CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

www.thuvienhoclieu.com CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Bài Xét hình chóp n – giác S A1 A2 An   ( n số tự nhiên tùy ý lớn ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a/ Đáy A1 A2 An có tất cạnh   = SA  b/ SA 1A 2= SA A 3= n A1= 60 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ độ dài đường cao SH hình chóp nêu Hướng dẫn giải Chứng minh hình chóp S A1 A2 An   tồn hình chóp đều: Chứng minh cạnh bên Đặt : SA1  x1 ; SA2  x2 ; ; SAn  xn Dùng định lý cosin tam giác SA1 A2 ; SA2 A3 ; ; SAn A1 ta có: x22   x12  x1 cos 600   x12  x1 x32   x22  x2 cos600   x22  x2 xn2   xn21  xn1cos600   xn21  xn1 x12   xn2  xn cos600   xn2  xn  x22  f ( x1 )   x  f ( x )     Đặt f ( x)  x  x   ( x  )  , ta có hệ:  với x1 , x2 , , xn   ;      xn2  f ( xn1 )   x1  f ( xn )   Trên  ; +∞  f ( x ) đồng biến    Do đó: x1 ≠ x2 vơ lý Thật vậy: x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) ⇒ x 22 < x 32 ⇒ x < x ⇒ ⇒ x n < x1 Ta có x1 < x1 ( vơ lý) Tương tự x1 > x suy điều vô lý: x1 > x1 Vậy x1 = x2 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Do x1 = x2 ta x12 = x12 − x1 + ⇔ x1 = Từ ta được: x1= x2= = xn= Chứng minh đáy A1 A2 An đa giác Từ SA1= SA2= = SAn= suy hình vng góc H S lên đáy cách đỉnh đáy Đa giác A1 A2 An có cạnh nội tiếp đường trịn nên đa giác a) Tìm SH lớn nhất, nhỏ b) Chứng minh n < Ta có mặt bên hịnh chóp tam giác cạnh Ngoài ra:= 600 An SA1 < An HA1 600 A1SA2 < A1 HA2 ;= 600 A2 SA3 < A2 HA3 ; ;= Do đó: n.600 < 3600 ⇔ n < • ( n > 2) Tính SH tìm giá trị lớn nhất, nhỏ SH : 1; HA1 = Xét tam giác vuông SHA1 : SH = SA12 − HA12 SA1 = π 2sin n SH = 1− 1 π 1 π π = − 1 + cot g  = − cot g  , SH= − cot g n = 3; 4;5 π 4 4 4 4 4sin n ; = n 4= : SH n 3= : SH = ;= n 5= : SH 1 − 2 1 , giá trị nhỏ SH − 2 Bài Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi E , G, K trung điểm cạnh A ' D ', B ' C ' AA' H tâm hình vng DCDC ' M , N hai điểm hai đường thẳng AD EG cho MN vng góc với KH cắt KH Tính độ dài đoạn MN theo a Hướng dẫn giải • Do giá trị lớn SH D’ C’ E G A’ H M B’ I E1 M E1 H1 D I1 C G1 N1 A B H1 D A C I1 N1 G1 B Xác định đoạn MN www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Gọi E1 , N1 , G1 , H1 hình chiếu vng góc E , N , G, H mặt phẳng ( ABCD ) Do KH ⊥ MN (gt) K KH ⊥ NN1 suy KH ⊥ MN1 , suy AH1 ⊥ MN1 I1 Mà theo giả thiết MN cắt KH I suy II1 // NN1 mà I trung điểm đoạn MN nên I1 phải trung điểm MN1 Từ suy cách dựng hai điểm M , N Tính độ dài MN Đặt α =DAH1 ⇒ H1 AN1 =E1 N1M =α Xét tam giác vuông DAH , ta có: sin α = AE ⇒ tgα = ⇒ AN1 = = a ⇒ cos2α = cos 2α 5 Xét tam giác vng AIN1 , ta có: IN1 = AN1 sin α = a a = ⇒ MN1 = a 6 (Cách khác: Gọi P trung điểm CG1 , suy N1 AP , suy E1 N1 = a ) EN a 5 14 a 14 ⇒ MN = MN1 = 1 = NN12 + MN12 = a + a = a ⇒ MN = cos α 9 Cách khác: Dùng phương pháp tọa độ khơng gian Bài Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a = 12,54 (cm) ,các cạnh bên nghiên với đáy góc α = 720 Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp S ABCD Hướng dẫn giải Chiều cao hình = chóp: SH = V Thể tích hình chóp: a tg 72 ≈ 27, 29018628 2 a h ≈ 1430, 475152 cm 3 ( ) Trung