CHUYÊN ĐỀ I ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG CHỦ ĐỀ HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH

CHUN ĐỀ I ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG CHỦ ĐỀ HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Hai góc đối đỉnh hai góc mà cạnh góc tia đối cạnh góc Tính chất hai góc đối đỉnh Hai góc đối đỉnh Chú ý: - Mỗi góc có góc đối đỉnh với nó; - Hai góc chưa đối đỉnh II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Nhận biết hai góc đối đỉnh Phương pháp giải: Xét cạnh góc tia đối để tìm cặp góc đối đỉnh 1A Cho hình a, b, c, d e Cặp góc đối đỉnh? Cặp góc khơng đối đỉnh? Vì sao? 1B Vẽ hai đường thẳng aa' bb' cắt O hình vẽ Hãy điền vào chỗ trống ( ) phát biểu sau: a) Góc aOb góc hai góc đối đỉnh cạnh Oa tia đối cạnh Oa' cạnh Ob cạnh Ob' b) Góc a'Ob góc aOb' cạnh Oa tia đối cạnh cạnh tia đối cạnh Ob' 2A Vẽ bốn đương thẳng xx', yy', zz', tt' đì qua điểm O Hãy viết tên cặp góc đối đỉnh (khác góc bẹt) 2B Vẽ ba đường thẳng aa', bb' cc' cắt A Hãy viết tên cặp góc đối đỉnh (khác góc bẹt)  Vẽ x  Hãy viết tên hai góc ' Ay ' đối đỉnh với xAy 3A Vẽ góc vng xAy vng khơng đối đỉnh 3B Vẽ hai góc có chung đỉnh có số đo 60°, khơng đối đỉnh Dạng Tính số đo góc Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: - Hai góc đối đỉnh nhau; - Hai góc kề bù có tổng 180° ' 4A Cho hình, vẽ bên Tính xOy -  yOx ' = 30° biết xOy  = 140° AOC  BOD 4B Cho hình vẽ bên Biết   , BOD  DOA  AOC , COB Hãy tính số đo góc  5A Cho góc xOy có số đo 45°, Vẽ hai tia Om, On tia đối tia Oy, Ox Tính số đo góc cịn lại hình 5B.Vẽ hai đường thẳng cắt cho góc tạo thành có góc 150° Tính số đo góc cịn lại  yOz = 90° 6A Cho hai góc kề xOy yOz có tổng 150° xOy   yOz a) Tính số đo xOy   yOz b) Gọi Oz' tia đối tia Oz Hãy so sánh xOz  yOz = 30° 6B Cho hai góc kề xOy yOz có tổng 110° xOy   yOz a) Tính số đo xOy   yOz b) Gọi Oz' tia đối tia Oz Hãy so sánh xOz  7A Đường thẳng xx' cắt đường thẳng yy' O Vẽ tia phân giác Ot xOy  ' t ' Oy a) Gọi Ot' tia đối tia Ot So sánh xOt  Tính góc mOt  b) Vẽ tia phân giác Om xOy  Vẽ tia phân giác Az xAy  tia đối At ' Ay ' đối đỉnh với xAy 7B Vẽ x y ' At ' At  tia Az So sánh x Dạng Chứng minh hai góc đối đỉnh  x ' Oy ' hai góc đối Phương pháp giải: Muốn chứng minh hai góc xOy đỉnh ta dùng hai cách sau: Cách Chứng minh tia Ox tia đối tia Ox' (hoặc Oy') tia Oy tia đối tia Oy' (hoặc Ox'), tức hai cạnh góc tia đối hai cạnh góc cịn lại  = x ' Oy ' tia Ox tia Ox' (hoặc Oy') đối Cách Chứng minh xOy hai tia Oy Oy' (hoặc Ox') nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng xOx' (hoặc xOy') 8A Trên đường thẳng xx' lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ xx’, vẽ tia Oy  = 45°, Trên nửa mặt phẳng lại, vẽ tia Oz cho Oz  Ox Gọi Oy' cho xOy ' Oz phân giác x  x ' Oy ' hai góc đối đỉnh a) Chứng minh xOy b) Trên nửa mặt phẳng bờ xx' chứa tia Oy, vẽ tia Ot cho Ot vng góc với ' Ot Oy Hãy tính x 8B Cho hình vẽ bên:  xOn  a) Tính xOm  ' đối b) Vẽ tia On' cho xOn ' On Trên nửa mặt đỉnh với x  ' Oy = 90° Hai góc mOn phẳng bờ xx' chứa tia On', vẽ tia Oy cho n n ' Oy có đối đỉnh khơng? Vì sao? AOC = 60° 9A Hai đường thẳng AB CD cắt O cho  a) Tính số đo góc cịn lại AOC Ot' tia đối tia Ot Chứng minh Ot' b) Vẽ tia Ot phân giác   tia phân giác BOD   yOz Gọi Om On tia phân 9B Cho hai góc kề bù xOy   yOz giác góc xOy  a) Tính số đo mOn  ' đối đỉnh vói xOy  Om' tia đối tia Om Chứng minh Om' b) Vẽ zOy  ' y ' Oz mOm On tia phân giác góc   kề bù với aOb  ; aOd  kề bù với aOb  Vẽ Of tia 10A Cho góc aOb Vẽ bOc  aOe  ; Oe tia phân giác dOa  Khi cOf  có phải hai phân giác bOc góc đối đỉnh khơng? Vì sao?  