I Các phương pháp dựng hình
1. Dựng hình bằng phương pháp tương giao
Mọi hình đều được xác định bởi một số hữu hạn điểm nên bài tốn có thể quy về dựng vài điểm nào đó gọi là điểm chốt. Giải một bài tốn dựng hình bằng phương
pháp quỹ tích tương giao nghĩa là quy về xác định một điểm thoả mãn hai điều kiện 1 và 2. Ta tạm bỏ điều kiện 2 và tìm quỹ tích những điểm thoả mãn điều kiện 1. Quỹ
tích này là hình H1. Sau đó ta tạm bỏ điều kiện 1 và tìm quỹ tích thoả mãn điều kiện 2.
Quỹ tích này là hình H2. Qua đó một điểm thoả mãn cả hai điều kiện 1 và 2 phải là
giao của hình H1 và H2.
Ví dụ áp dụng
Bài tốn 1
Dựng ABC biết B = < 900, đường cao BH và đường cao AD
Bài giải a) Phân tích
Giả sử ABC đã dựng được.
vuông ABD là dựng được ta chỉ cần dựng điểm C.
Muốn vậy ta phải đi dựng điểm H: H giao của hai đường tròn đường kính AB
và đường trịn tâm B bán kính BH C = AH BD
b) Cách dựng
- Dựng ABD vuông tại D sao cho ABD < 900
HA A B C D H A
www.thuvienhoclieu.com 77
và AD cho trước.
- Dựng điểm H là giao điểm của hai đường trịn: (B,BH)
và đường trịn đường kính AB (BH cho trước).
- Dựng điểm C là giao của BD và AH ABC là ta cần dựng.
c) Chứng minh
ABD = < 900 (cách dựng)
AD là đường cao có độ dài cho trước (cách dựng) BH bằng đoạn cho trước (cách dựng)
ABC thoả mãn yêu cầu của đề bài
d) Biện luận
Bài tốn ln có nghiệm Bài tốn có một nghiệm Bài tốn 2
Dựng hình bình hành ABCD biết 2 đỉnh đối diện A và C còn 2 đỉnh B và D thuộc một đường tròn (O,R) cho trước.
Bài giải: a) Phân tích
Giả sử đã dựng được hình bình hành thoả mãn điều kiện của đề bài là ABCD. Nếu I là giao điểm của 2 đường chéo của ABCD thì: I AC và IA = IC, I BD và
IB = ID; B, D (O,R) OI BD
b) Cách dựng
- Dựng I là trung điểm của AC - Dựng đường thẳng qua I và OI cắt (O) tại B và D I O C B A D
www.thuvienhoclieu.com 78
c) Chứng minh
OI BD IB = ID
IA = IC (cách dựng); B, D (O,R) (cách dựng) AIB = DIC (c.g.c) ABI = IDC AB//CD ABCD là hình bình hành thoả mãn đầu bài.
d) Biện luận
Bài tốn có nghiệm khi điểm I ở trong đường tròn (O) khi đó bài tốn có 1 nghiệm.
Bài tốn 3:
Cho đường trịn C(O,R) và điểm A đường thẳng d. Dựng đường tròn tiếp xúc
với C(O,R) và tiếp xúc với d tại A.
Bài giải: a) Phân tích
Giả sử đã dựng được (O',R') tiếp xúc với (O,R) và tiếp xúc với d tại A O' p
là đường thẳng qua A và với d. Dựng điểm E sao cho O'E = O'O (AE = R). O' nằm trên đường trung trực của OE
O' là giao của đường trung trực của OE & p
b) Cách dựng
- Dựng đường thẳng p d tại A - Dựng điểm E p sao cho AE = R - Dựng đường trung trực của
OE là q, q p O' - Dựng đường tròn (O',O'A) Đó là đường trịn cần dựng P O’ d A O E
www.thuvienhoclieu.com 79
c) Chứng minh
(O',O'A) tiếp xúc với d tại A (cách dựng)
Nối O với O'. Vì O' đường trung trực của OE OO' = O'E
Mà O'E = O'A + AE OO' = OA + AE = O'A +R (O,R) & (O',O'A) tiếp xúc với nhau
(O') là đường tròn cần dựng
d) Biện luận
Trên p có thể lấy E1 ở trong đường tròn (O') sao cho AE1 = R. Vậy bài tốn có 2
nghiệm hình.