đoạn hình chóp a2 d= SH + ≈ 28, 00119939 = Sxq Diện tích xung quanh hình chóp: a.d ≈ 702, 2700807 cm 2 ( ) Bài Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a = 12,54 (cm) , a = 12,54 (cm) ,các cạnh bên nghiên với đáy góc α = 720 a) Tính thể tích hình cầu ( S1 ) nội tiếp hình chóp S ABCD www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com b) Tính diện tích hình trịn thiết diện hình cầu ( S1 ) cắt mặt phẳng qua tiếp điểm mặt cầu ( S ) với mặt bên hình chóp S ABCD Hướng dẫn giải = SH 27.29018628; = IH SH MH = 4.992806526 = R (bán kính mặt cầu nội tiếp) MH + MS Thể tích hình chóp ( S1= ): V S π R ≈ 521.342129 (cm3 ) SM ≈ 28, 00119939 = MH 6,= 27; IK IH K Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng qua tiếp điểm ( S1 ) với mặt bên I A 720 D H B M hình chóp: C S IH = d EI = = 4.866027997 SH − IH Bán kính đường trịn giao tuyến: r = EK = E R − d ≈ 1,117984141 K I Diện tích hình trịn giao tuyến: S ≈ 74,38733486 (cm ) Bài Một thùng hình trụ có đường kính đáy ( bên trong) 12, 24 ( cm ) đựng nước M H cao lên 4,56 ( cm ) so với mặt đáy Một viên bi hình cầu thả vào thùng mực nước dâng lên sát với điểm cao viên bi (nghĩa mặt nước tiếp diện mặt cầu) Hãy tính bán kính viên bi Hướng dẫn giải h (0 < x < R) π R 2 x ⇔ x3 − R x + 3R 2= Ta có phương trình : π R h + π x= Với R, x, h bán kính đáy hình trụ, hình cầu chiều cao ban đầu cột nước Bấm máy giải phương trình: x − 224, 7264 x + 512,376192= (0 < x ≤ 6,12) Ta có: x1 ≈ 2,588826692; x2 ≈ 5,857864771 ( AB) : x −= y + 0; ( AC ) : x − 8= y + 42 0; ( BC ) : x + y − = B Xét hai độ dài khác a, b Tìm điều kiện a, b để tồn tứ diện (T ) có cạnh a cạnh lại b Với tứ diện (T ) này, xác định mặt phẳng (α ) cho thiết diện mặt phẳng (α ) tứ diện (T ) hình vng (V ) Tính diện tích hình vng (V ) theo a b www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Điều kiện độ dài a, b : + Giả sử tứ diện (T ) tồn Gọi AB cạnh a , cạnh AC , AD, BC , BD, CD b Gọi I trung điểm cạnh CD Tam giác AIB tam giác cân: AB = a; AI = BI = b Từ AB < AI + BI Suy ra: < a < b +Ngược lại với: < a < b Dựng tam giác BCD cạnh b với chiều cao BI Dựng tam giác cân AIB có AB = a , nằm mặt phẳng chứa BI vng góc với mặt phẳng ( BCD ) Ta có: A ∉ mp ( BCD ) Tứ diện ABCD thỏa điều kiện toán A a Q M P B D I N C Xác định mặt phẳng (α ) : + Giả sử thiết diện MNPQ hình vuông Các mặt tứ diện (T ) chứa đoạn giao tuyến MN , NP, PQ, QM gọi tên mặt ( I ) , mặt ( II ) , mặt ( III ) , mặt ( IV ) Do MN // PQ; MQ // NP nên cạnh chung mặt ( I ) mặt ( III ) ; cạnh chung mặt ( II ) mặt ( IV ) nằm hai đường thẳng song song với mp (α ) Ngồi hai đường thẳng vng góc với nhau, MN vng góc MQ + Do a khác b nên tứ diện (T ) có cặp cạnh đối vng góc , AB CD www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Vì mặt phẳng (α ) phải song song với AB CD + Gọi giao điểm mp (α ) với AC , BC , BD, AD , M , N , P, Q Đặt: k = Ta có: MN = MA MC a kb a ; MQ = Từ MN = MQ ta có : k = b 1+ k 1+ k + Diện tích hình vng MNPQ : ( ab ) a+b Bài Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có đáy hình bình hành Gọi G trọng tâm tam giác SAC M điểm thay đổi miền hình bình hành ABCD Tia MG cắt mặt bên hình chóp điểm N MG NG + Q Đặt= NG MG 1/ Tìm tất vị trí điểm M cho Q đạt giá trị nhỏ 2/ Tìm giá trị lớn Q Hướng dẫn giải s N D' C' N' H G D A O M C B 1/ + Q= MG NG MG NG = + ≥ Dấu =1 NG MG NG MG www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com + SG cắt mp ( ABCD ) tâm O hình bình hành ABCD Gọi K trung điểm SG Từ K dựng mặt phẳng song song với mp ( ABCD ) cắt SA, SB, SC , SD A1 , B1 , C1 , D1 Từ N dựng mặt phẳng song song với mp ( ABCD ) cắt SG N ' Ta có : NG N ' G NG = ; = ⇔ N ' trùng K ⇔ N thuộc cạnh hình bình hành A1 B1C1 D1 MG OG MG Nối NK cắt cạnh hình bình hành A1 B1C1 D1 P , ta có : PM // SG ' ' ' ' + Từ Q = M thuộc cạnh hình bình hành A1 B1C1 D1 A1' B1' C1' D1' hình chiếu song song hình bình hành A1 B1C1 D1 lên mp ( ABCD ) theo phương SG 2/ + Miền hình bình hành ABCD hợp miền tam giác OAB, OBC , OCD, ODA M thuộc miền hình bình hành ABCD nên M thuộc bốn miền tam giác Chẳng hạn M thuộc miền ∆OAB M ≡ A ⇒ N ≡ C ' ; M ≡ B ⇒ N ≡ D ' ; M ≡ O ⇒ N ≡ S Do N thuộc miền ∆SC ' D ' N ' thuộc đoạn SH , với C ', D ' H trung điểm SC , SD SO Do đó: HG ≤ N ' G ≤ SG Vì vậy: +Đặt : x = NG MG Ta có : Q= HG N ' G SG NG hay ≤ ≤ ≤ ≤ OG OG OG MG 1  + x với x ∈  ;  x 2  1   1  ;2 ⇔ x = MaxQ Max Q ' = vàø x ∈  = = Q   ; Q ( ) ; Q (1)  2   2  +Giá trị lớn Q : Bài Đạt M trùng với O đỉnh A, B, C , D Cho tứ diện ABCD có diện tích tam giác ADB ADC Sb Sc Mặt phẳng phân giác nhị diện tạo hai mặt ( ADB ) ( ADC ) cắt BC M α góc hai mặt ( ADB ) ( ADC ) Chứng minh: www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com a/ MB Sb = MC Sc b/ Diện tích S m tam giác ADM là: Sm = 2Sb Sc cos Sb + Sc α Hướng dẫn giải Câu a: + Do M mặt phẳng phân giác góc nhị diện cạnh AD nên khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng ( ADB ) , ( ADC ) kí hiệu d + Do đó: MB dt(DBM) VADBM Sb d Sb = = = = MC dt(DCM) VADCM Sc d Sc Câu b: + Tính cơng thức thể tích tứ diện: = VABCD 1 sinα 2Sb Sc sin α = Sc BH Sc BK.sin = α Sc BK.AD = 3 AD 3AD A + V= VADBM + VADCM , áp dụng cơng thức tính thể tích ta suy ra: ABCD α α 2Sb Sc sin α 2Sb Sm sin 2Sc Sm sin = + 3AD 3AD 3AD Rút gọn, được: Sm = 2Sb Sc cos Sb + Sc α K H C D M S Bài Với hai đường thẳng MN , PQ chéo khơng gian, kí hiệu d ( MN , PQ ) ( MN , PQ ) khoảng cách góc hai đường thẳng MN , PQ a/ Chứng minh tứ diện ABCD thỏa điều kiện: d= ( AB, CD ) d= ( AC , BD ) d ( AD, BC ) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com ba số: cotg ( AB, CD ) ; cotg ( AC , BD ) ; cotg ( AD, BC ) có số tổng hai số cịn lại b/ Chứng minh tứ diện ABCD thỏa điều kiện: d= ( AB, CD ) d= ( AC , BD ) d ( AD, BC ) AB, CD ) (= AC , BD ) ( AD, BC ) (= hình chóp tam giác Hướng dẫn giải a/ C D B1 • • Dựng hình hộp ngoại tiếp tứ diện AC1 BD1 B1 DA1C Giả thiết d= ( AB, CD ) d= ( AC , BD ) d ( AD, BC ) suy mặt hình hộp diện tích S Đặt = a AB = , a1 CD= , AC b= , BC b1= , AD c, , AD1 z= , AC1 y= , AB1 x = BC c1= • D1 A C1 Từ hình bình hành AC1 BD1 ta có: a + a12= ( y + z ) ; cos ( AB, CD )= cos ( AB, CD ) = • A1 a a12 + − y2 4 a.a1 B y2 − z2 a.a1 = AC1 BD1 a1a sin ( AB, CD ) Do đó: cot g ( AB, CD ) = Chú ý: S dt= Tương tự: cot g (= AC, BD ) z −x = ; 2S 2 x −y y2 − z2 2S 2S • cotg ( AD, BD ) Nếu x ≤ y ≤ z cotg ( AB, CD ) + cotg ( AC , BD ) + cotg ( AD, BC ) = • Các trường hợp khác có kết • AB, CD ) Từ kết câu a/ thêm (= • Suy cặp cạnh đối tứ diện ABCD vuông góc đơi a + a12 = b + b12 = c + c12 Lúc ta có:  (Do x = y = z) a.a = b.b = c.c 1  b/ • AC , BD ) ( AD, BC ) (= = = = cotg ( AB, CD ) cotg ( AC , BD ) cotg ( AD, BC ) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com • Bài , a1} {= b, b1} {c, c1} Vì phải có mặt tứ diện ABCD tam giác Suy {a= Từ ABCD hình chóp tam giác Trong khơng gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng ba điểm A, B, C ( khác điểm O ) Ox, Oy, Oz Dãy số (an) ( an ) cấp số cộng có a1 > công sai d > Với số n nguyên dương, tia Ox, Oy, Oz theo thứ tự lấy điểm An , Bn , Cn cho = OA a= an += an + OCn Chứng minh mặt phẳng ( An , Bn , Cn ) luôn qua n OAn ; OB OBn ; OB đường thẳng cố định Hướng dẫn giải + Phát biểu chứng minh mệnh đề: Nếu hai điểm X , Y phân biệt Điều kiện cần đủ để điểm S thuộc đường thẳng XY tồn cặp số thực x, y thỏa:    = OS xOX + yOY , với điểm O tùy ý   x + y = +Từ giả thiết: ( an ) cấp số cộng công sai d > nên: a n +1 = a n + d a n +1 a n − =1 d d + áp dụng nhận xét trên, ta có:  a  a  n +1 = OI OBn − n OA n I ∈ An Bn d d     = OA ; OB a OB OA a= n n n +1 n ( a n , a n +1 > 0)    OB OA  Thế vào ta được: OI = − = AB , ∀n=1,2 suy I cố định, nên đường thẳng An Bn d d d qua điểm cố định I + Tương tự, chứng minh được:   Bn Bn qua điểm cố định J xác định bởi: OJ = BC d   • AnCn ln qua điểm cố định K xác định bởi: OK = AC 2d Vậy đường thẳng An Bn , BnCn , AnCn qua ba điểm I , J , K cố định • +Chứng minh ba điểm thẳng hàng: www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com     = A ' D; D ' N D 'C Vậy M, N điểm cho A ' M = 3     a2 a − m + n + p ⇒ MN = ⇒ MN = Do ta có MN = 3 3 A B I G D C M A' B' N D' C' Bài 83 [Cao Văn Bá – THPT Diễn Châu – 2009-2010] Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình thang với AD / / BC M điểm di động bên tứ giác ABCD Qua M vẽ đường thẳng song song với SA, SB cắt mặt phẳng ( SBC ) ( SAD ) theo thứ tự N P a) Nêu cách dựng điểm N , P b) Chứng minh: MN MP + khơng đổi SA SB c) Tìm tập hợp điểm M cho diện tích tam giác MNP có giá trị lớn Bài 84 [TRƯỜNG THPT CẨM THUỶ I 2008-2009] Cho tam giác S ABCD đáy hình thang, đáy lớn AD a= , AB b Mặt bên SAD tam giác M điểm di động AB , mp BC = 2a , đáy bé= ( P ) qua điểm M song song với SA, BC a) Tìm thiết diện S ABCD với mặt phẳng mp ( P ) Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a = x AM ( < x < b ) Tìm giá trị x để diện tích thiết diện lớn Hướng dẫn giải a) Từ M kẻ đường thẳng song song BC SA , cắt DC N , SQ Q Từ Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt SC P suy MNPQ thiết diện Dễ dàng chứng minh hình thang cân www.thuvienhoclieu.com Trang 52 www.thuvienhoclieu.com S Q P 2a C B M b x N D A a b) * Tính diện tích thiết diện MNPQ = NP = Sử dụng định lý Talets ta suy MQ Từ tính QK = x ab + ax b− x = 2a, MN a ; PQ = b b b ba − ax b Áp dụng công thức S MNPQ= 3a ( b − x )( b + 3x ) 4b ( MN + PQ ) QK= N P Q H K M *Tìm x để S MNPQ đạt giá trị lớn 3a 3a  3b − 3x + b + 3x  S MNPQ = = ( 3b − 3x )( b + 3x ) ≤   12b2 12b   Dấu "=" xảy x = 3a 12 