CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP 7

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP CHUYÊN ĐỀ 1: GÓC TRONG TAM GIÁC I.Cơ sở lí thuyết Để giải tốt tốn tính số đo góc học sinh tối thiểu phải nắm vững kiến thức sau:  Trong tam giác: oTổng số ba góc tam giác 180 oBiết hai góc ta xác địn góc cịn lại oMỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với  Trong tam giác cân: biết góc ta xác định hai góc cịn lại  Trong tam giác vng: oBiết góc nhọn, xác định góc cịn lại oCạnh góc vng nửa cạnh huyền góc đối diện với cạnh góc vng có số đo 30  Trong tam giác vng cân: góc nhọn có số đo 45  Trong tam giác đều: góc có số đo 60  Đường phân giác góc chia góc hai góc có số đo  Hai đường phân giác hai góc kề bù tạo thành góc có số đo 90  Hai đường phân giác hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo 45  Hai góc đối đỉnh  Tính chất góc so le trong, so le ngồi, đồng vị, hai góc cung phía, … Khi giải tốn tính số đo góc cần ý: Vẽ hình xác, với số liệu đề để có hường chứng minh Phát tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vng cân, tam giác cân hình vẽ Chú ý liên hệ góc tam giác, liên hệ cạnh góc tam giác, phát cặp tam giác Vẽ đường phụ hợp lí làm Page xuất hiệ góc đặc biệt, cặp góc Trong đường phụ vẽ thêm, vẽ đường phân giác, đường vng góc, tam giác đều, … Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ góc Xét đủ trường hợp số đo góc xảy (ví dụ góc nhọn, góc tù, …) (Tham khảo tốn nâng cao lớp 7, tập – Vũ Hữu Bình) Trong thực tế, để giải tốn tính số đo góc ta thường xét góc nằm mối liên hệ với góc hình đặc biệt nêu xét góc tương ứng suy kết Tuy nhiên, đứng trước tốn khơng phải lúc gặp thuận lợi, đưa trường hợp mà có nhiều đòi hỏi người đọc phải tạo "điểm sáng bất ngờ" đường kẻ phụ, hình vẽ phụ… từ mối quan hệ giả thiết, kết luận kiến thức, kỹ học trước giải Chúng ta xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” “chìa khố “ thực thụ để giải dạng toán II Một số dạng toán hướng giải Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác Bài toán Cho ∆𝐴𝐵𝐶 có 𝐴̂ = 20 có 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, lấy 𝑀 ∈ 𝐴𝐵 cho 𝑀𝐴 = 𝐵𝐶 ̂ Tính số đo 𝐴𝑀𝐶? Nhận xét ̂ thuộc ∆𝐴𝐵𝐶 có 𝐴̂ = 200 mà 𝐵̂ = 𝐶̂ = 800 = 200 + 600 Ta cần tìm 𝐴𝑀𝐶 0 Ta thấy có liên hệ rõ nét góc 20 góc 60 , mặt khác 𝑀𝐴 = 𝐵𝐶 Từ đây, ta thấy yếu tố xuất hiệ liên quan đến tam giác Điều giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ tam giác A Hướng giải Cách (Hình 1) Vẽ ∆𝐵𝐷𝐶 (D, A phía so với BC) Nối A với D ̂ = 𝐷𝐴𝐵 ̂ = 100 Ta có ∆𝐴𝐵𝐷 = ∆𝐴𝐶𝐷 (c.c.c) => 𝐷𝐴𝐶 ̂ = 𝐷𝐴𝐶 ̂ = 100 Lại có ∆𝐴𝑀𝐶 = ∆𝐶𝐷𝐴 (c.g.c) => 𝑀𝐶𝐴 ̂ = 1800 ‒ (𝐴𝐶𝑀 ̂ + 𝑀𝐴𝐶 ̂ ) = 1800 ‒ (200 + 100) = 1500 => 𝐴𝑀𝐶 M D B C Page A Cách (Hình 2) Vẽ ∆𝐴𝐶𝐷 (M, D khác phía so với AC) ̂ = 800 (1) Ta có ∆𝐵𝐴𝐶 = ∆𝐴𝐷𝑀 (c.g.c) => 𝐴𝑀𝐷 M D ̂ = 40 => 𝐷𝑀𝐶 ̂ = 70 (2) => ∆𝑀𝐷𝐶 cân D, 𝑀𝐷𝐶 ̂ = 1500 Từ (1) (2) suy 𝐴𝑀𝐶 B C Từ hướng giải thử giải Bài toán1 theo phương án sau:  Vẽ ∆𝐴𝐶𝐷 (C, D khác phía so với AB)  Vẽ ∆𝐴𝐵𝐷 (B, D khác phía so với AC)  Vẽ ∆𝐴𝑀𝐷 (D, C khác phia so với AB) ………………………… Lập luận tương tự ta có kết Bài toán Cho ∆𝐴𝐵𝐶 cân A, 𝐴̂ = 40 Đường cao AH, điểm E, F theo thứ tự thuộc đoạn thẳng AH, AC cho ̂ = 𝐹𝐵𝐶 ̂ = 300 Tính 𝐴𝐸𝐹? ̂ 𝐸𝐵𝐴 A Hướng giải Vẽ ∆𝐴𝐵𝐷 (B, D khác phía so với AC) ∆𝐴𝐵𝐶 cân A, 𝐴̂ = 400 (gt) F E ̂ = 𝐴𝐶𝐵 ̂ = 70 mà 𝐹𝐵𝐶 ̂ = 30 (gt) => 𝐴𝐵𝐶 ̂ = 400, 𝐵𝐴𝐹 ̂ = 400 => ∆𝐴𝐹𝐵 cân F => 𝐴𝐵𝐹 => 𝐴𝐹 = 𝐵𝐹, mặt khác 𝐴𝐷 = 𝐵𝐷, FD chung D B H C ̂ = 𝐵𝐷𝐹 ̂ = 60 = 300 => ∆𝐴𝐹𝐵 = ∆𝐵𝐹𝐷 (𝑐.𝑐.𝑐) => 𝐴𝐷𝐹 Do AH đường cao tam giác cân BAC ̂ = 200 = 𝐹𝐴𝐷 ̂ = 600 ‒ 400, 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 (vì ∆𝐴𝐵𝐷 đều), 𝐴𝐵𝐸 ̂ = 300 (gt) => 𝐵𝐴𝐸 ̂ = 200 => ∆𝐴𝐵𝐸 = ∆𝐴𝐷𝐹 (g.c.g) => 𝐴𝐸 = 𝐴𝐹 => ∆𝐸𝐴𝐹 cân A mà 𝐸𝐴𝐹 0 ̂ = 180 ‒ 20 = 800 => 𝐴𝐸𝐹 Nhận xét Vấn đề suy nghĩ vẽ tam giác xuất phát từ đâu? Page 0 Phải xuất phát từ giả thiết 40 = 60 ‒ 20 mối liên hệ 𝐹𝐴 = 𝐹𝐵 suy từ ∆𝐴𝐵𝐸 cân F Với hướng suy nghĩ giải Bài tốn theo cách sau:  Vẽ ∆𝐴𝐹𝐷 đều, F, D khác phía so với AB (H.1)  Vẽ ∆𝐵𝐹𝐷 đều, F, D khác phía so với AB (H.2) ………………… A A D (H.1) F D (H.2) E B H F C E C H B Bài tốn (Trích tốn nâng cao lớp – Vũ Hữu Bình) ̂ = 𝐸𝐶𝐴 ̂ = 150 Tính Cho ∆𝐴𝐵𝐶, 𝐵̂ = 𝐶̂ = 45 Điểm E nằm ∆ cho 𝐸𝐴𝐶 ̂ 𝐵𝐸𝐴? Nhận xét 0 0 Xuất phát từ 15 75 biết, ta có 60 = 75 ‒ 15 𝐸𝐴 = 𝐸𝐶 ∆𝐸𝐴𝐶 cân E Với yếu tố giúp ta nghĩ đế việc dựng hình phụ tam giác Hướng giải Vẽ ∆𝐴𝐸𝐼 (I, B phía so với AE) Ta có ∆𝐴𝐸𝐶 = ∆𝐴𝐼𝐵 (c.g.c) => 𝐼𝐵 = 𝐶𝐸 mà 𝐸𝐼 = 𝐶𝐸 (∆𝐴𝐸𝐼 đều) => 𝐼𝐵 = 𝐸𝐼 => ∆𝐸𝐼𝐵 𝑐â𝑛 𝑡ạ𝑖 𝐼 ̂ = 3600 ‒ (600 + 1500) = 1500 => 𝐸𝐼𝐵 ̂ = 150 => 𝐼𝐸𝐵 ̂ = 𝐵𝐸𝐼 ̂ + 𝐼𝐸𝐴 ̂ = 750 => 𝐵𝐸𝐴 A I E C B A Khai thác Chúng ta giải Bài toán theo cách sau: E C Page B D Vẽ ∆𝐴𝐶𝐷 (D, E khác phía so với AC)  Một số toán tương tự Bài toán 3.1 Cho ∆𝐴𝐵𝐶, 𝐴̂ = 1𝑉, 𝐴𝐵 = 2𝐴𝐶 Kẻ tia 𝐶𝑥//𝐴𝐵 Kẻ AD cho ̂ ̂ = 150, 𝐷 ∈ 𝐶𝑥 (B, D phía so với AC) Tính 𝐴𝐷𝐵? 𝐶𝐴𝐷 Bài tốn 3.2 Cho ∆𝐴𝐵𝐶, 𝐴̂ = 1𝑉, 𝐵̂ = 75 , 𝐵𝐻 = 2𝐴𝐶, 𝐻 ∈ 𝐴𝐵 (B, H khác phía so ̂ với AC) Tính 𝐻𝐶𝐴? 0 Bài tốn 3.3 Cho ∆𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 𝐴𝐶) 𝐴̂ = α (60 < α < 120 ) Điểm M nằm ̂ = 𝑀𝐶𝐴 ̂ = tam giác cho 𝑀𝐴𝐶 α ‒ 600 ̂ Tính 𝐵𝑀𝐶? Bài tốn Cho ∆𝐴𝐵𝐶, 𝐴̂ = 80 , 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 M điểm nằn tam giác cho ̂ = 100, 𝑀𝐶𝐵 ̂ = 300 Tính 𝐴𝑀𝐵? ̂ 𝑀𝐵𝐶 Nhận xét 0 Xuất phát từ giả thiết 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 liên hệ góc 10 với 50 ta có 500 + 100 = 600 Từ nghĩ đến giải pháp dựng tam giác Hướng giải D Cách (H.1) Vẽ Δ𝐵𝐷𝐶 (A, D phía so với BC) Dễ thấy Δ𝐵𝐴𝐷 = Δ𝐶𝐴𝐷 (c.g.c) Δ𝐷𝐴𝐵 = Δ𝐶𝑀𝐵 A (g.c.g) => 𝐵𝐴 = 𝐵𝑀 ̂ = 500 ‒ 100 = 400 => Δ𝐴𝐵𝑀 cân B, 𝐴𝐵𝑀 ̂ = 700 => 𝐴𝑀𝐵 C M B A Cách (H.2) Vẽ Δ𝐴𝐵𝐷 (D, A