Da26 chuyên đề hh11 chương3 qh vuông góc bài 1 3

MỤC LỤC VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN……………………………………………01 - 11 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC……………………………………… 12- 19 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG……………………….20-36 HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC…………………………………………… 37-49 KHOẢNG CÁCH……………………………………………………………… 50-62 ÔN TẬP CHƯƠNG III……………………………………………………………… 63-88 MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA…………………………………………………………… 89-95 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang CHƯƠNG III VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN Bài 1.VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN VÀ SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VÉC TƠ A KIẾN THỨC CẦN NẮM I CÁC ĐỊNH NGHĨA Véc tơ, giá độ dài véc tơ   Véc tơ khơng gian đoạn thẳng có hướng Kí hiệu AB ,chỉ véc tơ có điểm đầu     A, điểm cuối B Véc tơ kí hiệu a, b, x, y ,…  Giá véc tơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối véc tơ Hai véc tơ gọi phương giá chúng song song trùng Ngược lại hai véc tơ có giá cắt gọi hai véc tơ không phương Hai véc tơ phương hướng hay ngược hướng  Độ dài véc tơ độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút điểm đầu điểm cuối véc tơ   AB AB  AB Véc tơ có độ dài gọi véc tơ đơn vị Kí hiệu Như Hai véc tơ nhau, véc tơ_không    Hai véc tơ a b gọi chúng có độ dài hướng Kí   a hiệu b  Véc tơ_không véc tơ đặc biệt có điểm đầu điểm cuối trùng nhau; phương    hướng với véc tơ Kí hiệu  AA BB  II PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ VÉC TƠ Định nghĩa       AB a, BC b Véc a b A   Cho hai véc tơ Trong không gian lấy điểm tùy ý , vẽ       tơ AC gọi tổng hai véc tơ a b , kí hiệu AC  AB  BC a  b       a b b a a  Véc tơ véc tơ đối véc tơ , b ngược hướng với nhau, kí hiệu   b  a     a  b a   b  Tính chất     a  b b  a (tính chất giao hốn)        a  b  c a  b  c  (tính chất kết hợp)      a  0  a (tính chất véc tơ không)      a   a  a  a 0  Các quy tắc cần nhớ tính tốn a Quy tắc ba điểm Với ba điểm A, B, C bất kì, ta có:     BC  AC  AB           TÀI LIỆU TOÁN THPT BC  AC  AB Trang b Quy tắc hình bình hành Với ABCD hình bình hành    Ta có AC  AB  AD c Tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác Với I trung điểm AB Ta có     IA  IB 0    MA  MB 2MI với điểm M  G trọng tâm tam giác ABC Ta có     GA  GC 0    GB    MA  MB  MC 3MG với điểm M d Quy tắc hình hộp Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Ta có     AC '  AB  AD  AA ' III PHÉP NHÂN VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ    k  a  k a Định nghĩa: Cho số véc tơ Tích số với véc tơ véc tơ, kí    hiệu k a , hướng với a k  0, ngược hướng với a k  có độ dài  k.a   Tính chất: Với véc tơ a , b số m, n ta có:     m a  b ma  mb     m  n  a ma  nb     m na  mn  a     1.a a    1 a  a       a 0; k 0  IV ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉC TƠ Khái niệm đồng phẳng ba véc tơ không gian  a Trong không gian cho ba véc tơ , b, c khác vectơ-không Nếu từ điểm O ta vẽ       OA a, OB b, OC c xảy hai trường hợp:     TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang TH1 Các đường thẳng OA, OB, OC không nằm mặt phẳng  