Vẽ Ox' tia đối tia 10B Cho góc mOn Vẽ Ox tia phân, giác mOn  kề bù với mOn  Khi góc x  có phải hai góc đối đỉnh ' Ot mOx Ox Vẽ nOt khơng? Vì sao? III BÀI TẬP VỀ NHÀ AMC có số đo 11 Hai đường thẳng AB CD cắt M tạo thành  30°   AMD a) Tính số đo góc BMD b) Viết tên cặp góc đối đỉnh cặp góc bù 12 Chứng minh hai tia phân giác hai góc kề bù vng góc với  Vẽ nOt  kề bù với mOn  ; mOz  kề bù vói mOn  Khi mOn  13 Cho góc mOn  có phải hai góc đối đỉnh khơng? tOz  = 40° 14 Hai đường thẳng xx' yy' cắt A, biết xAy yAx ' , x ' Ay '  y ' Ax a) Tính số đo góc   tia phân giác At' x ' Ay ' Chứng minh b) Vẽ tia phân giác At xAy hai tia At At' hai tia đối HƯỚNG DẪN BÀI HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH 1A Các cặp góc đố i đỉnh: hình a e Các cặp góc khơng đối đỉnh: hình b (khơng chung đỉnh), hình c (một cặp cạnh khơng hai tia đối nhau) hình d (hai góc không nhau) ' Ob ' / tia đối; 1B a) a b) hai góc đối đỉnh/ Oa'/ Ob 2A Ta có hình vẽ: Các cặp góc đối đỉnh gồm:  x xOy ' Oy '  yOz  y ' Oz '  z zOt ' Ot ' ' t tOx ' Ox  x xOz ' Oz '  yOt  y ' Ot '  ' z zOx ' Ox ' t tOy ' Oy  x xOt ' Ot '  yOx '  y ' Ox  '  xOy z ' Oy ' t tOz ' Oz 2B Tương tự 2A 3A Hai góc vng khơng đối đỉnh là:  xAy  ' (hoặc cặp góc xAy xAy  x x ' Ay ; x ' Ay x ' Ay ' ; xAy ' Ay ' ) 3B   yOx ' = 180° xOy yOx ' = 30° =>  yOx ' = 75° 4A Ta có: xOy  ' = 75° (hai góc đối đỉnh) Suy xOy  ' = BOD   70;    110 AOD  BOC 4B Tính xOy   xOy   45 5A Ta có: mOn  xOm  kề bù nên: Do xOy  + xOm  =180° xOy  = 135°  = 180° - xOy Suy xOm  đối đỉnh nên yOn xOm Mà    = 135° yOn = xOm 5B Tương tự 5A Tính được:  O   150; O  O   30 O 6A a) Ta có :   150  90  120 xOy yOz = 150° - 120° = 30° =>  yOz '  yOz ' kề bù nên: b) Ta có   yOz ' +  yOz = 180° yOz ' = 150° - 30° = 150° =>   +   = xOy  =  yOz = 150° Vậy xOz yOz ' Mà xOz 6B Tương tự 6A  = 70°,  yOz = 40° Tính xOy  = 110°,   <  yOz ' = 140° => xOz yOz ' Tính xOz    xOy 7A a) Ta có: O  = x  O  (đối đỉnh), xOy ' Oy ' (đối đỉnh) Mà O  O  Lại có: O  'O và t = xOt '  xOy ' Oy  x ' Oy  O 5  '  x  O  ' Oy (đối đỉnh) O mà xOy Lại có  '  xOy 'O  t  xOy ' Oy  x ' Oy  O  '  x ' Oy (đối đỉnh) Mà xOy  '  t  O  => xOt ' Oy Và O   xOy  ', O   xOy  nên: b) Vì xOm 2   xOm  O   ( xOy  ' xOy  ) = 90° mOt ' At   y ' At 7B Tương tự 7A Ta x ' Oz nên 8A a) Vì Oy' phân giác x 1 x ' Oy '  x ' Oz  90° = 45° 2   => xOy  x ' Oy ' Mà Ox Ox' hai tia đối nhao nên  x xOy ' Oy ' đối đỉnh ' ' Oy ' = 45°,  y ' Ot = 90° => Ox' phân giác tOy b) x ' Ot = 45° Do x   x  = 50°, x ' On = 90° => x = 15° => xOm ' On = 40° 8B xOm Hai góc mOn n'Oy hai góc đối đỉnh   AOC = 60° (đối đỉnh.) 9A a) BOD     180   AOC = 120° => COB  AOC = 180° (kề bù), => BOC  = 120° (đối đỉnh), AOD  BOC =>  b) Vì Ot phân giác góc AOC nên  AOt   AOC = 30° '  AOt = 30° (đối đỉnh) => BOt Tương tự:  '  30  BOt  '  DOt ' DOt  Do Ot' phân giác BOD  = 90° 9B a) Tính mOn b) Tương tự ý b) 9A 10A Vì góc bOc kề bù với góc aOb nên Oa Oc hai tia đối nhan Tương tự Ob Od hai tia đối   aOd  Do hai góc bOc aOd đối đỉnh => bOc   aOe    bOc , aOe   aOd  nên cOf Lại có: cOf 2  aOe  đối đỉnh Mà Oa Oc hai tia đốì nên cOf  đối đỉnh ' Ot mOx 10B Tương tự 10A Hai góc x   30,  AMD  150 a) Tính BMD    AMC ,  AMD MBC b) Các cặp góc đối đỉnh: BMD  AMC  , BMC   , BMD  BMC AMC  AMD ,  AMD BMD Các