khác phía so với BC) C M D B Page => Δ𝐴𝐵𝑀 cân A Từ có hướng giải tương tự ̂ = 100 Trên tia 𝐵𝑥 Bài toán Cho ∆𝐴𝐵𝐶, (𝐵̂ = 𝐶̂ = 70 ) Kẻ tia 𝐵𝑥 cho 𝐶𝐵𝑥 ̂ lấy điểm D cho 𝐵𝐷 = 𝐵𝐴 (A, D khác phía so với BC) Tính 𝐵𝐶𝐷? Nhận xét 0 0 Ta thấy xuất góc 70 10 mà 60 = 70 ‒ 10 , đồng thời với 𝐵𝐷 = 𝐵𝐴 Điều làm nảy sinh suy nghĩ vẽ A hình phụ tam giác Hướng giải Cách Vẽ Δ𝐵𝐼𝐶 (I, A phía so với BC) Ta thấy Δ𝐵𝐼𝐴 = Δ𝐶𝐼𝐴 (c.g.c) Δ𝐵𝐼𝐴 = Δ𝐵𝐶𝐷 (c.g.c) ̂ ̂ = 𝐵𝐼𝐴 ̂ = 1800 ‒ 100 + 𝐵𝐴𝐶 => 𝐵𝐶𝐷 = 150 ( ) I C B D x A Cách Vẽ ∆𝐴𝐵𝐸 (E, B khác phía so với AC) Từ ta có cách giải tương tự B E C D x Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác vng có cạnh góc vng nửa cạnh huyền Bài tốn Tính góc tam giác ABC biết đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc Phân tích Page ̂ thành ba góc +/ Đường cao AH, trung tuyến AM chia 𝐵𝐴𝐶 => ∆𝐴𝐵𝑀 cân A (Đường cao đồng thời phân giác) => 𝐴𝐻 đồng thời trung tuyến A 1𝑀𝐶 => 𝐻𝐵 = 𝐻𝑀 = 𝐵𝑀 => 𝐻𝑀 = 2 K +/ Có thể vẽ thêm đường phụ liên quan đến ̂ = 𝑀𝐴𝐻 ̂ = 𝐻𝐴𝐵 ̂ liên quan đến HM = 𝑀𝐴𝐶 B C M H 1 HB = BM = MC Kẻ MK ⊥ AC K Khi có sơ sơ đồ phân tích ̂ = 300 𝐴𝑀 ⊥ 𝐴𝐶 𝑡ạ𝑖 𝐾→∆𝐴𝐻𝑀 = ∆𝐴𝐾𝑀→𝑀𝐾 = 𝑀𝐻→𝑀𝐾 = 𝑀𝐶→ 𝐶 ̂ = 600→𝐻𝐴𝑀 ̂ = 𝑀𝐴𝐶 ̂ = 300→𝐻𝐴𝐵 ̂ = 300→ 𝐵𝐴𝐶 ̂ = 900 →𝐻𝐴𝐶 → 𝐵̂ = 600 Hướng giải Vì 𝑀𝐾 ⊥ 𝐴𝐶 K Xét ∆𝐴𝐵𝑀 có AH đường cao ứng với BM ̂ = 𝐻𝐴𝑀 ̂ = AH đường phân giác ứng với cạnh BM (vì 𝐵𝐴𝐻 ̂ ) 𝐵𝐴𝑀 Nên ∆𝐴𝐵𝑀 cân đỉnh A => H trung điểm BM => 𝐻𝑀 = 2𝐵𝑀 = 4𝐵𝐶 Xét ∆𝐴𝐻𝑀 𝑣à ∆𝐴𝐾𝑀 có AM cạnh huyền chung ̂ = 𝐾𝐴𝑀 ̂ (gt) 𝐻𝐴𝑀 => ∆𝐴𝐻𝑀 = ∆𝐴𝐾𝑀 (cạnh huyền – góc nhọn) => 𝐻𝑀 = 𝐾𝑀 (hai cạnh tương ứng) Page 1𝑀𝐶 => 𝐾𝑀 = 𝐵𝐶 = ̂ = 90 Xét ∆𝑀𝐾𝐶 có 𝑀𝐾𝐶 , KM = MC => 𝐶̂ = 300 ta tính 𝐵̂ = 300, 𝐴̂ = 900 0 Vậy 𝐵̂ = 30 , 𝐴̂ = 90 , 𝐶̂ = 60 Bài toán Cho ∆𝐴𝐵𝐶, 𝐶̂ = 30 ̂ AB Tính 𝐴𝐶𝐷? Đường cao AH AH = BC D trung điểm Hướng giải A ̂ = 1𝑉 => 𝐴𝐻 = 1𝐴𝐶 𝑋é𝑡 ∆𝐴𝐻𝐶 𝑐ó𝐶̂ = 300, 𝐴𝐻𝐶 D 𝑚à 𝐴𝐻 = 2𝐵𝐶 (𝑔𝑡) => 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 B ̂ = 150 => ∆𝐴𝐶𝐵 cân C => CD phân giác => 𝐴𝐶𝐷 C H Nhận xét Suy nghĩ chứng minh ∆𝐴𝐶𝐵 cân xuất phát từ đâu? Phải xuất phát từ ∆𝐴𝐻𝐶 vuông có 𝐶̂ = 30 AH = BC Thực hai yếu tố giúp ta nghĩ đến tam giác vng có góc 30 Bài tốn Cho ∆𝐴𝐵𝐶 có ba góc nhọn Về phía ngồi ∆𝐴𝐵𝐶 ta vẽ tam ̂ giác ABD ACE I trực tâm ∆𝐴𝐵𝐷, H trung điểm BC Tính 𝐼𝐸𝐻? Phân tích ∆𝐻𝐸𝐼 nửa tam giác E =>, vẽ thêm đường phụ để xuất nửa tam giác (còn lại) => Trên tia đối tia HE lấy điểm F cho HE = HF Hướng giải Trên tia đối tia HE lấy điểm F cho HE = HF Ta có ∆𝐵𝐻𝐹 = ∆𝐶𝐻𝐸 (𝑐.𝑔.𝑐) => 𝐵𝐹 = 𝐶𝐸 A D I B H C Page F ̂ = 1200 (vì ∆𝐴𝐵𝐷 đều) Ta có IA = IB 𝐴𝐼𝐵 ̂ = 300 + 𝐵𝐴𝐶 ̂ + 600 = 900 + 𝐵𝐴𝐶 ̂ 𝐼𝐴𝐸 ̂ = 3600 ‒ (𝐼𝐵𝐴 ̂ + 𝐴𝐵𝐶 ̂ + 𝐻𝐵𝐹 ̂ ) Mà 𝐼𝐵𝐹 ̂ + 𝐸𝐶𝐻 ̂ ) = 3600 ‒ (300 + 𝐴𝐵𝐶 ̂ + 𝐴𝐶𝐵 ̂ + 600) = 3600 ‒ (300 + 𝐴𝐵𝐶 ̂ ) = 900 + 𝐵𝐴𝐶 ̂ = 3600 ‒ (900 + 1800 ‒ 𝐵𝐴𝐶 => ∆𝐼𝐵𝐹 = ∆𝐴𝐼𝐸 (𝑐.𝑔.𝑐) => 𝐼𝐹 = 𝐼𝐸 ̂ = 1200 => ∆𝐹𝐼𝐸 cân I mà 𝐴𝐼𝐵 ̂ = 1200 => 𝐼𝐸𝐻 ̂ = 300 => 𝐹𝐼𝐸 Khai thác Với cách giải nhiều em phát đề xuất cách vẽ đường phụ sau:  Lấy K đối xứng với I qua H (H.1)  Lấy M đối xứng với B qua I (H.2) ……………………… E E M A A D D I I B B H C H C (H.2) (H.1) K Bài tập dạng: Cho ∆𝐴𝐵𝐶, vẽ ∆𝐴𝐵𝐷, ∆𝐴𝐶𝐸 (E, D nằm tam giác) I, P trung ̂ điểm AD CE Điểm F nằm BC cho BF = 3FC Tính 𝐹𝑃𝐼? Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác vuông cân Page ̂ = 300, 𝑀𝐴𝐶 ̂ = 150 Tính Bài tốn Cho ∆𝐴𝐵𝐶, M trung điểm BC, 𝐵𝐴𝑀 ̂ 𝐹𝑃𝐼? Phân tích ̂ = 300, 𝑀𝐴𝐶 ̂ = 150, 𝐵𝑀 = 𝑀𝐶, quan sát hình vẽ Khi đọc kĩ tốn ta thấy 𝐵𝐴𝑀 nhận dạng toán ta biết có nguồn gốc từ Bài tốn Mặt khác ̂ = 450, điều giúp ta nghĩ đến dựng tam giác vuông cân 𝐵𝐴𝐶 Hướng giải Cách Hạ 𝐶𝐾 ⊥ 𝐴𝐵 (Dễ chứng minh tia CB nằm hai tia CA CK) ̂ = 450) => 𝐾𝐴 = 𝐾𝐶 Ta có ∆𝐴𝐾𝐶 vng cân K (vì 𝐵𝐴𝐶 Vẽ ∆𝐴𝑆𝐶 vng cân S (K, S khác phía so với AC) Do ∆𝐵𝐾𝐶 vng K => KM = BC = MC A S => ∆𝐾𝑀𝐶 cân M ̂ = 300 Dễ thấy ∆𝐾𝐴𝑀 = ∆𝐶𝑆𝑀 (𝑐.𝑔.𝑐) => 𝐶𝑆𝑀 ̂ = 600 𝑆𝐴𝑀 ̂ = 600 => 𝐴𝑆𝑀 => ∆𝐴𝑆𝑀 => AS = SM = AK => ∆𝐴𝐾𝑀 cân A ̂ = 𝑀𝐶𝐾 ̂ = 900 ‒ 750 = 150 => 𝑀𝐾𝐶 ̂ = 450 ‒ 150 = 300 => 𝐵𝐶𝐴 Cách Lấy D đối xứng B qua AM => ∆𝐵𝐴𝐷 cân A ̂ = 300 (𝑔𝑡) => 𝐵𝐴𝐷 ̂ = 600 => ∆𝐴𝐵𝐷 Mà 𝐵𝐴𝑀 Ta có DC // MI (vì MB = MC, IB = ID), (𝐵𝐷 ∩ 𝐴𝑀 = {𝐼}) Mà 𝑀𝐼 ⊥ 𝐵𝐷 => 𝐶𝐷 ⊥ 𝐵𝐷 Mặt khác xét ∆𝐴𝐵𝐷 có ̂ = 150(𝑔𝑡), 𝐴𝐷𝐶 ̂ = 600 + 900 = 1500 𝐶𝐴𝐷 B C M K A D B I C M Page 10 www.thuvienhoclieu.com 84 Xét A'BM' ta có: M'A + M'B > A'B (1) Mà theo cách dựng A'B = MA' + MB = MA + MB (2) Từ (1) (2)  MA' + MB' > MA + MB  (MA + MB) (đpcm) d) Biện luận Bài tốn có nghiệm hình điểm A' dựng Bài toán Cho đường thẳng b//c, điểm Ab,c Dựng  ABC cho Bb, Cc Bài giải: a) Phân tích: Giả sử ta dựng  ABC thoả mãn điều kiện toán B  b, C  c Ta thực phép quay theo chiều kim đồng hồ ta có: r(A, 600)(B) = C ; r(A, 600)(b) = b' Mà B  b  C  b' Mặt khác: C  c  c  b' = C A b) Cách dựng - Dựng đường thẳng b' = r(A, B 600)(b) - Dựng điểm C B’ C giao điểm b' c C’ b c - Dựng điểm B cách: r(A, 600)(C) = B b’ c) Chứng minh: r(A, -600)(C) = B; r(A, -600)(b') = b Mà C  b'  B  b  (đpcm) d) Biện luận Bài tốn có nghiệm hình www.thuvienhoclieu.com 84 www.thuvienhoclieu.com 85 Bài tốn Cho ABC Dựng hình vuông MNPQ cho M  AB; N,P  BC, Q  AC Bài giải: a) Phân tích Giả sử dựng hình vng MNPQ thoả mãn điều kiện toán Nối B với Q thực phép vị tự: h(B, k = BQ ' ) (Q'  BQ) thì: Q  Q'; M  M'; N BQ N'; P  P' M 'Q ' N ' M ' N ' P ' P 'Q '    MQ NM NP PQ Mà MQ = MN = NP = PQ NMQ = 900  M'Q' = M'N' = N'P' = P'Q'; N'M'Q' = 900 A  M'N'P'Q' hình vng Q M b) Cách dựng M’ - Lấy M'  AB, dựng M'N'  BC - Dựng hình vng M'N'P'Q' - Kẻ BQ' cắt AC Q - Thực phép vị tự: h(B; k = B Q’ N’ N P’ P C BQ ' ) (Q') = Q; p'  p; M'  M; N'  N ta BQ dựng hình vng MNPQ cần dựng c) Chứng minh Theo cách dựng ta có: MQ NM NP PQ    M'N'P'Q' hình vng; M 'Q ' N ' M ' N ' P ' P 'Q ' N'M'P' = 900  MN = NP = PQ = MQ & NMP = 900  MNPQ hình vng d) Biện luận www.thuvienhoclieu.com 85 www.thuvienhoclieu.com Bài tốn có nghiệm hình Các phương pháp khác Các phương pháp dựng hình khơng thể đầy đủ Vì phải tìm tịi, sáng tạo phương pháp tích cực khác Những phương pháp hình thành làm tốn dựng hình sở vận dụng, phân tích tổng hợp phương pháp cách thông minh linh hoạt Bài tập dựng hình Cho hai đường tròn (O1, R1) (O2, R2) phương  Dựng đoạn AB = a song song với  cho A  (O1, R1), B  (O2, R2) Cho hai đường tròn (O1, R1) (O2, R2) đường thẳng d Dựng hình vng ABCD cho A  (O1, R1), C  (O2, R2); B, D  d Dựng  cho diện tích diện tích  cho trước Cho hai điểm A, B nằm phía với đường thẳng d Dùng đường tròn qua A, B tiếp xúc với d Cho hai điểm A, B  đường thẳng d cho trước Dựng đường tròn qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng d Dựng hai đường thẳng qua A chia hình bình hành thành phần diện tích Cho ABC, dựng đường thẳng song song với BC chia ABC thành hai phần có diện tích Cho đường tròn (O, R) hai điểm A, B  (O, R) đoạn thẳng biết l Dựng hai dây cung song song qua A B cho tổng chúng l Cho điểm A (O, R) Dựng cát tuyến qua A cắt (O, R) B C cho AB = BC 10 Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định Dựng  MNP thoả mãn: M & P  (O); N  AB MN  AB www.thuvienhoclieu.com 86 86 www.thuvienhoclieu.com 11 Cho hình vng ABCD có giao điểm hai đường chéo dựng ảnh điểm A, B, C, D phép quay tâm O góc 450 ngược chiều kim đồng hồ 12 Dựng hình vng nội tiếp đường trịn bán kính R, dựng lục giác tam giác nội tiếp đường trịn bán kính R CHUN ĐỀ : TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC 1.Nhắc lại kiến thức -Đường trung tuyến tam giác:Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC ) tam giác ABC.Đường thẳng AM gọi đường trung tuyến tam giác ABC Mỗi tam giác có đường trung tuyến -Tính chất đường trung tuyến tam giác: Định lý: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm ,điểm ccahs đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh www.thuvienhoclieu.com 87 87 www.thuvienhoclieu.com Điểm gọi trọng tâm tam giác 2.Ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A có AB = AC= 34cm, BC = 32cm Kẻ đường trung tuyến AM Chứng minh : AM vng góc BC Tính AM GIẢI *Phân tích tốn: a) để chứng minh AM vng góc với BC ta cần chứng minh ˆ  AMB ˆ  900 AMC Ta sử dụng giả thiết cho để chứng minh góc nhau,đồng thời góc lại kề bù +tam giác ABC cân +AM đường trung tuyến b) Để tìm độ dài AM,ta cần gắn vào tam giác AMC chứng minh tam giác AMC vng vì: +sử dụng giả thiết cho để chứng minh tam giác AMB=tam giác AMC ˆ  AMC ˆ  AMB + góc AMB AMC kề bù ˆ  AMC ˆ = 900  AMB Áp dụng định lý pitago tam giác vuông AMC để tính AM AM vng góc BC : Xét ΔAMB ΔAMC, ta có : AB =AC (gt) MB = MC (AM đường trung tuyến) AM cạnh chung => ΔAMB = ΔAMC (c – c – c) www.thuvienhoclieu.com 88 88 www.thuvienhoclieu.com => Mà : (hai góc kề bù) => Hay AM BC 2.Tính AM : Ta có : BM = BC : = 16cm (AM đường trung tuyến) Xét ΔAMB vng M ta có : AB2 = AM2 + BM2 (pitago) 342 = AM2 + 162 =>AM = 30cm Ví dụ 2:Cho tam giác DEF cân D có đường trung tuyến DI a) Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI b) Các góc DIE góc DIF góc ? c) DE = DF = 13cm, EF = 10cm Tính DI Giải  Phân tích tốn: a) Để chứng minh tam giác DEI=DFI Ta nhận thấy tam giác theo trường hợp c-c-c Sử dụng giả thiết cho để chứng minh b) Từ chứng câu a ta có : góc DIE=DIF Lại nhận thấy góc kề bù,từ ta sử dụng để chứng minh góc hai góc vuông c) Ta sử dụng giả thiết DI đường trung tuyến www.thuvienhoclieu.com 89 89 www.thuvienhoclieu.com  EI=IF Mặt khác sử dụng định lý pitago chứng câu b Từ tìm độ dài cạnh DI  a) Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI Xét ΔDEI ΔDFI, ta có : DE = DF (gt) IE = IF ( DI trung tuyến) DI cạnh chung => ΔDEI = ΔDFI (c – c – c) b) Các góc DIE góc DIF : (ΔDEI = ΔDFI) Mà : (E, I,F thẳng hàng ) => c) tính DI : IE = EF : = 10 : = 5cm Xét ΔDEI vuông I, ta có : DE2 = DI2 + IE2 => DI2 = DE2 – IE2 =132 – 52 = 144 => DI = 12cm Ví dụ 3:Cho tam giác ABC vng A, đường trung tuyến AM Trên tia đối MA lấy điểm D cho MD = MA a) Tính số đo góc ABD b) Chứng minh : ABC = BAD c) So sánh độ dài AM BC Giải  Phân tích tốn: a) Để tính số đo góc ABD ta cần tính tổng Bˆ1  Bˆ Sử dụng giả thiết tam giác ABC vng A ta có Bˆ1  Cˆ  900 Sử dụng giả thiết cạnh để chứng minh tam giác AMC =BMD www.thuvienhoclieu.com 90 90 www.thuvienhoclieu.com    b) c) Bˆ  Cˆ Bˆ1  Bˆ  900 ˆ  900 ABD Sử dụng câu b để chứng minh(AC=BD) Để so sánh AM BC ta so sánh AM AD( AD=BC) GIẢI a) Tính số đo góc ABD b) Xét ΔAMC ΔDMB, ta có : MA = MD (gt) (đối đỉnh) MC = MB (gt) => ΔAMC = ΔDMB => (góc tương ứng); Mà : (ΔABC vuông A) => Hay b)Chứng minh : ABC = BAD Xét ABC BAD, ta có : AB cạnh chung AC = BD (AMC = ΔDMB) => ΔABC =Δ BAD c)So sánh độ dài AM BC : AM = AD (gt) Mà : AD = BC (ΔABC =Δ BAD) => AM = BC 3.Bài tập áp dụng: BÀI : Hai đường trung tuyến AD BE tam giác ABC cắt G kéo dài GD thêm đoạn DI = DG Chứng minh : G trung điểm AI www.thuvienhoclieu.com 91 91 www.thuvienhoclieu.com 92 BÀI : Trên đường trung tuyến AD tam giác ABC, lấy hai điểm I G cho AI = IG = GD Gọi E trung điểm AC Chứng minh B, G, E thẳng hàng so sánh BE GE CI cắt GE O điểm O tam giác ABC chứng minh BE = 9OE BÀI : Cho tam giác ABC vuông A có AB = 8cm, BC = 10cm lấy điểm M cạnh AB cho BM = 4cm lấy điểm D cho A trung điểm DC Tính AB Điểm M tam giác BCD Gọi E trung điểm BC chứng minh D, M, E thẳng hàng BÀI 4: Giả sử hai đường trung tuyến BD CE tam giác ABC có độ dài cắt G Tam giác BGC tam giác ? So