cho S( , ), T( , ) F( ) ∩ WMin (F( )│C) ≠ ∅ Hệ 3.6 Nếu D, K, C, S, T F Định lý 3.2, tồn ( , ) D K cho F( S ( , ), T( , ) )│C) ≠ ∅ ) ∩ WMin (F( Chứng minh.Theo Định lý 3.2, tồn ( , ) S ( , ), F( T( , ) )⊈ Khi tồn ∈ ∉ D K cho intC, với x S( , ) cho intC, với x Số hóa Trung tâm Học liệu S( , ) http://lrc.tnu.edu.vn 37 Nghĩa WMin (F( )│C) Do đó, F( ) ∩ WMin (F( )│C) ≠ ∅ Hệ chứng minh 3.6 Một số ví dụ Ví dụ 3.1 Cho X = Y = Z = ℝ , C = (− ∞, 0], D = K = [0, 1], S(x, y) = T(x, y) = [0, 1] , F(y, x, ) = [0, 1], với (y, x, ) ∈K×D×D Chúng ta dễ dàng kiểm tra giả thiết định lý 2.1 định lý 3.1 thoả mãn F(y, x; x) ∩ C ≠ ∅ Bằng kiểm tra trực tiếp ta thấy [0; 1] × [0, 1] tập nghiệm (UPQEP)và (UWQEP) Ví dụ 3.2 Cho X = Y = Z = ℝ , C = (− ∞, 0], D = K = [0, 1], S(x, y) = T(x, y) = [0, 1] F(y, x, ) = [1, 2], với (y, x, ) ∈ K× D×D Chúng ta dễ dàng kiểm tra giả thiết ta định lý 2.1 định lý 3.1 thoả mãn F(y, x, x) ∩ C = ∅ Bằng kiểm tra trực tiếp ta thấy tốn (UPQEP)và (UWQEP) vơ nghiệm Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 38 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số tốn suy rộng lý thuyết tối ưu đặc biệt bao hàm thức tựa biến phân Pareto Bên cạnh tồn nghiệm toán liên quan.cụ thể Chương 1: nhắc lại số kiến thức quan trọng không gian thường dùng giải tích đa trị phục vụ việc nghiên cứu tồn nghiệm toán chương sau Chương 2: Giới thiệu bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại tồn nghiêm tốn.Từ sử dụng kết để nghiên cứu tồn nghiệm số toán liên quan Chương 3: Trình bày số tốn liên quan tồn nghiệm toán Với phạm vi luân văn thời gian khả hạn chế nên toán cần nghiên cứu sâu sắc để có kết tốt ứng dụng ngành giải tích đời sống Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Tân, Nguyễn Bá Minh, Một số vấn đề lý thuyết tối ưu đa trị Tiếng Pháp [2] Berge C., (1959) Espaces topologiques fonctions multivoques, Dunod, Paris Tiếng Anh [3] Aubin, J.-P and Frankowska H., Set-valued analysis, Birkhauser, 1990 [4] Aubin, J.-P and Cellina A., Dierential Inclusion, Springer Verlag, Heidelberg,Germany, 1994 [5] Blum, E and Oettli, W., From Optimization and variational Inequalities to Equilibrium Problems, The Mathematical Student, Vol 64, 1-23, 1993 [6] Fan, K.(1961), A generalization of Tychonoff 's fixed point theorem, Mathematics Annalen 142, 305-310 [7] F Ferro,F., Minimax Type Theorems for n-Valued Functions, Annali di Matematica Pura ed Applicata, Vol 32, pp 113-130, 1982 [8] Gurraggio, A and Tan, N X., On General Vector Quasi-Optimization Problems, Mathematical Methods of Operation Research, Vol 55,347358, 2002 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 40 [9] N.X.Hai and P Q Khanh, The solution existence of general variational inclusion problems, J Math Anal Appl., 328 (2007), pp 1268-1277 [10] Lin, L.J and Tan, N.X., On quasivariational inclusion problems of type I and related problems, J Glob Optim (2007) 39; 393-407 [11] Lin, L.J , Yu, Z T and Kassay, G., Existence of Equilibria for Monotone multivalued Mappings and Its Applications to Vectorial Equilibria,Journal of Optimzation Theory and Applications, Vol 114, 189-208, 2002 [12] Luc, D T., Theory of Vector Optimization, Lectures Notes in Economics and Mathematical Systems,Springer Verlag, Berlin, Germany, Vol 319, 1989 [13] Luc, D T and Tan, N X., Existence conditions in variational inclusions with constraints,Optimization 53, no 5-6, 505-515, 2004 [14] Minh, N B and Tan, N X,Some Suffcient Conditions for the Existence of Equi-libriumPoints Concerning multivalued Mappings, Vietnam Journal of Mathematics,Vol 28, 295-310, 2000 [15] Minh, N B and Tan, N X.,On the existence of solutions of quasivariational in –clusion problems of Stampacchia type, Adv Nonlinear Var Inequal Vol 8, 1-16,2005 [16] Park, S., Fixed Points and Quasi-Equilibrium Problems Nonlinear Operator Theory.Mathematical and Computer Modelling, Vol 32, 12971304, 2000 [17] Parida, J and Sen,A., A Variational-Like Inequality for Multifunctions with Applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 124, 73-81, 1987 [18] Tan, N X., Quasi-variational inequalities in topological linear locally convex hausdorffspace, Math Nachr 122 (1985) 231-245 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 41 [19] Tan, N X., On the existence of of solutions of quasi-variational inclusion problems,Journal of Optimization Theory and Applications, 123, (2004),619-638 [20] Tuan, L A and Sach, P H., Generalizations of vector quasivariational inclusion problems with set-valued maps, J Global Optimization, 43, No 1, 2009, 23-45 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn