7 chuyên đề 7 đường tròn và góc

Chun đề ĐƯỜNG TRỊN VÀ GĨC TỔNG QUAN VỀ CHUN ĐỀ Tùy theo vị trí với đường trịn mà góc có nhiều tên gọi mới: góc tâm, góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến với dây, góc có đỉnh hay ngồi đường trịn Quan hệ góc với đường trịn giúp chứng minh nhiều quan hệ hai góc cơng cụ hữu ích giải tốn Quan hệ góc đường trịn cịn thể khái niệm cung chứa góc Sử dụng cung chứa góc, ta chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn, nhờ áp dụng nhiều kiến thức học đường trịn vào tốn BÀI TỐN THỰC TẾ NGƠI SAO NĂM CÁNH Ngơi năm cánh quốc kì Việt Nam hình quen thuộc Bạn nghĩ đến góc nhọn x cánh góc tù y hai cánh (h.77) độ chưa? Giải (h.78) Vẽ đường tròn qua đỉnh năm cánh sao, ta có số đo cung AB, BC , CD, DE , EA o o 360 : 72 Theo tính chất góc nội tiếp, ta có x sd AB 72o : 36o Theo tính chất góc có đỉnh bên đường trịn, ta có y   sdCD  sd BE 72o.2  72o  108o 2 I GÓC TẠO BỞI HAI CÁT TUYẾN (HOẶC TIẾP TUYẾN) CỦA ĐƯỜNG TRỊN Số đo góc nội tiếp, số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây nửa số đo cung bị chắn Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn Số đo góc có đỉnh bên đường trịn nửa tổng số đo hai cung bị chắn hai cạnh góc tia đối hai cạnh (trường hợp đặc biệt: số đo góc tâm số đo cung bị chắn) Ví dụ 60 Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  , trực tâm H Gọi I trung điểm cùa AH, M trung  điểm BC Tia phân giác cùa góc BAC cắt IM K Chứng minh AKH 90 Giải (h.79) Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp ABC Vẽ bán kính OD qua M D điểm cung BC nên A, K , D thẳng hàng Để chứng minh bổ đề OM  AH Tứ giác AOMI có AI // OM , AI OM nên hình bình hành   OA // MI  A1 K      o  Kết hợp với A1 D  A2 nên K1  A2  IK IA IH Vậy AKH 90 Ví dụ 61 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác góc A cắt BC D cắt đường tròn (O) M (khác A) Kẻ tiếp tuyến AK với đường trịn vng góc với AM Giải (h.80) A  A  M ; MB  , K tiếp điểm Chứng minh DK     mà A2 B1 (góc nội tiếp) nên A1 B1 MBD MAB (g.g)  MD MB MD MK    MB MA MK MA   Kết hợp với DMK KMA ta có DMK KMA (c.g.c)    MDK MKA 90 Vậy DK  AM  Ví dụ 62 Tính góc A tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết IOK 90 , dó I tâm đường trịn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A Giải (h.81) Gọi D giao điểm đoạn IK đường tròn (O) DB  IK IBK vng B có DB DI (dễ chứng minh) nên DI DK (1) OD  IK IOK vng O có DI DK nên (2) Từ (1) (2) suy BD OD OB   BOD  BOD 60  BAC 60  AB  AC  nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm cùa tam Ví dụ 63 Cho tam giác nhọn ABC giác ABC, K giao điểm thứ hai AH với đường trịn (O) Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt BC I Chứng minh IK tiếp tuyến đường tròn (O) Giải (h.82)    Dễ chứng minh H đối xứng với K qua BC, suy K H1 H (1)     Ta lại có K1  A1 nên K1 phụ H (2)   Từ (1) (2) suy K phụ K1 Vậy IK tiếp tuyến đường