b Bài 85 [THPT Quảng Xương THANH HỐ 2009- 2010] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a đường cao SO = a www.thuvienhoclieu.com Trang 53 www.thuvienhoclieu.com a) Tính góc tạo hai mặt phẳng ( ABCD ) ( SCD ) b) Gọi I trọng tâm tam giác ABO , xác định hình chiếu H I lên mp ( SCD ) tính độ dài IH theo a Hướng dẫn giải a) Gọi M trung điểm CD suy góc ( ABCD ) ( SCD ) góc SMO , , OM , SO a= Tam giác SMO vuông O= a suy tan SMO = hay SMO = 63, 4° b) Kẻ OK đường cao tam giác SOM suy OK vng góc mp ( SCD ) , từ I kẻ đường thẳng song song với OK mp ( SOM ) cắt SM H H điểm cần tìm IH Ta có= 5 a a = OK = 3 Bài 86 Cho tứ diện ABCD có đường cao AA ', BB ', CC ', DD ' đồng qui điểm thuộc miền tứ diện Các đường thẳng AA ', BB ', CC ', DD ' lại cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo thứ AA ' BB ' CC ' DD ' + + + ≥ tự A1 , B1 , C1 , D1 Chứng minh: AA1 BB1 CC1 DD1 Bài 87 www.thuvienhoclieu.com Trang 54 www.thuvienhoclieu.com a Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AC BC Trên cạnh BD lấy điểm K cho BK = KD Tìm giao điểm E đường thẳng CD với mặt phẳng ( IJK ) Chứng minh DE = DC b Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Hai điểm M N thay đổi BM NC = = x, ( x > 0, x ≠ 1) , Gọi G trọng tâm tam giác SCD Chứng đoạn thẳng SB, AC cho MS NA minh MN song song với mặt phẳng cố định x thay đổi tìm x để NG / / ( SAD ) Bài 88 [ÔN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 3] Cho hình chóp S ABC cạnh a , cạnh bên a Gọi ( P ) mặt phẳng qua A song song với BC vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) Gọi I trung điểm BC a) Xác định thiết diện hình chóp với (P).Tính khoảng cách từ điểm I đến ( P ) b) Tính sin α với α góc AB ( P ) Bài 89 [ÔN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 2] Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có = AB a= , AC 2a= , AA’ 2a góc BAC = 120O Gọi M trung điểm CC ' a) CMR: MB ⊥  ' MA b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A’BM ) Bài 90 [HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH, LỚP 11, 2005] Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với O Gọi A1 , B1 , C1 thứ tự trung điểm cạnh BC , CA, AB a) Chứng minh tam giác A1B1C1 tam giác nhọn b) Biết số đo góc tam giác ABC A, B, C Gọi α số đo góc nhị diện [C1 , OA1 , B1 ] , tìm cos α theo B C c) Gọi d độ dài lớn độ dài cạnh OA, OB, OC gọi h độ dài lớn độ dài đường cao tam giác ABC Chứng minh rằng: h≤d CC ' nên B < C C tù ⇒ sin C = 5 25 25 A , AB = (giống trường hợp 1) ⇒ sin= Suy S = , cos B = 5 5 Bài 106 Cho tứ diện ABCD , O điểm nằm miền tam giác BCD Từ O kẻ đường thẳng song song với AB, AC , AD cắt mặt phẳng ( ACD ) , ( ABD ) , ( ABC ) tai M , N , P Còn sin B = OM ON OP không đổi + + AB AC AD Bài 107 Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có tất mặt hình vng cạnh a a) Chứng minh AC’ vng góc với mặt phẳng ( A’BD ) đường thẳng A’C qua trọng tâm tam giác A’BD b) Hãy xác định điểm M , N nằm cạnh A’D, CD’ cho MN vng góc với Chứng minh rằng: mặt phẳng ( CB’D’) Tính độ dài đoạn MN theo a Bài 108 Cho hình chóp S ABCD Tứ giác đáy có AB CD cắt E AD BC cắt F AC BD cắt G ( P ) mặt phẳng cắt SA, SB, SC A’, B’, C’ a) Tìm giao điểm D’ SD ( P ) b) Với điều kiện ( P ) A’B’C’D’ hình bình hành Bài 109 Cho tứ diện ABCD , mặt phẳng ( α ) song song với hai đường thẳng AD BC Gọi M , N , P, Q tương ứng giao điểm ( α ) với đường thẳng AB, AC , CD, DB Xác định tất vị trí ( α ) để: a) Tứ giác MNPQ hình thoi b) Diện tích thiết diện ( α ) tứ diện ABCD lớn Bài 110 Cho tam giác ABC vng A có= AB c= , AC b Gọi ( P ) mặt phẳng qua BC vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) ; S điểm di động ( P ) cho S ABC hình chóp có hai mặt www.thuvienhoclieu.com Trang 65 www.thuvienhoclieu.com bên SAB , SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo α π − α Gọi H , I , J hình chiếu vng góc S BC , AB, AC a) Chứng minh SH = HI HJ b) Tìm giá trị lớn SH tìm giá trị α Bài 111 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A’B’C’D’ Một mặt phẳng (P) thay đổi song song với hai đáy lăng trụ, cắt đoạn thẳng AB’, BC’, CD’, DA’ tương ứng điểm M, N, P, Q Hãy xác định vị trí mặt phẳng (P) cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn Bài 112 Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình vng SAB tam giác đều, mặt phẳng qua ba điểm A, B, C vng góc với mặt phẳng chứa tam giác SAB Gọi M điểm di động đoạn AB P hình chiếu vng góc S lên CM a) Tìm quỹ tích điểm P M di động b) Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng nối M với trung điểm đoạn SC đạt giá trị lớn Bài 113 Gọi O điểm cạnh AB tứ diện ABCD (O không trùng với A B) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AOCD cắt cạnh BC BD tứ diện ABCD M N (M ≠ C, N ≠ D) Mặt cầu ngọai tiếp tứ diện BOCD cắt cạnh AC AD tứ diện ABCD P Q (P ≠ C, Q ≠ D) Chứng minh tam giác OMN đồng dạng với tam giác OQP Bài 114 Cho P điểm cố định nằm bên hình cầu cho trước Ba đoạn thẳng PA, PB, PC đơi vng góc với nhau, có ba đầu mút A, B, C nằm mặt cầu Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Tính PG theo PA, PB, PC b) Tìm quỹ tích điểm G A, B, C thay đổi Bài 115 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy hình chóp có độ dài 2, chiều cao h Gọi C1 (O; r ) hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi C2 (K;R) hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với cạnh hình chóp Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD) + h2 − a) Chứng minh rằng: r = h b) Tính giá trị h, từ suy thể tích hình chóp Bài 116 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có cạnh a Xét đoạn thẳng MN có hai đầu mút M, N nằm đoạn thẳng BC’, CA’ song song với mặt phẳng(ABB’A’) Tìm theo a độ dài đoạn thẳng ngắn đoạn thẳng Khi MN ngắn hỏi MN có vng góc với BC’ CA’ hay không? Chứng minh Bài 117 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H chân vng góc hạ từ O đến (ABC) a) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC abc b) Chứng minh a.S HBC + b.S HAC + c.S HAB ≤ Bài 118 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB=2CD=2AD, SA vng góc với đáy A Gọi M trung điểm SC, K điểm di động AB Tìm tập hợp hình chiếu H M lên CK Bài 119 Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Tìm điểm M cho tổng: MA MB MC MD đạt giá trị bé + + + GB.GC.GD GA.GC.GD GA.GB.GD GA.GB.GC www.thuvienhoclieu.com Trang 66