sánh tam giác BCD tam giác CBE Tam giác ABC tam giác ? BÀI 5:Cho tam giác ABC vng A có AB = 8cm, BC = 10cm lấy điểm M cạnh AB cho BM = 16/3cm lấy điểm D cho A trung điểm DC Tính AC Điểm M tam giác BCD Gọi E trung điểm BC chứng minh D, M, E thẳng hàng D CHỦ ĐIỂM 2: TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC 1.Nhắc lại kiến thức -Định lý 1: Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc x B t O www.thuvienhoclieu.com 92 www.thuvienhoclieu.com A 93 y -Định lý 2: (định lý đảo) Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc x 2.Các dạng tập Dạng 1:chứng minh tia tia phân giác góc t Cách giải: chứng minh tia Ot tia phân giác góc xOy + Cách 1: chứng minh: O y Tia Ot nằm tia Ox Oy ˆ  tOy ˆ xOt + Cách 2: Chứng minh ˆ  tOy ˆ  xOy ˆ xOt ˆ  1300 ; xOt ˆ  650 Ví dụ :Trên nửa mặt phẳng chứa tia Ox,vẽ tia Oy,Ot cho xOy ˆ Chứng minh : Ot tia phân giác xOy *Phân tích tốn: Để chứng minh Ot tia phân giác góc xOy ta cần áp dụng cách chứng minh ta sử dụng cách chưa có điều kiện tia Ot nằm Ox Oy t Chứng minh: x Trên nửa mặt phẳng bở chứa tia Ox ˆ  xOy ˆ (650  1300 ) Ta có: xOt www.thuvienhoclieu.com 93 y www.thuvienhoclieu.com 94 =>tia Ot nằm Ox Oy (1) ˆ  tOy ˆ  xOy ˆ => xOt ˆ  1300 ; xOt ˆ  650 (gt) Thay xOy ˆ  1300 Ta được: 650  tOy ˆ  1300  650 => tOy ˆ  650 => tOy ˆ  tOy ˆ (2) xOt ˆ  650 ( gt ) Mà xOt O ˆ Từ (1)và (2)=> Ot tia phân giác xOy DẠNG 2: Sử dụng tính chất tia phân giác góc để giải tốn khác ˆ  300 ; xOz ˆ  1200 Ví dụ: tia Oy Oz nằm nửa mặt phẳng có bở tia Ox xOy ˆ Om tia phân giác xOy ˆ On tia phan giác yOz ˆ ˆ Tính yOz mOn Giải: *Phân tích tốn: Sử dụng tính chất kề bù tia phân giác góc để tính góc ˆ  yOz ˆ  xOz ˆ (vì tia Oy nằm Ox Oz) Ta có: xOy ˆ  300 ; xOz ˆ  1200 (gt) Thay xOy ˆ  1200 ta được: 300  yOz z ˆ  1200  300 hay yOz ˆ  900  yOz ˆ ? b)Tính mOn ta có: ˆ  mOy ˆ  xOy ˆ  300  150 xOm 2 ˆ ) (vì Om tia p/g xOy n y m O Lại có: ˆ  nOz ˆ  yOz ˆ  900  450 yOn 2 ˆ ) (vì On tia p/g yOz www.thuvienhoclieu.com 94 x www.thuvienhoclieu.com ˆ  mOy ˆ  yOn ˆ (vì tia Oy nằm Om On) Mà mOn ˆ  150 ; yOn ˆ  450 ta được: Thay mOy ˆ  150  450  600 mOn 3.Bài tập áp dụng BÀI :Cho hình thoi ABCD Trên tia đối tia CD lấy điểm E, gọi F giao điểm AE BC Đường thẳng song song AB kẻ từ F cắt BE P Chứng minh CP phân giác góc CBE BÀI :Cho hình bình hành ABCD phân giác góc A cắt đường chéo BD E phân giác góc B cắt đường chéo AC F Chứng minh : EF // AB BÀI :Cho tam giác ABC có AB = 4cm, BC = 6cm, CA = 8cm Đường phân giác AD BE cắt I Tính : BD CD BÀI 4:Gọi G trọng tâm tam giác ABC chứng minh : IG // BC tính IG cho tam giác ABC có AB= 5cm, AC = 6cm BC =7cm Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC E Tính EB EC ˆ  1000 Gọi Ot tia phân giác góc BÀI 5:Vẽ hai góc kề bù xOy,yOx’,biết xOy xOy,Ot’là