trịn (O) Ví dụ 64 Cho tam giác ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn (O), đường trung tuyến AM Lấy điểm     D cung BC không chứa A cho BAD CAM Chứng minh ADB CDM Giải (h.83) A  A  B  AM DAC    , lại có ABM  ADC (góc nội tiếp) nên ABM ADC (g.g) BA BM MC   AD DC CD     Kết hợp với A1 C1 suy BAD MCD (c.g.c)  ADB CDM  Ví dụ 65 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi C trung điểm OB Gọi D, E điểm   thuộc nửa đường tròn cho ACD BCE  90 Biết CD  CE a Tính DE theo a Giải (h.84) Trên CD lấy K cho CK CE DK CD  CK CD  CE a Kéo dài DC cắt đường tròn (O) I    EOB  sd EI D  C  C   E C l Ta có đối xứng với I qua AB (1) o   180  C4 C   DKE    K OCE ECK cân (bù với hai góc trên) (2) Từ (1) (2) suy DKE OCE (g.g) DE OE OB   2 DK OC OC Vậy DE 2 DK 2a o  o  Ví dụ 66 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có bán kính 1dm , B 45 , C 15 Tính dộ dài AC , BC , AB diện tích tam giác ABC Giải (h.85)  45o  AOC 90o  AC OC   dm  B   Kẻ OM  BC o o o    Ta có C2 C  C1 45  15 30  MC OC.cos 30o   BC   dm   Kẻ AH  BC Đặt HC  x, HB  y x  y  2 2 2 Ta có HC  HB HC  HA  AC 2 nên x  y 2 (1) (2) Từ (1) (2) suy xy  x  y    x  y  3  1 Từ (2) (3) suy  x  y Từ (1) (4) suy y (3)  x  y  xy 2  1  x  y 1 (4) 3 6 AB  y   dm   dm  2 Do 1 3 3 S ABC  BC AH   dm   2  Ví dụ 67 Cho đường trịn (O; R), hai đường kính AB CD vng góc với Gọi K trung điểm OC Gọi M giao điểm thứ hai BK với đường tròn (O), I giao điểm MD AB Tính diện tích : a) Tam giác MAB; b) Tam giác MIK Giải (h.86) MA OK tan B   AMB 90 , BOK  90 nên MB OB a)  AB 2MA 2R 4R 4R  MA  , MB  , S MAB  2 (1) 5 Từ  MA  MB 4 R dễ dàng tính IA MA MAB    IB MB Lại có IA  IB 2 R nên dễ dàng tính b) MI đường phân giác IB  4R S KIB 1 4R R R2  IB.KO   2 3 (2) 1 4R2 4R2 AI  AB  S MAI  S MAB   3 15 Từ (1), (2) (3) suy (3) 4R R2 R2 R    15 Ví dụ 68 Cho đường tròn (O) hai điểm H, I nằm đường trịn, I trung điểm cùa OH S MIK S MAB  S KIB  S MAI  Dựng tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) nhận H làm trực tâm AI tia phân giác góc BAC Giải (h.87) Phân tích: Kẻ đường kính AE Gọi K giao điểm AH với đường trịn Ta có      CK  BC // EK nên BE , suy A1  A2 , A3  A4 AO IO  1 A  A AOH có nên AH IH Suy AI  OH Cách dựng  Dựng đường trung trực OH, cắt đường tròn A  Dựng giao điểm K AH đường tròn  Dựng dây BC đường trung trực HK Ví dụ 69 Cho tam giác ABC vng cân A, điểm D di chuyển cạnh BC Gọi I K theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB ADC a) Chứng minh tứ giác AIDK hình vng b) Tìm vị trí điểm D để hình vng AIDK có diện tích nhỏ Giải (h.88) a) Theo liên hệ góc nội tiếp góc tâm, ta có AID 2 B  2.45 90 AKD 2C  2.45 90 , Suy   IAK  IDK 360   90  90  180   Ta lại có IAK IDK (c.c.c)  IAK IDK 90 Hình chữ nhật AIDK có IA ID nên hình vng 1 S AIDK  AD.IK  AD  AH 2 2 b) (AH đường cao ABC ) S AIDK  AH  D trung điểm BC Ví dụ 70 Cho tam giác ABC cân A Gọi (O) đường tròn qua A tiếp xúc với BC B Gọi (O') đường tròn tiếp xúc với AB B tiếp xúc với AC C Gọi I giao điểm (khác B) hai đường tròn Chứng minh CI qua trung điểm AB Giải (h.89)   Gọi M giao điểm CI AB Ta có C1 B1 góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến với dây chắn      cung BI (O’) C1 B1 Xét MBI MCB có M góc chung, B1 C1 nên MBI MCB (g.g)  MB MI   MB MI MC MC MB (1)   Ta có A1 B2 (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến với dây (O))   Mặt khác, B2 C2 (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến với dây (O’)) nên MAI MCA (g.g) MA MI   MA2 MI MC MC MA (2) Từ (1) (2) suy MA MB  Vậy CI qua trung điểm AB   Ví dụ 71 Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Các điểm E F thuộc đoạn AD cho ABE CBF   Chứng minh ACE BCF Giải (h.90) Giả sử E nằm A F Vẽ đường tròn ngoại tiếp BFC cắt AD K AB AE    B  K  B nên ABE AKC (g.g) AK AC Ta có   ABK  AEC (c.g.c)  K C1     Ta lại có K C2 nên C1 C2 (đpcm)     Ví du 72 Cho tam giác nhọn ABC Dựng điểm M tam giác cho MAC MBA MAB MCA Giải (h.91)    AMB  Phân tích: MAC MBA  AC tiếp tuyến đường tròn   MAB MCA  AB tiếp tuyến đường tròn (AMC) Cách dựng:  Dựng đường tròn (I) qua B tiếp xúc với AC A (I giao điểm đường vng góc với AC A đường trung trực AB)  Dựng đường tròn (K) qua C tiếp xúc với AB A Giao điểm khác A hai đường tròn điểm M phải dựng Ví dụ 73 Cho tam giác ABC cạnh a, nội tiếp đường tròn (O), điểm D di chuyển cạnh BC Gọi F giao điểm thứ hai AD với đường trịn (O) Tìm vị trí điểm D để tích bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BDE , CDE có giá trị lớn Giải (h.92) Gọi  I; x , K; y   BIH BED 60 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE , CDE Kẻ HI  BC , ta có BH IBsin60   BH  x  BD  x  x  y Tương tự x BD CD BD.CD xy  nên a2 a2  BD  CD  BD.CD    xy   12   Ta lại có a2 max  xy    BD CD  D 12 trung điểm BC  Ví dụ 74 Cho hai đường trịn (O), (O’) cắt A B cho OAO ' 90 Gọi C điểm đường tròn (O’) Các đường thẳng CA, CB cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D, E Chứng minh DE đường kính đường trịn (O) Giải (h.93) Gọi số đo cung DE không chứa A m, số đo cung nhỏ AB đường tròn (O) n Xét hai trường hợp: - Trường hợp C ngồi đường trịn (O) (h.93a) Theo tính chất góc có đỉnh ngồi đường trịn ta có: ACB  m  n  m 2 ACB  n  AOB  AOB 180o  DE đường kính (O) Trường hợp C đường trịn (O) (hình 93b) Xét hai cung AB (O’), gọi số đo cung nằm (O) p, số đo cung cịn lại q Theo tính chất góc có đỉnh nằm đường trịn ta có mn   ACB   m 2ACB n  CB p 3600  q 2A Kết hợp với , suy   m (3600  q)  n 360  (q  n) 360  (AO'B  AOB) 360  180 180  DE đường kính (O) Ví dụ 75 Cho đường trịn (O), hai đường kính AB CD vng góc với nhau, điểm M thuộc cung nhỏ BC Gọi E giao điểm MA CD, F giao điểm MD AB Chứng minh rằng:   a) DEA ADF b) Khi M di chuyển cung nhỏ BC diện tích tứ giác AEFD khơng đổi Giải: (h.94)      sñAD+sñ CM  90  