cặp góc kề bù:   bOc  , nhận Ox Oy hai tia phân 12 Gọi hai góc kề bù aOb giác  + bOc  ) = 90° => Ox  Oy   ( aOb Dễ dàng chứng minh: xOy  tOz  hai góc đối đỉnh, 13 Tương tự 10A mOn yAx '   y ' Ax = 140°; x ' Ay ' = 40° 14 a) Tính    x ' At = 20° b) Ta chứng minh xAt Do Ax Ax' hai tia đối nhau, At At' thuộc hai nửa mặt phẳng đối nên At At' hai tia đối CHỦ ĐỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa - Hai đường thẳng xx', yy' cắt góc tạo thành có góc vng gọi hai đường thẳng vng góc - Kí hiệu: xx'  yy' Tính chất hai đường thẳng vng góc Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc vói đường thẳng cho trước Đường trung trực đoạn thẳng Đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm gọi đường trung trực đoạn thẳng II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Vẽ hình 1A Vẽ đường trịn tâm O bán kính R = cm Lấy ba điểm A, B, C phân biệt đưịng trịn Vẽ dây AB, BQ CA Vẽ đường trung trực đoạn thẳng AB, BC, CA 1B Cho ba điểm A, B, C Hãy vẽ đường trung trực đoạn thẳng AB, BC, CA  Qua A 2A.Vẽ góc xOy có số đo 45° Lấy điểm A nằm xOy vẽ đường thẳng d vng góc với tia Ox B, đường thẳng d' vng góc với tia Oy C đường thẳng d" qua A vuông góc với BC 2B Vẽ đường thẳng a Trên đường thẳng a vẽ đoạn AB = cm Vẽ tiếp đường thẳng d qua điểm A vng góc với a Vẽ đường thẳng d' qua điểm B vng góc với a Hai đương thẳng d d' có cắt khơng? Dạng Chứng minh hai đường thẳng vng góc Phương pháp giải: Muốn chứng minh hai đường thẳng xx' yy' vng góc với ta sử dụng cách sau: Cách Chứng minh bốn góc tạo thành hai đường thẳng góc vng Cách Chứng minh hai góc kề bù nhau, từ suy có góc 90° Cách Chứng minh hai tia Ox Oy hai tia phân giác hai góc kề bù với O giao điểm xx' yy',  = 120° Vẽ tia Oz Ot nằm xOy  cho Oz vng 3A Cho xOy góc với Ox Ot vng góc với Oy a ) Tính số đo góc zOt   yOz Chứng b) Gọi Om On hai tia phân giác hai góc xOt minh tia Om  On  có số đo 150° Vẽ tia Oa Ob góc cho 3B Cho góc mOn Oa, Ob vng góc với tia Om On  = bOm  a) Chứng tỏ aOn  b) Vẽ tia Ox tia Oy theo thứ tự tia phân giác góc aOn   Tính xOy bOm  , ta vẽ hai tia 4A Cho hai tia Ox Oy vng góc với Trong góc xOy  = 30° Vẽ tia Oc cho tia Oy tia phân giác  = bOy Oa Ob cho aOx  Chứng tỏ tia Oa phân giác bOx  hai tia Ob, Oc vng góc với aOc  Trên nửa mặt phẳng bờ xy, ta vẽ ba tia gồm 4B Cho góc bẹt xOy  =   Chứng minh Ot yOn < 90° Ot phân giác mOn Om, On cho xOm vng góc với xy Dạng Các tốn vận dụng tính chất hai đường thẳng vng góc Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng vng góc để giải tập liên quan  = 120° Ở phía ngồi góc vẽ hai tia Oc Od cho Od  5A Cho xOy  dOc  ; Oy' tia Ox Oc  Oy Gọi Om On theo thứ tự phân giác xOy đối tia Oy Chứng minh: y ' Om ; a) Ox tia phân giác  b) Oy' nằm hai tia Ox Od; c) Góc mOn góc bẹt  = 100° Về phía ngồi góc vẽ hai tia Oz Ot cho Oz 5B Cho xOy  Om' tia Ot vng góc với Ox Oy Gọi Om tia phân giác xOy đối tia Om  a) Chứng minh Om' tia phân giác zOt   yOm b) So sánh số đo hai góc mOz  6A Cho góc nhọn xOy Trên nửa mặt phẳng bờ Ox chứa tia Oy, kẻ tia Ox' vng góc với Ox Trên nửa mặt phẳng bờ Oy chứa tia Ox, vẽ tia Oy' vng  x ' Oy ' có tia phân giác tổng số đo góc với Oy Chứng minh hai góc xOy hai góc 180° 6B Cho góc xOy tù Bên ngồi góc dựng hai tia Oz Ot vuông  zOt  bù góc với Ox Oy Chứng minh hai góc xOy III BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho góc aOb có số đo 50° Trên nửa mặt phẳng bờ Ob chứa tia Oa, vẽ tia Om vuông góc với Ob Trên nửa mặt phẳng cịn lại vẽ tia On vng góc với Oa a) Chứng minh hai góc aOm bOn b) Vẽ Om' tia đối tia Om Tính số đo góc m'On Cho hai đường thẳng AB CD cắt O Vẽ tia phân giác Om  Gọi On tia đối tia Om BOC Chứng minh: AOD ; a) Tia On phân giác   Chứng minh Op  On b) Gọi Op phân giác BOD Cho góc xOy Từ điểm A nằm góc kẻ AH vng góc với Ox (H thuộc Ox) AK vng góc với Oy (K thuộc Oy) Trên tia đối tia HA lấy điểm B cho HB = HA Trên tia đối tia KA lấy điểm C cho KC = KA Chứng minh OB = OC 10 Cho góc vng xOy Điểm M nằm góc Vẽ điểm N P cho tia Ox đường trung trực MN Oy đường trung trực MP Chứng minh ON = OP HƯỚNG DẪN 1A Ta có hình vẽ bên: 10 Từ độ dài cạnh góc vng 12 cm 16 cm 3A Dùng định lý Py-ta-go, ta có AC2 = AH2 + HC2 => AC = 20 cm AB2 = AH2 + BH+2 => BH = cm Từ BC = HB + HC = 21 cm 3B Làm tương tự 3A, ta có AB = 13 cm, BC = 21 cm Từ đó, chu vi tam giác ABC 54 cm 4A a) 152 = 92 +122 nên tam giác vuông b) 132 = 52 +122 nên tam giác vuông c) l02  72 +72 nên tam giác không vuông  = 90° 4B Kiểm tra BC2 = AB2 + AC2 => BAC Gọi độ dài cạnh góc vng cần tính x, ta có x2 + 242 = 262 => x =10 cm Độ dài đường chéo cần tính 62  82 = 10 cm Làm tượng tự 2A, tìm độ dài cạnh tam giác là: cm, cm, 10 cm Gọi độ dài cạnh góc vng tam giác vng cân x, dùng định lý Py-ta-go ta có a) x2 + x2 = 22 => x = cm b) x2 + x2 = ( )2 => x =l cm Dùng định lý Py-ta-go, ta có AB2 = AH2 + BH2 => AH = cm AC2 = AH2 + HC2 => HC = 40 cm 10 AB = AC = HB + HC = cm Dùng định lý Py-ta-go ta có BC2 = BH2 + HC2 = AB2 - AH2 + HC2 Từ BC = cm b) Tương tự câu a, tính HC = cm => BC = 10 cm 11 Chứng minh AMB = 90°  AMB =  AMC (c-c-c) =>  Từ tính AM = cm 12 102 = 62 + 82 nên tam giác vuông b) 262 = l02 + 242 nên tam giác vuông c) 52  32 + 32 nên tam giác không vuông 71 CHỦ ĐỀ CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VNG I TĨM TẮT LÝ THUYẾT  Ngoài trường hợp biết hai tam giác vng, cịn có trường hợp theo cạnh huyền - cạnh góc vng  Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Chứng minh hai tam giác vuông Phương pháp giải: - Xét hai tam giác vuông - Kiểm tra điều kiện hai tam giác vng (ưu tiên nhìn cạnh trước) - Kết luận hai tam giác 1A.Cho tam giác ABC cân A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx,Cy cho Bx  BA Cy  CA Gọi D giao điểm tia Bx Cy Chứng  ABD =  A CD 72 1B Cho tam giác ABC cân A Kẻ AH vng góc với BC (H  BC) Chứng minh  AHB =  AHC 2A Cho góc xOy Tia Oz tia phân giác góc xOy Lấy điếm A thuộc tia Oz (A  O) Kẻ AB vng góc với Ox, AC vng góc với Oy (B  Ox, C  Oy) Chứng minh  OAB =  OAC 2B Cho tam giác ABC Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC điểm D Kẻ DM vng góc với AB, DN vng góc với AC (M  AB, N  AC) Chứng minh  ADM =  ADN Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc Phương pháp giải: - Chọn hai tam giác vng có cạnh (góc) hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh - Tìm thêm hai điều kiện nhau, có điều kiện cạnh, để kết luận hai tam giác - Suy hai cạnh (góc) tương ứng 3A Cho góc xOy, Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B cho OA = OB Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, qua B kẻ đường thẳng vng góc vói Oy, chúng cắt M Chứng minh: a) MA = MB b) OM tia phân giác góc xOy 3B Cho tam giác ABC cân A Kẻ AH vng góc vói BC (H  BC) Chứng minh:   CAH  a) HB = HC; b) BAH 4A Cho tam giác ABC Các tia phân giác góc B C cắt I Kẻ ID  AB (D  AB) kẻ IE  AC (E  AC) kẻ IF  BC (F  BC) Chứng minh: a) ID = IF IE = IF; b) AI tia phân