Da26 chuyên đề hh11 chương3 qh vuông góc bt ôn tập chương 3

Bài BÀI TẬP ƠN TẬP CHƯƠNG III Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O SA SB SC SD a Gọi I , J trung điểm AD BC a) Chứng minh b) Chứng minh SO   ABCD   SIJ    SBC   SBC  c) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng d) Tính góc cạnh bên mặt đáy, mặt bên mặt đáy e) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB f) Mặt phẳng  chứa SI   BC cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện HD& Giải a) Ta có SA SB SC SD a ABCD hình vng nên AC BD a Do hai tam giác SAC SBD hai tam giác đều, từ ta có: SO  AC    SO   ABCD  SO  BD  b) Ta có mà BC  IJ    BC   SIJ  BC  SO  BC   SBC  Suy c) Trong mặt phẳng Suy OH   SBC   SIJ    SBC   SIJ  hay BC   SIJ  dựng OH  SJ Khi OH  BC (vì ) d  O;  SBC   OH 1 1 14  2    2 2 OH SO OJ 3a  a   a        Xét tam giác vng SOJ , ta có a 42 a 42 d  O;  SBC    14 Vậy 14 d) Tính góc cạnh bên mặt đáy  OH  TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Ta có SO   ABCD  nên OA hình chiếu SA mặt phẳng  60  SA,  ABCD   SAO  ABCD  Vậy (vì tam giác SAC cạnh a )  ABCD  Tính tương tự với cạnh SB, SC , SD với mặt đáy Tính góc mặt bên với mặt đáy Ta có Do  SAD    ABCD   AD   SAD  ;  ABCD    SAD  cân S ) IJ  AD, SI  AD (Vì tam giác   SI , IJ  SIO a SO   SIO     SIO act tan a OI Xét tam giác SIO , ta có   SAD  ;  ABCD   act tan Vậy Tính tương tự mặt lại AD / /  SBC  e) Ta có AD / / BC nên Suy Bài d  AD; SB  d  AD;  SBC   d  I ;  SBC    SIJ  , dựng IK  SJ Khi d  I ;  SBC   IK Trong mặt phẳng Xét hai tam giác đồng dạng , ta có Vậy f) Ta có Suy hay thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng tam giác Vậy (đvdt)  Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có góc BAD 60 Gọi O 3a SO  mp ABCD   Gọi giao điểm AC BD Đường thẳng SO vng góc với E trung điểm đoạn BC , F trung điểm đoạn BE a) Chứng minh  SOF    SBC  mp  SBC  b) Tính khoảng cách từ O A đến c) Gọi   chóp với mp  SBC  mặt phẳng qua AD vuông góc với Xác định thiết diện hình    Tính diện tích thiết diện d) Tính góc    ABCD  HD& Giải TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang   a) Ta có A C 60 nên tam giác BCD tam giác DE  BC    OF  BC OF  DE  Như vậy: Mặt khác, ta có Ta suy ra: b) Tính Trong Do SO   ABCD   SO  BC BC   SOF  ,  SOF    SBC  d  O,  SBC   ? mp  SOF  OH   SBC  dựng OH  SF d  O,  SBC   OH Ta có: OH  OF nên tam giác vuông O 1 1 16 16 64  2    2 2 2 2 OH OF OS 3a 9a 9a  DE  OS 3a  OH      3a d  O,  SBC   OH  Vậy Tính d  A,  SBC   ? mp  SIF  Gọi I FO  AD, I  AD Trong dựng IK  SF d  A,  SBC   d  I ,  SBC   IK nên 3a IK 2OH  Ta có: Vì AD / /  SBC  c) Ta có AD     giao tuyến M  SB, N  SC )   IK   SBC  với nên mp  SBC    là đường thẳng MN / / BC ( MN Ta xác định thiết diện hình thang ADNM TÀI LIỆU TOÁN THPT mp  SDK  S ADNM  qua K , với  MN  AD  IK Trang SK MN BC.SK   MN  SF Ta có SF BC Mặt khác, xét tam giác vng SOF ta tính được (đvđt) SK  SF  a xét tam giác vng SKI ta tính 1 a  a 9a a a S ADNM   MN  AD  IK    a   MN  2 16  4 Do Vậy:      ABCD   AD      KIF     mp  ABCD   d) Ta có: góc hai mặt phẳng 3a IK   cos KIF     KIF 30 IF a 2 Xét tam giác vuông IKF K , có  Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, cạnh a có góc BAD 60 , IF  AD IK  AD Bài SA SB SD  a  ABCD  độ dài cạnh SC a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng b) Chứng minh SB vng góc với BC c) Chứng minh rằng: d) Gọi  SAC    ABCD   góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  , tính tan  Lời giải  ABCD  a) Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng Khi d  S ,  ABCD   SH a nên HA HB HD Ta có Vậy H trọng tâm tam giác ADB SA SB SD  TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Xét tam giác vng SAH , ta có Vậy SH  b) Ta có: SH SA2  AH  3a a 5a   12 a 15 CH CO  OH  a a 2a   Xét tam giác vuông SHC , ta có: SC SH  HC  5a 4a a   12 a Nên tam giác SBC vuông B Vậy SB  BC Vậy SH   SAC  c) Ta có H  AC SH   ABCD   SAC    ABCD  Vì nên SC   SBD    ABCD  BD  d) Ta có Là góc hai măt phẳng tan   Bài     SOA    OH  BD OS  BD  SBD   ABCD  SH a 15    HO a Cho hình thoi ABCD tâm O, có cạnh a có OB  a 3 Trên đurờng thẳng vuông góc với  ABCD  O lấy điểm S cho SB a a) Chứng minh tam giác SAC tam giác vng SC vng góc với BD mặt phẳng b) Chứng minh:  SAD    SAB  ;  SCB    SCD  c) Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BD Lời giải a) Hai tam giác SOB AOB có OB chung SB  AB a nên chúng Do SO  AO CO , suy tam giác SAC vuông S TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Mặt khác: BD  AC    BD   SAC  BD  SO  Như vậy: BD   SAC     DB  SC SC   SAC   OI  SA   OI  DB  OI đường vng góc chung SA BD c) Ta có: d  SA, BD  OI  a 3 Như vậy: b) Gọi I trung điểm SA Vì BS BA a nên BI  SA  SAB   SAD   Và DS DA a nên DI  SA Ta suy BID góc hai mặt phẳng Trong tam giác vng AOB , ta có: a2 a OA  AB  OB  a   3 2 Trong tam giác vng cân BID , ta có Như vậy: Hay Bài OB OI OD  OI  OA a  a 3 tam giác BID vng I  SAD    SAB   SCB    SCD  Chứng minh tương tư, ta có: Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a a) Hãy xác định đường vuông góc chung hai đương thẳng chéo BD BC b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD BC Lời giải a) Ta có BC  BC     BC   DC B  BC  DC   BC D vẽ IK  BD K Ta có IK Gọi I tâm hình vng BCC B Trong mặt phẳng đường vng góc chung BD BC b) Gọi O trung điểm BD Vì tam giác IOB vng I nên: TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Bài 1 1  2   2 KI IO IB a  a 2 a            KI  a a a Cho hình thang ABCD vng A B, có AD 2a , AB BC a Trên tia Ax vuông  ABCD  lấy điểm S Gọi C  , D hình chiếu vng góc A góc với mặt phẳng SC SD Chứng minh rằng:   a) SBC SCD 90 b) AD , AC  AB nằm mặt phẳng c) Đường thẳng C D luôn qua điêm cố định S di động tia Ax Lời giải  Áp dụng định lí ba đường vng góc, ta chứng minh SB  BC nên SBC 90   Vì tam giác ABC vng cân nên ACB 45 , từ suy ACD 90  Áp dụng định lí ba đường vng góc, ta chứng minh SC  CD hay SCD 90 b) Trong mặt phẳng Ta có  SAC   SAD  vẽ AD  SD vẽ AC   SC mặt phẳng AC   CD  CD   EAC     AC   SC   AC    SCD   AC   SD Ta lại có AB  AD    AB   SAD   AB  SD AB  SA  Ba đường thẳng AD , AC AB qua điểm A vng góc vói SD nên nằm mặt phẳng   qua A vng góc với SD    với mặt phẳng  SCD  Do S di động tia Ax c) Ta có C D giao tuyến C D ln qua điểm I cố định giao điểm AB CD  AB  ( ), CD   JCD   Bài Cho hình lăng trụ ABC ABC  có tất cạnh bên cạnh đáy a Các cạnh bên lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 60 hình chiếu vng góc đỉnh A lên mặt  ABC  trùng với trung điểm I cạnh BC  phẳng a) Tính khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang b) Chứng minh mặt bên BCC B hình vng Lời giải  AI   ABC  a) Gọi I trung điểm BC  Theo giả thiết ta có AAI 60  ABC  //  ABC nên d   ABC  ,  ABC    AI Ta có:  a AI  AA.sin 60  Vây khoảng cách hai mặt đáy läng trụ Do BC   AI    BC    AIA BC   AI  b) Ta có  BC   AA Mà AA // BB // CC  nên BC   BB Vậy mặt bên BCC B hình vng hình thoi có góc vng Bài  ABC  60 BB a , Cho hình lăng trụ ABC ABC  , góc BB với mặt phẳng  BAC 60 Hình chiếu điểm B lên măt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm cuia tam giác ABC Tính khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ Lời giải Gọi D trung điểm AC G trọng tâm tam giác ABC  BG 60 BG  ( ABC )  B Ta có  ABC  //  ABC  nên d   ABC  ,  ABC   BG Vì nên Do BG BB.sin 60  a a Vậy khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Bài Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông, AB BC a , cạnh bên AA a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BC Lời giải  AME  song song với BC nên khoảng cách Gọi E trung điểm BB Khi mặt phẳng  AME  Hơn hai đường thẳng AM , BC khoảng cách BC đến mặt phẳng d  BC ;  AME   d  C ;  AME   d  B;  AME    AME  Do tứ diện Gọi h khoảng cách từ B đến mp BAME có BA , BM , BE đơi vng góc nên 1 1 a         h 2 h BA BM BE a a a a a Vậy khoảng cách hai đường thẳng AM BC Bài 10  ABC  Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB a , góc hai mặt phẳng  ABC  60 Gọi G trọng tâm tam giác ABC TÀI LIỆU TỐN THPT Trang a) Tính AA  ABC  b) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng Lời giải  a) Gọi D trung điểm BC , ta có BC  AD  BC  AD , suy ADA 60 3a AA  AD.tan 60  Vậy b) Gọi H trọng tâm tam giác ABC GH //AA    GH   ABC  AA   ABC   Ta có: AA a d  G;  ABC   GH   Suy Bài 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vng B , AB a , AA 2a , AC 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng AC  , Gọi I giao điểm AM AC  IBC  Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng Lời giải TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 10