sñ CM E 2 a) (góc có đỉnh đường trịn)   sñCM   sñ AC 900  sñ CM  ADF   2 (góc nội tiếp)   Suy ra: E1 ADF (đpcm) DE AD    AF.DE=AD2 D1 A  (450 ) E1 ADF   DEA ∽  ADF(g.g) AD AF b) Ta có (câu a) nên 1 SAEFD  AF.DE  AD 2 Do khơng đổi II CUNG CHỨA GĨC Cung chứa góc áp dụng vào chứng minh: Nếu tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại hai góc bốn đỉnh tứ giác nằm đường trịn Cung chứa góc áp dụng vào quỹ tích: 0 Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng cố định góc  khơng đổi (    180 ) hai cung chứa góc  dựng đoạn thẳng Đặc biệt: Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định góc vng đường trịn đường kính AB Ví dụ 76 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, I điểm nửa đường trịn, điểm M thuộc cung AI Gọi H hình chiếu I AM, K giao điểm OH BM Chứng minh tứ giác IHMK hình vng Giải: (h.95)   Tứ giác AHIO có AHI AOI 90 nên A, H, I, O nằm đường trịn đường kính AH (*)       Suy O1 A1 Ta lại có A1 B1 (góc nội tiếp) nên O1 B1 , suy O, K, I, B thuộc đường tròn,  IKB IOB 900    Tứ giác IHMK có H M K 90 nên hình chữ nhật   Do (*) nên OHA OIA 45 Suy KHM vng cân Hình chữ nhật IHMK có MH = MK nên hình vng   Ví dụ 77 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), điểm D thuộc cung nhỏ BC ( BD  BC ) Vẽ dây DE // BC, dây BI  AE H Gọi K giao điểm ID với AC Chứng minh HK // BC Giải (h.96)  I1 C (góc nội tiếp) (1)       DE // BC  BD CE  I A1  A, H, I, K thuộc đường tròn  AKH I1 (2)   Từ (1) (2) suy C AKH , lại vị trí đồng vị nên HK // BC  Ví dụ 78 Cho ABC vng A, điểm I thuộc đường trung tuyến AM Tia phân giác IBC cắt AC E Gọi K hình chiếu E lên BI Chứng minh AIK cân Giải (h97)  C  AMC cân M  A (1)      Tứ giác BAKE có BAE BKE 90 nên B, A, K, E thuộc đường trịn đường kính BE  A B1 B2 (2)       Từ (1) (2) suy KAI A1  A C  B2 AEB (3)     Do B, A, K, E thuộc đường tròn nên AKB AEB , tức AKI AEB (4)   Từ (3) (4) suy KAI AKI  AIK cân I Ví dụ 79 Cho đường trịn (O), đường kính AB vng góc với dây CD M Gọi E điểm thuộc cung nhỏ AC, I trung điểm BE, H hình chiếu A lên DE Chứng minh rằng: a) DHM ∽ BEC b) IC = IH Giải (h.98)   a) A, H, M, D thuộc đường trịn đường kính AD  H1 A1 (1)     Do AB  CD nên BC BD suy E1 A1 (2)   Từ (1) (2) suy H1 E1   Ta lại có D1 B1 nên DHM ∽ BEC(g.g) b) Gọi K trung điểm HD Do MK CI đường trung tuyến tương ứng hai tam giác đồng   dạng nên K1 I1 (3)   MK đường trung bình HCD  MK / /CH  K1 H (4)     Từ (3) (4) suy I1 H  E, H, I, C thuộc đường tròn Xét đường tròn đó, E1 E nên IC = IH Ví dụ 80 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M điểm cung nhỏ AC Lấy điểm K thuộc cạnh BC cho gọi I giao điểm MK AC CI = BK Gọi D điểm cung nhỏ BC Chứng minh rằng:  a) DKM 120 b) CK = R Giải h.99)     a) DKB MCI có BK = CI (gỉả thiết), B1 C1 (30 ) , BD = CM (vì B D CM ) nên 0 0  M       DBK MCI(c.g.c)  D Do BCM ACB  C1 60  30 90 nên K1 90  M1 0 0  B  D  300  D 