giác góc A A < 90°) Kẻ BH vng góc với AC, CK 4B Cho tam giác ABC cân A (  vng góc với AB (H  AC, K  AB) a) Chứng minh AH = AK b) Gọi I giao điểm BH CK Chúng minh AI tia phân giác góc A III BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho tam giác DEF cân D Kẻ DH  EF (H  EF)   HDF  a) Chứng minh HDE b) Kẻ HM  DE (M  DE) HN  DF (N  DF) Chứng minh HM = HN c) Chứng minh  HME =  HNF Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lây điểm M,N (M nằm B N) cho BM = CN Kẻ MH  AB (H  AB) NK  AC (K  AC) Chứng minh: a)  MHB =  NKC; b) AH = AK; c)  AMN cân A Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC điểm M Kẻ MD  BC (D  BC) a) Chứng minh BA = BD b) Gọi E giao điểm hai đường thẳng DM BA Chứng minh  ABC =  DBE c) Kẻ DH  MC (H  MC) AK  ME (K  ME) Gọi N giao điểm hai tia DH AK Chứng minh MN tia phân giác góc HMK d) Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng 73 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm M, tia đối tia tia CB lấy điểm N cho BM = CN a) Chứng minh tam giác AMN cân b) Kẻ BE  AM (E  AM), CF  AN (F  AN) Chứng minh  BME =  CNF c) EB FC kéo dài cắt O Chứng minh AO tia phân giác góc MAN d) Qua M kẻ đường thẳng vng góc với AM, qua N kẻ đường thẳng vng góc với AN, chúng cắt H Chứng minh ba điểm A, O, H thẳng hàng HƯỚNG DẪN 1A Do tam giác ABC cân A nên AB = AC, từ  ABD =  ACD (cạnh huyền - cạnh góc vng) 1B Làm tương tự 1A, chứng minh  AHB =  AHC (cạnh huyền - cạnh góc vng)  nên 2A Do Oz tia phân giác xOy  AOB   AOC , từ  OAB =  OAC (cạnh huyền - góc nhọn) 2B Làm tương tự 2A, chứng minh  ADM =  ADN (cạnh huyền - góc nhọn) 3A Chứng minh  OAM =  OMB (cạnh huyền - cạnh góc vng) từ => ĐPCM 3B Chứng minh  AHB =  AHC (cạnh huyền - cạnh góc vng) từ => ĐPCM 4A a) Chứng minh  BID =  BIF  CIE =  CIF (cạnh huyền - cạnh góc nhọn), từ ID = IF = IE b) Từ kết câu a) chứng minh  AID =  AIE (cạnh huyền - cạnh góc vng) => ĐPCM 4B a) Chú ý AB = AC, từ chứng minh  AHB =  AKC (cạnh huyền - góc nhọn) => AH = AK 74 b) Từ kết câu a) chứng minh  AIK =  AIH (cạnh huyền - cạnh góc vng) => ĐPCM Ta có  DHE =  DHF (cạnh huyền cạnh góc vng)   HDF  (góc b) Từ kết câu a) HDE tương ứng) c) Từ kết câu b) chứng minh  DHM =  DHN (cạnh huyền - góc nhọn), từ HM = HN   KCN  , ta có a) Chú ý HBM  MHB -  NKC (cạnh huyền - góc nhọn) b) Từ kết câu a) ta có BH = CK, mà AB = AC suy AH = AK c) Chú ý MH = NK =>  AHM =  AKN (c-g-c) suy AM = AN (ĐPCM) Ta có  BMA =  BMD (cạnh huyền - góc nhọn), từ BA = BD b) Từ kết câu a) chứng minh  ABC =  DBE (g-c-g) c) Chú ý MA = MD, từ  MAK =  MDH (cạnh huyền - góc nhọn) => MK = MH Do  MKN =  MH N (cạnh huyền - cạnh góc vng)   HMN  => ĐPCM KMN   AMD KMH  d) Chứng minh  AMB    HMN 2     Do AMB  AMN  HMN  AMN = 180° => ĐPCM Chứng minh  ABM =  ACN (c-g-c) => ĐPCM b) Từ kết câu a) chứng minh  BME =  CNF (cạnh huyền - góc nhọn) c) Từ kết câu b) ta có ME = NF, mà AM = AN (do  AMN) => AE = AF Bởi  AEO =  AFO (c.h-c.g.v) => ĐPCM e) Chứng minh  AMH =  ANH f) (cạnh huyền - cạnh góc vng), từ suy 75 g) AH phân giác góc MAN Mặt khác AO phân giác góc MAN nên AH AO trùng hay A, O, H thẳng hàng ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ II I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Xem lại Tóm tắt lý thuyết từ Bài đến Bài II BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1A Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm cạnh BC Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA a) Chứng minh AB = CD AB //CD