Ba véc tơ a, b, c không đồng phẳng Định nghĩa Trong không gian, ba véc tơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng TH2 Các đường thẳng OA, OB, OC nằm mặt phẳng  Ba véc tơ a, b, c đồng phẳng Điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng   a , b , c a Định lí Cho ba véc tơ , b khơng phương Điều kiện cần đủ để ba     a , b , c m , n c  ma  nb Hơn nữa, số m, n véc tơ đồng phẳng có số cho Phân tích (biểu thị) véc tơ theo ba véc tơ không đồng phẳng   a , b , c d Định lí Nếu ba véc tơ khơng đồng phẳng với véc tơ , ta tìm số     m, n, p cho d ma  nb  pc Hơn số m, n, p B BÀI TẬP DẠNG Xác định yếu tố véc-tơ Phương pháp: Dựa vào định nghĩa yếu tố véc-tơ Dựa vào tính chất hình học hình cho Bài 1.1 Cho hình hộp ABCD ABC D Hãy kể tên véc-tơ có điểm đầu điểm cuối đỉnh     AB AA hình hộp véc-tơ , , AC Lời giải Theo tính chất hình hộp, ta có     AB DC  AB DC  ;     AB  CD  BA  C D ; TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang     AA BB CC  DD;     AA  BB  C C  DD ;       AC  A C , AC  C A , DẠNG Chứng minh đẳng thức véc-tơ Phương pháp: Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, tính chất trung điểm, trọng tâm để biến đổi vế thành vế ngược lại Sử dụng tính chất phép tốn véc-tơ tính chất hình học hình cho Bài 1.2 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AD , BC G trọng tâm tam giác BCD Chứng minh  1          MN  AB  DC AC  BD  AD  BC AB  AC  AD 3 AG a) b) c) Lời giải      a) Theo quy tắc ba điểm, ta có AC  AD  DC           AC  BD  AD  DC  BD  AD  BD  DC  AD  BC Do         b) Ta có MN MA  AB  BN MN MD  DC  CN        Do MN MA  AB  BN  MD  DC  CN    Vì M trung điểm đoạn AD nên MA  MD 0 N trung điểm đoạn BC nên    BN  CN 0  1  MN  AB  DC Do     AB  AG  GB      GC  AC  AG   AD  AG  GD c) Ta có         Suy AB  AC  AD 3 AG  GB  GC  GD     G BCD GB  GC  GC 0 Vì trọng tâm tam giác nên     Vậy AB  AC  AD 3 AG     ABCD EFGH Bài 1.3 Cho hình hộp Chứng minh AB  AD  AE  AG Lời giải   TÀI LIỆU TOÁN THPT   Trang        Theo tính chất hình hộp, ta có AB  AD  AE  AB  BC  CG  AG     Vậy AB  AD  AE  AG     Hoặc ta dựa vào quy tắc hình hộp, ta có AB  AD  AE  AG S ABCD Bài 1.4 Cho   hình   chóp SA  SC SB  SD có đáy hình bình hành ABCD Chứng minh Lời giải Gọi O tâm hình bình hành ABCD       SA  SC  SO SB  SD 2SO Ta có     Vậy SA  SC SB  SD ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh Bài 1.5  Cho tứ diện  DA  DB  DC 3DG Lời giải     DA DG  GA    DB DG  GB         DC DG  GC  DA  DB  DC 3DG (do G trọng tâm ABC nên  Ta có Suy     GA  GB  GC 0 ) Bài 1.6 Gọi M , N trung điểm cạnh AC BD tứ giác ABCD Gọi I MN P làm điểm khơng gian Chứng minh trung điểm đoạn      a) IA  IB  IC  ID 0  1    PI  PA  PB  PC  PD b)   Lời giải TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang      a) IA  IB  IC  ID 0       IA  IC  IM Ta có , IB  ID 2 IN        IA  IB  IC  ID 2 IM  IN 0 Suy  1    PI  PA  PB  PC  PD b) Với P điểm khơng gian, ta có             IA PA  PI , IB PB  PI , IC PC  PI , ID PD  PI          IA  IB  IC  ID  PA  PB  PC  PD  4PI Do      Mà IA  IB  IC  ID 0  1    PI  PA  PB  PC  PD Vậy       ( I gọi trọng tâm tứ diện ABCD )    a DẠNG Chứng minh ba véc-tơ , b , c đồng phẳng Phương pháp    Dựa vào định nghĩa: Chứng tỏ véc-tơ a , b , c có giá song song với mặt phẳng     m; n  cho c m.a  n.b , Ba véc-tơ a , b , c đồng phẳng  có cặp số   a b hai véc-tơ không phương Bài 1.7 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AB , CD Chứng minh ba    véc-tơ BC , AD , MN đồng phẳng Lời giải Gọi P , Q trung điểm AC BD PN MQ  AD Ta có PN // MQ nên tứ giác MNPQ hình bình hành Mặt phẳng  MNPQ  TÀI LIỆU TOÁN THPT chứa đường thẳng MN song song với đường thẳng AD BC Trang Từ suy ba đường thẳng MN , AD , BC song song với mặt phẳng Do ba    véc-tơ BC , AD , MN đồng phẳng Bài 1.8 Cho hình hộp ABCD.EFGH , gọi I giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABFE F giao điểm hai đường chéo hình bình hành BCGF Chứng minh ba véc-tơ    BD , IK , GF đồng phẳng Lời giải   ABCD  Véc-tơ BD có giá thuộc mặt phẳng   ABCD   AC GF IK Véc-tơ có giá song song với đường thẳng thuộc mặt phẳng Véc-tơ có  ABCD  giá song song với đường thẳng BC thuộc mặt phẳng    BD Vậy ba véc-tơ , IK , GF đồng phẳng Cách khác            BD BC  CD  GF  AD  AC  GF  GF  IK AC  IK ) Ta có: (do    Vậy BD  2GF  IK    Vậy ba véc-tơ BD , IK , GF đồng phẳng AH DE I giao điểm BH Bài 1.9 Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi K giao  điểm   DF Chứng minh ba véc-tơ AC , KI , FG đồng phẳng Lời giải   KI //  ABC  FG // BC AC   ABCD  Ta có KI // EF // AB nên ,       mặt phẳng song Do ba véc-tơ AC , KI , FG có giá song song với mặt phẳng song với  ABCD     AC KI Vậy ba véc-tơ , , FG đồng phẳng Bài 1.10 Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Trên cạnh AD  2  2 AP  AD BQ  BC 3 BC lấy điểm P Q cho Chứng minh Q bốn điểm M , N , P , thuộc mặt phẳng TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang         MN  MA  AD  DN Ta có MN MB  BC  CN  1     MN  ( AD  BC ) Do 2MN  AD  BC hay (1)  2  3  2  3 AP  AD AD  AP BQ  BC BC  BQ 3 Mặt khác: Vì nên , nên        3   MN   ( AP  BQ)  ( AM  MP  BM  MQ )  ( MP  MQ ) 2 4 Do từ (1) ta suy  3     MN  ( MP  MQ) AM  BM  Vì Hệ thức chứng tỏ ba vectơ đồng phẳng, nên bốn điểm N, P, Q M, thuộc mặt phẳng Bài 1.11: Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm mp(ABC) Trên đoạn SA lấy điềm M cho  1   NB  NC MS  2MA đoạn BC lấy điểm N cho Chứng minh ba vectơ  AB, MN , SC đồng phẳng Lời giải         MN  MS  SC  CN Ta có MN 2 MA  AB  BN              MN  MS  MA  SC  AB  CN  BN MS  MA  CN  BN  Do    MN  SC  AB 3 Vậy    Do ba vectơ AB, MN , SC đồng phẳng TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang  Bài 1.12: Trong khơng gian cho hai hình bình hành ABCD ABC D ' chung điểm A       Chứng minh ba vectơ BB , CC , DD đồng phẳng Lời giải          Ta có BB BA  AB DD DA  AD       BB   DD ( BA  DA)  AB  AD  Do         BA  CD Vì AB  AD  AC       BB  DD  CA  AC  CC  Vậy             BB  DD  CC Hệ thức chứng tỏ ba vectơ BB , CC , DD đồng phẳng     Bài 1.13: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C Gọi I, K trung điểm BB ' A C ' Gọi M    điểm chia đoạn B C theo tỉ số Chứng minh A, K, I, M nằm mặt phẳng Lời giải          c Đặt AA a, AB b, AC       1    AI  AB  BI b  a, AK  AA  AK a  c 2 Ta có        1   1         a  b  B C  a  b  BC  a  b  ( AC  AB ) 3 AM  AA  AM  AA  AB  BM     1  1 a  b  c  b a  b  c 3 3 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 10