1        K nên K1  K 90  M1  30  D1 120 (vì D1 M1 ) tức DKM 120 (1)   b) Ta có DOM sñ DM 120 (2) Từ (1) (2) suy D, K, O, M thuộc đường tròn Đường tròn có tâm C, CD = CO = CM = R Suy CK = R Ví dụ 81 Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AH Gọi I, K theo thứ tự hình chiếu H lên AB, AC Biết diện tích tam giác AIK nửa diện tích tam giác ABC Tính AH Giải (h.100)     Tứ giác AIHK có AIH AKH 90 nên A, I, H, K thuộc đường trịn đường kính AH  I1 H1 Kết hợp      với H1 C1 (cùng phụ H ) suy I1 C1 SAIK AI  AI  AIK ∽ ACB(g.g)        SACB AC  AC  (1)      ) nên  AIH ∽  ACD(g.g) Kẻ đường kính AD Xét AIH ACD có I C 90 , H D ( B AI AH AH    AC AD 2R (2) AH   AH R 2 Từ (1) (2) suy 2R   Ví dụ 82 Cho ABC, B 35 , C 30 Lấy điểm K thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A cho   AKB 600 , AKC 70 Tính góc nhọn tạo AK BC Giải (h.101) Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp ABC Theo liên hệ góc nội tiếp góc tâm, ta có:   CB 2.30 60 , AOC   BC 2.350 70 0 AOB 2A 2A nên O giao điểm cung chứa góc 60 vẽ AB cung chứa góc 70 vẽ AC Do O K trùng 0    Gọi I giao điểm AK BC AKB cân K có AKB 60 nên KAB 60 tức IAB 60 0 0  Vậy AIB 180  (60  35 ) 85 Góc nhọn tạo AK BC 850 Ví dụ 83 Cho đường trịn (O), điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B tiếp điểm) Một đường thẳng chuyển động ln qua A cắt đường trịn (O) M N Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác BMN Giải (h.102) Phần thuận: Lấy C đối xứng với O qua MN Dễ chứng minh BH = OC Ta lại có BH // OC nên HBOC hình bình hành Vẽ hình bình hàng AOBK Dễ chứng minh AKHC hình bình hành nên KH = AC = AO Điểm H cách K cố định khoảng AO (đặt d) không đổi, nên H chuyển động đường tròn (K; d) Giới hạn: Khi AMN trùng với AB H trùng H1 ( H1 thuộc tia OB OH1 3OB ) Điểm H chuyển động cung H1H đường tròn (K; d), cung H1H nhận KB trục đối xứng Phần đảo: Bạn đọc tự giải Kết luận: Quỹ tích H cung H1H đường tròn (K: d) Lưu ý: Ta phát quỹ tích H nhờ phép tịnh tiến: H ảnh C phép tịnh tiến theo vectơ OB Quỹ tích C cung C1C2 đường tròn (A; AO) Tịnh tiến cung C 1C2 theo vectơ OB ta cung H1H (điểm K vẽ thêm ảnh điểm A phép tịnh tiến đó)  Ví dụ 84 Cho đường tròn (O; R), điểm A cố định có OA = 2R Dựng đường kính BC cho BAC 45 141 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, điểm C thuộc nửa đường tròn, D điểm cung AC Kẻ dây DE // AB Tiếp tuyến E cắt AB K Gọi I giao điểm DE AC Chứng minh DI = BK   142 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), điểm D E thuộc cạnh BC cho BAD CAE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tiếp xúc với đường trịn (O) 143 Cho hình vng ABCD Vẽ hình vng cung AC đường trịn (B; BA) Qua điểm M thuộc cung đó, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (B: BA) cắt AD DC theo thứ tự E F a) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Chứng minh IEF ∽ MC b) Chứng minh SDEF  SMCA 144 