b) Chứng minh BD// AC c) Chứng minh  ABC =  DCB d) Trên đoạn thẳng AB,CD lấy điểm E, F cho AE = DF Chứng minh, ba điểm E, M, F thẳng hàng  = 55° Trên nửa mặt phẳng bờ AC không 1B Cho tam giác ABC vng A có B chứa B, vẽ tia Cx vng góc với AC Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB ACB a) Tính số đo  b) Chứng minh  ABC =  CDA AD//BC c) Kẻ AH  BC (H  BC) CK  AD (K AD) Chứng minh BH = DK d) Gọi I trung điểm AC Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng đường thẳng AC, HK, BD gặp I 2A Cho  AMN cân A Trên cạnh đáy MN lấy hai điểm B C cho MB = NC a) Chứng minh  ABC cân b) Vẽ MH vng góc với đường AB Vẽ NK vng góc với đường AC Chứng minh  MBH =  NCK c) Các đường thẳng HM KN cắt O Tam giác OMN tam giác gì? Tại sao? 76  = 60° BM = CN = BC, tính số đo góc tam giác AMN d) Khi BAC xác định dạng tam giác OBC e) Kẻ AD  BC (D  BC), biết AB =10 cm, BC = 16 cm Tính độ dài AD 2B Cho góc xOy 100°, tia Oz tia phân giác góc xOy Lấy điểm H thuộc tia Oz, đường thẳng vng góc với OH H cắt tia Ox, Oy A, B a) Chứng minh HA = HB, OA = OB b) Tính số đo góc tam giác OAB  = 60° Chứng minh tam giác ABC c) Trên tia Oz lấy điểm C cho HBC d) Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BO Chứng minh AB = OE e) Cho AH = cm Tính độ dài HC II BÀI TẬP VỂ NHÀ Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Gọi D trung điểm BC Trên tia đối tia DA lấy điểm M cho DM = DA a) Chứng minh AC = BM AC // BM b) Chứng minh  ABM =  MCA c) Kẻ AH  BC, MK  BC (H, K  BC) Chứng minh BK = CH d) Chứng minh HM // AK Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm AB, E trung điểm BC Trên tia đối tia DE lấy điểm K cho DK = DE a) Chứng minh  BDE =  ADK AK // BC b) Chứng minh  AKE =  ECA  = 55° Tính số đo góc  DAK c) Cho  A = 65°, C d) Gọi I trung điểm AE Chứng minh I trung điểm CK Cho tam giác ABC cân A Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC M a) Chứng minh  AMB =  AMC b) Kẻ ME  AB (E  AB),MF  AC (F  AC) Chứng minh tam giác AEF cân c) Chứng minh AM  EF d) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng FM I Chứng minh BE = BI ACB = 30° Tia phân giác góc ABC Cho tam giác ABC vuông A,  cắt cạnh AC M Lấy điểm K cạnh BC cho BK = BA a) Chứng minh  ABM =  KBM b) Gọi E giao điểm đường thẳng AB KM Chứng minh tam giác MEC cân c) Chứng minh tam giác BEC d) Kẻ AH  EM (H  EM) Các đường thẳng AH EC cắt N Chứng minh KN  AC Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC cho AD = AE a) Chứng minh BE = CD b) Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh tam giác KBC cân c) Chứng minh AK tia phân giác góc A d) Kéo dài AK cắt BC H Cho AB =5 cm, BC = cm Tính độ dài AH  = 60°, AB = cm, BC = cm Trên cạnh BC lấy Cho tam giác ABC có B điểm D cho BA = BD a) Chứng minh tam giác ABD b) Gợi H trung điểm BD Chứng minh AH  BD c) Tính độ dài cạnh AC 77  với 90° d) So sánh BAC HƯỚNG DẪN 1A a) Chứng minh  MAB =  MDC (c-g-c) Từ kết ta có AB = CD   MDC  =>AB//CD MAB b) Tương tự câu a) Chứng minh  BMD =  CMA c) Dùng kết chứng minh  ABC =  DCB (c-g-c) d) Chứng minh  AEM =  DFM (c-g-c), từ ta có     mà DMF AMF  180   AME   AMF  180 AME  DMF => ĐPCM ACB  35 1B a)  b) chứng minh  ABC =  CDA ( c - g- c)  , từ AD//BC ACB  CAD =>  c) Từ kết câu b) chứng minh  AHB =  CKD (cạnh huyền - góc nhọn) => ĐPCM d) Chứng minh AH // CK ý AH = CK, từ  AIH  CIK  IAH =  ICK (c-g-c) =>   = 180° => ĐPCM AIH  CIK =>  Tương tự với  ABI  CDI suy B,I, D thẳng hàng => ĐPCM 2A a) Ta có  ABM =  CAN (c-g-c) => ĐPCM b) Dùng kết câu a) chứng minh,  BHM =  CKN (cạnh huyền - góc nhọn)   KCN  , c) Từ kết câu b) ta có HBM từ chứng minh   nên tam giác OBC cân O OBC  OCB d) Chú ý tam giác ABM, CAN cân tam giác ABC đều, từ tính    120 AMN   ANM  30; MAN  = 60° nên tam giác Cũng có OBC OBC tam giác e) Chứng minh DB = DC = ,từ dùng định lý Py- ta-go tính AD = cm 2B Chứng minh  OHA =  OHB (g-c-g) => ĐPCM 78   OBA   40;  b) OAB AOB =100° c) Dùng kết câu a) chứng minh CA = CB, ý  = 60° => ĐPCM HBC  = 100°, từ  BOE =  OBA (c-g-c) d) Tính OBE =>AB = OE e) Ta có AC = AB = 2AH = cm, dùng định lý Py- ta-go tính HC = cm a) Chứng minh  ADC =  MDB (c.g.c) Từ kết   DMB  ta có AC = BM DAC => AC //BM b)  ABM =  MCA (c-g-c) c) Chứng minh  BKM =  CHA (cạnh huyền - góc nhọn) => ĐPCM d) Chú ý  HDM =  KDA => ĐPCM  BDE =  ADK (c-g-c)   DBE  => AK // BC Chú ý DAK b) Chú ý AK = EB = EC, từ  AKE =  ECA (c.g.c) c) Từ kết câu b) chứng minh DE // AC, tính    65, BED   55 DBE  60, BDE Suy góc  DAK d) Chứng minh  AIK =  EIC ( c- g-c) => IK= IC    AIK  EIC AIK   AIC  180 , từ ba điểm K,I,C thẳng hàng => Cũng có  ĐPCM a)  AMB =  AMC ( c- g-c) b) Ta có  AME =  AMF ( cạnh huyền góc nhọn) từ AE = AF => ĐPCM  F  ABC   180  BAC c) Ta có AE từ EF//BC, mà AM  BC => ĐPCM   90, EBM   FCM   IBM  d) Chú ý BIM chứng minh  BEM =  BIM (cạnh huyền - góc nhọn) => ĐPCM a)  ABM=  KBM (c-g-c) b) Từ kết câu a) ta có   MAB   90 , MA = MK MKB Bởi  MAE =  MKC (cạnh huyền - góc nhọn) => ĐPCM c) Từ a) b) suy 79 BE = BA + AE = BK + KC= BC  = 60° =  ABEC Lại có EBC d) Chứng minh AE = KC = EC ý AN // BC =>  AEN => NE = AE = AE  = 60° => CN = CK, mà KCN   CBE  = 60° => KN // AE=> ĐPCM =>  CKN => CKN a) Chứng  AEB =  ADC (c-g-c) => BE = CD b) Từ kết câu a) ta có  ABE   ACD , mà  ABC   ACB nên   KCB  => ĐPCM KBC c) Từ kết câu b) ta có KB = KC Từ  AKB =  AKC (c-c-c) => ĐPCM d) Chứng minh AH  BC, HB = HC = 3cm, từ dùng định lý Py-ta-go tính AH = cm  = 60°, BA = BD nên tam a) Do B giác ABD b) Chứng minh  AHB =  AHD (c-c-c) => ĐPCM c) Chú ý BD = AB nên tính HB = HD = cm => HC = cm, AH = cm Dùng định lý Py- ta-go tính AC = 19 cm d) Ta có AB2 + AC2 = 23, BC2 = 25, từ tam giác ABC khơng phải tam  góc tù (Trên BC lấy CP = 23 < => P nằm B C, giác vng BAC  = 90° BAC  > 90 PAC HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM Câu D Câu B Câu C PHẦN II TỰ LUẬN a) Vì  ABC cân A nên AB =AC  ABH =  ACH (c - c - c)   AHC   180 => AHB   AHC   90 => AHB => AH  BC b) Ta có HB = HC = Câu C BC = (cm) Áp dụng định lí Pitago tam giác vng AHB, ta có AB2 = AH2 + HB2 80 Từ tính AH = 32 (cm)   CIH  = 90° c) Từ a) b) suy BH = CH; IH chung, BIH =>  BIH =  CIH => IB = IC =>  BIC cân I   CIH   AIM   AIN  d) Cách 1:  BIH =  CIH nên BIH   IAM  = 90° Mà NM//BC nên IH  BC IA  NM hay = IAN  NAI =  MAI (c.g.c) nên AN = AM mà A, M, N thẳng hàng nên A trung điểm MN,   MBC  ; Cách 2: Ta có MN// BC => AMB   ABM  Do AMB   ABM  Mà MBC =>  ABM cân A => AB = AM (1)   BCN  ,  ANC cân A Chúng minh ACN =>AN = AC (2) Hơn AB = AC (3 Từ (1), (2) (3) suy AM = AN Mà N, A, M thẳng hàng Do A trung điểm MN e) Chứng minh cặp tam giác vuông  IBE =  IBH  ICF =  ICH =>IE = IH = IF   HCM  = 180° f) Cách Ta có MN// BC nên AMC   ACM;  HCM  HCI   ICF   2.ICF  ; Do Mà AMC   2.ICF   180     180  ICM   90 2.ACM ACM  ICF Vậy IC  MC Cách Theo câu d) AM = AB = AC = AN   ACN  ; Suy  NAM cân A => N  ; AMC  ACM  MAC cân A =>    AMC     NCM  ACN  ACM Suy N Vậy  MCN vuông C 81 ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ II Thời gian làm đề 45 phút ĐỀ SỐ l PHẨN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỀM) Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng: Câu Hai tam giác chúng thỏa mãn điều kiện sau: A Có cặp cạnh hai cặp góc B Có ba góc C Có cặp góc cặp cạnh D Có cặp cạnh hai cặp góc kề với cạnh  = 60°,  A = 50° Câu Cho  ABC =  MNP, P Tính số đo góc B ? Kết sau đúng?  = 60°  = 70°  = 80°  = 90° A B B B C B D B Câu Cho tam giác ABC vuông B có AB = 6cm, BC = 8cm Độ dài cạnh AC là: A cm B cm C 10 cm D cm Câu Cho tam giác ABC có AB = AC Tam giác ABC khơng tam giác thỏa mãn điều kiện:  = 60° A B B AB = BC A = 60° C AB < BC D  PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM) Cho  ABC cân A, AB > BC, H trung điểm BC a) Chứng minh:  ABH =  ACH Từ suy AH vng góc với BC b) Tính độ dài AH BC = cm, AB = cm c) Tia phân giác góc B cắt AH I Chứng minh tam giác BIC cân d) Đường thẳng qua A song song với BC cắt tia BI, CI M, N Chứng minh A trung điểm đoạn thẳng MN e) Kẻ IE vng góc với AB E, IF vng góc với AC F Chứng minh IH = IE = IF f) Chứng minh: IC vng góc với MC (Vẽ hình, ghi giả thiết kết luận: 1,0 điểm) HƯỚNG DẪN 82 Bài a) Sai; b) Sai; c) Đúng ; d) Đúng; Bài Vì  MNP cân M (GT)  P  = 50° nên N Trong  MNP có tổng ba góc  = 80° 180° nên M Bài a) Vì AH  BC H (GT) nên  AHB   AHC = 90°  ABH =  ACH (cạnh huyền cạnh góc vng) Suy HB = HC nên H trung điểm BC b) Ta có HB = HC = BC 12  = 6(cm) 2 Áp dụng định lí Pytago tam giác vng AHB, ta có AB2 = AH2 + HB2 =>AH = 8(cm) AKH   AKE = 90° c) Vì HK  AC K nên  Do  AKH =  AKE (cạnh - góc - cạnh) => AH = AE d) Chứng minh tương tự câu c, ta có AH = AD Do AD = AE =>  ADE cân A Gọi giao điểm, AH DE F, chứng minh  DAF =  EAF nên AH  DE F Suy DE / / BC e) Ta có AD = AE nên để A trung điểm DE phải có D,A, E thẳng  = 180° hàng hay DAE Chú ý rằng:   BAH   CAH   CAE  DAB   BAH   CAH   CAE   DAE  DAB Do   BAH   CAH   CAE   180 :  45  BAC   90 DAB Do  ABC tam giác vng cân A ĐỀ SỐ Bài (2,0 điểm) Các câu sau, câu đúng, câu sai? a) Góc ngồi tam giác lớn góc tam giác b) Nếu  ABC  DEE có AB = DF, BC = EF, AC = DE  ABC =  DEF c) Tam giác cân có góc 60° tam giác d) Nếu  ABC có AB = 6cm, BC = 8cm, AC = 10cm  ABC vng B  = 50° Tính góc cịn lại Bài (1,0 điểm) Cho  MNP cân M có P  MNP 83 Bài (7,0 điểm) Cho  ABC có AB=AC = l0cm, BC = l2cm Kẻ AH  BC H a) Chứng minh  ABH =  ACH Từ suy H trung điểm đoạn thẳng BC b) Tính độ dài đoạn thẳng AH c) Kẻ HI  AB I HK  AC K Vẽ điểm D E cho I, K trung điểm HD HE Chứng minh: AE = AH d) Tam giác ADE tam giác gì? Vì sao? Chứng minh DE // BC e) Tìm điều kiện  ABC để A trung điểm DE HƯỚNG DẪN Bài a) Sai; b) Sai; c) Đúng ; d) Đúng; Bài Vì  MNP cân M (GT)  P  = 50° nên N Trong  MNP có tổng ba góc  = 80° 180° nên M Bài a) Vì AH  BC H (GT) nên  AHB   AHC = 90°  ABH =  ACH (cạnh huyền cạnh góc vng) Suy HB = HC nên H trung điểm BC b) Ta có HB = HC = BC 12  = 6(cm) 2 Áp dụng định lí Pytago tam giác vng AHB, ta có AB2 = AH2 + HB2 =>AH = 8(cm) AKH   AKE = 90° c) Vì HK  AC K nên  Do  AKH =  AKE (cạnh - góc - cạnh) => AH = AE d) Chứng minh tương tự câu c, ta có AH = AD Do AD = AE =>  ADE cân A Gọi giao điểm, AH DE F, chứng minh  DAF =  EAF nên AH  DE F Suy DE / / BC e) Ta có AD = AE nên để A trung điểm DE phải có D,A, E thẳng  = 180° hàng hay DAE Chú ý rằng:   BAH   CAH   CAE  DAB   BAH   CAH   CAE   DAE  DAB Do   BAH   CAH   CAE   180 :  45  BAC   90 DAB Do  ABC tam giác vuông cân A 84 85