tia phân giác góc x’Oy ˆ ; xOt ˆ '; tOt ˆ ' Tính x ' Ot Chủ điểm 6: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG 1.Kiến thức cần nhớ www.thuvienhoclieu.com 95 95 www.thuvienhoclieu.com 96 +Định lý 1(định lý thuận):điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai đầu mút đoạn thẳng + Định lý 2(định lý đảo): điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng Nhận xét: Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng Ứng dụng: Ta vẽ đường trung trực đoạn thẳng AB thước compa sau: -Lấy A làm tâm vẽ cung tròn bán kính lớn AB -Lấy B làm tâm vẽ cung trịn có bán kính cho hai cung trịn có điểm chung ,gọi C D -Dùng thước vẽ đường thẳng CD Đường thẳng CD đường trung trực đoạn thẳng AB 2.Các dạng tập Dạng 1: Chứng minh đường thằng đường trung trực đoạn thẳng Cách giải: Cách 1:chứng minh đường thẳng vng góc với đoạn thẳng tai trung điểm đoạn thẳng Cách 2: chứng minh điểm thuộc đường thẳng cách đầu mút đoạn thẳng Ví dụ 1:cho tam giác ABC cân đỉnh C,tam giác ABD cân đỉnh D Chứng minh CD đường trung trực đoạn thẳng AB Giải: *Phân tích tốn: để chứng minh CD đường trung trực AB Ta chứng minh C D nằm đường trung trực đoạn thẳng AB Tam giác ABC cân đỉnh C (gt) A => CA=CB =>C nằm đường trung trực đoạn thẳng AB Tương tự D nằm đường trung trực đoạn thẳng AB =>CD đường trung trực đoạn thẳng AB www.thuvienhoclieu.com 96 C B D www.thuvienhoclieu.com 97 Dạng 2: sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng để giải tốn khác Ví dụ 1:Tam giác ABC cân A Đường trung trực cạnh AC cắt AB D Biết ˆ CD tia phân giác góc ACB ,Tính góc tam giác ABC A Giải: Ta có: DA=Dc => tam giác ADC cân D ˆ ˆ ˆ ˆ  A  C => C  A (1) ˆ ˆ Tam giác ABC cân A => C  B (2) D S ˆ ˆ ˆ Tam giác ABC có A  B  C  180 (3) ˆ Từ 1,2,3 suy A  36 Bˆ  Cˆ  720 B 3.Bài tập áp dụng BÀI : Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH Vẽ điểm D, E cho đường AB, AC lần lược đường trung trực DH, EH Chứng minh tam giác ADE tam giác cân Đường thẳng DE cắt AB, AC M N chứng minh tia HA phân giác góc NHM Chứng minh : BÀI : Cho tam giác ABC cân A hai tia phân giác góc B C cắt I Chứng minh tam giác BIC cân I Chứng minh AI đường trung trực BC BÀI : www.thuvienhoclieu.com 97 C www.thuvienhoclieu.com Cho tam giác ABC cân A gọi M trung điểm BC hai đường trung trực AB AC cắt D chứng minh : DB = DC A, M, D thẳng hàng BÀI 4: Cho d đường trung trực AC Lấy điểm B cho A B bên đường thẳng d BC cắt d I điểm M di động d So sánh MA + MB với BC Tìm vị trí M d để MA + MB nhỏ BÀI : Cho tam giác ABC, tia đối tia BC lấy điểm M cho BM = AB tia đối tia CB lấy điểm N cho CN = AC Vẽ đường cao BH tam giác ABM đường cao CK tam giác ACN, hai đường cao cắt O chứng minh : Điểm O nằm đường trung trực MN AO phân giác góc BAC www.thuvienhoclieu.com 98 98