Cho đường trịn (O), điểm A nằm ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B C tiếp điểm) Dựng điểm M thuộc đường tròn (O) cho tổng khoảng cách từ M đến AB AC gấp đôi khoảng cách từ M đến BC Góc có đỉnh trong, ngồi đường trịn  O  Các đường phân giác góc A, B, C cắt I Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn cắt đường tròn ngoại thứ tự D, E , F Chứng minh I trực tâm tam giác DEF 145  O  , điểm D thuộc cung AB Kẻ dây DE vng góc với OA 146 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Gọi M giao điểm BD CA , N giao điểm BA CE Chứng minh MN song song với DE  O; R  , dây AC BD vng góc với điểm I nằm đường tròn ( O 147 Cho đường tròn nằm tam giác CID ) Chứng minh tam giác AOB COD có diện tích Cung chứa góc  O  đường kính AB, bán kính OC vng góc với AB, điểm D thuộc cung AC Các 148 Cho nửa đường tròn tiếp tuyến với đường tròn A D cắt E Gọi H hình chiếu E OC Chứng minh ba điểm D, H, B thẳng hàng  149 Cho tam giác nhọn ABC có A  , điểm I nằm tam giác Gọi D, E, F theo thứ tự hình chiếu   I BC, CA, AB Tính hiệu BIC  EDF 150 Cho tam giác ABC (AB < AC), I giao điểm tia phân giác góc B C Gọi D hình chiếu I AB, E hình chiếu I AC Các đường thẳng BI, CI cắt DE theo thứ tự K,G Gọi M trung điểm BC Chứng minh MG = MK  O   O ' cắt A B Kẻ tiếp tuyến chung CD hai đường tròn, 151 Cho hai đường tròn C   O  , D   O '  O  tiếp xúc với đường tròn  O ' Vẽ dây , B gần CD A Vẽ dây BE đường tròn  O ' tiếp xúc với đường tròn  O  Gọi I giao điểm CB DF, K giao điểm BF đường tròn DB CE Chứng minh năm điểm A, C, D, I, K thuộc đường tròn 152 Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, điểm D thuộc tia đối tia BA Đường vng góc với AD D cắt AC E Trên tia AC lấy điểm F cho AF = CE Gọi K hình chiếu F BC Chứng minh bốn điểm D, B, H, K thuộc đường tròn    153 Tứ giác ABCD có A C 90 , D 135 Biết BD = cm, tính AC 154 Cho đường trịn (O), D điểm cung nhỏ BC Điểm A thuộc cung lớn BC (A C nằm phía OD) Gọi M giao điểm OD BC Đường thẳng qua M song song với DA cắt  BA F Vẽ hình bình hành CMFK Chứng minh DAK 90 Hướng dẫn: Vẽ đường kính DOE Chứng minh ba điểm K, A, E thẳng hàng 155 Cho đường trịn (O), dây BC khơng qua O Điểm A chuyển động cung lớn BC Vẽ đường tròn (I) qua B tiếp xúc với AC A Vẽ đường tròn K qua C tiếp xúc với AB A Gọi D giao điểm thứ hai hai đường tròn (I) (K) Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, D, O, C thuộc đường tròn b) Đường thẳng AD qua điểm cố định 156 Cho hai đường thẳng song song a b Điểm A cố định thuộc đường thẳng a, điểm B di chuyển đường thẳng b Đường vng góc với AB B cắt đường thẳng a C Trên nửa mặt phẳng khơng chứa B   có bờ a, vẽ tia Cx cho ACx 2 BAC Tìm quỹ tích hình chiếu H A đường thẳng Cx 157 Cho đường trịn (O; R), điểm A nằm ngồi đường tròn, OA = 2R Điểm M di chuyển đường trịn Tia phân giác góc AOM cắt AM D Tìm quỹ tích điểm D 158 Cho đường trịn (O), dây AB, C điểm cung nhỏ AB Điểm M di chuyển đoạn thẳng AB Vẽ dây CD qua M Gọi (I), (K) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD, BMD Gọi N trung điểm IK Tìm quỹ tích N  159 Dựng tam giác ABC, biết A  , đường cao AH = h, chu vi d 160 Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển nằm A B Vẽ phía AB hình vng AMCD, BMEF Gọi K giao điểm đường tròn ngoại tiếp hai hình vng a) Điểm K di chuyển đường ? b) Chứng minh đường thẳng KM ln qua điểm cố định c) Tìm vị trí điểm M để độ dài KM lớn LỜI GIẢI, CHỈ DẪN, ĐÁP SỐ Chuyên đề ĐƯỜNG TRỊN VÀ GĨC 120 (h.277)   Kẻ đường kính DE CE //AB  AC BE BD  AC BD  BE DE 4R 2 Tương tự AD  BC 4 R 2 2 Vậy BD  AC  AD  BC 8R 121 (h.278) a) Tâm I giao điểm OC đường trung trực CD      b) MA MB  OM  AB Ta có M C I1  ID //OM  I  tiếp xúc với AB D Vậy ID  AB nên   122 (h.279) Ta có D E 90 Đặt BD  x , DA  y , AE z , EC t   xy  zt  S  S  S ABD ACE lớn a) BCED lớn lớn Ta có xy  x  y AB z  t AC  zt   2 ; 2 Xảy ta đồng thời xy lớn (khi D điểm cung AB ) zt lớn (khi E điểm chúng cung AC ) b) Chu vi BCED lớn  x  y  z  t lớn  x  y Ta có 2  x  y  2 AB  x  y  AB x  y  z  t   AB  AC  Tương tự z  t  AC Suy Xảy đồng thời x  y lớn (khi D điểm cung AB ) z  t lớn (khi E điểm chúng cung AC )   123 (h.280) Gọi I giao điểm BC DK BDA BKA (bằng nửa số đo hai cung AB nhau)  BDK cân  đường cao BI đường trung tuyến  ID IK (1)  K   D 1 (cùng B1 ) , IDC IKE (g.c.g)  IC  IE (2) Từ (1), (2) CE  DK suy CDEK hình thoi  124 (h.281) Giả sử O nằm góc ACB (các trường hợp khác tương tự) Vẽ đường kính COE Ta có   A N   A     C 1 , nên C1  N  A1  A2 90 Suy OC  MN   125 (h.282) DB DC  OD  BC   Do A 60 nên COD 60 1 OI  OC  OD 2 Gọi I giao điểm OD BC OI  AH Dễ chứng minh (1) (2) Từ (1) (2) suy AH OD Tứ giác AHDO có AH OD , AH //OD nên hình bình hành, lại có OA OD nên hình thoi Vậy O đối xứng với H qua AD 126 (h.283) Lấy E đối xứng với B qua M AE //MC DE MD  ME MD  MB (1)      Sẽ chứng minh AD 2 DE Ta có D O , E1 M M nên ADE ∽ AOM (g.g)  AD OA OC   2 DE OM OM Từ (1) (2) suy (2) AD 2  MD  MB    O  , ta có OM  BC Do MDC 45 nên 127 (h.284) Gọi M giao điểm AD với  45  AOM 90 M 2 2 2 Kẻ đường kính AON Do AN //BC nên AB CN Do AB  AC CN  AC  AN 4 R    128 (h.285) Vẽ dây CE  AB Ta có M M 45 nên DME 90 MC  MD ME  MD DE (1) 2   Do C 45 nên DOE 90 Suy DE 2 R (2) 2 Từ (1) (2) suy MC  MD 2 R  O 129 (h.286) Kẻ đường kính OOK Gọi H tiếp điểm CD với OC OK   OCK ∽ OHD (g.g) OH OD  OC.OD OK OH 2 Rr 130 (h.287) Dễ chứng minh DC DI Gọi E trung điểm IC DE  IC IB IH r 2r     ID IE IC IC  IB.IC 2r ID IBH ∽ IDE (g.g)  O  , dễ chứng minh bổ đề K đối xứng với H qua BC 131 (h.288) Gọi K giao điểm AH  D  ngoại tiếp HBC đối xứng với đường tròn  O  qua BC , suy D đối xứng Do đường trịn với O qua BC Dễ chứng minh AH OD , lại có AH //OD nên AHDO hình bình hành, AD qua trung điểm OH Tương tự BE , CF qua trung điểm OH 132 (h.289) Gọi K trung điểm MC Ta có MI  IK  MK  MB MC  2 Hãy chứng minh MB  MC MA 133 (h.290) KN EG  Sẽ chứng minh KF KF KN HE CE   Ta có KF HF (do HE //KN ) BF (do CHE ∽ BHF ) (1) CE EG     ABD C BF KF Ta có , từ ECG ∽ FBK (g.g) (2) KN EG   KN EG Từ (1) (2) suy KF KF Tứ giác EGNK hình bình hành nên FE qua trung điểm GK 134 (h.291) IA.EF 1 S AEIF : S ABC  S AEIF  IA.EF S ABC  bc sin A bc sin A 2 a) Ta có , nên IA2 IA.IA  bc bc (1) (2) Từ (1) (2), ta thấy cần chứng minh EF IA sin A  O; R  Nếu AEF nội tiếp đường trịn , điều dựa vào bổ đề: EF 2 R sin A (Chứng minh bổ đề vào sau:   Kẻ đường kính EOK Tam giác EFK vuông nên EF EK sin K  AI sin A ) IA2 IB IC   1 ca ab b) Hệ thức lập bc 135.(h292) a)Gọi M giao điểm IK (O).hãy chứng minh MB=MI=MC=MK b)Từ · · câu a) suy BIK = BCK Kẻ KE ^ BC ta có D BIK : D ECK ( g g ) Þ KB KI = (1) KE KC Đặt MI=MB=MK =m,từ (1) suy KB.KKC=KL.KE=2mk.(2) · Kẻ đường kính BG BKG = 90 µ µ Kẻ KD ^ AB Ta có G = A1 Từ D MGB : D DAK ( g.g ) BG MB 2R m Rk Þ = Þ = Þ KA = (3) KA DK KA k m Từ (2) (3) suy KA.KB.KC=4Rk2 136.(h293) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp,gọi A’,B’,C’ tâm đường tròn bàng tiếp D ABC A ' F = R1 B ' K = R2 C ' H = R3 IE = r · Gọi giao điểm AA’,AB’ với (O) D,M.Ta có MAD = 90 nên D,O,M thẳng hàng.Gọi N giao điểm OD BC Ta có ND ^ BC Dễ chứng minh: ND = A ' F - IE R1 - r = 2 Þ R1 - r = ND Dễ chứng minh CH=BK(cùng nửa chu vi D ABC ) Þ BH = CK Þ NH = NK Þ MN đường trung bình hình thang B’C’HK Þ 2MN=B’K+C’H= R1 + R2 (2) Từ (1) (2) suy R1 + R2 + R3 - r = 2( MN + ND) = 2MD = R 137.(h294) AK BM CN + + AD BE CF AD + DK BE + EM CF + FN = + + AD BE CF DK EM FN = 3+ + + AD BE CF HD HE HF = 3+ + + AD BE CF a) HD HE HF + + =1 Sử dụng diện tích tam giác ,hãy chứng minh AD BE CF ỉ1 1 ÷ ( a + b + c) ỗ + + ữ ç ÷ ç èa b c ø b) sử dụng bất đẳng thức với a,b,c>0 câu a) Xảy đẳng thức D ABC 138 (h295) · · · · · a)Lần lượt tính AOB = 72 , AOC = 36 , OBC = 36 , OKB = AKC = 72 · · · (K giao điểm OA BC) OAC = 72 , ACK = OCK = 36 Từ tam giác cân ACK OBK, chứng minh a-b=R Từ tam giác đồng dạng BOC KOC chứng minh a.b= R b) từ ïìï a - b = í ïïỵ ab = 2 ta a - 2a - = từ a =1 + 5(cm), b = - 1(cm) 139.(h296) a)Gọi H trực tâm D ABC ,K giao điểm AH (O) dễ chứng minh bổ đề K đối xứng với H qua BC ,suy S BKC = S BHC ta lại có S BDC ³ S BKC nên S BDC ³ S BHC Từ S BDC + S AEC + S AFB ³ S BHC + S AHC + S AHB = S ABC Suy S AFBDCE ³ 2S ABC Tức S1 ³ S b)Gọi I giao điểm AA’ ,BB’,CC’.Dễ chứng minh bổ đề ID=DA’,suy S IBA ' = 2S IBD Và S ICA ' = 2S ICD nên S IBA 'C = S IBDC Do S IBA 'C + S ICB ' A + S IAC ' B = 2(S IBDC + S ICEA + S IAFB ) Þ S A' B 'C ' = 2S AFBDCE Tức S ' = 2S1 c) suy từ câu 140.(h297) Phân tích :Ta có OA AD = AH AC AH ( DoHD / / BC ) AB Þ AH = OA AB = R Þ AH = R ( Do OD / / CH ) = Cách dựng :Dựng bán kính OK ^ AB Trên tai AB ,dựng H cho AH=AK 141.(h298) » = »AD = BE » CD µ = BEK · · Ã ị A , ADI = EBK (Cựng bù B1 )